《MATLAB輔助現(xiàn)代工程數(shù)字信號處理》課件第1章

第1章數(shù)字信號處理與離散時間系統(tǒng)1.1數(shù)字信號處理概述1.2信號與系統(tǒng)1.3離散時間信號1.4離散時間系統(tǒng)1.5小結(jié)

1.1數(shù)字信號處理概述

目前，以DSP芯片為核心的數(shù)字信號處理開發(fā)設(shè)備已廣泛應(yīng)用于工程技術(shù)領(lǐng)域。所涉及的信號包括電、磁、機械、熱、聲、光等各個方面。隨著大規(guī)模集成電路和數(shù)字計算機的飛速發(fā)展，以及數(shù)字信號處理理論和技術(shù)的成熟與完善，數(shù)字信號處理已成為一門極其重要的學(xué)科。1.1.1數(shù)字信號處理的理論基礎(chǔ)

在較強背景噪聲下，如何提取出真正的信號或信號特征，并將其應(yīng)用于實際工程是信號處理理論要完成的主要任務(wù)。數(shù)字信號處理在理論上所涉及的范圍極廣。數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的微積分、概率統(tǒng)計、隨機過程、高等代數(shù)、數(shù)值分析、復(fù)變函數(shù)等是其基本分析工具;網(wǎng)絡(luò)理論、信號與系統(tǒng)等是其理論基礎(chǔ);最優(yōu)控制、通信理論、故障診斷等也與其緊密相連。在近40年的發(fā)展中，數(shù)字信號處理已基本形成了一套較完整的理論體系，主要包括信號的采集(A/D轉(zhuǎn)換、采樣定理、多抽樣率等)、離散信號的分析(時頻分析、信號變換等)、離散系統(tǒng)分析及其算法(系統(tǒng)轉(zhuǎn)移函數(shù)、頻率特性、快速傅里葉變換、快速卷積等)、信號的估值(各種估值理論、相關(guān)函數(shù)與功率譜估計等)、數(shù)字濾波技術(shù)(各種數(shù)字濾波器的設(shè)計與實現(xiàn))、信號的建模(AR、MA、ARMA、PRONY等模型)、信號處理中的特殊算法(抽取、插值、反卷積、信號重建等)、信號處理技術(shù)的實現(xiàn)與應(yīng)用(軟硬件系統(tǒng)的整體實現(xiàn))。伴隨著通信技術(shù)、電子技術(shù)及計算機的飛速發(fā)展，數(shù)字信號處理的理論也在不斷地發(fā)展和完善，各種新算法、新理論層出不窮。平穩(wěn)信號的高階統(tǒng)計量分析、非平穩(wěn)信號的聯(lián)合時域分析、信號的多抽樣率分析、小波變換及獨立分量分析等信號理論取得了較大的發(fā)展。1.1.2數(shù)字信號處理的實現(xiàn)

數(shù)字信號處理的實現(xiàn)是指將信號處理的理論應(yīng)用于某一具體的實踐任務(wù)中。對象不同，實現(xiàn)的途徑也不相同，總體說來，數(shù)字信號處理的實現(xiàn)可分為軟件實現(xiàn)和硬件實現(xiàn)兩大類。

軟件實現(xiàn)主要是指在通用計算機上用軟件來實現(xiàn)信號處理的過程。目前，有關(guān)信號處理最強大的軟件工具是MATLAB語言及相應(yīng)的工具箱。本書涉及的工程數(shù)字信號處理的相關(guān)理論與具體實際應(yīng)用，均以MATLAB為輔助軟件來實現(xiàn)信號處理的仿真過程。

硬件實現(xiàn)主要是指采用通用微處理器或數(shù)字信號處理器DSP芯片，配置適當(dāng)?shù)耐鈬鶬C，配合相應(yīng)的處理程序構(gòu)成的數(shù)字信號處理系統(tǒng)。DSP芯片可分為通用的可編程DSP芯片和專用的DSP芯片。具體有以下幾種實現(xiàn)方式：

(1)在大、中、小型計算機上運行相應(yīng)的數(shù)字信號處理軟件來實現(xiàn)。如圖像壓縮和解壓縮軟件等。軟件實現(xiàn)的執(zhí)行速度較慢，因此，軟件實現(xiàn)一般僅用于DSP算法的模擬與仿真。

(2)在通用計算機系統(tǒng)中加上專用的加速處理機來實現(xiàn)。此方法專用性強，但不便于系統(tǒng)的獨立運行。

(3)在通用的單片機(如MCS-51系列、MSC-96系列等)上實現(xiàn)。這種方法主要用于數(shù)字控制等領(lǐng)域。設(shè)計中可根據(jù)不同環(huán)境選配不同的單片機類型，以達(dá)到實時控制的目的，但該法數(shù)據(jù)運算量不能太大，只適用于實現(xiàn)簡單的DSP算法。

(4)利用通用的可編程DSP芯片來實現(xiàn)。DSP芯片較之單片機，具有更加適合于數(shù)字信號處理的軟件和硬件資源，可用于復(fù)雜的數(shù)字信號處理算法。通用DSP芯片內(nèi)部帶有乘法器、累加器，采用流水線工作方式及并行結(jié)構(gòu)、多總線結(jié)構(gòu)，執(zhí)行速度快，適用于信號處理的指令等。

(5)采用專用的DSP芯片來實現(xiàn)。在一些特殊場合，當(dāng)要求信號處理速度極高時，通用DSP芯片很難實現(xiàn)要求的功能，須采用專用的DSP芯片。例如專用于FFT、數(shù)字濾波、卷積、相關(guān)等算法的DSP芯片。這種芯片將相應(yīng)的信號處理算法在芯片內(nèi)部用硬件實現(xiàn)，使用者只需給出輸入數(shù)據(jù)，即可在輸出端直接得到數(shù)據(jù)，無需進(jìn)行編程。1.1.3數(shù)字信號處理的應(yīng)用

數(shù)字信號處理是一門涉及多學(xué)科的新興學(xué)科，在語音、雷達(dá)、聲納、地震、圖像、通信系統(tǒng)、系統(tǒng)控制、生物醫(yī)學(xué)工程、機械振動、遙感遙測、地質(zhì)勘探、航空航天、電力系統(tǒng)、故障檢測、自動化儀器等眾多領(lǐng)域獲得了極其廣泛的應(yīng)用。數(shù)字信號處理有效地推動了眾多工程技術(shù)領(lǐng)域的技術(shù)改造和學(xué)科發(fā)展。近年來，隨著多媒體的發(fā)展，DSP芯片已在家電、電話、磁盤機等設(shè)備中廣泛應(yīng)用。

數(shù)字信號處理的典型應(yīng)用如表1.1所示。

1.2信號與系統(tǒng)

信號是信息的載體，是信息的物理表現(xiàn)形式，是信息的函數(shù)。信號是隨著時間、空間或其他自變量變化的物理量。通常把一個信號描述為一個或幾個自變量的函數(shù)。例如，函數(shù)

S(x，y)＝5x＋4xy＋20y2

(1.1)

描述了含兩個自變量x和y的信號，是一種確定性信號。然而，很多情況下，這種函數(shù)關(guān)系是未知的，比如語音信號等自然信號。信號根據(jù)其不同的特征屬性，有很多種分類方法。按信號的周期性可分為周期信號和非周期信號;按信號是否能被確定規(guī)則所唯一描述，可分為確定性信號和隨機信號;按信號時間自變量的特征和取值，可分為連續(xù)時間信號和離散時間信號。

系統(tǒng)定義為對某個信號執(zhí)行某種操作的一臺物理設(shè)備。譬如，用于降低有用信息載體信號噪聲和干擾的濾波器，就是一個系統(tǒng)。濾波器通過執(zhí)行相應(yīng)操作有效地濾去信號中的噪聲和干擾。操作就是信號處理。操作的執(zhí)行過程就是對信號的處理過程。在操作過程中，如果是線性操作，系統(tǒng)就是線性的;如果是非線性操作，系統(tǒng)就是非線性的。系統(tǒng)不僅包括物理設(shè)備，還包括對信號操作的軟件實現(xiàn)。對于計算機處理系統(tǒng)來說，程序就是軟件實現(xiàn)。信號處理主要針對的是數(shù)字信號，而模擬信號一般可以轉(zhuǎn)換成所需處理的數(shù)字信號。因此，本書主要論述的是數(shù)字系統(tǒng)。從廣義上講，一個數(shù)字系統(tǒng)是一個硬件和軟件結(jié)合的實現(xiàn)，每一部分都執(zhí)行自身的一套特定操作。

系統(tǒng)是可以被描述的。連續(xù)系統(tǒng)可用常系數(shù)微分方程、傅里葉變換、拉普拉斯變換描述;離散系統(tǒng)可用差分方程、離散傅里葉變換、Z變換描述。數(shù)字系統(tǒng)所執(zhí)行的操作通常可以由數(shù)學(xué)方式來表達(dá)，執(zhí)行相應(yīng)數(shù)學(xué)操作的方法或規(guī)則集稱為算法。1.2.1連續(xù)時間信號和離散時間信號

連續(xù)時間信號在給定時間區(qū)域內(nèi)，對于任意時刻都對應(yīng)一個確定的函數(shù)值。時間域可以是有限或是無限。常見的連續(xù)時間信號主要有指數(shù)信號、正弦信號、單位階躍信號、單位斜坡信號、正負(fù)號信號、脈沖信號、sinc信號及復(fù)指數(shù)信號。

離散時間信號定義在某些特定的時間值上，只是在某些離散的瞬時時間點給出函數(shù)值，其他點無定義。這些時間點不需要是等間隔的，但為計算方便和易于處理，通常取為等時間間隔。如果使用離散時間的序號n作為自變量，那么信號值就會變成整型變量的函數(shù)，這樣，一個離散時間信號就可以用一系列實數(shù)或復(fù)數(shù)來表示。為強調(diào)信號的離散時間特性，通常用序列x(n)來表示這種信號。若信號等間隔，則可用x(nT)表示，T為采樣周期。在MATLAB中，可用一個列向量來表示一個有限長度序列x(n)。由于計算機內(nèi)存有限，故無法表示任意無限序列。另外，由于列向量沒有包含采樣時刻的信息，因此要完整地表示序列x(n)，需要用n和x兩個向量來表示，前者表示序列元素的位置，后者表示相應(yīng)的序列值。例如序列

x(n)=[3，－1，4，6，5，－8，9，2]

在MATLAB中可表示為

n=[－1，0，1，2，3，4，5，6]

x=[3，－1，4，6，5，－8，9，2]1.2.2確定性信號與隨機信號

任何一個可以被一個顯式數(shù)學(xué)表達(dá)式、一個數(shù)據(jù)表或者一個定義好的規(guī)則所唯一描述的信號，都稱為確定性信號。確定性信號的每個值都可以用有限個參量唯一地加以描述。

然而，在很多實際應(yīng)用中，有些信號不能被數(shù)學(xué)公式顯式表達(dá)到一個合理的精度，或者是描述得太過復(fù)雜以至于沒有任何實際用處。這種不能用有限參量來唯一、確定地加以描述，也無法對其未來值確定地預(yù)測的信號，稱為隨機信號。隨機信號可以通過統(tǒng)計數(shù)學(xué)的方法描述，常用的是概率密度函數(shù)或功率密度譜描述。如地震信號、語音信號以及最常用的白噪聲。隨機信號可分為平穩(wěn)隨機信號與非平穩(wěn)隨機信號，而平穩(wěn)隨機信號又可分為各態(tài)遍歷信號與非各態(tài)遍歷信號。

白噪聲的特征是所有頻率(無限帶寬)下具有平坦的功率密度(即均勻能量分布)，但它的概率密度函數(shù)可以有各種分布形式。從信號處理的角度出發(fā)，由于噪聲是一個隨機過程，可用統(tǒng)計方法描述，將混雜在有用信號中的噪聲去除，即在噪聲中提取有用信號。1.2.3能量信號與功率信號

連續(xù)信號x(t)和離散信號x(n)的能量分別定義為(1.2a)(1.2b)式中，若E<∞，則稱x(t)或x(n)為能量有限信號，簡稱為能量信號;若E>∞，則稱為能量無限信號。當(dāng)x(t)和x(n)的能量E無限時，僅研究它們的功率。信號x(t)和x(n)的功率分別為(1.3a)(1.3b)式中，若P<∞，則稱x(t)或x(n)為功率有限信號，簡稱功率信號。隨機信號由于其時間是無限的，所以總是功率信號。一般來說，在有限區(qū)間內(nèi)存在的確定性信號有可能是能量信號。1.2.4數(shù)字信號處理系統(tǒng)的基本組成

在科學(xué)和工程上，大多數(shù)信號都是自然模擬信號。該類信號一般為連續(xù)變量的函數(shù)，可以直接被適合的模擬系統(tǒng)處理，以改變信號的特征或提取有用信息。在這種情況下，輸入和輸出信號均是模擬的。

數(shù)字信號處理是把信號用數(shù)字或符號表示成序列，通過計算機或?qū)Ｓ眯盘柼幚碓O(shè)備，用數(shù)值計算方法進(jìn)行各種處理，達(dá)到提取有用信息以便于應(yīng)用的目的。如濾波、檢測、變換、增強、估計、識別、參數(shù)提取以及頻譜分析等。數(shù)字信號處理提供了處理模擬信號的備用方法，如圖1.1所示。要執(zhí)行數(shù)字信號的處理，需在模擬信號和數(shù)字信號間加一個A/D轉(zhuǎn)換器，將模擬信號轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號，再作為數(shù)字信號處理器的輸入。圖1.1數(shù)字信號處理系統(tǒng)可編程數(shù)字計算機是一個對輸入信號執(zhí)行所需操作的數(shù)字信號處理器。處理器通過更改軟件來靈活地改變信號的處理操作。在實際應(yīng)用中，數(shù)字信號處理器的輸出通常是以模擬信號傳給用戶的，例如語音、圖像等，這就需用D/A轉(zhuǎn)換器將數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為模擬信號輸出。

圖像等，這就需用D/A轉(zhuǎn)換器將數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為模擬信號輸出。

數(shù)字信號處理與模擬信號處理相比，數(shù)字信號處理的動態(tài)范圍寬，信噪比高。信號在模擬系統(tǒng)中經(jīng)過一系列模擬運算處理后，誤差積累，噪聲逐級放大，整個系統(tǒng)信噪比指標(biāo)下降;信號在數(shù)字系統(tǒng)中，僅受A/D轉(zhuǎn)換的量化誤差及系統(tǒng)有限字長影響，處理過程中不會產(chǎn)生其他噪聲。數(shù)字信號處理系統(tǒng)的性能具有確定性、可預(yù)見性和可重復(fù)性，穩(wěn)定性好。這是由數(shù)字器件相比模擬器件的高精度及高穩(wěn)定度決定的。數(shù)字信號處理系統(tǒng)具有很強的靈活性，易于實現(xiàn)自適應(yīng)算法，易于大規(guī)模集成。1.2.5模數(shù)轉(zhuǎn)換和數(shù)模轉(zhuǎn)換

現(xiàn)實中的信號大多是模擬信號，要通過數(shù)字方法處理模擬信號，首先就需將其轉(zhuǎn)換為具有有限精度的數(shù)字序列形式。這一過程稱為模數(shù)(A/D)轉(zhuǎn)換，其轉(zhuǎn)換設(shè)備稱為A/D轉(zhuǎn)換器。A/D轉(zhuǎn)換一般由采樣、量化和編碼三步完成。而數(shù)模(D/A)轉(zhuǎn)換器則通過樣本間的插值操作完成數(shù)字信號到模擬信號的輸出。

1.模擬信號的采樣

模擬信號的采樣即對信號時間上的離散化，這是數(shù)字化處理的第一個環(huán)節(jié)。其研究內(nèi)容主要包含信號經(jīng)采樣后發(fā)生的變化(如頻譜的變化)、信號內(nèi)容是否丟失(采樣序列能否代表原始信號、如何不失真地還原信號)以及由離散信號恢復(fù)連續(xù)信號的條件。

采樣器一般由電子開關(guān)組成，開關(guān)每隔T秒短暫地閉合一次，將連續(xù)信號接通，實現(xiàn)一次采樣。如開關(guān)每次閉合τ秒，則采樣器的輸出是一串重復(fù)周期為T，寬度為τ的脈沖，脈沖的幅度是這段時間內(nèi)信號的幅度，這一采樣過程可看做一個脈沖調(diào)幅過程，脈沖載波是一串周期為T、寬度為τ的矩形脈沖，用P(t)表示，調(diào)制信號是輸入的連續(xù)信號xa(t)，則采樣輸出為

xp(t)=xa(t)P(t)

(1.4)一般τ是很小的，τ越小，則采樣輸出脈沖幅度越接近輸入信號在離散時間點上的瞬時值。信號采樣要滿足奈奎斯特采樣定理，即在信號采樣中，采樣頻率必須大于信號最高頻率的兩倍。

工程實際中，考慮到信號含有噪聲，為避免頻譜混淆，選取的采樣頻率總比信號最高頻率ΩS的兩倍大得多。同時，為避免高于折疊頻率ΩS/2的噪聲信號進(jìn)入采樣器造成頻譜混淆，采樣器前常常加一個保護(hù)性的前置低通濾波器(抗混疊濾波器)。

2.量化

量化是離散時間連續(xù)值信號轉(zhuǎn)換到離散時間離散值信號的轉(zhuǎn)換過程。每個信號的樣本值是從可能值的有限集中選取的。

3.編碼

在A/D轉(zhuǎn)換器中的編碼過程為每一個量化級別賦予一個唯一的二進(jìn)制數(shù)。如果有L級，那么至少需要L個不同的二進(jìn)制數(shù)。若字長為b位，則可生成2b個不同的二進(jìn)制數(shù)。

4.D/A轉(zhuǎn)換與插值處理

D/A轉(zhuǎn)換通過執(zhí)行某種插值操作連接數(shù)字信號的點，其一般的樣本形式稱為零階保持或階梯近似。采樣定理指出了帶限信號的最佳插值。為簡化插值處理過程，實際上大多采用零階保持線性插值的方法來實現(xiàn)D/A轉(zhuǎn)換，再跟隨一個后濾波器或平滑濾波器來實現(xiàn)模擬輸出。

1.3離散時間信號

對模擬信號xa(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，可得到的采樣輸出為

x[n]=xa(t)|t=nT=xa(nT)，n=…，－2，－1，0，1，2，…

(1.5)

對于不同的n值，xa(nT)是一個有序的數(shù)字序列，該數(shù)字序列就是離散時間信號。T稱為采樣周期或采樣間隔，f=1/T為采樣頻率。實際信號處理中，這些數(shù)字序列值按順序存放于存儲器中，此時nT代表的是前后順序。為了簡化表述，一般不寫采樣間隔，記為x(n)，稱為數(shù)字序列。對于具體信號，x(n)也代表第n個序列值。需要說明的是，n需取整數(shù)，非整數(shù)時無定義;另外，在數(shù)值上它等于信號的采樣值，且信號隨n的變化規(guī)律可以用公式表示，也可以用圖形表示。1.3.1典型離散時間信號

在數(shù)字信號處理中，定義了一些基本的典型離散時間信號序列，它們的定義和在MATLAB中的表述如下。

1.單位采樣序列

單位采樣序列的表達(dá)式為(1.6)(1.7)單位采樣序列也可以稱為單位脈沖序列，特點是僅在n=0時取值為1，其他情況時均為0。它類似于模擬信號和系統(tǒng)中的單位沖激函數(shù)δ(t)，但不同的是δ(t)在t=0時，取值無窮大，t≠0時取值為0，對時間t的積分為1。在MATLAB中，利用函數(shù)zeros(1，N)可以實現(xiàn)有限長區(qū)間的δ(n)，也可利用邏輯關(guān)系操作符n==0來實現(xiàn)。

【例1.1】

用MATLAB編寫生成單位采樣序列的程序，其中，n∈[－10，10]，n0=1。

MATLAB程序如下:

%MATLABPROGRAM1-1

%aDeltaSequence

n0=1;

n1=-10;

n2=10;

%Generatex(n)=delta(n-n0);n1<=n，n0<=n2

if((n0<n1)|(n0>n2)|(n1>n2))

error(′參數(shù)必須滿足n1<=n0<=n2′)

end

n=[n1:n2];

%x=[zeros(1，(n0-n1))，1，zeros(1，(n2-n0))];%用zeros函數(shù)實現(xiàn)

x=[(n-n0)==0];%用邏輯關(guān)系式實現(xiàn)

stem(n，x)

xlabel(′n′);ylabel(′x(n)′);title(′DeltaSequence′);

grid

程序運行結(jié)果如圖1.2所示。圖1.2單位采樣序列

2.單位階躍序列

單位階躍序列的表達(dá)式為(1.8)(1.9)單位階躍序列類似于模擬信號中的單位階躍函數(shù)u(t)。δ(n)與u(n)之間的關(guān)系為

δ(n)=u(n)－u(n－1)

(1.10)(1.11)

在MATLAB中，利用函數(shù)ones(1，N)可以實現(xiàn)有限長區(qū)間的u(n)，也可用邏輯關(guān)系式n≥0來實現(xiàn)。

【例1.2】

用MATLAB編寫生成單位階躍序列的程序，其中，n∈[－8，8]，n0=2。

MATLAB程序如下:

%MATLABPROGRAM1-2

%Function[x，n]=stepseq(n0，n1，n2)

n0=2;

n1=-8;

n2=8;

if((n0<n1)|(n0>n2)|(n1>n2))

error(′參數(shù)必須滿足n1<=n0<=n2′)

end

n=[n1:n2];

%x=[zeros(1，(n0-n1))，ones(1，(n2-n0+1))];%用ones函數(shù)實現(xiàn)

x=[(n-n0)>=0];%用“≥”實現(xiàn)

stem(n，x)

xlabel(′n′);ylabel(′x(n)′);title(′StepSequence′);

grid程序運行結(jié)果如圖1.3所示。圖1.3單位階躍序列矩形序列是其一種特殊序列，定義為(1.12)式中，N稱為矩形序列的長度。

3.單位斜坡序列單位斜坡序列的表達(dá)式為(1.13)

【例1.3】

用MATLAB編寫生成單位斜坡序列的程序，其中，n∈[0，10]。

MATLAB程序如下:

%MATLABPROGRAM1-3

%aRampSequence

n1=0;

n2=10;

n=[n1:0.5:n2];

x=n;

stem(n，x)

xlabel(′n′);ylabel(′x(n)′);title(′RampSequence′);

grid

程序運行結(jié)果如圖1.4所示。圖1.4單位斜坡序列

4.正弦、余弦序列

正弦和余弦序列的表達(dá)式分別為

x(n)=Asin(ω0n+j)n

(1.14a)

x(n)=Acos(ω0n+j)n

(1.14b)

式中，A為幅度;ω0稱為序列的數(shù)字域頻率，表示序列變化的速率，單位是弧度;j為初始相位角。在MATLAB中，利用函數(shù)sin和cos可以實現(xiàn)有限長區(qū)間的正弦和余弦序列。

【例1.4】

用MATLAB編寫程序，生成x(n)=－2sin(0.3πn)，n∈[－10，50]。

MATLAB程序如下:

%MATLABPROGRAM1-4

n=[－10:50];

x=3*cos(0.4*pi*n+pi/3)－2*sin(0.3*pi*n);

stem(n，x)

xlabel(′n′);ylabel(′x(n)′);title(′SineSequence′);

grid

程序運行結(jié)果如圖1.5所示。圖1.5正余弦序列

5.實指數(shù)序列

實指數(shù)序列的表達(dá)式為

x(n)=an

n，a∈R

(1.15)

如果|a|<1，x(n)的幅度隨n的增大而減小，稱x(n)為收斂序列;如果|a|>1，x(n)的幅度隨n的增大而增大，稱x(n)為發(fā)散序列。在MATLAB中，利用數(shù)組運算符“.^”可以實現(xiàn)有限長區(qū)間的實指數(shù)序列。

【例1.5】

用MATLAB編寫生成x(n)=0.5n，n∈[－8，10]的程序。

MATLAB程序如下:

%MATLABPROGRAM1－5

n=[－8:10];

x=0.5.^n

stem(n，x)

xlabel(′n′);ylabel(′x(n)′);title(′RealPowerSequence′);

grid

程序運行結(jié)果如圖1.6所示。圖1.6實指數(shù)序列

6.復(fù)指數(shù)序列

復(fù)指數(shù)序列的表達(dá)式為

x(n)=e(σ+jω0)n

(1.16)

式中，ω0為數(shù)字域頻率，σ為阻尼系數(shù)。借助歐拉公式可以展開為

x(n)=eσn(cosω0n+jsinω0n)

(1.17)

式中，實部Re(n)=eσncosω0n，虛部Im(n)=eσnsinω0n，模|x(n)|=eσn，幅角為ω0n。在MATLAB中，可采用函數(shù)exp實現(xiàn)序列。

【例1.6】

用MATLAB編寫生成復(fù)指數(shù)序列x(n)=

e(－0.2+j0.3)n，n∈[－10，10]的程序。MATLAB程序如下:

%MATLABPROGRAM1-6

n=[－10:10];

s=－0.2+0.3*j;

x=exp(s*n);

Re_x=real(x);

Im_x=imag(x);

Mag_x=abs(x);

Phase_x=(180/pi)*angle(x);

subplot(221);%實部序列

stem(n，Re_x);

xlabel(′n′);ylabel(′Re-x′);title(′PowerRealPortSequence′);

grid

subplot(222);

%虛部序列

stem(n，Im_x);

xlabel(′n′);ylabel(′Im-x′);title(′PowerImagPortSequence′);

grid

subplot(223);

%幅值序列

stem(n，Mag_x);

xlabel(′n′);ylabel(′Mag-x′);title(′PowerMagnitudeSequence′);

grid

subplot(224);

%相位序列

stem(n，Phase_x);

xlabel(′n′);ylabel(′Phase-x′);title(′PowerPhaseSequence′);

grid

程序運行結(jié)果如圖1.7所示。圖1.7復(fù)指數(shù)序列

7.周期序列

如果對所有n存在一個最小的正整數(shù)N，使下面的等式成立:

x(n)=x(n+N)－∞<n<∞(1.18)

則稱序列x(n)為周期序列，周期為N，N須取整數(shù)。例如，x(n)=sin是周期為8的周期序列，也稱為正弦序列。在MATLAB中，設(shè)1個周期的序列為x(n)，則4個周期的序列可表示為

y(n)=[x(n)x(n)x(n)x(n)]

8.隨機序列

在MATLAB中，提供了兩個產(chǎn)生隨機序列的函數(shù):

x(k)=rand(1，N)用于產(chǎn)生[0，1]區(qū)間均勻分布的隨機數(shù)序列，長度為N;

x(k)=randn(1，N)用于產(chǎn)生均值為0，方差為1，長度為N的高斯分布隨機數(shù)序列(白噪聲)。

【例1.7】用MATLAB編寫生成[a,b]上均勻分布的隨機序列的程序。

MATLAB程序如下:

%MATLABPROGRAM1-7

%用于產(chǎn)生[a，b]上均勻分布的N點隨機序列

n=[1:N];

x=a+(b-a)*rand(1，N);

stem(n，x);

xlabel(′n′);ylabel(′x(n)′);title(′RandomSequence′);

grid

【例1.8】

用MATLAB編寫均值為a、方差為c的高斯隨機序列的程序。

MATLAB程序如下:

%MATLABPROGRAM1-8

%用于產(chǎn)生均值為a、方差為c的高斯隨機序列

n=[1:N];

x=a+sqrt(c)*randn(1，N);

stem(n，x);

xlabel(′n′);ylabel(′x(n)′);title(′RandomSequence′);

grid

9.任意序列

以上介紹了幾種常用的典型序列。對于任意序列，常用單位采樣序列的移位加權(quán)和表示，也可表示成與單位取樣序列的卷積和，其表達(dá)式為(1.19)式中，δ(n－k)=。1.3.2離散時間信號的運算

在數(shù)字信號處理中，離散時間信號用序列表示，序列有下面幾種運算。

1.序列相加

設(shè)有序列x1(n)和x2(n)，則序列

x(n)=x1(n)+x2(n)

(1.20)

表示兩個序列的和，定義為同序號的序列值逐項對應(yīng)相加。

當(dāng)x1(n)和x2(n)的長度、采樣位置均一樣時，才能直接相加;當(dāng)x1(n)和x2(n)的長度、采樣位置不一樣時，須用0補齊空出的位置，再相加。

【例1.9】用MATLAB編寫序列相加的程序。

MATLAB程序如下:

%MATLABPROGRAM1-9

%實現(xiàn)x(n)=x1(n)+x2(n)

n=min(min(n1)，min(n2)):max(max(n1)，max(n2));%y(n)的長度

y1=zeros(1，length(n));y2=y1;

%初始化

y1(find((n>=min(n1))&(n<=max(n1))==1))=x1;%具有y的長度的x1

y2(find((n>=min(n2))&(n<=max(n2))==1))=x2;%具有y的長度的x2

y=y1+y2;

%序列相加

2.序列數(shù)乘

序列數(shù)乘的定義式為

x(n)=ax1(n)

(1.21)

3.序列相乘(點乘)

設(shè)序列為x1(n)和x2(n)，則序列

x(n)=x1(n)·x2(n)

(1.22)

表示兩個序列的積，定義為同序號的序列值逐項對應(yīng)相乘。當(dāng)x1(n)和x2(n)的長度、采樣位置均一樣時，才能直接相乘;當(dāng)x1(n)和x2(n)的長度、采樣位置不一樣時，須用0補齊空出的位置，再相乘。

【例1.10】

用MATLAB編寫序列相乘的程序。

MATLAB程序如下:

%MATLABPROGRAM1-10

%實現(xiàn)x(n)=x1(n)*x2(n)

n=min(min(n1)，min(n2)):max(max(n1)，max(n2));%y(n)的長度

y1=zeros(1，length(n));

y2=y1;

y1(find((n>=min(n1))&(n<=max(n1))==1))=x1;

%具有y的長度的x1

y2(find((n>=min(n2))&(n<=max(n2))==1))=x2;

%具有y的長度的x2

y=y1.*y2;

%序列相乘

4.序列時延

給定離散信號x(n)，若信號以y1(n)和y2(n)分別定義為

y1(n)=x(n－N)

(1.23)

y2(n)=x(n+N)

(1.24)

則y1(n)是整個x(n)在時間軸上延時/右移N個抽樣周期所得的新序列，同理，y2(n)是將整個x(n)超前/左移N個抽樣周期的新序列。

【例1.11】

用MATLAB編寫序列時延的程序。

MATLAB程序如下:

%MATLABPROGRAM1-11

%實現(xiàn)y(n)=x(n-n0)，n0為時延的單位長度，m為x的下標(biāo)

n=m+n0;

y=x;

5.序列翻轉(zhuǎn)

序列翻轉(zhuǎn)的定義式為

y(n)=x(－n)

(1.25)

x(－n)是以n=0的縱軸為對稱軸，將序列x(n)加以翻轉(zhuǎn)。MATLAB中用函數(shù)fliplr來實現(xiàn)序列翻轉(zhuǎn)。

【例1.12】

用MATLAB編寫序列翻轉(zhuǎn)的程序。

MATLAB程序如下:

%MATLABPROGRAM1-12

%實現(xiàn)y(n)=x(-n)

y=fliplr(x);

n=-fliplr(n);

6.序列的奇偶性

任何一個序列x(n)都可以分解為偶分量xe(n)和奇分量xo(n)之和:

x(n)=xe(n)+xo(n)

(1.26)

xe(n)=0.5(x(n)+x(－n))=xe(－n)

(1.27)

xo(n)=0.5(x(n)－x(－n))=－xo(n)

(1.28)

【例1.13】

用MATLAB編寫序列的奇偶分解程序。

MATLAB程序如下:

%MATLABPROGRAM1-13

%序列的奇偶分解

m=fliplr(n);

Mm=min([m，n]):max([m，n]);

nm=n(1)-m(1);

n1=1:length(n);

x1=zeros(1，length(Mm));

x1(n1+nm)=x;

x=x1;

xeven=0.5*(x+fliplr(x));

xold=0.5*(x-fliplr(x));

7.序列的卷積和

若有兩序列x(n)和h(n)，則其卷積和定義為

(1.29)

在MATLAB中，用函數(shù)conv來實現(xiàn)序列的卷積和。

【例1.14】

用MATLAB編寫序列卷積和的程序。

MATLAB程序如下:

%MATLABPROGRAM1-14

%y=卷積結(jié)果

%ny=y的基底(support)

%x=基底nx上的第一個信號

%nx=x的支架

%h=基底nh上的第二個信號

%nh=h的基底

nyb=nx(1)+nh(1);

nye=nx(length(x))+nh(length(h));

ny=[nyb:nye];

y=conv(x，h);

8.序列的能量

序列的能量定義式為

(1.30)

有限長序列的能量可以由MATLAB語句來得到

Ex=sum(x.*conj(x))

或

Ex=sum(abs(x).^2)

9.序列的功率

序列x(n)的功率由下式給出

(1.31)

有限長序列的功率可由以下MATLAB語句得到

Px=sum(x.*conj(x))/length(x)

或

Px=sum(abs(x).^2)/length(x)

10.序列的求和及求積

序列求和的定義式為

(1.32)

序列求積的定義式為

(1.33)

在MATLAB中，序列的求和及求積可分別由函數(shù)sum和函數(shù)prod來得到

y=sum(x(n1:n2))

y=prod(x(n1:n2))1.3.3MATLAB常用信號生成函數(shù)

MATLAB信號處理工具箱提供了一些特殊信號波形的生成函數(shù)，下面簡要介紹幾種常用函數(shù)。

1.sawtooth函數(shù)

功能:產(chǎn)生周期為2π的鋸齒波或三角波。

調(diào)用格式:

x=sawtooth(t)

x=sawtooth(t，width)

其中，width為0和1之間的數(shù)，當(dāng)width=0.5時，產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)三角波。

2.square函數(shù)

功能:產(chǎn)生周期為2π、幅值為[－1，1]的方波。

調(diào)用格式:

正方波x(t)=square(t)

帶占空比的方波x(t)=square(t，duty)

其中，t為時間向量，duty為正幅值部分占周期的百分?jǐn)?shù)。

3.sinc函數(shù)

功能:生成sinc函數(shù)波形。

調(diào)用格式:y=sinc(x)

函數(shù)sinc(x)的周期為2π，并隨x的增加而作衰減振蕩，且為偶函數(shù)，在nπ處的值為0。

4.diric函數(shù)

功能:生成dirichlet或sinc周期函數(shù)波形。

調(diào)用格式:y=diric(x，n)

其中，x為向量，n為整數(shù)。當(dāng)n為奇數(shù)時，周期為2π;當(dāng)n為偶數(shù)時，周期為4π。

5.pulstran函數(shù)

功能:產(chǎn)生脈沖串信號。

調(diào)用格式:y=pulstran(t，d，′func′，P1，P2)

其中，t為時間向量，d為脈沖串位置向量，P1和P2為與脈沖有關(guān)的參數(shù)設(shè)置，func為脈沖類型函數(shù)，MATLAB提供三種脈沖類型:Gauspuls(高斯調(diào)制正弦脈沖)、Rectpuls(非周期矩形脈沖)和Tripuls(非周期三角形脈沖)。

【例1.15】

編寫程序，產(chǎn)生一矩形波脈沖串，脈寬為0.1s，脈沖重復(fù)頻率為3Hz，采樣頻率為2kHz，信號長度為1s。

MATLAB程序如下:

%MATLABPROGRAM1-15

clf;

t=[0:0.0005:1];

d=[0:1/3:1];

y=pulstran(t，d，′rectpuls′，0.1);

plot(t，y);

title(′Pulstrantripuls′);xlabel(′t′);ylabel(′y′);

grid;

程序運行結(jié)果如圖1.8所示。圖1.8矩形波脈沖串

1.4離散時間系統(tǒng)

在信號處理中，通常需要設(shè)計一個器件或算法對離散時間信號執(zhí)行某些規(guī)定的運算，這樣的器件或算法稱為離散時間系統(tǒng)。也就是說，離散時間系統(tǒng)就是將輸入序列映射成另一輸出序列的變換或算子。線性時不變系統(tǒng)是最重要且最常用的離散時間系統(tǒng)。

1.4.1離散時間系統(tǒng)的基本概念

一個離散時間系統(tǒng)可以抽象為一種變換，或是一種映射。設(shè)時域離散系統(tǒng)的輸入為x(n)，經(jīng)過規(guī)定的運算，系統(tǒng)輸出序列用y(n)表示。設(shè)運算關(guān)系用T[·]表示，則輸出與輸入之間的關(guān)系為

y(n)=T[x(n)]

(1.34)

下面介紹有關(guān)離散時間系統(tǒng)的幾個重要定義。

1.線性系統(tǒng)

滿足疊加原理的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。設(shè)x1(n)和x2(n)分別為系統(tǒng)的輸入序列，其輸出分別用y1(n)和y2(n)表示，即

y1(n)=T[x1(n)]

(1.35)

y2(n)=T[x2(n)]

(1.36)

則線性系統(tǒng)需滿足下列兩個條件:

T[x1(n)+x2(n)]=y1(n)+y2(n)

(1.37)

T[ax1(n)]=ay1(n)

(1.38)

式中,a是常數(shù)。滿足式(1.37)稱為線性系統(tǒng)的可加性;滿足式(1.38)稱為線性系統(tǒng)的比例性或齊次性。將兩式結(jié)合起來,可表示為

y(n)=T[ax1(n)+bx2(n)]=ay1(n)+by2(n)

(1.39)

式中，a和b均是常數(shù)。

【例1.16】

設(shè)y(n)=ax(n)+b(a和b是常數(shù))，試證明該系統(tǒng)y(n)是非線性系統(tǒng)。

證明

y1(n)=T[x1(n)]=ax1(n)+b

y2(n)=T[x2(n)]=ax2(n)+b

y(n)=T[x1(n)+x2(n)]=ax1(n)+ax2(n)+b

y(n)≠y1(n)+y2(n)

因此，該系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。

2.時不變系統(tǒng)

如果系統(tǒng)對輸入信號的運算關(guān)系T[·]在整個運算過程中不隨時間變化，或者系統(tǒng)對于輸入信號的響應(yīng)與信號加于系統(tǒng)的時間無關(guān)，則稱該系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)，可表示為

y(n)=T[x(n)]

(1.40a)

或

y(n－n0)=T[x(n－n0)]

(1.40b)

式中，n0為任意整數(shù)。

【例1.17】

判別y(n)=ax(n)+b代表的系統(tǒng)是否為時不變系統(tǒng)。式中，a和b為常數(shù)。

解

y(n)=ax(n)+b

y(n－n0)=ax(n－n0)+b

y(n－n0)=T[x(n－n0)]

因此，該系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)。

3.系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性

線性和時不變兩個約束條件定義了一類可用卷積和表示的系統(tǒng)。

若系統(tǒng)n時刻的輸出只取決于n時刻以及n時刻以前的輸入序列，而跟n時刻以后的輸入序列無關(guān)，則稱該系統(tǒng)具有因果性質(zhì)，或稱該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。

若n時刻的輸出還取決于n時刻以后的輸入序列，在時間上違背了因果性，則這類系統(tǒng)是無法實現(xiàn)的，被稱為非因果系統(tǒng)。因此，系統(tǒng)的因果性是指系統(tǒng)的可實現(xiàn)性。

線性時不變系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件是系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)滿足

h(n)=0，n<0

(1.41)滿足式(1.41)的序列稱為因果序列，所以，因果系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)必然是因果序列。由于單位取樣響應(yīng)是輸入為δ(n)的零狀態(tài)響應(yīng)，故在n<0時，輸出為0。

若系統(tǒng)輸入有界，輸出也有界，則稱系統(tǒng)具有穩(wěn)定性質(zhì)，稱之為穩(wěn)定系統(tǒng)。系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的

單位取樣響應(yīng)絕對可和，即

(1.42)

穩(wěn)定因果系統(tǒng)是指既滿足穩(wěn)定性又滿足因果性的系統(tǒng)。穩(wěn)定因果系統(tǒng)既是可實現(xiàn)的又是穩(wěn)定的。這種系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)既是單邊的，又是絕對可積的，即

【例1.18】

設(shè)線性時不變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)h(n)=anu(n)，式中，a是實常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。

解由于n<0時，h(n)=0，所以該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。(1.43)當(dāng)且僅當(dāng)|a|<1時，因此，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是|a|<1;否則，|a|≥1時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)穩(wěn)定時，h(n)的模隨n增大而減小，此時序列h(n)為收斂序列。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，h(n)的模隨n增大而增大，序列h(n)為發(fā)散序列。1.4.2離散時間線性時不變系統(tǒng)的分析

線性時不變系統(tǒng)(LTI)是既滿足疊加原理又具有時不變性的系統(tǒng)。線性時不變系統(tǒng)可以用單位脈沖響應(yīng)來表示。

單位脈沖響應(yīng)即系統(tǒng)對于δ(n)的零狀態(tài)響應(yīng)為

h(n)=T[δ(n)]

(1.44)

設(shè)系統(tǒng)輸入為x(n)，按照式(1.44)表示成單位采樣序列移位加權(quán)和為(1.45)(1.46)根據(jù)線性時不變系統(tǒng)的疊加和時不變性質(zhì)，有

(1.47)式中，“*”代表卷積運算。式(1.47)表示線性時不變系統(tǒng)的輸出等于輸入序列和系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)的卷積。這個公式和模擬系統(tǒng)的卷積是類似的，稱為離散卷積或線性卷積，或直接卷積，以區(qū)別于其他種類的卷積。線性卷積中的主要運算是翻轉(zhuǎn)、移位、相乘和相加，設(shè)兩序列的長度分別是N和M，線性卷積后的序列長度為(N+M－1)。線性卷積服從交換律、結(jié)合律和分配律。

(1)交換律:

(1.48)

(2)結(jié)合律:(1.49)(3)分配律:(1.50)

卷積運算的求解步驟為:先對h(m)繞縱軸翻轉(zhuǎn),得到h(－m);再對h(－m)移位，得到h(n－m);最后，將x(m)和h(n－m)所有對應(yīng)項相乘之后相加，即得離散卷積結(jié)果y(n)。令l=n－m，作變量代換，則卷積公式變?yōu)?1.51)故x(m)和h(n－m)的位置可對調(diào)，即輸入x(n)和單位脈沖響應(yīng)h(n)的線性時不變系統(tǒng)與輸入h(n)和單位脈沖響應(yīng)x(n)的線性時不變系統(tǒng)具有同樣的輸出。

在MATLAB中，利用函數(shù)conv(x，h)可以實現(xiàn)兩個有限長度序列的卷積，函數(shù)conv假定兩個序列都從n=0開始，其調(diào)用格式為

y=conv(x，h)

【例1.19】

設(shè)x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。

解按照式(1.47)，有

式中，矩形序列長度為4，求解該式主要是根據(jù)矩形序列的非零值區(qū)間來確定求和的上、下限，R4(m)的非零值區(qū)間為0≤m≤3，R4(n－m)的非零值區(qū)間為0≤n－m≤3，其乘積值的非零區(qū)間對m來說，需同時滿足不等式0≤m≤3和n－3≤m≤n。當(dāng)0≤n≤3時

當(dāng)４≤n≤６時MATLAB計算卷積程序如下:

%MATLABPROGRAM1-19

nx=[0:3];

Ra=[nx>=0];

nh=[0:3];

Rb=[nh>=0];

y=conv(Ra，Rb);

M=length(y)-1;

n=[0:M];

disp(′輸出序列y=′);

disp(y);

stem(n，y);

xlabel(′時間序號n′);ylabel(′振幅y(n)′);

grid程序運行結(jié)果如下:

輸出序列y=

1234321

卷積仿真波形如圖1.9所示。

LTI離散時間系統(tǒng)根據(jù)脈沖響應(yīng)的長度，可分為有限脈沖響應(yīng)(FiniteImpulseResponse，F(xiàn)IR)系統(tǒng)和無限脈沖響應(yīng)(InfiniteImpulseResponse，IIR)系統(tǒng)兩大類。圖1.9卷積運算1.4.3離散時間系統(tǒng)的差分方程描述

為了描述一個系統(tǒng)，可將其看成一個黑盒子，只描述或者研究系統(tǒng)輸出和輸入之間的關(guān)系，這種方法稱為輸入輸出描述法。對于模擬系統(tǒng)，可由微分方程描述系統(tǒng)輸入輸出之間的關(guān)系。而對于離散時間系統(tǒng)，由于其變量n是離散整型變量，故只能用差分方程來反映其輸入輸出序列之間的運算關(guān)系。對于線性時不變系統(tǒng)，常用線性常系數(shù)差分方程表示，N階線性常系數(shù)差分方程的一般形式為(1.52)式中，x(n)和y(n)分別是系統(tǒng)的輸入序列和輸出序列，ar、bk都是常數(shù)。差分方程的階數(shù)N是由y(n)變量序號的最大與最小之差確定的。

若已知系統(tǒng)的輸入序列，則通過求解差分方程可以求出其輸出序列。求解差分方程的基本方法主要包括經(jīng)典解法、遞推解法和變換域法。

若已知輸入序列和N個初始條件，則可以求出n時刻的輸出。如果將式(1.52)中的n用n+1代替，則可求出n+1時刻的輸出，因此差分方程本身就是一個適合遞推法求解的方程。

【例1.20】

已知一階差分方程系統(tǒng)y(n)=1.5x(n)+

y(n－1)，其輸入信號為

試求解輸出y(n)。解①假定初始條件為n<0，y(n)=0。

由差分方程、初始條件和輸入信號，得

依次遞推，得②假定初始條件為n>0，y(n)=0。

將上述差分方程改寫成

依此類推，得到在①和②兩種初始條件下，表示了兩個不同的單位脈沖響應(yīng)，雖滿足同一差分方程，但由于初始條件不同，故它們代表了不同的系統(tǒng):①由初始條件確定的是因果穩(wěn)定系統(tǒng)，②由初始條件確定的是非因果不穩(wěn)定系統(tǒng)。

用差分方程描述系統(tǒng)時，只有附加必要的約束條件，才能唯一地確定一個系統(tǒng)的輸入和輸出關(guān)系。

在MATLAB中，可以用函數(shù)filter求解差分方程，調(diào)用格式為

y=filter(a，b，x)

其中，參數(shù)x為輸入向量(序列)，a、b分別為差分方程系數(shù)ai、bi構(gòu)成的向量，y為輸出結(jié)果。

【例1.21】

有一差分方程:

y(n)+0.7y(n－1)－0.45y(n－2)－0.6y(n－3)

=0.8x(n)－0.44x(n－1)+0.36x(n－2)+0.02x(n－3)

輸入序列x(n)=δ(n)，0≤n≤40。利用MATLAB求輸出y(n)。

MATLAB程序如下:

%MATLABPROGRAM1-21

N=41;

a=[0.8，－0.44，0.36，0.22];

b=[1，0.7，－0.45，－0.6];

x=[1zeros(1，N－1)];

k=[0:1:N－1];

y=filter(a，b，x);

stem(k，y)

xlabel(′n′);ylabel(′幅度y′);

grid;

程序運行結(jié)果如圖1.10所示。圖1.10用MATLAB求解差分方程1.4.4離散時間信號的相關(guān)性

在信號處理中經(jīng)常要研究兩個信號的相似性，或一個信號經(jīng)過一段延遲后自身的相似性，以實現(xiàn)信號的檢測、識別與提取等。相關(guān)函數(shù)是描述隨機信號的重要統(tǒng)計量，已廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲納、數(shù)字通信、地質(zhì)學(xué)以及其他學(xué)科的工程領(lǐng)域中。

1.互相關(guān)和自相關(guān)函數(shù)

對于兩個長度相同、能量有限的信號x(n)和y(n)，互相關(guān)函數(shù)為(1.53)該式表明:rxy(m)在時刻m時的值等于將x(n)保持不變，y(n)左移m個抽樣周期后，兩個序列對應(yīng)相乘再相加的結(jié)果。

如果y(n)=x(n)，則x(n)的自相