《高等數(shù)學(xué)》單元課程設(shè)計(jì)

《高等數(shù)學(xué)》單元課程設(shè)計(jì)1

課題函數(shù)

講課班級(jí)略上課時(shí)間2課時(shí)課型理論課

知識(shí)目的：理解函數(shù)、分段函數(shù)掌握基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)

能力目的：能純熟建立簡(jiǎn)樸問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系式，感知數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性

教學(xué)目的

情感目的：通過(guò)實(shí)際案例激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性

情感目的：通過(guò)實(shí)際案例激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性

重理解函數(shù)H勺概念，掌握基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)

教學(xué)重點(diǎn)與點(diǎn)

難點(diǎn)難

就實(shí)際問(wèn)題形成函數(shù)，建立實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

點(diǎn)

任務(wù)一：理解學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的意義、措施、內(nèi)容，學(xué)習(xí)的規(guī)定

任務(wù)二：通過(guò)案例分析.學(xué)會(huì)建立簡(jiǎn)樸問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系式。

任務(wù)描述

任務(wù)二：通過(guò)案例分析，學(xué)會(huì)建立簡(jiǎn)樸問(wèn)題口勺函數(shù)關(guān)系式。

任務(wù)二：通過(guò)案例分析，學(xué)會(huì)建立簡(jiǎn)樸問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系式。

案例驅(qū)動(dòng)，提問(wèn)，啟發(fā)，探討，多媒體教學(xué)

教學(xué)措施

教學(xué)參照資《高等數(shù)學(xué)》，侯風(fēng)波主編，高等教育出版社,.

料

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)意圖

任務(wù)1：學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的意義、措施、內(nèi)容，學(xué)

認(rèn)識(shí)應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的重要性，

1引言習(xí)的規(guī)定

培養(yǎng)濃厚的學(xué)習(xí)愛(ài)好

從學(xué)生實(shí)際生活中碰到的問(wèn)題

任務(wù)2:通過(guò)案例分析，學(xué)會(huì)建立簡(jiǎn)樸問(wèn)題口勺

入手，引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題引入

函數(shù)關(guān)系式。

2案例引入概念，這樣能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)

案例1氣溫與時(shí)間

愛(ài)好。

案例2郵件付費(fèi)

1.函數(shù)的定義

2.函數(shù)的兩要素講清概念的內(nèi)涵和外延，感受

3.函數(shù)的記號(hào)數(shù)學(xué)知識(shí)的高度嚴(yán)謹(jǐn)與抽象

3理解函數(shù)

4.函數(shù)□勺三種表達(dá)措施，性，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力

的1概念

（1）圖像法和語(yǔ)言體現(xiàn)能力，

（2）表格法

（3）公式法

4函數(shù)的性對(duì)于這部分知識(shí)只是通過(guò)例子

函數(shù)口勺有界性、周期性、單調(diào)性、奇偶性

質(zhì)和圖象講清性質(zhì)、定理的內(nèi)涵

和外延，重點(diǎn)是對(duì)性質(zhì)的運(yùn)

用，從而培養(yǎng)學(xué)生的解題技

巧和邏輯推力能力.這也體現(xiàn)

了高職數(shù)學(xué)必須遵照的“以應(yīng)

用為目H勺，以必需、夠用”為

度日勺原則

1.某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品年產(chǎn)量為若干臺(tái)，每

臺(tái)售價(jià)為300元，當(dāng)今產(chǎn)量超過(guò)600臺(tái)時(shí)，

超過(guò)部分只能打8折發(fā)售，這樣可發(fā)售

200臺(tái)，假如再多生產(chǎn)，則本年就銷(xiāo)售不

出去了，試寫(xiě)出本年日勺收益函數(shù)模型.鞏固知識(shí),形成技能,反饋矯

5練習(xí)鞏固

2.一下水道的截面是矩形加半圓形（如圖）,截正.

面積為，是一常量。這常量取決于預(yù)定時(shí)

排水量.設(shè)截面的周長(zhǎng)為，底寬為，試.建立

與時(shí)函數(shù)模型.

重要知識(shí)點(diǎn)：

1.學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的意義、措施、內(nèi)容、規(guī)

定

鞏固知識(shí)，明確規(guī)定，婺頓知

2.函數(shù)、分段函數(shù)、基本初等函數(shù)、復(fù)合

識(shí)構(gòu)造與思想措施，培養(yǎng)學(xué)生

6.課堂小函數(shù)和初等函數(shù)日勺定義，函數(shù)的表達(dá)法，

R勺組織能力，形成完整的知識(shí)

結(jié)基本初等函數(shù)日勺圖形，初等函數(shù)日勺函數(shù)

體系.

值、定義域、值域確實(shí)定，復(fù)合函數(shù)日勺分

解。

3.函數(shù)的基本性態(tài)（奇偶性、周期性、單

調(diào)性和有界性）日勺定義及其幾何特

結(jié)合本專(zhuān)業(yè)特點(diǎn)，到達(dá)理解概

念，培養(yǎng)能力，發(fā)展學(xué)生面對(duì)

7.作業(yè)書(shū)本習(xí)題、教學(xué)案例實(shí)際問(wèn)題，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，處

理問(wèn)題的應(yīng)用意識(shí).

《高等數(shù)學(xué)》單元課程設(shè)計(jì)2

課題函數(shù)

講課班級(jí)略上課時(shí)間2課時(shí)課型理論課

知識(shí)目的：理解復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念、掌握初等函數(shù)的定義；

能力目的h能純熟判函數(shù)關(guān)系與否為初等函數(shù)，感知數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性

教學(xué)目的

情感目的：通過(guò)實(shí)際案例激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性

情感目的：通過(guò)實(shí)際案例激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性

教學(xué)重點(diǎn)與重理解初等函數(shù)日勺概念，掌握初等函數(shù)的1類(lèi)型

難點(diǎn)點(diǎn)

難分析復(fù)合函數(shù)的構(gòu)造，建立實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

點(diǎn)

任務(wù)一：理解學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的意義、措施、內(nèi)容，學(xué)習(xí)的規(guī)定

任務(wù)二：通過(guò)案例分析，學(xué)會(huì)辨別函數(shù)類(lèi)型.

任務(wù)描述

任務(wù)二：通過(guò)案例分析，學(xué)會(huì)辨別函數(shù)類(lèi)型.

任務(wù)二：通過(guò)案例分析，學(xué)會(huì)辨別函數(shù)類(lèi)型.

案例驅(qū)動(dòng)，提問(wèn)，啟發(fā)，探討，多媒體教學(xué)

教學(xué)措施

教學(xué)參照資《高等數(shù)學(xué)》，候風(fēng)波主編，高等教育出版社,.

料

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)意圖

任務(wù)1:學(xué)習(xí)從數(shù)學(xué)的角度看待世間萬(wàn)物之變

認(rèn)識(shí)應(yīng)用高等數(shù)學(xué)歐J重要性，

1引言化.

培養(yǎng)濃厚的學(xué)習(xí)愛(ài)好

從學(xué)生實(shí)際生活中碰到11勺問(wèn)題

任務(wù)2:通過(guò)案例分析，認(rèn)識(shí)復(fù)合函數(shù).入手，引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題引入

2案例引入案例:收入和價(jià)格變化和銷(xiāo)量變化之關(guān)系.概念，這樣能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)

愛(ài)好。

1.復(fù)合函數(shù)的定義：若函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

,函數(shù)在上有定義，其值域?yàn)?/p>

且，則對(duì)于任一，通過(guò)函數(shù)有確

定的與之對(duì)應(yīng)，通過(guò)函數(shù)有確定的

講清概念的內(nèi)涵和外延，感受

值與之對(duì)應(yīng).這樣對(duì)于任一，通過(guò)函數(shù)

3理解復(fù)合數(shù)學(xué)知識(shí)的高度嚴(yán)謹(jǐn)與抽象

有確定的值與之對(duì)應(yīng)，從而得到一種

函數(shù)日勺概性,培養(yǎng)學(xué)生日勺抽象概括能力

認(rèn)為自變量，為因變量日勺函數(shù)，稱(chēng)其

念和語(yǔ)言體現(xiàn)能力，

為由函數(shù)和復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記

為，其定義域?yàn)?，稱(chēng)為中間變量

2.鑒定函數(shù)與否是復(fù)合函數(shù)

2.鑒定函數(shù)與否是復(fù)合函數(shù)

通過(guò)練習(xí)鍛煉學(xué)生思維，結(jié)合

4復(fù)合困數(shù)例題講清概念的內(nèi)涵和外延，

1.將基本初等函數(shù)合成更合函數(shù)

的拆分、復(fù)重點(diǎn)是對(duì)復(fù)合函數(shù)的構(gòu)造的分

2.將復(fù)合函數(shù)拆成簡(jiǎn)樸函數(shù)

合、析.

初等函數(shù)由基本初等函數(shù)通過(guò)有限次四則運(yùn)算

5.初等函和有限次復(fù)合運(yùn)算而得到的，且用一種式子表讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用概念,分析問(wèn)

數(shù)達(dá)的函數(shù)，稱(chēng)為初等函數(shù)。題解答問(wèn)題.

6.經(jīng)典例例題1分析下列復(fù)合函數(shù)口勺構(gòu)造：根據(jù)有關(guān)知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系，

重1.理解數(shù)列、函數(shù)的極限概念和性質(zhì)；

教學(xué)重點(diǎn)與八li、t、2.掌握極限存在的充要條件；

難點(diǎn)難

純熟練判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)處極限與否存在.

盧

任務(wù)一：會(huì)求分段函數(shù)在分界點(diǎn)的極限

任務(wù)描述

多媒體教學(xué)，案例驅(qū)動(dòng)，提問(wèn)，啟發(fā)，探討。

教學(xué)措施

教學(xué)參照資《高等數(shù)學(xué)》，侯風(fēng)波主編，高等教育出版社,.

料

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)意圖

1引例：公元前3世紀(jì)，道家代表莊子《天下篇》：一

由我國(guó)古代數(shù)學(xué)案例引入

1數(shù)列極三之棒，日取其半，萬(wàn)世不竭.

概念，培養(yǎng)學(xué)生H勺H勺學(xué)習(xí)

限2!.數(shù)列極限

愛(ài)好和民族自豪感

2I.單調(diào)有界定理

1.XfX。時(shí)函數(shù)/(X)的極限

講清概念口勺內(nèi)涵和外延，

2.()時(shí)函數(shù)的極限感受數(shù)學(xué)知識(shí)日勺高度嚴(yán)謹(jǐn)

2函數(shù)H勺定理lim/(x)=Aolimf(x)=lim/(x)=A與抽象性，培養(yǎng)學(xué)生H勺抽

極限K-MOxfxo*.r->.<o-象概括能力和語(yǔ)言體現(xiàn)能

3.時(shí)函數(shù)的極限力，

定理2lim/(x)=4。limf(x)=limf(x)=A

X—>X.V—>4<O

講清定理的條件和結(jié)論，

1.唯一件感受數(shù)學(xué)知識(shí)日勺高度嚴(yán)謹(jǐn)

3極限的2.有界性與抽象性，培養(yǎng)學(xué)生的抽

性質(zhì)3.保號(hào)性注：逆命題不成立象概括能力和語(yǔ)言體現(xiàn)能

4.夾逼準(zhǔn)則力

1.無(wú)窮小量的定義

2.極限與無(wú)窮小之間的關(guān)系對(duì)于這部分知識(shí)只是通過(guò)

3.無(wú)窮小量的運(yùn)算性質(zhì)例子和圖象講清性質(zhì)、定

定理2.有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和是無(wú)窮小量.理口勺內(nèi)涵和外延，重點(diǎn)是

4.無(wú)窮小

定理3.有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量.對(duì)性質(zhì)的運(yùn)用，從而培

量

推論1.無(wú)窮小量與有界量的乘積是無(wú)窮小量.養(yǎng)學(xué)生的解題技巧和邏輯

推論2.常數(shù)與無(wú)窮小量日勺乘積是無(wú)窮小量.推力能力.

注意：兩個(gè)無(wú)窮小之商未必是無(wú)窮小，

注意：兩個(gè)無(wú)窮小之商未必是無(wú)窮小，

（1）無(wú)窮大的定義結(jié)合例題講清概念的內(nèi)涵

5.無(wú)窮大在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中，絕對(duì)值可以無(wú)限和外延,重點(diǎn)是對(duì)復(fù)合函

量增大的變量稱(chēng)為這個(gè)變化過(guò)程中的無(wú)窮大量，簡(jiǎn)稱(chēng)數(shù)的構(gòu)造FI勺分析

無(wú)窮大.

應(yīng)當(dāng)注意的是：無(wú)窮大量是極限不存在的一種

情形，我們借用極限的記號(hào)，表達(dá)“當(dāng)時(shí)，

是無(wú)窮大量”.

(2)無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系

定理4.(在無(wú)窮小量與無(wú)窮大量R勺關(guān)系)自變量的

某個(gè)變化過(guò)程中，無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量，非

零無(wú)窮小量的倒數(shù)是無(wú)窮大量.

例3.自變量在怎樣的變化過(guò)程中，下列函數(shù)是無(wú)窮

大量

1.y=,(2)y=2xl,(3)y=Inx,(4)y=2'

x-\

書(shū)本習(xí)題2:1(1)(2)(3)(4),2(1)(2),3

6練習(xí)鞏鞏固知識(shí)，形成技能,反饋

(1)(2)

固矯正.

重要知識(shí)點(diǎn)：

1極.限日勺概念與措施，及時(shí)函數(shù)極限定義及鞏固知識(shí)，明確規(guī)定，整

數(shù)列極限的定義；頓知識(shí)構(gòu)造與思想措施，

7課堂小

2.函數(shù)極限和數(shù)列極限的幾何意義；培養(yǎng)學(xué)生的組織能力，形

結(jié)

3.無(wú)窮小量、無(wú)窮大量日勺定義；成完整口勺知識(shí)體系.

4.無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系。

4.無(wú)窮小量與無(wú)窮大量W、J關(guān)系。

結(jié)合本專(zhuān)業(yè)特點(diǎn)，到達(dá)理

解概念，培養(yǎng)能力，發(fā)展

學(xué)生面對(duì)實(shí)際問(wèn)題，運(yùn)用

8作業(yè)書(shū)本習(xí)題

所學(xué)知識(shí)，處理問(wèn)題的應(yīng)

用意識(shí).

《島等數(shù)學(xué)》單元課程設(shè)計(jì)4

課題極限(二)

講課班級(jí)略上課時(shí)間2課時(shí)課型理論課

知識(shí)目的：掌握極限的四則運(yùn)算法則

能力目的：具有用極限思想分析問(wèn)題的意識(shí)，感知極限與生活的緊密聯(lián)絡(luò)

教學(xué)目的

情感目的：通過(guò)實(shí)際案例引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)思想融入實(shí)際生活中

情感目的：通過(guò)實(shí)際案例引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)思想融入實(shí)際生活中

任務(wù)一：對(duì)某種電子產(chǎn)品日勺銷(xiāo)售作出預(yù)測(cè)

任務(wù)描述任務(wù)二：運(yùn)用極限的四則運(yùn)算法則求極限

任務(wù)二：運(yùn)用極限的四則運(yùn)算法則求極限

多媒體教學(xué)，案例驅(qū)動(dòng)，提問(wèn)，啟發(fā)，探討。

教學(xué)措施

教學(xué)參照資《高等數(shù)學(xué)》，侯風(fēng)波主編，高等教育出版社,.

料

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

教學(xué)

教學(xué)內(nèi)容

環(huán)節(jié)

任務(wù)一：某商場(chǎng)推出某種電子產(chǎn)品時(shí)，在短期內(nèi)銷(xiāo)量會(huì)迅速增長(zhǎng)，然后下降，其函數(shù)

關(guān)系為，請(qǐng)你對(duì)該產(chǎn)品的長(zhǎng)期銷(xiāo)售作出預(yù)測(cè)

1.導(dǎo)

分析：

入

因此購(gòu)置次電子產(chǎn)品的人將越米越少，轉(zhuǎn)而買(mǎi)新的電子產(chǎn)品

因此購(gòu)置次電子產(chǎn)品口勺人將越來(lái)越少，轉(zhuǎn)而買(mǎi)新的電子產(chǎn)品

極限四則運(yùn)算法則

由極限定義來(lái)求極限是不可取H勺，也是不行的1,因此需尋求某些措施來(lái)求極限。

定理1：若，則存在，且。

注：本定理可推廣到有限個(gè)函數(shù)U勺情形。

定理2：若，則存在，且

limf(x)g(x)=AB=limf(x)-limg*)。

推論1：(為常數(shù))。

推論2:(為正整數(shù))。

定理3:設(shè)，則。

注：以上定理對(duì)數(shù)列亦成立。

分析：定理和推論只規(guī)定掌握它的1意義和運(yùn)用，對(duì)證明不作規(guī)定

任務(wù)二：求下列例題中的極限

[例1]lim(ax+b)=limor+limb=alimx+b=ax()+b。

2.極if5xfq)XT%)x->.v0

限的I

【例2】limxn=[limx]"=。

運(yùn)算XT*。

法則推論1:設(shè)為一多項(xiàng)式，當(dāng)

hmf(x)-aoxo+6/^0++〃，-工。+?！ㄒ?(/)。

推論2:設(shè)均為多項(xiàng)式，且，則。

【例3】1山1(一一5工+10=12—5/1+1=—3。

,-x3+7x—903+7x0—9o

r【例rI4】rlim-------=——---------=-3(由于0-0+3o。0n)。

1。/-工+30'-0+3

注：若，則不能用推論2來(lái)求極限，需采用其他手段。

X24-X—2

【例5】求lim——o

?I2x-+x-3

解：當(dāng)時(shí)，分子、分母均趨于0,由于，約去公因子，

HLI..x2+x—2.x+23

因止匕Iim——------=hm------=—o

xf2；r+x-3xf2X+35

13

【例6】求lim(--------)

itx+1r+1o

解：當(dāng)全沒(méi)有極限，故不能直接用定理3,但當(dāng)時(shí)，

,因此

,13.x—2—1—2

rlim(--------——)=lim-------=----=---------

x+1x+1x-x+l(-1)~-(-1)4-1

【例7】求lim」一。

12X-2

解：當(dāng)時(shí)，，故不能直接用定理5,又，考慮：

?>

..廠

nlim----=oo。

XT2X—2

【例8】若，求a,b的值。

當(dāng)時(shí)，，且

a+〃+l=0,b=-(a+l)

x2+ax+bx1+4X-(a+1)_(x-l)(x+tz+1)

—1(X—1)(X+1)(X—1)(X+1)

..x1+ax-\-ba+2今

hm---；-----=-----=3

x->]廠一12

。=4,b=-5

【例9】設(shè)為自然數(shù)，則

包當(dāng)〃="7時(shí)

n.n—1瓦

..a()工1qx1

lim------!---；----_L5L=0當(dāng)〃<〃山寸O

+2”

00當(dāng)〃〉加時(shí)

證明：當(dāng)時(shí)，分子、分母極限均不存在，故不能用§1.6定理5,先變形:

qa

。。+,+……+Un

。01〃+4]/+....+a_

lim—!------——；----------n-=limxnm工x

00m,b.b

XTbQx+仄x+....+bm-nt

Z7o+—+....+—

1?一如——當(dāng)〃=〃耐

/?()+0+...+0

=W--.............當(dāng)〃<加時(shí)

b。+0+...+0

8.巴北一里當(dāng)〃〉〃耐

%+0+....+0

【例10】求lim(二+N+……+二)。

n~n~n~

解：當(dāng)時(shí)，這是無(wú)窮多項(xiàng)相加，故不能用定理1,先變形：

「1/Ic、r1〃(〃+1)..〃+11

原式=lim—(1+2+....+n)=lun----------lun----=—

?->,?nz22/z2

3.課

書(shū)本習(xí)題2:1(1)(2)(3)(4)(5)(6),2.

堂練

習(xí)

4.課1.函數(shù)極限的運(yùn)算法則及其應(yīng)用；

時(shí)小2綜.合應(yīng)用極限口勺運(yùn)算法則計(jì)算函數(shù)極限的J措施

結(jié)2.綜合應(yīng)用極限的運(yùn)算法則計(jì)算函數(shù)極限的措施

5.作書(shū)本習(xí)題3:1(1)(2)(3)(4)(5)(6)

業(yè)題

《高等數(shù)學(xué)》單元課程設(shè)計(jì)5

課題極限（三）

講課班

略上課時(shí)間2課時(shí)課型理論課

級(jí)

知識(shí)目的：會(huì)用兩個(gè)重要極限求極限，會(huì)無(wú)窮小時(shí)比較

能力目的：能用極限的概念分析實(shí)際問(wèn)題

教學(xué)目

情感目的：通過(guò)實(shí)際案例培養(yǎng)學(xué)生勤奮鉆研，嚴(yán)謹(jǐn)求是的作風(fēng)

的

情感目的：通過(guò)實(shí)際案例培養(yǎng)學(xué)生勤奮鉆研，嚴(yán)謹(jǐn)求是的作風(fēng)

情感目的：通過(guò)實(shí)際案例培養(yǎng)學(xué)生勤奮鉆研，嚴(yán)謹(jǐn)求是的作風(fēng)

任務(wù)一：會(huì)計(jì)算持續(xù)利率問(wèn)題

任務(wù)描

任務(wù)二：會(huì)運(yùn)用兩個(gè)重要極限求極限

述

任務(wù)二：會(huì)運(yùn)用兩個(gè)重要極限求極限

教學(xué)措多媒體教學(xué)，案例驅(qū)動(dòng)，提問(wèn)，啟發(fā)，探討。

施

教學(xué)參《高等數(shù)學(xué)》，侯風(fēng)波主編.高等教育出版社,.

照資料

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

教學(xué)

教學(xué)內(nèi)容

環(huán)節(jié)

任務(wù)一：持續(xù)利率問(wèn)題

儲(chǔ)戶(hù)在銀行存錢(qián)銀行要給儲(chǔ)戶(hù)利息。假如年利率一定，但銀行可以在一年內(nèi)多次付

給儲(chǔ)戶(hù)利息，例如按月付息、按天付息等。某儲(chǔ)戶(hù)將1000美元存入銀行，年利率為

5%。假如銀行容許儲(chǔ)戶(hù)在一年內(nèi)可任意次結(jié)算，在不計(jì)利息稅日勺狀況下，若儲(chǔ)戶(hù)等間

隔的地結(jié)算n次，每次結(jié)算后將本息所有存入恨行，問(wèn)

1)伴隨結(jié)算次數(shù)的增多，一年后該儲(chǔ)戶(hù)的本息和與否也在增多？

2)伴隨結(jié)算次數(shù)的無(wú)限增長(zhǎng)，一年后該儲(chǔ)戶(hù)在銀行的存錢(qián)與否會(huì)無(wú)限變

大？

案例分析

若該儲(chǔ)戶(hù)每月結(jié)算一次，則每月利率為：0.05/12

故第一種月后儲(chǔ)戶(hù)本息合計(jì)：；

第二個(gè)月后儲(chǔ)戶(hù)本息合計(jì)：，

,依此，年后該儲(chǔ)戶(hù)本息合計(jì)：.

若該儲(chǔ)戶(hù)每天結(jié)算一次，假設(shè)一年365天，則每天利率為：0.05/365

故第一天后儲(chǔ)戶(hù)本息合計(jì)：；

1導(dǎo)入

第二天后常戶(hù)本息合計(jì)：，

則一年后儲(chǔ)戶(hù)本息合計(jì)：

一般地，若該儲(chǔ)戶(hù)等間隔地結(jié)算n次，則有一年后本息合計(jì)：

于是，可以得到假如儲(chǔ)戶(hù)等間隔地結(jié)期n次，一年后本息合計(jì)時(shí)

一種函數(shù)：

5(/2)=1000(14-—r

n

伴隨結(jié)算次數(shù)口勺無(wú)限增長(zhǎng)，有，故一年后本息合計(jì)：

怎樣計(jì)算上述極限？引入課題

?，

.lim----=?,+—)=?

X->0XXTOOX

1.第一種重要極限：

下面將證明第一種重要極限：。

2.重

要極闡明：

限1(1)此極限中口勺工一定要用弧度作單位。

(2)應(yīng)用時(shí)要保證極限中的jxf0、sinx和分母工三者中的jx形式一致

(3)對(duì)于此極限規(guī)定掌握它的構(gòu)造特點(diǎn)和應(yīng)用，它H勺證明只是理解

求下列極限

z-cin丫令，=arcsinxt1

【例1】lim=lim—=lim=1。

,->0z

XTOxsint->°sin/

t

..sinx..sin(4一x)..sinr,

【r例/rl2】lim-------=lun--------------=lun——二-1。

XTkX—71XT*x—71/=芯-.--*0—t

5-i-tan3x..°sin3x1>〔11

[例3]lim--------=lim3-------------------=311=30

XTOxx->03xcosx

C.，/X\.X

.2sin"(—),sin—.

1-cosx..21r/2\，1

【r/K例ll4】lrim----------=lim------7—=-=—?hm(------)-=—。

10X~XT。X~2；T。X2

2

第二個(gè)重要極限：

即lim(1+-)"=e=2.7\8281828459045……

XBn

注意：

1:我們可證明：，

2:指數(shù)函數(shù)及自然對(duì)數(shù)中的底就是這個(gè)常數(shù)。

3.對(duì)于此極限規(guī)定掌握它的構(gòu)造特點(diǎn)和應(yīng)用。

任務(wù)1的處理：

=1051.27

結(jié)論：計(jì)算成果闡明伴隨結(jié)算次數(shù)的無(wú)限增長(zhǎng)，一年后該儲(chǔ)戶(hù)在銀行的存錢(qián)不會(huì)

無(wú)限變大，該儲(chǔ)戶(hù)一年本息和最多不超過(guò)1052美元。

3.重通過(guò)試驗(yàn)成果可以懂得，只要年利率一定，不管銀行采用多么小時(shí)間間隔的付

要極

息方式，都不會(huì)導(dǎo)致付息的無(wú)限增多的1成果

限2任務(wù)2:求下列極限

21*1L

【例1】lim(l+-)v=lim[(l+-)2]2=[lim(l+-)2]2=

XfRXXT8X.SOOX

22

?

【例2】lim(l+x)x=lim(l+z):=e

A->0Z-KC

【例3】

lim(1--)r+,=lim[(l+—)-A]-l(l--)=[lim(l+—rr]_,?lim(l--)=^-1-1=

xx->oo—xx—x.r->oo工

【例4】

2//-121?+-1-11-11

lim(^--L)n=lim(l一一—)n=lim(l一——)2(1———)2=-12=-

is2〃+1*廿In+1_11ee

〃+—n+-

22

L求下列極限：(強(qiáng)調(diào)函數(shù)的恒等變換及變量替代)

(1)；

1-C0SX

⑵lim-----——；

J。廠

..sin5x

(3)lim-----；

?—03x

一...sin3x-sinx

(4)lim-----------o

x->0x

2.求下列極限：(強(qiáng)調(diào)與其他措施的綜合運(yùn)用)

X

4.練

(1)lim1+—2；

習(xí)

x—>co\xj

1

⑵I吧(I)；

rIn(l+x)

(3)hm-------；

工―0x

XI

(4)lim-----；

10x

2

(5)Mm(l+2x)。

5.知1.掌握兩個(gè)重要極限

識(shí)小2.兩個(gè)重要極限計(jì)算函數(shù)極限的措施

結(jié)2.兩個(gè)重要極限計(jì)算函數(shù)極限H勺措施

6.作習(xí)題2：6,7,8

業(yè)

《高等數(shù)學(xué)》單元課程設(shè)計(jì)6

課題函數(shù)的持續(xù)性

講課班級(jí)略上課時(shí)間2課時(shí)課型理論課

知識(shí)目的：理解函數(shù)在一點(diǎn)持續(xù)的概念，

能力目的：能用持續(xù)的定義描述電流等專(zhuān)業(yè)現(xiàn)象的特性

教學(xué)目的

情感目的：通過(guò)實(shí)際案例引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)思想融入實(shí)際生活中

情感目的：通過(guò)實(shí)際案例引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)思想融入實(shí)際生活中

任務(wù)：會(huì)判斷函數(shù)在，點(diǎn)與否持續(xù)

任務(wù)描述

多媒體教學(xué)，案例驅(qū)動(dòng)，提問(wèn)，啟發(fā)，探討。

教學(xué)措施

教學(xué)參照資《高等數(shù)學(xué)》，侯風(fēng)波主編，高等教育出版社,.

料

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

教學(xué)環(huán)

教學(xué)內(nèi)容

節(jié)

持續(xù)性是函數(shù)的重要性態(tài)之一。他不僅是函數(shù)研究的重要內(nèi)容，也為計(jì)算極限開(kāi)

1案例分

辟了新途徑。本節(jié)將運(yùn)用極限概念對(duì)它加以描述和研究，

析導(dǎo)入

案例1某日氣溫變化

課題

案例2小孩個(gè)子的J長(zhǎng)高

定義1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)自變量的增量趨于零

時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量也趨于零，即

則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處持續(xù)，或稱(chēng)是向一種持續(xù)點(diǎn).

定義2若，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處持續(xù).

②左右持續(xù)的1概念若，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處左持續(xù)；若，則稱(chēng)函數(shù)

在點(diǎn)處右持續(xù).

⑵函數(shù)在一點(diǎn)持續(xù)的I充足必要條件

函數(shù)在點(diǎn)處持續(xù)口勺充足必要條件是在點(diǎn)處既左持續(xù)乂右持續(xù).

2函數(shù)由此可知，函數(shù)在點(diǎn)處持續(xù)，必須同步滿(mǎn)足如下三個(gè)條件：

在一點(diǎn)①函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，

持續(xù)的②存在，

概念③這個(gè)極限等于函數(shù)值.

⑶函數(shù)在區(qū)間上持續(xù)日勺概念

在區(qū)間上每一點(diǎn)都持續(xù)的函數(shù)，稱(chēng)為在該區(qū)間上的1持續(xù)函數(shù)，或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)

間上連

續(xù)，該區(qū)間也稱(chēng)為函數(shù)的持續(xù)區(qū)間.假如持續(xù)區(qū)間包括端點(diǎn)，那么函數(shù)在右端點(diǎn)

持續(xù)是指左持續(xù)，在左端點(diǎn)持續(xù)是指右持續(xù).

闡明：

（1）點(diǎn)持續(xù)性的兩個(gè)定義本質(zhì)相似，只是論述的角度不一樣。

（2）函數(shù)在某點(diǎn)持續(xù)必須同步滿(mǎn)足三個(gè)條件：①函數(shù)在該點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有

定義；②函數(shù)在該點(diǎn)的極限存在；③極限值等于該點(diǎn)日勺函數(shù)值.

（3）用“點(diǎn)持續(xù)性口勺兩個(gè)定義”可證明初等函數(shù)H勺點(diǎn)持續(xù)性；用“左持續(xù)和右持

續(xù)”可證明分段函數(shù)在其分段點(diǎn)處的持續(xù)性。

例1討論函數(shù)在處的持續(xù)性.

解，而，即.因此，函數(shù)在處持續(xù).

例2.討論函數(shù)在點(diǎn)的持續(xù)性.

解這是一種分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的持續(xù)性問(wèn)題.由于在點(diǎn)的左、右兩側(cè)體

現(xiàn)式不一樣，因此先討論函數(shù)在點(diǎn)的左、右持續(xù)性.

由于

因此在點(diǎn)左、右持續(xù)，因此在點(diǎn)持續(xù).

例3.由上圖可看出：，.

雖然當(dāng)時(shí)的左、右極限都存在，但當(dāng)時(shí)，函數(shù)并不趨近于某一種確定

的常數(shù)，因而當(dāng)時(shí)的極限不存在，故函數(shù)在點(diǎn)不持續(xù).

討論函數(shù)在點(diǎn)的持續(xù)性.

解作出它的圖象（如下圖所示?),

3.練習(xí)

-101X

,T

/

/-2

4.課堂

L函數(shù)日勺點(diǎn)持續(xù)性、區(qū)間持續(xù)性定義及鑒定條件；

小結(jié)

習(xí)題2:10(1)(2)

5.作業(yè)

《高等數(shù)學(xué)》單元課程設(shè)計(jì)7

課題函數(shù)的持續(xù)性-一間斷點(diǎn)

講課班級(jí)略上課時(shí)間2課時(shí)課型理論課

知識(shí)目的：理解函數(shù)在一點(diǎn)持續(xù)的概念，會(huì)判斷間斷點(diǎn)的類(lèi)型，理解初等函數(shù)

的持續(xù)性

教學(xué)目的能力目的：能用持續(xù)的定義描述專(zhuān)業(yè)現(xiàn)象的特性

情感目的：通過(guò)實(shí)際案例引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)思想融入實(shí)際生活中

情感目的h通過(guò)實(shí)際案例引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)思想融入實(shí)際生活中

任務(wù)一：會(huì)判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型

任務(wù)描述任務(wù)二：會(huì)運(yùn)用函數(shù)歐1持續(xù)性求極限

任務(wù)二：會(huì)運(yùn)用函數(shù)的持續(xù)性求極限

多媒體教學(xué)，案例驅(qū)動(dòng)，提問(wèn)，啟發(fā)，探討。

教學(xué)措施

教學(xué)參照資《高等數(shù)學(xué)》，侯風(fēng)波主編，高等教育出版社,.

料

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

教學(xué)環(huán)

教學(xué)內(nèi)容

節(jié)

前面我們理解了函數(shù)在?點(diǎn)持續(xù)日勺狀況,通過(guò)例題看到了優(yōu)勢(shì)函數(shù)在某處是不持

續(xù)的狀況,如練習(xí)題.此時(shí)我們稱(chēng)函數(shù)為間斷.

復(fù)習(xí)內(nèi)容-------

如：討論函數(shù)在點(diǎn)口勺持續(xù)性.

解作出它日勺圖象（如下圖所示），

1案例分

析導(dǎo)入

課題

雖然當(dāng)時(shí)日勺左、右極限都存在，但當(dāng)時(shí)，函數(shù)并不趨近于某一種確定的常

數(shù)，因而當(dāng)時(shí)的極限不存在，故函數(shù)在點(diǎn)不持續(xù).稱(chēng)此處函數(shù)間斷.

若函數(shù)在點(diǎn)處不持續(xù)，則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)的間斷點(diǎn).

1.間斷點(diǎn)的分類(lèi)

設(shè)為的一種間斷點(diǎn)，假如當(dāng)時(shí)，H勺左極限、右極限都存在，則稱(chēng)

為的第一類(lèi)間斷點(diǎn)；否則，稱(chēng)為的J第二類(lèi)間斷點(diǎn).

2.間斷

①對(duì)于第一類(lèi)間斷點(diǎn)有如下兩種情形：

點(diǎn)

當(dāng)與都存在，但不相等時(shí)，稱(chēng)為的跳躍間斷點(diǎn)；

②當(dāng)存在，但極限不等于時(shí)，稱(chēng)為的可去間斷.

②當(dāng)limf。)存在，但極限不等于人天)時(shí)，稱(chēng)/為/(x)的可去間斷.

例4討論函數(shù)

,在點(diǎn)處日勺持續(xù)性.

解由于函數(shù)在分段點(diǎn)處兩邊的體現(xiàn)式不一樣，因此，一般要考慮在分段

點(diǎn)處的左極限與右極限.

因而有，

而/(0)=0,即

由函數(shù)在一點(diǎn)持續(xù)叫充要條件知在處持續(xù).

例5計(jì)算下列極限：

3.練習(xí)

limarcsin(Inx)

解由于是初等函數(shù)，且是它的定義區(qū)間內(nèi)的一點(diǎn)，由定理3,有.

例6計(jì)算下列極限：

rJ1+X—1

Inn--------o

a。A

解所給函數(shù)是初等函數(shù)，但它在處無(wú)定義，故不能直接應(yīng)用定理3.易

判斷這是一種“”型的極限問(wèn)題.通過(guò)度子有理化，可得到一種在處時(shí)持續(xù)

函數(shù)，再媾*限1即X]\1

lim----:---=lim//---=lim/——=/——=—

京朱初等笛數(shù)在其造義蚊網(wǎng)西赳樂(lè)..二電時(shí)需菌品在北走9酣間才都是持

4初等函續(xù)的

數(shù)的持最大值和最小值存在定理閉區(qū)間上持續(xù)函數(shù)一定能獲得最大值和最小值.

續(xù)性定根的存在定理設(shè)為閉區(qū)間上的持續(xù)函數(shù)，且異號(hào)，則至少存在一點(diǎn)

理,使得.

介值定理設(shè)是閉區(qū)間上持續(xù)函數(shù)，且，則對(duì)介于之間的任意一種

數(shù)，則至少存在一點(diǎn)

判斷函數(shù)持續(xù)性的措施

由于初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)總是持續(xù)，因此函數(shù)的持續(xù)性討論多指

分段函數(shù)在分段處的持續(xù)性.

1.函數(shù)的點(diǎn)持續(xù)性、區(qū)間持續(xù)性定義及鑒定條件；

2.初等函數(shù)的持續(xù)性；

5.課堂3.閉區(qū)間上持續(xù)函數(shù)的最值和介值性質(zhì)及其推論：

小結(jié)4.函數(shù)間斷點(diǎn)與鑒定措施；

5.求函數(shù)極限措施綜合。

習(xí)題2:10(1)(2)

作業(yè)

《高等數(shù)學(xué)》單元課程設(shè)計(jì)8

課題《極限》習(xí)題課

講課

略上課時(shí)間