基變換的過(guò)渡矩陣的求法及應(yīng)用

基變換的過(guò)渡矩陣的求法及應(yīng)用目錄TOC\o"1-3"\h\u126831引論 摘要：過(guò)渡矩陣是基與基之間的一個(gè)\t"/item/%E8%BF%87%E6%B8%A1%E7%9F%A9%E9%98%B5/_blank"可逆線性變換，是高等代數(shù)中一個(gè)非常重要的概念。在一個(gè)\t"/item/%E8%BF%87%E6%B8%A1%E7%9F%A9%E9%98%B5/_blank"空間V下可能存在不同的基，同一向量在不同基底下的表示是不同的，過(guò)渡矩陣可以通過(guò)將向量在一個(gè)基底下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為另一基底下的坐標(biāo)。本文從定義、性質(zhì)、借助標(biāo)準(zhǔn)基、同構(gòu)思想、初等變換對(duì)高等代數(shù)中關(guān)于數(shù)域P上n維線性空間V中基變換的過(guò)渡矩陣的求法進(jìn)行總結(jié)與應(yīng)用，以及從n維的A是否有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量對(duì)較難的使T?1AT成為若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的過(guò)渡矩陣T的求法進(jìn)行總結(jié)與應(yīng)用。關(guān)鍵詞:初等變換；標(biāo)準(zhǔn)基；同構(gòu)；若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型引論研究背景過(guò)渡矩陣在各種領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用，如物理學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等。過(guò)渡矩陣也被稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣或轉(zhuǎn)移矩陣。在實(shí)際生活中，例如我們常見(jiàn)的無(wú)人機(jī)在天空擺出的任意圖案，就是可以通過(guò)兩個(gè)坐標(biāo)系的過(guò)渡矩陣乘原本的坐標(biāo)計(jì)算出來(lái)。過(guò)渡矩陣可以計(jì)算量子力學(xué)系統(tǒng)中各種物理量的期望值，包括動(dòng)量、能量、角動(dòng)量等。對(duì)于馬爾科夫鏈的轉(zhuǎn)移模型中過(guò)渡矩陣是描述轉(zhuǎn)移規(guī)律的重要工具。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，過(guò)渡矩陣常常用來(lái)描述一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)在不同時(shí)間點(diǎn)之間的變化。由此可見(jiàn)過(guò)渡矩陣意義重大，它是這些應(yīng)用的關(guān)鍵，所以對(duì)于過(guò)渡矩陣的求法極其值得研究。選題依據(jù)過(guò)渡矩陣也被稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣或轉(zhuǎn)移矩陣。它是高等代數(shù)中以及實(shí)際生活中某些應(yīng)用的一個(gè)非常重要的概念。掌握了這一概念，對(duì)高等代數(shù)的學(xué)習(xí)就會(huì)容易很多，對(duì)一些實(shí)際應(yīng)用的研究也有幫助。而對(duì)與一般過(guò)渡矩陣的求法，以及使T?1AT成為若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的過(guò)渡矩陣T的求法眾多，如何去選擇一種最優(yōu)化的求法是非常重要的，本文就旨在總結(jié)定義法、性質(zhì)法、借助標(biāo)準(zhǔn)基法、同構(gòu)思想、初等變換等方法以及對(duì)于使T?1AT成為若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型過(guò)渡矩陣研究意義已經(jīng)有學(xué)者提出多種過(guò)渡矩陣的求法，但沒(méi)有對(duì)各種求法進(jìn)行總結(jié)以及比較，本文通過(guò)例題來(lái)探究了定義法、性質(zhì)法、借助標(biāo)準(zhǔn)基、初等變換、同構(gòu)的方法求一般過(guò)渡矩陣的適用條件以及優(yōu)缺點(diǎn)和從向量組是否線性相關(guān)研究使T?1AT成文獻(xiàn)綜述在國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀方面對(duì)于過(guò)渡矩陣的求法，鐘振華REF_Ref6764\r\h[3]在1998年發(fā)表《求過(guò)渡矩陣方法的改進(jìn)》討論了用初等變換的方法來(lái)計(jì)算過(guò)渡矩陣。單靜REF_Ref6826\r\h[4]在2002年發(fā)表《關(guān)于過(guò)渡矩陣的探討》對(duì)過(guò)渡矩陣進(jìn)行探討，并給出其五條性質(zhì)。盧天秀REF_Ref21857\r\h[1]在2003年3月發(fā)表《淺談pn中求基之間的過(guò)渡矩陣》文中討論了利用定義、借助標(biāo)準(zhǔn)基、矩陣初等變換三種方法來(lái)求過(guò)渡矩陣。2004年包建REF_Ref6907\r\h[2]發(fā)表了《基變換的過(guò)渡矩陣的求法》其中總結(jié)了定義法與性質(zhì)法。秦志耘、斯琴、吳校良REF_Ref22363\r\h[5]在2004年4月發(fā)表了《過(guò)渡矩陣的初等變換法》其中討論了初等變換法來(lái)求過(guò)渡矩陣。吳松平REF_Ref22399\r\h[6]在2005年9月發(fā)表了《過(guò)渡矩陣的新求法》其中運(yùn)用解線性方程組的思想以及向量空間同構(gòu)的思想探討了同構(gòu)思想來(lái)求過(guò)渡矩陣。2003年8月董建等人REF_Ref22461\r\h[7]發(fā)表了《若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型T?1AT中過(guò)渡矩陣T的求法》總結(jié)出n維矩陣A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量的求法。2022年郭燁、熊飛等人REF_Ref22494\r\h[8]發(fā)表了《Jordan標(biāo)準(zhǔn)型過(guò)渡矩陣的一種新算法》其中通過(guò)矩陣函數(shù)微分的相關(guān)知識(shí)，給出若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型過(guò)渡矩陣的一種新算法。1990年陳財(cái)佩發(fā)表了《一種差分算子變換求過(guò)渡矩陣的新方法》，主要引入平移算子Fourier變換的定義。研究評(píng)述：綜合評(píng)價(jià)國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀，雖然學(xué)者們對(duì)于過(guò)渡矩陣求法討論了定義、性質(zhì)、初等變換、借助標(biāo)準(zhǔn)基、同構(gòu)思想等方法，但未全面總結(jié)各種方法的適用條件以及優(yōu)缺點(diǎn)，讓讀者不能很好判斷，哪些情況適用什么方法。借助各學(xué)者的文獻(xiàn)，就能很好地通過(guò)大量例題來(lái)總結(jié)過(guò)渡矩陣的求法。過(guò)渡矩陣的定義與性質(zhì)過(guò)渡矩陣的定義設(shè)ε1,ε2,?,εn和β1,β2,?,βn是數(shù)域P上的n維線性空間Vβ1即：β1矩陣A=a稱為由基ε1,ε2過(guò)渡矩陣的性質(zhì)性質(zhì)1REF_Ref6907\r\h[2]若向量關(guān)于基ε1,ε2,?,εn的坐標(biāo)是x1,x2,?,xn；關(guān)于基β1,β2,?,性質(zhì)2REF_Ref6907\r\h[2]如果ε1,ε2,?,εn、β1,β2,?,βn及γ1,γ2,?,γn都是V的基，并且從基ε1性質(zhì)3REF_Ref8460\r\h[4]如果從基ε1,ε2,?,εn到基β1,β2,?,βn性質(zhì)4REF_Ref8999\r\h[5]（初等變換思想）設(shè)ε1,ε2,?,εn與β1,β2,?,βn是數(shù)域P上n維向量空間V的兩組基，ε1,ε2,?,εn性質(zhì)5REF_Ref6764\r\h[3]（借助標(biāo)準(zhǔn)基思想）如果α1,α2,?,αn和β1,β2,?,由α1,α2,?,由β1則β1,β一般過(guò)渡矩陣求法與應(yīng)用舉例下面將通過(guò)例題的形式來(lái)講述一般過(guò)渡矩陣的求法。運(yùn)用定義法求過(guò)渡矩陣運(yùn)用定義法求過(guò)渡矩陣的求法是：在給出β1例1在P4中，求由基ε1=解法1：設(shè)A為過(guò)渡矩陣，A=a11aη1=a2=解得:a同理可得：aaa14所以由基ε1=1A解法2：設(shè)A為過(guò)渡矩陣，A=a11a則A=ε1運(yùn)用性質(zhì)1求過(guò)渡矩陣運(yùn)用性質(zhì)1求過(guò)渡矩陣的求法是：兩組基A,B之間的過(guò)渡矩陣T也是兩組基所對(duì)應(yīng)坐標(biāo)α,β之間的過(guò)渡矩陣，即A=BT則α=Tβ。根據(jù)性質(zhì)1，如果已知一組基的過(guò)渡矩陣就可以知道基所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)的過(guò)渡矩陣，相反如果已知一組坐標(biāo)的過(guò)渡矩陣就可以知道坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)基的過(guò)渡矩陣。此性質(zhì)連接了坐標(biāo)和基變換的關(guān)系。如果已知坐標(biāo)α到β的過(guò)渡矩陣?yán)?在n維空間Pn中，α=(a1,a2,?,an(a求坐標(biāo)a1,a2,?,an到坐標(biāo)(a解：因?yàn)閮山M坐標(biāo)之間a則10?計(jì)算兩組基之間的過(guò)渡矩陣ε綜上可知兩坐標(biāo)之間的過(guò)渡矩陣就是兩組基之間的過(guò)渡矩陣。下面通過(guò)直接計(jì)算和應(yīng)用性質(zhì)1計(jì)算坐標(biāo)(a1,直接計(jì)算：a過(guò)渡矩陣為1根據(jù)性質(zhì)1所以坐標(biāo)(a1,T?1運(yùn)用性質(zhì)2求過(guò)渡矩陣運(yùn)用性質(zhì)2求過(guò)渡矩陣的求法是：如果現(xiàn)有n組基，且已知n?例3假設(shè)現(xiàn)有基ε1=1,0,0,0ε2=0,1,0,0ε3=α1,α2,α3,α解：η1,而AT=12?所以ε1,ε2運(yùn)用性質(zhì)3求過(guò)渡矩陣運(yùn)用性質(zhì)3求過(guò)渡矩陣的求法是：性質(zhì)3證明了過(guò)渡矩陣是可逆的，在進(jìn)行關(guān)系變換時(shí)或已知一組基α1,α2,?,αn到另一組基β例4已知基ε1=1,0,0ε2=0,1,0ε解：根據(jù)性質(zhì)3，設(shè)A=1?4?31由此可得基β1=1,1,?1A運(yùn)用初等變換的思想求過(guò)渡矩陣運(yùn)用初等變換的思想求過(guò)渡矩陣的求法是：在給出確定的兩組基A,B時(shí)，并要求A到B的過(guò)渡矩陣時(shí)，先考慮利用定義法是否容易求，若比較復(fù)雜再考慮初等變換法，利用矩陣初等變換的方法就避免了定義法中繁瑣的方程組，僅對(duì)矩陣AB進(jìn)行行變換，最后變形為：E例5在P4中，求由基ε1=解：運(yùn)用初等變換法ε對(duì)矩陣進(jìn)行行變換→故可得基ε1=1,2,?1,0運(yùn)用借助標(biāo)準(zhǔn)基思想求過(guò)渡矩陣運(yùn)用借助標(biāo)準(zhǔn)基思想求過(guò)渡矩陣的求法是：借助標(biāo)準(zhǔn)基的思想是先分別求出標(biāo)準(zhǔn)基到兩組基的過(guò)渡矩陣，再計(jì)算其中一個(gè)過(guò)渡矩陣的逆矩陣，再將此逆矩陣乘上另一個(gè)過(guò)渡矩陣就可以得到兩組基的過(guò)渡矩陣，此方法的難點(diǎn)在于求矩陣的逆，相對(duì)于矩陣初等變換法。例6在R4中，求由基α1=解：ε1=1根據(jù)性質(zhì)5，ε1,εA=1α1,ε1,則ε1,εB=1β1,β1,=所以A?1所以基α1=11運(yùn)用同構(gòu)思想求過(guò)渡矩陣運(yùn)用同構(gòu)思想求過(guò)渡矩陣的求法是：在求Rxn上基之間的過(guò)渡矩陣時(shí)，可以運(yùn)用同構(gòu)思想將Rxn上基映射到Rn+1上，在R例7在Rx3上，求基1,x+1,解：利用同構(gòu)思想，先取Rx31=1?1+0?x+0?x+1=1?1+1?x+0?(x+1)2=(x+1)3=xxx2+1x+1=1?1+1?x+0?建立一個(gè)Rx3到R4σσσσ將Rx3映射到R4后，求基1,x+1,(x+1)2,再運(yùn)用初等行變換思想求過(guò)渡矩陣1=1由此可得10011所以得到基1,x+1,(x+1)2,使T?1AT成為若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型過(guò)渡矩陣T的求法與應(yīng)用若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型是除了主對(duì)角線元素和主對(duì)角線上方的元素不為0外，其他位置的元素均為0，主對(duì)角線上方的元素不是0就是1。若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的目標(biāo)就是將更多的矩陣化簡(jiǎn)到一類(lèi)只比對(duì)角矩陣稍微復(fù)雜的矩陣。任何一個(gè)矩陣B總是相似一個(gè)與其相對(duì)應(yīng)的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型中對(duì)角矩陣是特例，下面對(duì)于對(duì)角矩陣型、若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的過(guò)渡矩陣T的求法如下：對(duì)角矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型對(duì)角矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型求法是：對(duì)角矩陣是若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的特例，一個(gè)n維矩陣A能否在一組適當(dāng)?shù)幕禄癁閷?duì)角矩陣，就相當(dāng)于矩陣A?是否相似于一個(gè)對(duì)角矩陣。矩陣A?是否相似于一個(gè)對(duì)角矩陣需滿足：n維的矩陣A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，取這幾個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為基縱排列，得到過(guò)渡矩陣T＝(特征向量求法REF_Ref8640\r\h[9]是：在線性空間V中取出一組基ε1ε2令|λE－A|＝0，求出全部根λ1,將特征值λii=1,2,?,n逐一代入(λE－A)x1x例8A=021?解：令|λE－A|＝0，代入A，即：|λE－A|=λ解得特征值為：λ當(dāng)λ1=0?2得關(guān)于λ1=0當(dāng)λ2=14得關(guān)于λ2=當(dāng)λ3=??得關(guān)于λ3=?綜上取關(guān)于λ1T=T?T驗(yàn)證：T所以得到：T=例9A=4?1解：令|λE－A|＝0，代入A，即：|λE－A|=λ解得特征值為：λ當(dāng)λ=3?x得關(guān)于λ1=當(dāng)λ4=73x得關(guān)于λ4=7綜上取關(guān)于：λ1T=T?T驗(yàn)證：T所以得到：T=若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的過(guò)渡矩陣若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的過(guò)渡矩陣的求法是：對(duì)于n維的矩陣A沒(méi)有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，那么就要進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算，首先要算出特征值，以及對(duì)應(yīng)特征值的特征向量，如果有r個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，那么就將r個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量為基縱排列，再通過(guò)AT=Tλ0?01λ?0?例10已知A=3?1解：令|λE－A|＝0，代入A，即：|λE－A|=λ?解得特征值為：λ則若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為100當(dāng)λ1=?2x得關(guān)于λ1=當(dāng)λ2=?x得關(guān)于λ2=下面求T：因?yàn)門(mén)?1兩邊同時(shí)左乘T，則ATAα1根據(jù)上方算出來(lái)的特征向量，令α1=T=AT=0所以3x1令x1=x2根據(jù)計(jì)算T=1≠綜上得到：T=求基變換的過(guò)渡矩陣應(yīng)用的方法總結(jié)過(guò)渡矩陣就是基與基之間的一個(gè)\t"/item/%E8%BF%87%E6%B8%A1%E7%9F%A9%E9%98%B5/_blank"可逆線性變換，在各種領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用。它是高等代數(shù)中以及實(shí)際生活中某些應(yīng)用的一個(gè)非常重要的概念。掌握了這一概念，對(duì)高等代數(shù)的學(xué)習(xí)就會(huì)容易很多，對(duì)一些實(shí)際應(yīng)用的研究也有幫助。上述了一般過(guò)渡矩陣應(yīng)用的求法，對(duì)于使T?1AT成為若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型過(guò)渡矩陣T求法針對(duì)n維矩陣A是否有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，上文列了兩種求法。下面將綜合敘述以上求法的適用條件、優(yōu)缺點(diǎn)。一般過(guò)渡矩陣應(yīng)用定義法求過(guò)渡矩陣適用于在給出β1=a11ε1+a21ε2+?+an1εn,β2=a12ε1+a22ε2+?+an2εn,????βn=a1n使T?1AT成為若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型過(guò)渡矩陣T的對(duì)于使T?1AT成為若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型過(guò)渡矩陣T求法針對(duì)n維矩陣A是否有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量有兩種求法。第一步先算出n維的矩陣A是否有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。第二步若有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，那么T為n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為基縱排列的矩陣，T?1AT為對(duì)角線為特征值的對(duì)角矩陣；若沒(méi)有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量那么就要進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算，首先要算出特征值，以及特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，如果有r個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，那么就將再通過(guò)AT=Tλ0?01λ?在求兩組基之間的過(guò)渡矩陣時(shí)怎么做以及采用什么方法是很重要的，如果是可以用借助標(biāo)準(zhǔn)基的方法簡(jiǎn)化運(yùn)算但卻僅通過(guò)定義法死算，計(jì)算就會(huì)復(fù)雜且花費(fèi)大量時(shí)間，答案還不一定正確。過(guò)渡矩陣的概念求法很重要，學(xué)好高等代數(shù)關(guān)鍵之一是理解過(guò)渡矩陣，通過(guò)本文認(rèn)真感受過(guò)渡矩陣的求法，研究總結(jié)過(guò)渡矩陣T的求法，以便更好地理解基之間的轉(zhuǎn)換。參考文獻(xiàn)盧天秀,辛邦穎.淺談pn中求基之間的過(guò)渡矩陣[J].西昌師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào),2003.包健.基變換的過(guò)渡矩陣的求法[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2004(04):78-81.鐘振華.求基的過(guò)渡矩陣方法的改進(jìn)[J].楚雄師專學(xué)報(bào),1998(03):36-37.單靜,廖飛.關(guān)于過(guò)渡矩陣的探討[J].牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2002.秦志耘,斯琴,吳校良.過(guò)渡矩陣