2022北京市石景山區(qū)高三（上）期末數(shù)學真題試卷答案

PAGE高三數(shù)學答案第1頁（共8頁）石景山區(qū)2021-2022學年第一學期高三期末數(shù)學試卷答案及評分參考一、選擇題：本大題共10個小題，每小題4分，共40分．題號12345678910答案CAADBDDCBC二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分．11．；12．，；13．；14．（答案不唯一）；15．①③．三、解答題：本大題共6個小題，共80分．解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16．（本小題13分）解：選條件①：；（Ⅰ），所以的最小正周期是．………………7分（Ⅱ）因為，所以≤≤，所以≤≤，所以≤≤，當，即時，有最小值．………………13分選條件②：．（Ⅰ），所以最小正周期是．………………7分（Ⅱ）因為，所以≤≤，所以≤≤，當，即時，有最小值．………………13分17．（本小題14分）解：（Ⅰ）因為四棱錐中，，所以，因為，，所以．………………4分（Ⅱ）因為，，所以，又因為，所以，因為，，所以．………………9分（Ⅲ）存在，當為線段中點時，理由如下：由（Ⅱ）可知，因為，，所以，又，，如圖以點為坐標原點，分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，，．由得令，所以．設(shè)（≤≤），則，所以，直線與平面所成角為，所以，解得，符合題意，所以當為線段中點時，直線與平面所成角的大小為．………………14分18.（本小題13分）解：（Ⅰ）由題可知，的所有可能取值為，，．；；．所以的分布列為………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．若小明先回答問題，記為小明的累計得分，則的所有可能取值為，，．；；，所以．因為，所以小明應(yīng)選擇先回答類問題．………………13分19.（本小題15分）解：（Ⅰ）因為右焦點為，所以，因為離心率，所以，，所以橢圓的方程為．………………5分（Ⅱ）當直線垂直于軸時，（舍）．當直線不垂直于軸時，設(shè)直線的方程為，由整理得，設(shè)，由題意恒成立，所以，，，解得，所以直線的方程為．因為為橢圓在軸上的兩個頂點，不妨設(shè)，因為，設(shè)，所以，即，即點在以原點為圓心，半徑為的圓上．法一：因為原點到直線的距離，所以直線與圓相切，所以．法二：聯(lián)立解得即，或解得即，因為，所以．………………15分20.（本小題15分）解：（Ⅰ）因為，所以曲線在點處的切線方程為.………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，（）因為，令，所以或，當時，，則的變化情況如下表：極大值極小值當時，，則恒成立，在內(nèi)恒增；當時，，則的變化情況如下表：極大值極小值綜上，當時，單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；當時，單調(diào)遞增區(qū)間是，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減是.………………10分（Ⅲ）當時，令，得或，易知則的變化情況如下表：極小值極大值所以當時，取得極小值由于，則，，，所以由極小值定義及的單調(diào)性可知：當時，.接下來，研究在的變化情況.因為恒成立，設(shè)對稱軸，，所以由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當時，恒成立所以在時恒成立.綜上所述：當時，.………………15分21.（本小題15分）解：（Ⅰ）數(shù)列是“趨勢遞減數(shù)列”.因為是單調(diào)遞減數(shù)列，，且.所以數(shù)列是“趨勢遞減數(shù)列”.數(shù)列是“趨勢遞減數(shù)列”.因為，且.所以數(shù)列是“趨勢遞減數(shù)列”.………………4分（Ⅱ）當時，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，此時，且不滿足題意；當時，數(shù)列為常數(shù)列，不滿足題意；當時，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，此時，且，滿足題意；當時，此時，且，滿足題意；當時，此時，且，不滿足題意；綜上，的取值范圍為.………………9分（Ⅲ）先證必要性：假設(shè)存在正整數(shù)≥使得，，令.因為，為正實數(shù)，且所以≥，故≥，則數(shù)列從開始以后的各項為，當≥時，與為“趨勢遞減數(shù)列”矛盾，故假設(shè)不成