擴展有限元法(XFEM)及其應用12

擴展有限元法（XFEM）及其應用

(eXtendedFiniteElementMethod)能有效求解不連續(xù)力學問題的新數(shù)值方法擴展有限元法(eXtendedFiniteElementMethod,XFEM)是1999年以來發(fā)展起來的一種求解不連續(xù)力學問題的最有效的數(shù)值方法，它繼承了傳統(tǒng)有限元法（CFEM）的所有優(yōu)點，在模擬界面、裂紋擴展、復雜流體等不連續(xù)問題時特別有效，短短幾年得到了快速發(fā)展與應用。XFEM與CFEM的最根本區(qū)別在于，它所使用的網(wǎng)格與結構內(nèi)部的幾何或物理界面無關，從而克服了在諸如裂紋尖端等高應力和變形集中區(qū)進行高密度網(wǎng)格剖分所帶來的困難，模擬裂紋擴展時也無需對網(wǎng)格進行重新剖分。本章擬重點介紹XFEM的基本原理、實施步驟及應用實例等，并進行必要的評述。單位分解概念保證了XFEM的收斂，基于此XFEM通過改進單元的形狀函數(shù)使之包含問題不連續(xù)性的基本成分，從而放松對網(wǎng)格密度的過分要求。水平集法是XFEM中常用的確定內(nèi)部界面位置和跟蹤其擴展的數(shù)值技術，任何內(nèi)部界面可用它的零水平集函數(shù)表示。本章在第二和第三部分將對單位分解法和水平集法分別進行簡要介紹；在第四和第五部分將重點介紹XFEM的基本思想、詳細實施步驟和若干應用實例，并對以往文獻中的一些不妥之處進行了修正；最后，對該領域尚需進一步研究的問題進行了初步展望。前

言固體力學中存在兩類典型的不連續(xù)問題，一類是因材料特性突變引起的弱不連續(xù)問題，這類問題以雙材料問題和夾雜問題為代表，其復雜性是由物理界面處的應變不連續(xù)性引起的；另一類是因物體內(nèi)部幾何突變引起的強不連續(xù)問題，這類問題以裂紋問題為代表，其復雜性是由幾何界面處的位移不連續(xù)性和端部的奇異性引起的。物體內(nèi)部物理界面的脫粘或起裂，是上述兩類問題的混合，也屬于這里所討論的范圍。另外，在復雜流體、復雜傳熱、物質(zhì)微結構演化等復雜問題中，也存在許多不連續(xù)力學問題。數(shù)值方法，如有限元、邊界元、無單元法等，特別是有限元法（FEM）已被廣泛用于處理不連續(xù)問題。有限元法具有其它數(shù)值方法無可比擬的優(yōu)點，如適用于任意幾何形狀和邊界條件、材料和幾何非線性問題、各向異性問題、容易編程等，是數(shù)值分析裂紋問題的主要手段。這方面的工作很多，無法一一列舉。Oritz等[1]及Belytschko等[2]通過使用多場變分原理，用可以橫貫有限單元的“弱”（應變）間斷模擬剪切帶。Dvorkin等[3]通過修改虛功原理表達式考慮了“強”（位移）間斷問題；Lotfi和Sheng[4]將Hu-Washizu變分原理推廣至具有內(nèi)部間斷的物體中；通過考慮軟化本構律和界面上的面力－位移關系，Simo及其同事[5，6]提出了分析強間斷問題的統(tǒng)一框架，很多研究者[7-12]將該法應用到變形局部化分析中。Borja[13]提出了分析強間斷問題的標準Galerkin公式，并證明它與假定改進應變逼近等價。在強間斷分析中，位移包括通常部分及改進部分，其中改進部分在橫貫不連續(xù)界面時出現(xiàn)跳躍。使用假定改進應變變分公式，可以在單元層次上對改進自由度進行靜力凝聚，以獲得單元切向剛度矩陣。Jirasek[14]給出了這方面的全面評述并與其它嵌入式不連續(xù)方法進行了比較。模擬斷裂現(xiàn)象的另一個途徑是Xu和Needleman[15]提出的內(nèi)聚力模型，這已被用于模擬脆性材料的損傷問題[16]。內(nèi)聚力公式是一種唯象框架，材料的斷裂特征體現(xiàn)在粘結表面的面力－位移關系中。此方法在建模時使用了本征長度，并且不需要K主導型斷裂準則，可以得到裂紋的擴展路徑。傳統(tǒng)有限元法（CFEM）采用連續(xù)函數(shù)作為形狀（插值）函數(shù)，要求在單元內(nèi)部形狀函數(shù)連續(xù)且材料性能不能跳躍，在處理像裂紋這樣的強不連續(xù)（位移不連續(xù)）問題時，必須將裂紋面設置為單元的邊、裂尖設置為單元的結點、在裂尖附近的高應力區(qū)需要令人難以接受的網(wǎng)格密度，同時在模擬裂紋擴展時還需要對網(wǎng)格進行重新剖分，效率極低甚至無能為力。在處理多裂紋問題時，其求解規(guī)模之大、網(wǎng)格剖分之難是不可想象的，使問題變得更加復雜。處理夾雜問題時，要求單元的邊必須位于夾雜與基體的界面處，即使對于網(wǎng)格自動化程度很高的二維問題這也不容易，更何況對于拓撲結構更復雜的三維問題。為了克服細觀力學分析中對復雜幾何體網(wǎng)格的剖分問題，Hollister和Kikuchi[17]提出了基于數(shù)字成像的有限元技術，使用與數(shù)字成像相同分辨率的均勻網(wǎng)格將每一個像素識別為一個一個單元，但這樣得到的模型代價太高。Zohdi等[18]使用規(guī)則網(wǎng)格，認為組分間界面與單元邊界無關，材料的不同在積分點層次上進行處理,Moes等[19]的數(shù)值實驗表明，該技術在胞元上得到的等效參數(shù)具有合理的收斂性，但胞元上整體應力的收斂性很差。另一種技術是使用Voronoi胞元模型[20]，單元中考慮了夾雜的作用，該技術中應力場和位移場都需要被離散。1999年以來，在有限元框架內(nèi)發(fā)展起來的擴展有限元法（XFEM）[21，22]，以解決不連續(xù)問題為著眼點，對傳統(tǒng)有限元法在求解裂紋問題時所遇到的困難提出了近乎完美的解決方案。1999年，以美國西北大學Belytschko教授為代表的研究組首先提出了XFEM的思想[21]，2000年，他們正式提出了XFEM術語[22]。XFEM是迄今為止求解不連續(xù)力學問題的最有效的數(shù)值方法，它在標準有限元框架內(nèi)研究問題，不需要對結構內(nèi)存在的幾何或物理界面進行剖分，保留了CFEM的所有優(yōu)點。XFEM與CFEM的最根本區(qū)別在于所使用的網(wǎng)格與結構內(nèi)部的幾何或物理界面無關，從而克服了在諸如裂紋尖端等高應力和變形集中區(qū)進行高密度網(wǎng)格剖分所帶來的困難，當模擬裂紋擴展時也無需對網(wǎng)格進行重新剖分。XFEM在處理裂紋問題包括以下三個方面[23]：第一，不考慮結構的任何內(nèi)部細節(jié)（例如材料特性的變化和/或內(nèi)部幾何的跳躍），按照結構的幾何外形尺寸生成有限元網(wǎng)格；第二，采用其它方法（如水平集法）確定裂紋的實際位置，跟蹤裂紋的擴展；第三，借助于對所研究問題的解的已有知識（不必知道封閉形式的解），改進影響區(qū)內(nèi)單元的形狀函數(shù)，以反映裂紋的存在和擴展。由于改進的形狀函數(shù)在單元內(nèi)部具有“單位分解”特性，擴展有限單元的剛度矩陣具有與常規(guī)有限單元一樣的優(yōu)點，即對稱、稀疏且?guī)?。可見，單位分解概念保證了XFEM的收斂，基于此XFEM的逼近空間中增加了與問題相關的特定函數(shù)；水平集法是XFEM中常用的確定內(nèi)部界面位置和跟蹤其擴展的數(shù)值技術，任何內(nèi)部界面可用它的零水平集函數(shù)表示。本章擬在第二和第三部分對單位分解法和水平集法分別進行簡要介紹；在第四和第五部分重點介紹XFEM的基本思想、實施步驟和若干應用實例；最后，初步展望該領域尚需進一步研究的問題。2.單位分解法（PUM）2.1單位分解法的基本概念1996年Melenk和Babuska[24]及Duarte和Oden[25]先后提出了單位分解法（PUM），其基本思想是任意函數(shù)ψ(x)都可以用域內(nèi)一組局部函數(shù)NI(x)ψ(x)表示，即

，,（1）其中，NI(x)為有限單元形狀函數(shù),它形成一個單位分解。

,(2）基于此，可以對有限元形狀函數(shù)根據(jù)需要進行改進。1997年，Babuska和Melenk[26]證明了PUM的收斂性并將之應用于求解高波數(shù)的Helmholtz方程。PUM容許在相容的試探空間中增加用戶定義的局部特性，因而對CFEM無法求得或求解代價太大的問題，可體現(xiàn)出PUM的獨特優(yōu)越性，比如具有不確定系數(shù)方程（如在模擬復合材料、細觀結構材料及剛化等問題時）和具有邊界層或高振蕩解問題等。PUM從變分方程出發(fā)，改進問題所涉及的試探（形狀函數(shù)）空間，其特征為：一、PUM容許在試探空間中包含對微分方程的先驗知識；二、利用PUM能很容易地構造出任意所期望的試探空間，因而可以獲得適用于高階微分方程變分形式的試探空間，如不同的板殼模型等。

這兩個特征代表了PUM的主要思想，下面從兩方面予以詳細介紹：首先介紹PUM所構造空間的局部逼近特性，再介紹這些空間的相容性。對于試探空間，判斷其性能的標準是能否很好地局部逼近精確解。在CFEM中，局部逼近是通過（映射）多項式實現(xiàn)的，顯然，如果可以獲得關于精確解的局部行為的解析知識，局部逼近就可以用比多項式更恰當?shù)暮瘮?shù)來實現(xiàn)。以二維Laplace方程

Δu=0為例，說明PUM的第一個特征，很明顯，我們事先知道該問題解的局部行為。局部上看，Laplace方程的解可以用p次調(diào)和多項式逼近（即滿足Laplace方程的多項式），它與p次多項式性能一樣（參考[26])，但是，p次調(diào)和多項式的空間維數(shù)僅為2p＋1，而p次二維多項式的空間維數(shù)多達p2。CFEM的精度依賴于多項式的局部逼近特性，對于具有不確定系數(shù)方程或高度振蕩解的問題，多項式的逼近特性很差。Babuska等[27]研究表明，恰當?shù)姆嵌囗検皆囂胶瘮?shù)能夠獲得最優(yōu)的收斂性，而依賴于多項式逼近的CFEM性能較差。對像Helmholtz方程這類高度振蕩函數(shù)的逼近也有類似結論，Melenk[28]研究表明，用平面波逼近具有相同振蕩行為的解更有效。另一個使用非多項式逼近空間的重要例子是無界域問題，如Laplace方程和Helmholtz方程，在無限遠處對已知解進行展開，有望建立基于這些展開的試探空間，PUM正是提供了這種理論框架。當然，還可以利用無限元方法[29-32]，求解無界域上Helmholtz方程。下面介紹PUM的第二個特征。為此需要先簡要介紹一下PUM的基本原理，詳細可參見文獻[26]中的第三節(jié)。給定重疊分片

i

，它構成區(qū)域D的覆蓋。令

i

為定義在覆蓋上的單位分解。在每一片上，用函數(shù)空間Vi反映局部逼近，那么，總體試探空間V由V=

i

iVi給出。空間Vi上的局部逼近既可通過分片變?。╤型）實現(xiàn)，也可通過Vi的良好特性(p型)實現(xiàn)。文獻[26]中的定理1指出，總體空間V既繼承了局部空間Vi的逼近特性，也繼承了單位分解（以及空間Vi）的光滑性，總體空間V可通過恰當選取單位分解使之協(xié)調(diào)，并通過使用足夠光滑的單位分解容易地構造出更光滑的試探空間，這一點對板殼模型是必須的。

在PUM實現(xiàn)過程中必須注意三個方面的問題，PUM中形狀函數(shù)的積分。尋求PUM空間的基，控制PUM所產(chǎn)生的剛度矩陣的條件數(shù)。強加邊界條件的實現(xiàn)。

以上三點也是2.2.3節(jié)中討論無網(wǎng)格法時所必須注意的問題。PUM與其他方法的關系經(jīng)典h，p和h-p方法有限元方法的特性與試探空間對解的局部描述的優(yōu)劣息息相關，這就是上節(jié)中所討論的PUM的第一個特征的內(nèi)涵。經(jīng)典h，p和h-p方法中的試探空間是分片多項式空間，在橫穿單元間邊界時是連續(xù)的，這些經(jīng)典試探空間逼近特性的重要特點是在每個單元上局部逼近通過多項式實現(xiàn)，而且這些局部逼近可以滿足協(xié)調(diào)性條件（簡單地說，就是單元間的連續(xù)條件）。在h型中，多項式次數(shù)p是固定的（一般p≦2），逼近通過減小網(wǎng)格尺寸予以實現(xiàn)，恰當插值能產(chǎn)生一個滿足連續(xù)性條件的良好逼近；在p型中，局部逼近通過增加多項式次數(shù)實現(xiàn)。如果PUM中局部逼近空間Vi選作多項式空間，PUM就可看作是經(jīng)典h和p型的推廣，以這種方式構造的PUM空間在逼近特性上與CFEM空間非常相似。網(wǎng)格設計（即確定需要進行網(wǎng)格重構的面積）和每個單元上多項式的次數(shù)對h-p有限元方法性能影響很大，但它們?nèi)Q于對解局部行為的掌握。例如，具有分片輸入的橢圓問題，解的局部行為的良好描述可根據(jù)所謂的“可數(shù)范數(shù)空間”獲得，借助于對解的局部行為的準確了解，控制針對奇異性多項式次數(shù)分布的網(wǎng)格重構，可以得到指數(shù)型收斂率。關于h-p技術最新發(fā)展可參考文獻[33]。

數(shù)據(jù)擬合由于數(shù)據(jù)擬合也涉及到逼近問題，所以，其思路可以被用來設計試探空間，在[34，35]中予以介紹。一般來說，在數(shù)據(jù)擬合算法中產(chǎn)生一個形如F(x)=

ifi

i(x)的函數(shù)，其中fi為數(shù)據(jù)值（即函數(shù)值、導數(shù)值等），Φi為形狀函數(shù)。先介紹所謂“反比距離加權算法”，它由Shephard法[36]發(fā)展而來。在經(jīng)典Shephard法中，離散數(shù)據(jù)（xi，fi）由下列函數(shù)插值得到，即

（3）其中，權函數(shù)Wi值取作x與xi之間距離的衰減函數(shù)。形狀函數(shù)為

。

（4）應該注意的是，這些函數(shù)形成了一個單位分解，而且插值函數(shù)F可理解為

積分的恰當逼近，其中

x(y)為點x處Delta函數(shù)的逼近。經(jīng)典Shephard法的一種推廣[37]是在每一個固定點x尋求插值函數(shù)F，即

（5）其中參數(shù)a0,…,ap通過下列函數(shù)在每一個固定點x處取極值求得（因此，嚴格地講，系數(shù)a0,…,ap依賴于x），

（6）如果函數(shù)

是x的多項式，且以多項式的系數(shù)為參數(shù)，那么，該法就稱為“移動二乘法”[38]。如果實現(xiàn)了極小化，整體逼近F就取下列形式,（7）且函數(shù)

就是所期望的形狀函數(shù)。注意到在計算每一點形狀函數(shù)

時，都涉及p+1個未知量的極小值問題，因而結點xi的相對位置必須滿足一些條件以保證極小值的唯一性。該法實際上是Shephard法的推廣，如果特殊選取

，它將退化成經(jīng)典Shephard法。經(jīng)典Shephard法的另一種推廣是通過函數(shù)Φi的單位分解得到的。如果函數(shù)值及其導數(shù)在結點xi處給定，那么，可以選取函數(shù)

，

（8）其中，Li為結點xi處的Taylor展開。事實上，任何局部逼近都可以利用這一思想，這也是PUM的基本出發(fā)點。除了上述“反比距離加權法”外，還有很多用于數(shù)據(jù)擬合的方法。例如，經(jīng)典有限元形狀函數(shù)，即分片多項式插值；所謂的徑向基函數(shù)法（詳見[35]），也被稱作多重二次曲面技術，但這些徑向基函數(shù)方法由于原有形式是非局部的，因此不能獲得稀疏剛度矩陣（最近構造了具有緊支集的徑向基函數(shù)[35]）。用于數(shù)據(jù)擬合的形狀函數(shù)在求解微分方程時可適用于不同的變分公式，但是，形狀函數(shù)所假定具有的某些特征，在Galerkin法中并不重要。例如，為了在可視化應用中產(chǎn)生良好效果，許多數(shù)據(jù)擬合的形狀函數(shù)被設計成光滑的（C1或C2的）。然而，Galerkin法中試探函數(shù)的光滑性由所選取的變分形式?jīng)Q定，比數(shù)據(jù)擬合的限制條件要少。數(shù)據(jù)擬合的目的是插值一個給定數(shù)據(jù)組，但在Galerkin法中，形狀函數(shù)具有良好逼近特性就足夠了，它關心的是逼近而不是插值，因此，在設計數(shù)據(jù)擬合形狀函數(shù)時起著重要作用的穩(wěn)定性問題，在Galerkin法形狀函數(shù)的設計中卻不那么突出。3.水平集法（LSM）水平集法（LSM）是一種跟蹤界面移動的數(shù)值技術，它將界面的變化表示成比界面高一維的LS曲線。例如，R2中移動界面Γ(t)

R2可表示成其中函數(shù)

(x,t)稱為LS函數(shù)。LSM對裂紋的描述LS函數(shù)常取下列符號距離函數(shù)，即

（10）如果x位于Γ(t)所定義的裂紋上方（參見圖1），那么（10）式前面的符號就取正，否則取負。圖1裂紋面及觀察點處的LS函數(shù)其中F(x,t)是界面上點x

(t)在界面外法線方向的速度。該法的優(yōu)點是可以在一個固定的Euler網(wǎng)格上進行計算，且很自然地處理界面拓撲變化，易于用來求解高維問題。由于這兩個特征代表了PUM的主要思想，下面從兩方面予以詳細介紹：首先介紹PUM所構造空間的局部逼近特性，再介紹這些空間的相容性。對于試探空間，判斷其性能的標準是能否很好地局部逼近精確解。在CFEM中，局部逼近是通過（映射）多項式實現(xiàn)的，顯然，如果可以獲得關于精確解的局部行為的解析知識，局部逼近就可以用比多項式更恰當?shù)暮瘮?shù)來實現(xiàn)。以二維Laplace方程

Δu=0為例，說明PUM的第一個特征，很明顯，我們事先知道該問題解的局部行為。下面介紹PUM的第二個特征。為此需要先簡要介紹一下PUM的基本原理，詳細可參見文獻[26]中的第三節(jié)。給定重疊分片

i

，它構成區(qū)域D的覆蓋。令

i

為定義在覆蓋上的單位分解。在每一片上，用函數(shù)空間Vi反映局部逼近，那么，總體試探空間V由V=

i

iVi給出?？臻gVi上的局部逼近既可通過分片變?。╤型）實現(xiàn)，也可通過Vi的良好特性(p型)實現(xiàn)。文獻[26]中的定理1指出，總體空間V既繼承了局部空間Vi的逼近特性，也繼承了單位分解（以及空間Vi）的光滑性，總體空間V可通過恰當選取單位分解使之協(xié)調(diào)，并通過使用足夠光滑的單位分解容易地構造出更光滑的試探空間，這一點對板殼模型是必須的。Babuska等[27]研究表明，恰當?shù)姆嵌囗検皆囂胶瘮?shù)能夠獲得最優(yōu)的收斂性，而依賴于多項式逼近的CFEM性能較差。對像Helmholtz方程這類高度振蕩函數(shù)的逼近也有類似結論，Melenk[28]研究表明，用平面波逼近具有相同振蕩行為的解更有效。另一個使用非多項式逼近空間的重要例子是無界域問題，如Laplace方程和Helmholtz方程，在無限遠處對已知解進行展開，有望建立基于這些展開的試探空間，PUM正是提供了這種理論框架。當然，還可以利用無限元方法[29-32]，求解無界域上Helmholtz方程。在PUM實現(xiàn)過程中必須注意三個方面的問題，PUM中形狀函數(shù)的積分。尋求PUM空間的基，控制PUM所產(chǎn)生的剛度矩陣的條件數(shù)。強加邊界條件的實現(xiàn)。以上三點也是2.2.3節(jié)中討論無網(wǎng)格法時所必須注意的問題。2.2

PUM與其他方法的關系2.2.1經(jīng)典h，p和h-p方法有限元方法的特性與試探空間對解的局部描述的優(yōu)劣息息相關，這就是2.1節(jié)中所討論的PUM的第一個特征的內(nèi)涵。經(jīng)典h，p和h-p方法中的試探空間是分片多項式空間，在橫穿單元間邊界時是連續(xù)的，這些經(jīng)典試探空間逼近特性的重要特點是在每個單元上局部逼近通過多項式實現(xiàn)，而且這些局部逼近可以滿足協(xié)調(diào)性條件（簡單地說，就是單元間的連續(xù)條件）。在h型中，多項式次數(shù)p是固定的（一般p≦2），逼近通過減小網(wǎng)格尺寸予以實現(xiàn)，恰當插值能產(chǎn)生一個滿足連續(xù)性條件的良好逼近；在p型中，局部逼近通過增加多項式次數(shù)實現(xiàn)。如果PUM中局部逼近空間Vi選作多項式空間，PUM就可看作是經(jīng)典h和p型的推廣，以這種方式構造的PUM空間在逼近特性上與CFEM空間非常相似。網(wǎng)格設計（即確定需要進行網(wǎng)格重構的面積）和每個單元上多項式的次數(shù)對h-p有限元方法性能影響很大，但它們?nèi)Q于對解局部行為的掌握。例如，具有分片輸入的橢圓問題，解的局部行為的良好描述可根據(jù)所謂的“可數(shù)范數(shù)空間”獲得，借助于對解的局部行為的準確了解，控制針對奇異性多項式次數(shù)分布的網(wǎng)格重構，可以得到指數(shù)型收斂率。關于h-p技術最新發(fā)展可參考文獻

。數(shù)值方法，如有限元、邊界元、無單元法等，特別是有限元法（FEM）已被廣泛用于處理不連續(xù)問題。有限元法具有其它數(shù)值方法無可比擬的優(yōu)點，如適用于任意幾何形狀和邊界條件、材料和幾何非線性問題、各向異性問題、容易編程等，是數(shù)值分析裂紋問題的主要手段。這方面的工作很多，無法一一列舉。Oritz等[1]及Belytschko等[2]通過使用多場變分原理，用可以橫貫有限單元的“弱”（應變）間斷模擬剪切帶。Dvorkin等[3]通過修改虛功原理表達式考慮了“強”（位移）間斷問題；Lotfi和Sheng[4]將Hu-Washizu變分原理推廣至具有內(nèi)部間斷的物體中；通過考慮軟化本構律和界面上的面力－位移關系，Simo及其同事[5，6]提出了分析強間斷問題的統(tǒng)一框架，很多研究者[7-12]將該法應用到變形局部化分析中。Borja[13]提出了分析強間斷問題的標準Galerkin公式，并證明它與假定改進應變逼近等價。在強間斷分析中，位移包括通常部分及改進部分，其中改進部分在橫貫不連續(xù)界面時出現(xiàn)跳躍。使用假定改進應變變分公式，可以在單元層次上對改進自由度進行靜力凝聚，以獲得單元切向剛度矩陣。Jirasek[14]給出了這方面的全面評述并與其它嵌入式不連續(xù)方法進行了比較。模擬斷裂現(xiàn)象的另一個途徑是Xu和Needleman[15]提出的內(nèi)聚力模型，這已被用于模擬脆性材料的損傷問題[16]。內(nèi)聚力公式是一種唯象框架，材料的斷裂特征體現(xiàn)在粘結表面的面力－位移關系中。此方法在建模時使用了本征長度，并且不需要K主導型斷裂準則，可以得到裂紋的擴展路徑。傳統(tǒng)有限元法（CFEM）采用連續(xù)函數(shù)作為形狀（插值）函數(shù)，要求在單元內(nèi)部形狀函數(shù)連續(xù)且材料性能不能跳躍，在處理像裂紋這樣的強不連續(xù)（位移不連續(xù)）問題時，必須將裂紋面設置為單元的邊、裂尖設置為單元的結點、在裂尖附近的高應力區(qū)需要令人難以接受的網(wǎng)格密度，同時在模擬裂紋擴展時還需要對網(wǎng)格進行重新剖分，效率極低甚至無能為力。在處理多裂紋問題時，其求解規(guī)模之大、網(wǎng)格剖分之難是不可想象的，使問題變得更加復雜。處理夾雜問題時，要求單元的邊必須位于夾雜與基體的界面處，即使對于網(wǎng)格自動化程度很高的二維問題這也不容易，更何況對于拓撲結構更復雜的三維問題。為了克服細觀力學分析中對復雜幾何體網(wǎng)格的剖分問題，Hollister和Kikuchi[17]提出了基于數(shù)字成像的有限元技術，使用與數(shù)字成像相同分辨率的均勻網(wǎng)格將每一個像素識別為一個一個單元，但這樣得到的模型代價太高。Zohdi等[18]使用規(guī)則網(wǎng)格，認為組分間界面與單元邊界無關，材料的不同在積分點層次上進行處理,Moes等[19]的數(shù)值實驗表明，該技術在胞元上得到的等效參數(shù)具有合理的收斂性，但胞元上整體應力的收斂性很差。另一種技術是使用Voronoi胞元模型[20]，單元中考慮了夾雜的作用，該技術中應力場和位移場都需要被離散。1999年以來，在有限元框架內(nèi)發(fā)展起來的擴展有限元法（XFEM）[21，22]，以解決不連續(xù)問題為著眼點，對傳統(tǒng)有限元法在求解裂紋問題時所遇到的困難提出了近乎完美的解決方案。如果PUM中局部逼近空間Vi選作多項式空間，PUM就可看作是經(jīng)典h和p型的推廣，以這種方式構造的PUM空間在逼近特性上與CFEM空間非常相似。網(wǎng)格設計（即確定需要進行網(wǎng)格重構的面積）和每個單元上多項式的次數(shù)對h-p有限元方法性能影響很大，但它們?nèi)Q于對解局部行為的掌握。例如，具有分片輸入的橢圓問題，解的局部行為的良好描述可根據(jù)所謂的“可數(shù)范數(shù)空間”獲得，借助于對解的局部行為的準確了解，控制針對奇異性多項式次數(shù)分布的網(wǎng)格重構，可以得到指數(shù)型收斂率。關于h-p技術最新發(fā)展可參考文獻[33]。2.2.2數(shù)據(jù)擬合由于數(shù)據(jù)擬合也涉及到逼近問題，所以，其思路可以被用來設計試探空間，這里予以介紹[34，35]。一般來說，在數(shù)據(jù)擬合算法中產(chǎn)生一個形如F(x)=

ifi

i(x)的函數(shù)，其中fi為數(shù)據(jù)值（即函數(shù)值、導數(shù)值等），Φi為形狀函數(shù)。先介紹所謂“反比距離加權算法”，它由Shephard法[36]發(fā)展而來。在經(jīng)典Shephard法中，離散數(shù)據(jù)（xi，fi）由下列函數(shù)插值得到，即

（3）其中，權函數(shù)Wi值取作x與xi之間距離的衰減函數(shù)。形狀函數(shù)為

。

（4）應該注意的是，這些函數(shù)形成了一個單位分解，而且插值函數(shù)F可理解為

積分的恰當逼近，其中

x(y)為點x處Delta函數(shù)的逼近。經(jīng)典Shephard法的一種推廣[37]是在每一個固定點x尋求插值函數(shù)F，即

（5）其中參數(shù)a0,…,ap通過下列函數(shù)在每一個固定點x處取極值求得（因此，嚴格地講，系數(shù)a0,…,ap依賴于x），

。

（6）如果函數(shù)

是x的多項式，且以多項式的系數(shù)為參數(shù)，那么，該法就稱為“移動二乘法”[38]。如果實現(xiàn)了極小化，整體逼近F就取下列形式

，

（7）且函數(shù)

就是所期望的形狀函數(shù)。注意到在計算每一點形狀函數(shù)

時，都涉及p+1個未知量的極小值問題，因而結點xi的相對位置必須滿足一些條件以保證極小值的唯一性。該法實際上是Shephard法的推廣，如果特殊選取

，它將退化成經(jīng)典Shephard法。經(jīng)典Shephard法的另一種推廣是通過函數(shù)Φi的單位分解得到的。如果函數(shù)值及其導數(shù)在結點xi處給定，那么，可以選取函數(shù)

，

（8）其中，Li為結點xi處的Taylor展開。事實上，任何局部逼近都可以利用這一思想，這也是PUM的基本出發(fā)點。除了上述“反比距離加權法”外，還有很多用于數(shù)據(jù)擬合的方法。例如，經(jīng)典有限元形狀函數(shù)，即分片多項式插值；所謂的徑向基函數(shù)法（詳見[35]），也被稱作多重二次曲面技術，但這些徑向基函數(shù)方法由于原有形式是非局部的，因此不能獲得稀疏剛度矩陣（最近構造了具有緊支集的徑向基函數(shù)[35]）。在2.2.3節(jié)中將會看到，用于數(shù)據(jù)擬合的形狀函數(shù)在求解微分方程時可適用于不同的變分公式，但是，形狀函數(shù)所假定具有的某些特征，在Galerkin法中并不重要。例如，為了在可視化應用中產(chǎn)生良好效果，許多數(shù)據(jù)擬合的形狀函數(shù)被設計成光滑的（C1或C2的）。然而，Galerkin法中試探函數(shù)的光滑性由所選取的變分形式?jīng)Q定，比數(shù)據(jù)擬合的限制條件要少。數(shù)據(jù)擬合的目的是插值一個給定數(shù)據(jù)組，但在Galerkin法中，形狀函數(shù)具有良好逼近特性就足夠了，它關心的是逼近而不是插值，因此，在設計數(shù)據(jù)擬合形狀函數(shù)時起著重要作用的穩(wěn)定性問題，在Galerkin法形狀函數(shù)的設計中卻不那么突出。參考文獻：1.Ortiz,M.,Leroy,Y.,Needleman,A.,Afiniteelementmethodforlocalizedfailureanalysis.ComputerMethodsinAppliedMechanicsandEngineering1987,190:3647-3672.2.Belytschko,T.,Fish,J.,Engelmann,B.E.,Afiniteelementwithembeddedlocalizationzones.ComputermethodsinAppliedMechanicsandEngineering1988,70:59-89.3.Dvorkin,E.N.,Cuitino,A.M.,Gioia,G.,Finiteelementswithdisplacementinterpolatedembeddedlocalizationlinesinsensitivetomeshsizeanddistortions.InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering1990,30:541-564.4.Lotfi,H.R.,ShengP.B.,Embeddedrepresentationsoffractureinconcretewithmixedfiniteelements.InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering1995,38:1307-1325.5.Simo,J.C.,Oliver,J.,Armero,F.,Ananalysisofstrongdiscontinuitiesinducedbystrainsofteninginrate-independentinelasticsolids.ComputationalMechanics1993,12:277-296.Regueiro,R.A.,Borja,R.I.,Planestrainfiniteelementanalysisofpressuresensitiveplasticity6.Simo,J.C.,Oliver,J.,Modelingstrongdiscontinuitiesinsolidmechanicsbymeansofstrainsofteningconstitutiveequations.In:Mang,H.,Bicanic,N.,deBorst,R.(Eds.),ComputationalModelingofConcreteStructures.1994,Pineridge,Swansea,pp.363-372.7.Armero,F.,Garikipati,K.,Ananalysisofstrongdiscontinuitiesinmultiplicativefinitestrainplasticityandtheirrelationwiththenumericalsimulationofstrainlocalizationinsolids.InternationalJournalofSolidsandStructures1996,33:2863-2885.8.Sluys,L.J.,Berabds,A.H.,Discontinuousfailureanalysisformodel-Iandmodel-IIlocalizationproblems.InternationalJournalofSolidsandStructures1998,35:4257-4274.9.Larsson,R.,Runesson,K.,Element-embeddedlocalizationbandbasedonregularizeddisplacementdiscontinuity.ASCEJournalofEngineeringMechanics1996,12:402-411.10.Larsson,R.,Steinmann,P.,Runesson,K.,Finiteelementembeddedlocalizationbandforfinitestrainplasticitybasedonaregularizedstrongdiscontinuity.MechanicsofCohesive-FrictionalMaterials1999,4:171-194.11.Regueiro,R.A.,Borja,R.I.,Planestrainfiniteelementanalysisofpressuresensitiveplasticitywithstrongdiscontinuity.InternationalJournalofSolidsandStructures2001,38:3647-3672.12.Bolzon,G.,Corigliano,A.,Finiteelementswithembeddeddisplacementdiscontinuity:ageneralizedvariableformulation.InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering2000,49:1227-1266.13.Borja,R.,AfiniteelementmodelforstrainlocalizationanalysisofstronglydiscontinuousfieldsbasedonstandardGalerkinapproximation.ComputerMethodsinAppliedMechanicsandEngineering2000,190:1529-1549.14.Jirasek,M.,Comparativestudyonfiniteelementswithembeddeddiscontinuities.ComputerMethodsinAppliedMechanicsandEngineering2000,188:307-330.15.Xu,X.-P.,Needleman,A.,Numericalsimulationsoffastcrackgrowthinbrittlesolids.JournaloftheMechanicsandPhysicsofSolids1994,42:1397-1434.16.Camacho,G.T.,Ortiz,M.,Computationalmodelingofimpactdamageinbrittlematerials.InternationalJournalofSolidsandStructures1996,33:2899-2938.17.S.J.Hollister,N.Kikuchi,Homogenizationtheoryanddigitalimaging:abasisforstudyingthemechanicsanddesignprinciplesofbonetissue,BiotechnologyandBioengineering1994,94:586-596.18.T.Zohdi,M.Feucht,D.Gross,P.Wriggers,Adescriptionofmacroscopicdamagethroughmicrostructuralrelaxation,InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering1998,143:493-506.19.N.Moes,M.Cloirec,P.Cartraud,J.F.Remacle,Acomputationalapproachtohandlecomplexmicrostructuregeometries,ComputerMethodsinAppliedMechanicsandEngineering2003,192:3163-3177.20.S.Ghosh,K.Lee,S.Moorthy,MultiplescaleanalysisofheterogeneouselasticstructuresusinghomogenizationtheoryandVoronoicellfiniteelementmethod,InternationalJournalofSolidsandStructures1997,32:27-62.21.Moes,N.,Dolbow,J.,Belytschko,T.,Afiniteelementmethodforcrackgrowthwithoutremeshing.InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering,1999,46:131-150.22.Daux,C.,Moes,N.,Dolbow,J.,Sukumar,N.,Belytschko,T.,Arbitrarybranchedandintersectingcrackswiththeextendedfiniteelementmethod.InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering2000,48:1741-1760.23.Sukumar,N.,PrevostJ.-H.,Modelingquasi-staticcrackgrowthwiththeextendedfiniteelementmethod.PartI:Computerimplementation.InternationalJournalofSolidsandStructures2003,40:7513-7537.24.Melenk,J.M.,Bubska,I.,Thepartitionoftheunityfiniteelementmethod:basictheoryandapplications.ComputerMethodsinAppliedMechanicsandEngineering1996,139:289-314.25.Duarte,C.A.,Oden,J.T.,AnH-Padaptivemethodusingclouds.ComputermethodsinAppliedMechanicsandEngineering1996,139:237-262.26.Babuska,I.,Melenk,J.M.,The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