第二章222向量減法運算及其幾何意義講義教材

§2.2.2

平面向量的線性運算情境設(shè)疑小鳥在空中飛行，從A樹上飛到B樹上，再飛到C樹上，這個飛行過程與直接從A樹上飛到C樹上有什么關(guān)系？§2.2.2向量減法運算及其幾何意義課前自主探究溫故夯基1．向量的有關(guān)概念(1)所謂向量是__________________的量，其三要素是起點、長度、方向．(2)相等向量應(yīng)滿足大小相等，方向相同；所謂共線向量是指________________的向量．2．實數(shù)的加法對于實數(shù)a、b、c其加法交換律為a＋b＝b＋a，其加法結(jié)合律為(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．既有大小又有方向方向相同或相反知新益能1．向量的加法向量加法的定義求兩個向量和的運算叫做向量的加法．向量求和的法則三角形法則已知非零向量a、b，在平面內(nèi)任取一點A，作AB＝a,BC＝b，則向量AC叫做a與b的和，記作_____，即a＋b＝AB＋BC＝AC，這種求向量和的方法叫做向量加法的三角形法則．平行四邊形法則以同一點O為起點的兩個已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O(shè)為起點的對角線____就是a與b的和，這種求兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則．a(chǎn)＋bOC向量加法的定義求兩個向量和的運算叫做向量的加法．向量加法的運算律交換律

a＋b＝______結(jié)合律a＋b＋c＝______＋c＝a＋_____向量加法的性質(zhì)

a＋0＝0＋a＝ab＋a(a＋b)(b＋c)相反向量定義我們規(guī)定與a長度______，方向____的向量叫做a的相反向量．性質(zhì)－(－a)＝_，a＋(－a)＝(－a)＋_＝0，零向量的相反向量仍是0，即0＝－0.向量的減法我們定義：a－b＝a＋_____，即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的___________向量減法的幾何意義已知a、b，在平面內(nèi)任取一點O，作OA＝a,OB＝b，則BA＝a－b，即a－b可以表示為從向量b的_____指向向量a的____的向量.相等相反aa(－b)相反向量．終點終點問題探究1．如何求共線向量的和？提示：由于三角形法則運用時要求“首尾相接”，這一點對共線向量仍然適用．課堂互動講練考點一利用法則求作向量用有向線段表示向量，根據(jù)三角形法則作圖時，使向量平移到“首尾相接”的位置，根據(jù)平行四邊形法則作圖時，使向量平移到“共起點”的位置，在圖形中找到相應(yīng)的有向線段．例1【點評】運用三角形法則，作兩個向量和的關(guān)鍵是作平移，首尾連；作兩個向量差的關(guān)鍵是作平移，共起點，兩尾連，指被減．當(dāng)兩向量不共線時，也可采用平行四邊形法則．多個向量相加減時要注意靈活運用運算律．考點二利用法則化簡向量表達(dá)式利用向量的運算律合理交換各向量的位置使之符合三角形法則或平行四邊形法則，從而將表達(dá)式化簡．例2【分析】向量的加減法運算有時需去括號或添括號重組．【點評】通過去括號或者相反向量變?yōu)榧臃?，使之首尾相接，按三角形法則求和，是化簡常用的方法．考點三利用法則求向量的模向量的三角形法則或平行四邊形法則，體現(xiàn)了三角形中或平行四邊形中的邊角關(guān)系，利用邊長求某些向量的模．已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.【思路點撥】兩個向量不共線，則a、b、a＋b、a－b組成一個平行四邊形的邊與對角線．求模的運算往往與模的平方有關(guān)．例3【思維總結(jié)】在?ABCD中可以看出，a、b、a－b、a＋b構(gòu)成平行四邊形的兩邊和兩條對角線．由兩對角線相等，知平行四邊形為矩形．結(jié)合|a|、|b|、|a±b|的關(guān)系，挖掘平行四邊形的其它特征．如果本例條件改為：|a|＝|b|＝|a＋b|＝6，則應(yīng)如何求|a－b|?互動探究向量的加減法運算應(yīng)注意的問題(1)向量加法的三角形法則適用于任意兩個非零向量相加，并且可以推廣到兩個以上的非零向量連加，稱為多邊形法則，一般能圍成一個封閉圖形．向量加法的多邊形法則(含