【八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)蘇科版】專(zhuān)題11 易錯(cuò)易混集訓(xùn)：勾股定理(解析版)

第第頁(yè)專(zhuān)題11易錯(cuò)易混集訓(xùn)：勾股定理易錯(cuò)一沒(méi)有明確斜邊或直角時(shí)，考慮不全面而漏解易錯(cuò)二三角形形狀不明時(shí)，考慮不全面而漏解易錯(cuò)三等腰三角形的腰和底不明時(shí)，考慮不全面而漏解易錯(cuò)四求立體圖形中兩點(diǎn)距離最短時(shí)無(wú)法找到正確的展開(kāi)方式易錯(cuò)一沒(méi)有明確斜邊或直角時(shí)，考慮不全面而漏解例題：（2022·湖北·恩施市崔壩鎮(zhèn)民族中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）若一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)為3和4，則它第三邊的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】或5【分析】分邊長(zhǎng)為4的邊是斜邊和直角邊兩種情況，再分別利用勾股定理即可得．【詳解】解：由題意，分以下兩種情況：（1）當(dāng)邊長(zhǎng)為5的邊是斜邊時(shí)，則第三邊長(zhǎng)為；（2）當(dāng)邊長(zhǎng)為5的邊是直角邊時(shí)，則第三邊長(zhǎng)為；綜上，第三邊長(zhǎng)為或5，故答案為：或5．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，依據(jù)題意，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東·深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期末）在Rt△ABC中，，．則＝（

）A．8 B．16或64 C．4 D．4或16【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理分情況討論求解即可．【詳解】解：當(dāng)∠C=90°時(shí)，；當(dāng)∠A=90°時(shí)，；故選：D．【點(diǎn)睛】題目主要考查勾股定理解三角形，理解題意進(jìn)行分類(lèi)討論是解題關(guān)鍵．2．（2021·甘肅·景泰縣第四中學(xué)八年級(jí)期中）已知直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為6，7，x，則=__________．【答案】85或13##13或85【分析】分6和7都為兩直角邊和6為直角邊，7為斜邊，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：當(dāng)6和7都為直角邊時(shí)，由勾股定理得；當(dāng)6為直角邊，7為斜邊時(shí)，，綜上，=85或13，故答案為：85或13．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，熟練掌握勾股定理，利用分類(lèi)討論思想求解是解答的關(guān)鍵．3．（2022·遼寧撫順·八年級(jí)期末）如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為8和15，那么這個(gè)三角形的第三邊長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】17或【分析】分兩種情況：當(dāng)8和15都是直角邊時(shí)；當(dāng)15是斜邊長(zhǎng)時(shí)；分別利用勾股定理計(jì)算出第三邊長(zhǎng)即可．【詳解】解：當(dāng)8和15都是直角邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)為：，當(dāng)15是斜邊長(zhǎng)時(shí)，第三邊長(zhǎng)為：．故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是，，斜邊長(zhǎng)為，那么．4．（2022·安徽·合肥市西苑中學(xué)八年級(jí)期中）已知x、y為直角三角形的兩邊且滿足，則該直角三角形的第三邊為_(kāi)_____．【答案】5或##或5【解析】【分析】由非負(fù)性的性質(zhì)可求得x與y的值，再分兩種情況，利用勾股定理即可求得第三邊的長(zhǎng)．【詳解】∵，，且，∴，，解得：x=3，y=4．當(dāng)x=3，y=4為直角三角形的兩直角邊時(shí)，由勾股定理得第三邊為：；當(dāng)x=3為一直角邊，y=4為斜邊時(shí)，由勾股定理得第三邊為：．故答案為：5或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，涉及兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零則它們均為零的性質(zhì)，注意求得的兩邊無(wú)法確定都是直角邊還是一條直角邊和一條斜邊，故要分類(lèi)討論．5．（2020·四川成都·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)M，N把線段AB分割成AM，MN和NB，若以AM，MN，NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱(chēng)點(diǎn)M，N是線段AB的“勾股分割點(diǎn)”．已知點(diǎn)M，N是線段AB的“勾股分割點(diǎn)”，若AM＝3，MN＝4，則BN的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】5或##或【解析】【分析】分兩種情況討論：當(dāng)為直角邊時(shí)，當(dāng)為斜邊時(shí)，則為直角邊，再利用勾股定理可得答案.【詳解】解：當(dāng)為直角邊時(shí)，當(dāng)為斜邊時(shí)，則為直角邊，故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義情境下的勾股定理的應(yīng)用，理解新定義，再分類(lèi)討論是解本題的關(guān)鍵.易錯(cuò)二三角形形狀不明時(shí)，考慮不全面而漏解例題：（2021·北京市魯迅中學(xué)八年級(jí)期中）在△ABC中，AB=15，AC=20，BC邊上的高AD=12，則BC=___________．【答案】7或25【解析】【分析】已知三角形兩邊的長(zhǎng)和第三邊的高，未明確這個(gè)三角形為鈍角還是銳角三角形，所以需分情況討論，即∠ABC是鈍角還是銳角，然后利用勾股定理求解．【詳解】解：分兩種情況：①如圖1，△ABC中，AB=15，AC=20，BC邊上高AD=12，在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得：BD=在Rt△ADC中AC=20，AD=12，由勾股定理得：DC=∴BC的長(zhǎng)為BD+DC=9+16=25．②如圖2，同理得：BD=9，DC=16，∴BC=CD-BD=7．綜上所述，BC的長(zhǎng)為25或7．故答案為：25或7．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是在直角三角形中用勾股定理求得線段的長(zhǎng)．當(dāng)已知條件中沒(méi)有明確角的大小時(shí)，要注意討論．【變式訓(xùn)練】1．（2021·黑龍江牡丹江·八年級(jí)期末）在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB邊上的高CD=12，則△ABC的周長(zhǎng)為_(kāi)_______________．【答案】32或42##42或32【解析】【分析】作出圖形，利用勾股定理列式求出、，再分在內(nèi)部和外部?jī)煞N情況求出，然后根據(jù)三角形的周長(zhǎng)的定義解答即可．【詳解】解：，，邊上的高，，，如圖1，在內(nèi)部時(shí)，，此時(shí)，的周長(zhǎng)，如圖2，在外部時(shí)，，此時(shí)，的周長(zhǎng)，綜上所述，的周長(zhǎng)為32或42．故答案為：32或42．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是分情況討論求出的長(zhǎng)，作出圖形更形象直觀．2．（2022·北京·101中學(xué)八年級(jí)期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．點(diǎn)P在直線AC上，且BP＝6，則線段AP的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)題意，作出圖形，分類(lèi)討論，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5在中，或故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，根據(jù)題意作出圖形，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．易錯(cuò)三等腰三角形的腰和底不明時(shí)，考慮不全面而漏解例題：（2022·浙江紹興·二模）在△ABC中，AC＝4，BC＝2，AB=2，以AB為邊在△ABC外作等腰直角△ABD，連接CD，則CD=_____．【答案】2或或【解析】【分析】分三種情況畫(huà)出圖形，由全等三角形的性質(zhì)及勾股定理可得出答案．【詳解】解：如圖1，∠ABD=90°，∵AC=4，BC=2，AB=2，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB為直角三角形，∠ACB=90°，延長(zhǎng)CB，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CB于點(diǎn)E，∵DE⊥CB，∴∠BED=∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵△ABD為等腰直角三角形，∴AB=BD，∠ABD=90°，∴∠CBA+∠DBE=90°，∴∠CAB=∠EBD，在△ACB與△BED中，，∴△ACB≌△BED（AAS），∴BE=AC=4，DE=CB=2，∴CE=6，根據(jù)勾股定理得：；如圖2，∠BAD=90°，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CA，垂足為點(diǎn)E．∵BC⊥CA，∴∠AED=∠ACB=90°，∴∠EAD+∠EDA=90°，∵△ABD為等腰直角三角形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴∠CAB+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠ADE，在△ACB與△DEA中，，∴△ACB≌△DEA（AAS），∴DE=AC=4，AE=BC=2，∴CE=6，根據(jù)勾股定理得：；如圖3，∠ADB=90°，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CB，垂足為點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE，垂足為點(diǎn)F．∵∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵∠DAB+∠DBA=90°，∴∠EBD+∠DAF=90°，∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠DBE=∠ADF，在△AFD和△DEB中，，∴△AFD≌△DEB（AAS），∴AF=DE，DF=BE，∴2+DF+BE=4，∴DF=BE=1，∴CE=DE=3，∴．綜合以上可得CD的長(zhǎng)為2或或．故答案為2或或．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·遼寧·沈陽(yáng)市第一三四中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以1cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，t的取值為_(kāi)____．【答案】5或8或【解析】【分析】當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，分三種情況：①當(dāng)AB＝BP時(shí)；②當(dāng)AB＝AP時(shí)；③當(dāng)BP＝AP時(shí)，分別求出BP的長(zhǎng)度，繼而可求得t值．【詳解】在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，∴BC＝4（cm）；①當(dāng)AB＝BP時(shí)，如圖1，t＝5；②當(dāng)AB＝AP時(shí)，如圖2，BP＝2BC＝8cm，t＝8；③當(dāng)BP＝AP時(shí)，如圖3，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以，解得：t＝，綜上所述：當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，t＝5或t＝8或t＝．故答案為：5或t＝8或t＝．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理以及等腰三角形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用，以及分情況討論，注意不要漏解．2．（2022·江西萍鄉(xiāng)·八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，在直角三角形紙片ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝3，點(diǎn)D是邊AB上的點(diǎn)，將△CBD沿CD折疊得到△CPD，CP與直線AB交于點(diǎn)E，當(dāng)出現(xiàn)以DP為邊的直角三角形時(shí)，BD的長(zhǎng)可能是______．【答案】3或或【分析】分，，三種情況，分別作出圖形，解直角三角形即可．【詳解】解：由折疊性質(zhì)可得：，，，在中，，，，①如圖，當(dāng)時(shí)，為直角三角形，，，，，為等邊三角形，，；②如圖，當(dāng)時(shí)，為直角三角形，；③當(dāng)時(shí)，為直角三角形，，為等邊三角形，，在中，，，，，，，，綜上，或或，故答案為：3或或．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分類(lèi)討論，將圖形作出．3．（2022·湖北武漢·八年級(jí)階段練習(xí)）Rt△ABC中，直角邊AC＝8，斜邊AB＝17，在直線AC上取一點(diǎn)D，使△ABD為等腰三角形，則該等腰三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】50或34+3或34+5或【分析】分三種情況討論：①如圖1，當(dāng)AB＝BD＝17時(shí)；②如圖2，當(dāng)AB＝AD＝17時(shí)；③如圖3，當(dāng)AB為底時(shí)，AD＝BD．【詳解】解：在Rt△ABC中，BC，①如圖，圖1當(dāng)AB＝BD＝17時(shí)，CD＝CA＝8時(shí)，AD＝16，∴△ABD的周長(zhǎng)為17×2+16＝50；②如圖，圖2當(dāng)AB＝AD＝17時(shí)，得CD＝AD﹣AC＝9或CD＝AD+AC＝25，在Rt△BCD中，或，∴△ABD的周長(zhǎng)為或．③如圖，圖3當(dāng)AB為底時(shí)，設(shè)AD＝BD＝x，則CD＝x﹣8，在Rt△BCD中，BD2＝CD2+BC2，即x2＝（x﹣8）2+152，解得：，∴△ABD的周長(zhǎng)為．綜上，△ABD的周長(zhǎng)為50或34+3或34+5或．故答案為：50或34+3或34+5或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的存在性問(wèn)題，分類(lèi)討論思想是本題的關(guān)鍵．易錯(cuò)四求立體圖形中兩點(diǎn)距離最短時(shí)無(wú)法找到正確的展開(kāi)方式例題：（2021·新疆伊犁·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，一只螞蟻從長(zhǎng)為4cm、寬為3cm，高是12cm的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是___________cm．【答案】【分析】先將圖形展開(kāi)，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，由勾股定理解答即可．【詳解】解：如圖如圖如圖它所行的最短路線的長(zhǎng)為：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平面展開(kāi)圖—最短路徑問(wèn)題，是重要考點(diǎn)，掌握分類(lèi)討論法是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·山東·煙臺(tái)市福山區(qū)教學(xué)研究中心七年級(jí)期中）如圖，A，B是一棱長(zhǎng)為3cm的正方體的頂點(diǎn)，點(diǎn)C在棱上，且BC＝1cm．若一只螞蟻每秒爬行2cm，在頂點(diǎn)A處的螞蟻沿著正方體的前側(cè)面和右側(cè)面爬行到C點(diǎn)，至少爬行______________秒？【答案】2.5【分析】把此正方體的點(diǎn)A所在的面展開(kāi)，然后在平面內(nèi)，利用勾股定理求點(diǎn)A和C點(diǎn)間的線段長(zhǎng)，即可得到螞蟻爬行的最短距離，根據(jù)螞蟻爬行的距離，即可求出爬行時(shí)間．【詳解】解：將正方體的前側(cè)面和右側(cè)面展開(kāi)，如圖所示：根據(jù)題意可得：，∴螞蟻爬行的最短距離為：，∵螞蟻每秒爬行2cm，∴螞蟻爬行的最短時(shí)間為：（秒）．故答案為：2.5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的拓展應(yīng)用，“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2022·廣東梅州·八年級(jí)期末）如圖所示，ABCD是長(zhǎng)方形地面，長(zhǎng)AB＝20m，寬AD＝10m．中間豎有一堵磚墻高M(jìn)N＝2m．一只螞蚱從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)，它必須翻過(guò)中間那堵墻，則它至少要走_(dá)_______的路程．【答案】26m【分析】連接AC，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再把中間的墻平面展開(kāi)，使原來(lái)的矩形長(zhǎng)度增加而寬度不變，求出新矩形的對(duì)角線長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖所示，將圖展開(kāi)，圖形長(zhǎng)度增加2MN，原圖長(zhǎng)度增加4米，則AB=20+4=24(m)，連接AC，∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，AB=24m，寬AD=10m，∴AC==26(m)，∴螞蚱從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)，它至少要走26m的路程．故答案為：26m．【點(diǎn)睛】本題考查的是平面展開(kāi)最短路線問(wèn)題及勾股定理，根據(jù)題意畫(huà)出圖形是解答此題的關(guān)鍵．3．（2022·廣東茂名·九年級(jí)期末）如圖，圓柱形玻璃容器高12cm，底面周長(zhǎng)為24cm，在容器外側(cè)距下底1cm的點(diǎn)A處有一只螞蟻，在螞蟻正對(duì)面距容器上底2cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，則螞蟻要吃到蜂蜜所爬行的最短距離為_(kāi)_____cm．【答案】15【分析】根據(jù)題意得到圓柱體的展開(kāi)圖，確定A、B的位置，利用勾股定理即可求解；【詳解】解：圓柱體玻璃杯展開(kāi)圖如下，作；∵底面周長(zhǎng)為24cm，∴∵，∴cm，∴cm，故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意正確得到圓柱體的展開(kāi)圖是解題的關(guān)鍵．4．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖是一塊長(zhǎng)、寬、高分別為4cm、2cm和1cm的長(zhǎng)方體木塊，一只螞蟻要從長(zhǎng)方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)A處，沿著長(zhǎng)方體木塊的表面爬到長(zhǎng)方體木塊上和頂點(diǎn)A相對(duì)的頂點(diǎn)B處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長(zhǎng)是__．【答案】5cm【分析】把此長(zhǎng)方體的一面展開(kāi)，然后在平面內(nèi)，利用勾股定理求點(diǎn)A和B點(diǎn)間的線段長(zhǎng)，即可得到螞蟻爬