線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)研究報告

總復(fù)習(xí)第一章行列式

1、了解行列式的概念；3、會用行列式的性質(zhì)和展開定理計算行列式；

2、掌握行列式的性質(zhì)和展開定理；

4、掌握幾種特殊行列式的計算。

5、會用克萊母(Cramer)法則;第二章矩陣

2.理解逆矩陣的概念,掌握逆矩陣的性質(zhì)以及矩陣可逆的充分必要條件,理解伴隨矩陣的概念,會求逆矩陣。

3.掌握矩陣的初等變換,了解初等矩陣的性質(zhì)和矩陣等價的概念。

4.了解分塊矩陣及其運算。

1.理解矩陣的概念,了解單位矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣,以及它們的性質(zhì);掌握矩陣的線性運算、轉(zhuǎn)置、乘法、方陣的冪與方陣的行列式。第三章向量線性關(guān)系秩1.理解n維向量的概念以及向量的線性運算;

2.理解向量組的線性組合與線性表示的概念;

3.理解向量組線性相關(guān),線性無關(guān)的定義,了解并會用向量組線性相關(guān),線性無關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法;

4.理解向量組的極大線性無關(guān)組和向量組的秩的概念,會求向量組的極大無關(guān)組和秩，理解向量組等價的概念;5.理解矩陣秩的概念及與向量組秩的關(guān)系及其計算．第五章線性空間與線性變換

1.了解向量空間,子空間,維數(shù),基底,坐標(biāo)等概念;

2.了解基變換和坐標(biāo)變換公式,會求過渡矩陣;

3.了解線性變換的概念，會求線性變換的矩陣；

5.了解規(guī)范正交基,正交矩陣的概念,以及它們的性質(zhì).

4.了解Euclid(歐幾里得)空間及內(nèi)積的概念,掌握將線性無關(guān)向量組正交化的施密特(Schmidt)正交化方法;第六章矩陣的特征值與特征向量

1.了解矩陣的特征值和特征向量的概念及其求法;

2.了解矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì);

3.了解相似矩陣的概念及性質(zhì);

4.掌握將(實對稱)矩陣(正交)相似對角化的方法.第七章二次型

1.掌握二次型及其矩陣表示,了解二次型秩的概念,了解合同變換與合同矩陣的概念,了解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形的概念以及慣性定理;

2.掌握用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法,會用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形;

3.理解正定二次型和正定矩陣的概念,掌握其判別法.典型例題1＊.計算24頁：11(1),(3),(4),122.(051,2,4)(4分)設(shè)

1,2,3均為3維列向量,記矩陣A=(

1,2,3),B=(

1+2+3,1+22+43,1+32+93),如果|A|=1,求|B|.

解法一|B|=|

1+2+3,1+22+43,1+32+93|=|

1+2+3,2+33,2+53|=|

1+2+3,2+33,23|=2|

1+2+3,2+33,3|=2|

1+2,2,3|=2|

1,2,3|=2|A|=2

B=(

1+2+3,1+22+43,1+32+93)解法二由于所以求矩陣B.3*.(951)設(shè)三階方陣A,B滿足關(guān)系式A-1BA=6A+BA,且

解

A-1BA=6A+BA

B-AB=6A

A-1B=6E+B

B=6A+AB

B=6(E-A)-1A,即49頁：10,11,12,184.(041,2)設(shè)A是3階方陣，將A的第1列與第2列交換得B,再把B的第2列加到第3列得C,求滿足AQ=C的可逆矩陣Q.解由已知有:B=AP[1,2],C=BP[2+3(1)],所以有:Q=P[1,2]P[2+3(1)]于是，C=AP[1,2]P[2+3(1)],5*.(063,4)設(shè)4維向量組問a為何值時1,2,3,4線性相關(guān)?當(dāng)1,2,3,4線性相關(guān)時,求其一個極大線性無關(guān)組,并將其余量用該極大線性無關(guān)組線性表出.解由于所以,a=0或a=-10時,

1,2,3,4線性相關(guān).a=0時,由于此時R(A)=1,

1是一個極大線性無關(guān)組,且有

2=2

1,3=3

1,4=4

1a=-10時,由于可見,此時R(A)=3,

1,2,3是一個極大線性無關(guān)組,且

4=-

1-

2-

3.64頁：6,7,12,156**.取何值時,方程組無解,有唯一解或有無窮多解?并在有無窮多解時寫出方程組的通解.解由于方程組的增廣矩陣為可見,當(dāng)=-4/5時,R(A)=2,R(A|b)=3,方程組無解.當(dāng)-4/5,且-1時R(A)=R(A|b)=3,方程組有唯一解.當(dāng)=-1時,有所以,有R(A)=R(A|b)=2,方程組有無窮多解,且通解為或?qū)懗梢部梢詫懗上蛄啃问?.(043)(4分)設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣A*0,若是非齊次線性方程組的互不相等的解，則對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系()(A)不存在.(B)僅含一個非零解向量.(C)含有兩個線性無關(guān)的解向量.(D)含有三個線性無關(guān)的解向量.

解由于A*

0,所以存在某個Aij0,于是R(A)n-1.

又由于Ax=b的解不唯一,故R(A)＜n.于是R(A)=n-1.

B所以,方程組Ax=0的解空間是1維的.故應(yīng)選(B).78頁：5;79頁:9,17**.117頁：2(2),(3);3(1),(2);8**.135頁：2(2),(3);5行列式的概念定義由n個數(shù)1,2,3,…,n所組成的一個有序數(shù)組稱為一個n級排列。一個排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個排列的逆序數(shù)。逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列叫做偶排列。其中，ti是比pi大的且排在pi

前面的數(shù)的個數(shù)．定理對排列進(jìn)行一次對換,改變排列的奇偶性。定義行列式的性質(zhì)

性質(zhì)1行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等,即D=DT。

性質(zhì)2行列式可以按行(列)提取公因子.行列式的性質(zhì)

性質(zhì)3行列式兩行(列)互換，行列式變號.

性質(zhì)4行列式某兩行(列)元素相同,則行列式為零。

性質(zhì)5行列式某兩行(列)元素成比例,則行列式為零。行列式的性質(zhì)

性質(zhì)6若行列式的某一行(列)的元素都是兩個數(shù)之和,則行列式可分成兩個行列式之和。行列式的性質(zhì)

性質(zhì)7行列式某一行(列)的若干倍加到另一行(列)對應(yīng)的元素上，行列式不變.行列式展開定理.行列式展開定理:行列式的值等于其任何一行(列)元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和.即.關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)：Cramer法則及其應(yīng)用

.Cramer法則

若D0,則Ax=b有唯一解:xi=Di/D

.解判定

Ax=0有非零解|A|=0.

Ax=0只有零解|A|0.

Ax=b有唯一解|A|0.

Ax=b無解|A|=0.

Ax=b有無窮多解|A|=0.特殊行列式的計算

.對角行列式,上(下)三角行列式:對角線元素乘積

.二、三階行列式:對角線法則特殊行列式的計算

.Vandermonde行列式線性運算,乘法,轉(zhuǎn)置,方陣的冪,方陣的行列式;

|AB|=|A||B|:A,B為同階方陣.A+B:A,B為同型矩陣(行和列都相等);AB:A的列數(shù)等于B的行數(shù),ABBAAB=0推不出A=0或B=0AB=AC或BA=CA推不出A=0或B=C矩陣的運算

|kA|=kn|A|,|A+B|

|A|+|B|逆矩陣可逆矩陣又稱為非異陣或非奇異陣.

若AB=E(或BA=E)，則A可逆,且B=A-1(A為方陣)。（?。?A-1)

-1=A（ⅲ）(AT)-1=(A-1)T（ⅱ）(kA)-1

=1/kA-1（ⅳ）(AB)-1=B-1A-1逆矩陣的計算:A可逆

|A|0。（ⅴ）|A-1|

=1/|A|（ⅵ）(Ak)-1=(A-1)kA-k(A+B)-1

A-1+B-1

=伴隨矩陣|A*|=|A|n-1(A*)-1=A/|A|=(A-1)*(A可逆時)AA*=A*A=|A|E,A可逆時有A*=|A|A-1(AT)*=(A*)T(cA)*=cn-1A*(AB)*=B*A*

(Ak)*=(A*)k(A*)*=|A|n-2An=2時有:初等變換與初等矩陣初等變換與初等方陣的關(guān)系：

初等變換:ri?rj,k×ri,rj+kri,ci?cj,k×ci,cj+cri

初等矩陣:P[i,j],P[i(k)],P[i+j(k)]矩陣的等價:A經(jīng)初等變換變成B，稱A與B等價；P-1[i,j]=P[i,j],P-1[i(k)]=P[i(1/k)],P-1[i+j(k)]=P[i+j(-k)]分塊對角矩陣分塊對角矩陣分塊對角矩陣

設(shè)A為n階方陣,若A的分塊矩陣只有在主對角線上有非零子塊,其余子塊都為零矩陣,且非零子塊都是方陣,即則稱A為分塊對角矩陣,分塊對角矩陣具有性質(zhì):（a）|A|=|A1||A2|…|As|（b）

定義給定向量組:

1,

2,…,

m,若存在一組數(shù)k1,k2,…,km,使:

=k1

1+k2

2+…+km

m,則稱向量

可由向量組

1,

2,…,

m線性表示,也稱向量

是向量組

1,

2,…,

m的線性組合.稱可互相線性表示的兩個向量組等價.向量組的線性表示向量

可由向量組

1,

2,…,

m線性表示當(dāng)且僅當(dāng)線性方程組x1

1+x2

2+…+xm

m=

有解.向量

可由向量組

1,

2,…,

m線性表示當(dāng)且僅當(dāng)向量組

1,

2,…,

m和

1,

2,…,

m,

有相同的秩.反之,線性方程組Ax=b有解當(dāng)且僅當(dāng)常向量b可由系數(shù)矩陣A的列向量組線性表示.如果矩陣A可經(jīng)過初等行(列)變換變成矩陣B,則矩陣A和矩陣B的行(列)向量組等價.若C=AB,則矩陣C的列向量組能由矩陣A的列向量組線性表示,而且矩陣B的各列恰是對應(yīng)的表示式系數(shù).向量組的線性表示實際上,由可得,

i=b1i

1+b2i

2+…+bmi

m.若C=AB,則矩陣C的行向量組能由矩陣B的行向量組線性表示,而且矩陣A的各行恰是對應(yīng)的表示式系數(shù).如果,則向量能用1,2,…,m唯一線性表示.而且此時有向量組的線性表示則表示式為:=a1

1+a2

2+…+am

m這是因為:(1,2,…,m)x=,即=x1

1+x2

2+…+xm

m的解為:x1=a1,x2=a2,…,xm=am如果,則向量能用1,2,…,m線性表示,但表示式不唯一.設(shè)此時有向量組的線性表示則表示式為:=(a1-c1r+1k1-…-c1mkm-r)

1+…+(ar-crr+1k1-…-crmkm-r)

r

+k1

r+1+…+km-r

m,k1,k2,…,km-2R

定義若存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,ks,使:k1

1+k2

2+…+ks

s=0則稱向量組

1,

2,…,

s線性相關(guān),否則稱線性無關(guān).向量組的線性相關(guān)性向量組

1,

2,…,

s線性相關(guān)(線性無關(guān))齊次線性方程組x1

1+x2

2+…+xs

s=0有非零解(只有零解).反之,齊次線性方程組Ax=0有非零解(只有零解)矩陣A的列向量組線性相關(guān)(線性無關(guān))R(A)<s(R(A)=s).向量組

1,

2,…,

s(s2)線性相關(guān)向量組中至少有一個向量可由其余s-1個向量線性表示.

定理1若向量組有一個部分組線性相關(guān),則此向量組線性相關(guān).向量組的線性相關(guān)性

定理3設(shè)向量組

1,

2,…,

s線性無關(guān),而向量組

1,

2,…,

s,

線性相關(guān),則

可由

1,

2,…,

s線性表示,且表示式唯一.

定理2設(shè)向量組

1,

2,…,

s線性無關(guān),將每個

i增加若干個分量得到的新的加長向量組仍然線性無關(guān).

推論含有零向量的向量組必線性相關(guān).推論線性無關(guān)向量組的任一部分組也線性無關(guān).(ⅰ)

1,

2,…,

r線性無關(guān);(ⅱ)

1,

2,…,

r,

線性相關(guān)(

是向量組中任一向量).定義若向量組T中的某個部分組

1,

2,…,

r,滿足:則稱

1,

2,…,

r是此向量組的一個極大線性無關(guān)向量組.向量組的最大無關(guān)組和秩稱r是此向量組的秩,記為R(T)=r.矩陣的秩等于行向量組的秩也等于列向量組的秩.

向量組與它的任一極大線性無關(guān)組等價.若列向量組

1,

2,…,

r線性無關(guān),則當(dāng)(

1,

2,…,

r)A=0時,有A=0(其中A是矩陣).向量組的最大無關(guān)組和秩

推論1等價的線性無關(guān)向量組含有相同個數(shù)的向量.

定理若向量組

1,

2,…,

s可由向量組

1,

2,…,

t線性表示，則R{

1,

2,…,

s}R{

1,

2,…,

t}

推論3

向量組

1,

2,…,

p線性無關(guān),且可由向量組

1,

2,…,

q

線性表示，則pq.

推論2等價的向量組具有相等的秩．

推論4

向量組

1,

2,…,

p可由向量組

1,

2,…,

q

線性表示，且p>q,則向量組

1,

2,…,

p線性相關(guān).

推論5

任意n+1個n維向量線性相關(guān).線性方程組的表示矩陣形式:Ax=b,Ax=0

向量形式:x1

1+x2

2+…+xn

n=

注意:方程組有解和系數(shù)矩陣(行列式),增廣矩陣,以及向量組的線性表示,線性相關(guān)性之間的關(guān)系.x1

1+x2

2+…+xn

n=0解空間為V={x=k1

1+k2

2+…+kn-r

n-r|kiR}是n-r維的通解為:x=k1

1+k2

2+…+kn-r

n-r,

kiR(基礎(chǔ)解系)

Am

nx=0,x1

1+x2

2+…+xn

n=0

齊次線性方程組有非零解R(A)=r<n

1,

2,…,

n線性相關(guān)

若只有零解R(A)=n

1,

2,…,

n線性無關(guān)

非齊次方程解+齊次方程解=非齊次方程解

Am

nx=b,x1

1+x2

2+…+xn

n=b

非齊次線性方程組無解R(A)R(A|b)b不能由

1,

2,…,

n線性表示.

唯一解R(A)=R(A|b)=n

1,

2,…,

n線性無關(guān)且b可由

1,

2,…,

n線性表示.

無窮多解R(A)=R(A|b)<n

1,

2,…,

n線性相關(guān)且b可由

1,

2,…,

n線性表示.

非齊次方程解-非齊次方程解=齊次方程解非齊次方程通解=非齊次方程特解+齊次方程通解若R(A)=R(A|b)=r<n,通解中含有n-r個任意實數(shù).如果向量空間的一個基為1,

2,…,

r,向量可表示為:=a1

1+a2

2+…+ar

r,則稱(a1,a2,…,ar)T為向量在基1,

2,…,

r下的坐標(biāo).向量空間對向量空間V1和V2,若V1V2,稱V1是V2的子空間.

定義若非空向量集合V上定義了線性運算(滿足8條性質(zhì)),則稱V是一個向量空間.把向量空間看成向量組,其極大線性無關(guān)組就是向量空間的基,其秩就是向量空間的維數(shù).如果向量空間的一個基為1,

2,…,

r,則有V={1

1+

2

2+…+

r

r|

1,2,…,rR}

定義設(shè)

1,

2,…,

n和

1,

2,…,

n是V的兩個基,矩陣C滿足:(

1,

2,…,

n)C=(

1,

2,…,

n),則稱矩陣C是基

1,

2,…,

n到基

1,

2,…,

n的過渡矩陣.過渡矩陣是可逆的.向量空間－過渡矩陣定理設(shè)

1,

2,…,

n和

1,

2,…,

n是線性空間V的兩組基.如果向量

在這兩組基下的坐標(biāo)分別為x=(x1,x2,…,xn)T,y=(y1,y2,…,yn)T,則x=Cy.其中C是過渡矩陣.向量空間

定義設(shè)?是線性空間VK到VK的一個映射,且滿足

,

VK,kK都有則稱?為VK的一個線性變換.

?(

+

)=?(

)+?(

)

?(k

)=k?(

)若?(

1,

2,…,

n)=(

1,

2,…,

n)A即，矩陣A的第j列為向量?(

j)在基

1,

2,…,

n下的坐標(biāo).矩陣A稱為線性變換?在基

1,

2,…,

n下的矩陣.向量空間

定義設(shè)=(a1,a2,…,ar)T,

=(b1,b2,…,br)T,則稱(

,)=a1b1+a2b2+…+arbr為向量

和的內(nèi)積.稱||=(,)1/2=(a12+a22+…+ar2)1/2為向量的長度(模).定義了內(nèi)積的線性空間稱為Euclid(歐幾里得)空間。由線性無關(guān)向量組

1,

2,…,

m,得到正交向量組

1,

2,…,

m的方法稱為Schimidt(斯密特)正交化過程:再取

i=i/|

i|,便得規(guī)范正交向量組.若(

,)=0,則稱向量

和正交.

定義一組兩兩正交的非零向量稱為正交向量組,由單位向量構(gòu)成的正交向量組稱為規(guī)范正交向量組.向量空間定義在n維向量空間V中,含有n個向量的正交向量組稱為V的正交基.由單位向量構(gòu)成的正交基稱為規(guī)范正交基.

1,

2,…,

n為規(guī)范正交向量組(

i,

j)=ij.定義若實方陣A滿足AAT=E,

則稱A是正交矩陣.n階實矩陣A是正交矩陣A的行(列)向量組是規(guī)范正交向量組.正交矩陣A的行列式等于1.特征值,特征向量及其求法

定義設(shè)A是n階方陣,如果數(shù)和n維非零列向量

滿足關(guān)系式則稱為A的特征值,

為A的屬于的一個特征向量.A=

det(EA)稱為方陣A的特征多項式.det(EA)=0稱為方陣A的特征方程.A的特征值就是特征方程的解,n階方陣A有n個特征值.A的屬于特征值i的特征向量就是齊次線性方程組(iEA)x=0的所有非零解.對角矩陣和三角矩陣對角線元素恰是n個特征值.(1)

1+2+…+n=a11+a22+…+ann特征值,特征向量的性質(zhì)(2)

1

2…n=|A|(3)若是A的特征值,f(t)是t的多項式,則f()是f(A)的特征值,且對應(yīng)的特征向量相同.(4)若

1,2是A對應(yīng)的特征向量,則k1

1+k2

2(0)也是A對應(yīng)的特征向量.(5)矩陣對應(yīng)不同特征值的特征向量必線性無關(guān).(6)實對稱矩陣的特征值都是實數(shù).(7)實對稱矩陣對應(yīng)不同特征值的特征向量都正交.(8)實對稱矩陣r重特征值恰有r個線性無關(guān)特征向量.相似矩陣定義設(shè)A,B都是n階方陣,若存在可逆矩陣P,使

P-1AP=B對A進(jìn)行運算P-1AP=B稱為對A進(jìn)行相似變換,可逆矩陣P稱為把A變成B的相似變換矩陣.則稱B是A的相似矩陣,或說矩陣A與B相似.A與B相似記作A~B.定理相似矩陣有相同的特征多項式,因此也有相同的特征值.注意:定理的逆命題不成立.若A~B,則Ak~Bk,f(A)~f(B).Ak=P-1BkP矩陣相似對角化

定理n階矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件是矩陣A有n個線性無關(guān)的特征向量.若P-1AP=

=diag(1,2,…,n),則1,2,…,n是A的n個特征值,矩陣P的n個列向量恰是A的n個特征向量.也有:A=PP-1實對稱矩陣A必能與對角矩陣相似.對實對稱矩陣A,必有正交矩陣Q,使Q-1AQ=

.二次型的基本概念及表示方法

定義含有n個變量x1,x2,…,xn的二次齊次函數(shù)只含平方項的二次型?=

1x12+