信號(hào)與系統(tǒng)（第五版）課件第5章 離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析

第5章

離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析5.1離散序列與基本運(yùn)算5.2LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及其求解方法5.3離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)5.4離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)5.5離散序列卷積(和)5.6離散時(shí)間系統(tǒng)的完全響應(yīng)與系統(tǒng)特性5.7基于MATLAB的離散時(shí)域分析

與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)相比，離散系統(tǒng)的主要優(yōu)點(diǎn)有：

(1)精度高。離散系統(tǒng)的精度高，更確切地說是精度可控制，因?yàn)榫热Q于系統(tǒng)的字長(zhǎng)(位數(shù))。

(2)靈活。數(shù)字處理系統(tǒng)的性能主要由各乘法器的系數(shù)決定。

(3)穩(wěn)定性和可靠性好。

(4)集成化程度高，體積小，重量輕，功耗低，功能強(qiáng)，成本越來越低。

5.1離散序列與基本運(yùn)算5.1.1離散時(shí)間信號(hào)——序列的描述離散信號(hào)可以從模擬信號(hào)中采樣得到，樣值用f(n)表示(表示在離散時(shí)間點(diǎn)nT

上的樣值)。也可以由離散信號(hào)或由系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)生，在處理過程中只要知道樣值的先后順序即可，所以可以用序列來表示離散的時(shí)間信號(hào)。設(shè)樣本空間是f，表示一個(gè)集合，第n個(gè)樣本值為f(n)，即為簡(jiǎn)便起見，常用一般項(xiàng)f(n)表示序列，稱為序列f(n)。

例如

其中，小箭頭表示n=0時(shí)所對(duì)應(yīng)的樣值。

還可以用譜線狀圖形表示離散時(shí)間信號(hào)，如圖5.1-1-表示的f1(n)。離散序列與系統(tǒng)分析中，通常用x(n)而不是f(n)表示輸入，因此從這往后，將更多地使用x(n)。圖5.1-1-f1(n)的譜線狀圖形

5.1.2常用典型序列

1.單位脈沖序列

單位脈沖序列也稱單位樣值序列，用δ(n)表示，定義為

單位脈沖序列δ(n)如圖5.1-2所示。

圖5.1-2單位脈沖序列

2.單位階躍序列

單位階躍序列用u(n)表示，定義為

單位階躍序列u(n)如圖5.1-3所示。

還可用δ(n)表示u(n)，即

亦可用u(n)表示δ(n)，即

圖5.1-3單位階躍序列

3.單位矩形序列

單位矩形序列用RN(n)表示，定義為

R4(n)如圖5.1-4所示。

亦可用δ(n)、u(n)表示RN(n)，即

圖5.1-4單位矩形序列

4.斜變序列

斜變序列是包絡(luò)為線性變化的序列，表示式為

如圖5.1-5所示。圖5.1-5斜變序列

5.實(shí)指數(shù)序列

實(shí)指數(shù)序列an

是包絡(luò)為指數(shù)函數(shù)的序列。|a|>1，序列發(fā)散；|a|<1，序列收斂；a<0，序列正、負(fù)擺動(dòng)。實(shí)指數(shù)序列的四種波形如圖5.1-6所示。圖5.1-6實(shí)指數(shù)序列的四種波形

6.正弦型序列

正弦型序列是包絡(luò)為正、余弦變化的序列。

如sinnθ0，cosnθ0，若即每10點(diǎn)重復(fù)一次正、余弦變化，如圖5.1-7所示。圖5.1-7正弦型序列

正弦型序列一般表示為

對(duì)模擬正弦型信號(hào)采樣可以得到正弦型序列，如

式中，θ0=ω0T，是數(shù)字域頻率(T為采樣周期)。

數(shù)字域頻率相當(dāng)于模擬域頻率對(duì)采樣頻率取歸一化值，即

8.周期序列

可由以下條件判斷x(n)是否為周期序列：

圖5.1-8sin(8nπ/3)

9.任意序列的取樣脈沖表示

序列取樣脈沖表示為

任意序列可以用其取樣脈沖序列的加權(quán)和表示為

式中，…，x(-1)，x(0)，x(1)，…為加權(quán)系數(shù)。

10.序列的能量

若序列絕對(duì)可和，定義離散序列的能量為

可以利用MATLAB計(jì)算有限項(xiàng)序列的能量

5.1.3序列的運(yùn)算

1.相加

z(n)是兩個(gè)序列x(n)和y(n)對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加形成的序列。

2.相乘

z(n)是兩個(gè)序列x(n)和y(n)對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘形成的序列。

標(biāo)量相乘

z(n)是x(n)每項(xiàng)乘以常數(shù)a

形成的序列。

3.時(shí)移(時(shí)延、移序、移位、位移)

z(n)是原序列x(n)每項(xiàng)右移m

位形成的序列。

z(n)是原序列x(n)每項(xiàng)左移m

位形成的序列。

如圖5.1-9所示是x(n)、x(n-1)、x(n+1)序列的移序圖。

圖5.1-9序列的移序

例5.1-1已知x(n)=[0.5-1.5-1--0.5]，求y(n)=x(n)+2x(n)x(n-2)。

↑

解

4.折疊及其位移

y(n)是以縱軸為對(duì)稱軸翻轉(zhuǎn)180°形成的序列。

折疊位移序列

z(n)是由x(-n)向右或向左移m

位形成的序列。

折疊序列與折疊位移序列如圖5.1-10所示。

圖5.1-10序列的折疊位移

5.尺度變換

y(n)=x(mn)，這是x(n)序列每隔

m

點(diǎn)取一點(diǎn)形成的，即時(shí)間軸n

壓縮至原來的1/m。

例如m=2時(shí)，如圖5.1-11所示。

y(n)=x(n/m)，這是x(n)序列每一點(diǎn)加m-1個(gè)零值點(diǎn)形成的，即時(shí)間軸n

擴(kuò)展至原來的m倍。

例如m=2時(shí)，如圖5.1-12所示。

圖5.1-11序列的壓縮圖5.1-12序列的擴(kuò)展

5.2LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及其求解方法

離散時(shí)間系統(tǒng)的作用是將輸入序列轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵鲂蛄?，系統(tǒng)的功能是完成將輸入x(n)轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵鰕(n)的運(yùn)算，記為離散時(shí)間系統(tǒng)的作用如圖5.2-1所示。

圖5.2-1離散時(shí)間系統(tǒng)的作用示意圖

5.2.1LTI離散系統(tǒng)

與連續(xù)LTI系統(tǒng)相同，LTI離散系統(tǒng)應(yīng)滿足可分解、線性(疊加、比例)以及非時(shí)變特性。離散系統(tǒng)的線性與非時(shí)變特性的示意圖分別如圖5.2-2和圖5.2-3所示。圖5.2-2系統(tǒng)的線性圖5.2-3系統(tǒng)的非時(shí)變性

例5.2-1判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)。

解

所以是非線性系統(tǒng)。

所以是線性系統(tǒng)。

例5.2-2判斷下列系統(tǒng)是否為非時(shí)變系統(tǒng)。

5.2.2LTI離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——差分方程

1.LTI離散系統(tǒng)基本運(yùn)算單元的框圖及流圖表示

(1)延時(shí)器的框圖及流圖如圖5.2-4所示。圖5.2-4-延時(shí)器框圖及流圖表示

(2)加法器的框圖及流圖如圖5.2-5所示。圖5.2-5-加法器框圖及流圖表示

(3)乘法器的框圖及流圖如圖5.2-6所示。圖5.2-6-乘法器框圖及流圖表示

2.LTI離散系統(tǒng)的差分方程

線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)是由常系數(shù)微分方程描述的，而線性時(shí)不變離散系統(tǒng)是由常系數(shù)差分方程描述的。在差分方程中構(gòu)成方程的各項(xiàng)包含

有

未

知

離

散

變

量

的y(n)，以

及y(n+1)，y(n+2)，…，y(n-1)，y(n-2)，…。

例5.2-3系統(tǒng)方框如圖5.2-7所示，寫出其差分方程。圖5.2-7例5.2-3離散時(shí)間系統(tǒng)

解

或

式(5.2-2)左邊由未知序列y(n)及其移位序列y(n-1)構(gòu)成，因?yàn)閮H差一個(gè)移位序列，所以是一階差分方程。若還包括未知序列的移位項(xiàng)y(n-2)，…，y(n-N)，則構(gòu)成N階差分方程。

未知(待求)序列變量序號(hào)最高與最低值之差是差分方程階數(shù)；各未知序列序號(hào)以遞減方式給出y(n)，y(n-1)，

y(n-2)，…，y(n-N)，稱為后向形式差分方程。一般因果系統(tǒng)用后向形式比較方便。各未知序列序號(hào)以遞增方式給出y(n)，y(n+1)，y(n+2)，…，y(n+N)，稱為前向形式差分方程。在狀態(tài)變量分析中習(xí)慣用前向形式。

例5.2-4系統(tǒng)如圖5.2-8所示，寫出其差分方程。圖5.2-8例5.2-4離散時(shí)間系統(tǒng)

解

或

這是一階前向差分方程，與后向差分方程形式相比較，僅是輸出信號(hào)的輸出端不同。前者是從延時(shí)器的輸入端取出，后者是從延時(shí)器的輸出端取出。

例5.2-5已知y(n)=ay(n-1)+x(n)，且y(n)=0，n<0，x(n)=δ(n)，求y(n)。

解

最后

3.數(shù)學(xué)模型的建立及求解方法

例5.2-6電路如圖5.2-9所示，已知邊界條件v(0)=E，v(N)=0，求第n

個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓v(n)的差分方程。

解

與任意節(jié)點(diǎn)v(n-1)關(guān)聯(lián)的電路如圖5.2-10所示，由此對(duì)任意節(jié)點(diǎn)v(n-1)可列節(jié)點(diǎn)KCL方程為

整理得到

N

階LTI離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)

N階線性差分方程，它的一般形式是

或

5.2.3-線性差分方程的求解方法

(1)遞推(迭代)法。

(2)時(shí)域法。

(3)時(shí)域經(jīng)典法。

(4)變域法。

5.3離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)

5.3.1一階線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)一階線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的齊次差分方程的一般形式為將差分方程改寫為

用遞推(迭代)法，y(n)僅與前一時(shí)刻y(n-1)有關(guān)，以y(0)為起點(diǎn)：

當(dāng)n≥0時(shí)，齊次方程解為

由式(5.3-2)可見，y(n)是一個(gè)公比為a

的幾何級(jí)數(shù)，其中C

取決于初始條件y(0)，這是式(5.3-1)一階系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。

利用遞推(迭代)法的結(jié)果，我們可以直接寫出一階差分方程解的一般形式。因?yàn)橐浑A差分方程的特征方程為

由特征方程解出其特征根

與齊次微分方程相似，得到特征根a

后，就得到一階差分方程齊次解的一般模式為C(a)n，其中C

由初始條件y(0)決定。

5.3.2-N階線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)

有了一階齊次差分方程解的一般方法，將其推廣至N

階齊次差分方程，我們有

N階齊次差分方程的特征方程

(1)當(dāng)特征根均為單根時(shí)，特征方程可以分解為

利用一階齊次差分方程解的一般形式，由特征方程可類推得

N

階線性齊次差分方程的解是這N

個(gè)線性無關(guān)解的線性組合，即

式中，C1，C2，…，CN

由y(0)，y(1)，…，y(N-1)等

N

個(gè)邊界條件確定。

寫為矩陣形式

即

其系數(shù)解為

(2)當(dāng)特征方程中α1-是m

階重根時(shí)，其特征方程為

中，(α-α1)m

對(duì)應(yīng)的解為(C1+C2n+…+Cmnm-1)αn1，此時(shí)零輸入解的模式為

式中，C1，C2，…，CN

由y(0)，y(1)，…，y(N-1)等

N

個(gè)邊界條件確定。

例5.3-1已知某離散系統(tǒng)的差分方程

且y(0)=0，y(1)=-2，y(2)=2，求零輸入響應(yīng)y(n)。

解

這是三階差分方程，其特征方程為

(α+2)3=0，α=-2是三重根，y(n)的模式為

代入邊界條件

解出

最—后2得42到

(3)與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)類似，對(duì)實(shí)系數(shù)的特征方程，若有復(fù)根必為共軛成對(duì)出現(xiàn)，形成振蕩(增、減、等幅)序列。一般共軛復(fù)根既可當(dāng)單根處理，最后整理成實(shí)序列，亦可看做整體因子。

因?yàn)?/p>

所以解的一般形式為

代入初始條件可以計(jì)算系數(shù)A、B。

例5.3-2已知某系統(tǒng)差分方程

5.4離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

5.4.1離散系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移(傳輸)算子移序(離散)算子定義：

(1)超前算子E

N階前向差分方程的一般形式為

用算子表示為

可以改寫為

定義轉(zhuǎn)移(傳輸)算子

與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)相同，H(E)的分子、分母算子多項(xiàng)式表示運(yùn)算關(guān)系，不是簡(jiǎn)單的代數(shù)關(guān)系，不可隨便約去。與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的H(p)不同，H(E)表示的系統(tǒng)既可以是因果系統(tǒng)，也可以是非因果系統(tǒng)。如圖5.4-1所示為H(E)=E

的簡(jiǎn)單非因果系統(tǒng)。圖5.4-1簡(jiǎn)單非因果離散時(shí)間系統(tǒng)

5.4.2單位脈沖響應(yīng)h(n)

由δ(n)產(chǎn)生的系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)定義為單位脈沖響應(yīng)，記為h(n)。有若干求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的方法，先討論兩種常用方法。

1.迭代法

例5.4-1已知某系統(tǒng)的差分方程為

利用迭代法求h(n)。

解

當(dāng)x(n)=δ(n)時(shí)，y(n)=h(n)，且因果系統(tǒng)的h(-1)=0，所以有

一般項(xiàng)：

2.轉(zhuǎn)移算子法

已知

N

階系統(tǒng)的傳輸算子為

設(shè)

H(E)的分母多項(xiàng)式D(E)均為單根，即

例5.4-2已知某系統(tǒng)的差分方程為

5.4.3零狀態(tài)響應(yīng)

利用變量代換，卷積的另一種形式為

離散序列的卷積公式可以簡(jiǎn)寫為

以上推導(dǎo)表明，離散系統(tǒng)的時(shí)域分析法是利用單位脈沖響應(yīng)，通過卷積完成系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)求解，而不是求解差分方程。

5.5離散序列卷積(和)

離散序列卷積的一般表達(dá)形式為若令x1(n)=x(n)，x2(n)=h(n)，正是求解零狀態(tài)響應(yīng)的式(5.4-16)。

5.5.1卷積的性質(zhì)

(1)當(dāng)x1(n)、x2(n)、x3(n)分別滿足可和條件，卷積具有以下代數(shù)性質(zhì)：

交換律

分配律

結(jié)合律

(2)任意序列與δ(n)卷積

(3)任意因果序列與u(n)卷積

任意序列與u(n)卷積

(4)卷積的移序

5.5.2卷積的運(yùn)算

離散序列卷積計(jì)算的基本方法有圖解法，其步驟與連續(xù)信號(hào)的卷積相似，可以分為4步計(jì)算：

①

兩個(gè)序列變量置換；

②

任選其中一個(gè)序列折疊位移；

③

兩個(gè)序列相乘；

④

對(duì)相乘后的非零值序列求和。

圖5.5-1例5.5-1求解過程與結(jié)果

當(dāng)兩個(gè)有限長(zhǎng)序列卷積時(shí)，可用簡(jiǎn)單的豎式相乘對(duì)位相加法。

5.6離散時(shí)間系統(tǒng)的完全響應(yīng)與系統(tǒng)特性

5.6.1系統(tǒng)完全響應(yīng)的時(shí)域求解方法由前面的分析可知離散時(shí)間系統(tǒng)的全響應(yīng)y(n)可分為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)，即

例5.6-1已知系統(tǒng)的差分方程

y(n)-0.9y(n-1)=0.05u(n)，邊

界條件y(-1)=0，求系統(tǒng)的全響應(yīng)。

例5.6-2已知系統(tǒng)的差分方程

y(n)-0.9y(n-1)=0.05u(n)，邊界條件y(-1)=1，求系統(tǒng)的全響應(yīng)。

5.6.2用經(jīng)典法求解完全響應(yīng)

這是與微分方程經(jīng)典法類似的解法，即先求齊次通解yc(n)，然后求特解。特解形式與激勵(lì)模式一樣，完全解的形式確定后，再利用邊界條件求任意常數(shù)。

一般

N

階差分方程應(yīng)給出N

個(gè)邊界條件以確定N

個(gè)任意常數(shù)C1，C2，…，CN

。當(dāng)考慮特征方程無重根情況時(shí)，差分方程的齊次通解為

差分方程的特解yp(n)由x(n)的形式確定，常見特解形式有

(1)激勵(lì)為多項(xiàng)式序列x(n)=nk

時(shí)，則特解形式亦為多項(xiàng)式

(2)激勵(lì)為指數(shù)序列x(n)=an

時(shí)，則特解形式亦為指數(shù)序列

最后，差分方程的完全解

例5.6-3y(n)-2y(n-1)=4，y(0)=0，用經(jīng)典法求y(n)。

解(1)齊次解

(2)特解yp(n)=A，代入原方程得

(3)完全解

代入邊界條件

5.6.3系統(tǒng)完全響應(yīng)分解

與連續(xù)系統(tǒng)相同，完全響應(yīng)可按不同的分解方式，分解為零狀態(tài)響應(yīng)、零輸入響應(yīng)、自由響應(yīng)、強(qiáng)迫響應(yīng)、瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

從而有

同樣，完全響應(yīng)中不隨n增長(zhǎng)而消失的分量為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，隨n

增長(zhǎng)而消失的分量為瞬態(tài)響應(yīng)。

要指出的是以上分析中邊界條件可不按序號(hào)0，1，2，…，N-1給出，只要是

N

階方程有

N

個(gè)邊界條件即可。n=n0

時(shí)接入激勵(lì)，對(duì)因果系統(tǒng)零狀態(tài)是指

特別地，若n0=0，則

系統(tǒng)的全響應(yīng)邊界條件中一般包含兩部分：一部分為系統(tǒng)零輸入時(shí)的邊界條件，另一部分為系統(tǒng)零狀態(tài)時(shí)的邊界條件。應(yīng)根據(jù)給定的情況正確判斷所給定的邊界條件。

例5.6-5已知系統(tǒng)的差分方程

y(n)-0.9y(n-1)=0.05u(n)，邊界條件y(-1)=1，用經(jīng)典法求系統(tǒng)的完全響應(yīng)，并指出各響應(yīng)分量。

5.6.4系統(tǒng)特性

單位脈沖響應(yīng)h(n)表征了系統(tǒng)本身的性能，所以在時(shí)域分析中，由系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)，可判斷離散時(shí)間系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。

具有因果性的系統(tǒng)，其輸出是激勵(lì)的結(jié)果，激勵(lì)是響應(yīng)的原因。由于輸出變化發(fā)生在輸入變化之后，因此y(n)只取決于此時(shí)及以前的激勵(lì)x(n)，x(n-1)，…離散LTI系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件為

或

與連續(xù)系統(tǒng)相同，具有BIBO穩(wěn)定性的離散系統(tǒng)是輸入信號(hào)有界輸出必為有界的系統(tǒng)。離散LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為單位脈沖響應(yīng)滿足絕對(duì)可和，即

由因果、穩(wěn)定系統(tǒng)的條件，離散LTI系統(tǒng)同時(shí)具有因果穩(wěn)定性的充分必要條件為

例5.6-6已知單位脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n)，判斷系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。

解

因?yàn)閚<0時(shí)，h(n)=0，所以是因果系統(tǒng)；且有

因此，當(dāng)|a|<1時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，|a|≥1時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

5.7基于MATLAB的離散時(shí)域分析5.7.1序列的MATLAB程序

1.單位脈沖序列的產(chǎn)生例5.7-1單位脈沖序列的MATLAB程序如下：

圖5.7-1單位脈沖序列圖

2.單位階躍序列的產(chǎn)生

例5.7-2單位階躍序列的MATLAB程序如下：

單位階躍序列波形如圖5.7-2所示。

圖5.7-2單位階躍序列圖

3.矩形序列的產(chǎn)生

例5.7-3矩形序列的MATLAB程序如下：

矩形序列波形如圖5.7-3所示。

圖5.7-3單位矩形序列圖

4.斜變序列的產(chǎn)生

例5.7-4斜變序列的MATLAB程序如下：

斜變序列波形如圖5.7-4所示。

圖5.7-4單位斜變序列圖

5.實(shí)指數(shù)序列的產(chǎn)生

例5.7-5實(shí)指數(shù)序列的MATLAB程序如下：

圖5.7-5實(shí)指數(shù)序列圖

6.正弦型序列的產(chǎn)生

例5.7-6正弦型序列的MATLAB程序如下：

正弦型序列波形如圖5.7-6所