2025屆高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)專題5統(tǒng)計(jì)與概率第1講計(jì)數(shù)原理與概率課件

第1講計(jì)數(shù)原理與概率領(lǐng)航高考風(fēng)向標(biāo)通覽主干知識(shí)1.抽樣方法(1)對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,從容量為N的總體中抽取容量為n(1≤n<N)的樣本,則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都為

等可能性,公平性(2)分層隨機(jī)抽樣實(shí)際上就是按比例抽樣,即按各層個(gè)體數(shù)占總體的比確定各層應(yīng)抽取的樣本數(shù)量.

2.統(tǒng)計(jì)中的五個(gè)數(shù)字特征(1)眾數(shù):在樣本數(shù)據(jù)中,出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù).(2)中位數(shù):在樣本數(shù)據(jù)中,將數(shù)據(jù)按大小排列,位于最中間的數(shù)據(jù).如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù),就取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù).(5)百分位數(shù):一般地,一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值,它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值,且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.(6)從頻率分布直方圖中得出有關(guān)數(shù)據(jù)的方法.頻率頻率分布直方圖中橫軸表示樣本數(shù)據(jù),縱軸表示頻率比頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積之和為1,各小長(zhǎng)方形高的比也就是頻率比眾數(shù)的估計(jì)值頻率分布直方圖中最高小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)中位數(shù)的估計(jì)值頻率分布直方圖中中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等平均數(shù)的估計(jì)值頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積與小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積之和3.數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性(1)線性相關(guān):一般地,如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān),而且散點(diǎn)落在一條直線附近,我們就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān).(2)經(jīng)驗(yàn)回歸方程:若變量x與y具有線性相關(guān)關(guān)系,有n個(gè)樣本數(shù)據(jù)

4.獨(dú)立性檢驗(yàn)對(duì)于取值分別是{x1,x2}和{y1,y2}的分類變量X和Y,其2×2列聯(lián)表是:變量y1y2合計(jì)x1aba+bx2cdc+d合計(jì)a+cb+dn隨機(jī)變量

5.概率的計(jì)算公式(2)互斥事件的概率計(jì)算公式P(A∪B)=P(A)+P(B);(3)對(duì)立事件的概率計(jì)算公式P()=1-P(A);對(duì)立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是對(duì)立事件(4)條件概率公式(5)全概率公式一般地,設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對(duì)任意事件B?Ω,有P(B)P(Ai)P(B|Ai),我們稱這個(gè)公式為全概率公式.指的是對(duì)目標(biāo)事件B有貢獻(xiàn)的全部原因微點(diǎn)撥

要注意概率P(A|B)與P(AB)的區(qū)別(1)在P(A|B)中,事件A,B發(fā)生有時(shí)間上的差異,B先A后;在P(AB)中,事件A,B同時(shí)發(fā)生.(2)樣本空間不同,在P(A|B)中,事件B成為樣本空間;在P(AB)中,樣本空間仍為Ω,因而有P(A|B)≥P(AB).6.離散型隨機(jī)變量的分布列(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1,x2,…,xn,我們稱X取每一個(gè)值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n為X的概率分布列,簡(jiǎn)稱分布列.Xx1x2x3…xi…xnPp1p2p3…pi…pn(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì)①pi≥0(i=1,2,…,n);②p1+p2+…+pn=1.(3)期望公式7.兩種特殊分布(1)超幾何分布在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件(不放回),其中恰有X件次品,則P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r.m=max{0,n-N+M},r=min{n,M},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.(2)二項(xiàng)分布一般地,在n重伯努利試驗(yàn)中,設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X的分布列為P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n,稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記作X~B(n,p).8.離散型隨機(jī)變量的方差公式

方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是描述隨機(jī)變量的離散程度的量,方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,隨機(jī)變量的取值越集中;方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大,隨機(jī)變量的取值越分散.9.期望與方差的性質(zhì)(1)離散型隨機(jī)變量期望的性質(zhì)①E(aX+b)=aE(X)+b;②若X~B(n,p),則E(X)=np;③若X服從兩點(diǎn)分布,則E(X)=p.(2)離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)①D(aX+b)=a2D(X);②若X~B(n,p),則D(X)=np(1-p);③若X服從兩點(diǎn)分布,則D(X)=p(1-p).10.正態(tài)分布(1)正態(tài)分布完全由參數(shù)μ和σ確定,因此正態(tài)分布常記作N(μ,σ2).如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,則記為X~N(μ,σ2).滿足正態(tài)分注意是σ2,不是σ布的三個(gè)基本概率的值是①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.(2)利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性研究相關(guān)概率問(wèn)題是常見(jiàn)考法,涉及的知識(shí)主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱,曲線與x軸之間的面積為1.鏈高考1.(2023新高考Ⅱ,3)某學(xué)校為了了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況,用比例分配的分層隨機(jī)抽樣法作抽樣調(diào)查,擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生,已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生,則不同的抽樣結(jié)果有(

)D鏈高考2.(2023新高考Ⅰ,9)有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,則(

)A.x2,x3,x4,x5的平均數(shù)等于x1,x2,…,x6的平均數(shù)B.x2,x3,x4,x5的中位數(shù)等于x1,x2,…,x6的中位數(shù)C.x2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1,x2,…,x6的標(biāo)準(zhǔn)差D.x2,x3,x4,x5的極差不大于x1,x2,…,x6的極差BD鏈高考3.(2024全國(guó)甲,理17,文18)某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造.升級(jí)改造后,從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn),數(shù)據(jù)如下:車間優(yōu)級(jí)品合格品不合格品合計(jì)甲車間2624050乙車間70282100合計(jì)96522150(1)填寫(xiě)如下列聯(lián)表:車間優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車間

乙車間

依據(jù)小概率值α=0.05的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn),能否推斷甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異?依據(jù)小概率值α=0.01的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn),能否推斷甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異?(2)已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率p=0.5.設(shè)

為升級(jí)改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率.如果,則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了.根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù),能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后,該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了?α0.050.010.001xα3.8416.63510.828解

(1)車間優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車間2624乙車間7030零假設(shè)為H0:甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率不存在差異.根據(jù)表中的數(shù)據(jù),因?yàn)?.841<χ2<6.635,所以依據(jù)小概率值α=0.05的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷H0不成立,即甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異,該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05;依據(jù)小概率值α=0.01的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn),我們沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0不成立,即甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率不存在差異.鏈高考4.(2024天津,13)有A,B,C,D,E五種活動(dòng),甲、乙都要選擇三個(gè)活動(dòng)參加,則甲選到A活動(dòng)的概率為

;已知乙選了A活動(dòng),那么他再選擇B活動(dòng)的概率為

.

鏈高考5.(2024北京,18)已知某險(xiǎn)種的保費(fèi)為0.4萬(wàn)元,前3次出險(xiǎn)每次賠付0.8萬(wàn)元,第4次賠付0.6萬(wàn)元.賠償次數(shù)01234單數(shù)800100603010在總體中抽樣1000單,以頻率估計(jì)概率:(1)求隨機(jī)抽取一單,賠償不少于2次的概率;(2)(ⅰ)毛利潤(rùn)是保費(fèi)與賠償金額之差.設(shè)毛利潤(rùn)為X萬(wàn)元,估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望;(ⅱ)若未賠償過(guò)的保單下一保險(xiǎn)期的保費(fèi)下降4%,已賠償過(guò)的增加20%.估計(jì)保單下一保險(xiǎn)期毛利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望.(ⅱ)設(shè)賠償金額為Y萬(wàn)元,由(ⅰ)可知賠償金額的數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值為E(Y)=0.4-E(X)=0.278.設(shè)保單下一保險(xiǎn)期的保費(fèi)為Z萬(wàn)元,由題可知Z是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,其可能的取值為0.384,0.48.用頻率估計(jì)概率,可知計(jì)值為E(Z)=0.384×0.8+0.48×0.2=0.403

2,所以保單下一保險(xiǎn)期毛利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值為E(Z)-E(Y)=0.125

2.鏈高考6.(2019浙江,7)設(shè)0<a<1,隨機(jī)變量X的分布列是則當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時(shí),(

)A.D(X)增大B.D(X)減小C.D(X)先增大后減小D.D(X)先減小后增大D鏈高考7.(2024新高考Ⅰ,9)為了解某種植區(qū)推動(dòng)出口后的畝收入(單位:萬(wàn)元)情況,從該種植區(qū)抽取樣本,得到推動(dòng)出口后畝收入的樣本均值

=2.1,樣本方差s2=0.01.已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N(1.8,0.12),假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入Y服從正態(tài)分布N(,s2),則(

)(若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(Z<μ+σ)≈0.8413)A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8BC解析

由題意知,X~N(1.8,0.12),Y~N(2.1,0.12).∵P(X<1.8+0.1)≈0.841

3,∴P(X>1.8+0.1)≈1-0.841

3=0.158

7,∴P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1)≈0.158

7,故A錯(cuò)誤;P(X>2)<P(X>1.8)=0.5,故B正確;∵P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841

3,故C正確,D錯(cuò)誤.故選BC.考點(diǎn)一排列與組合問(wèn)題例1(多選題)(2024山西晉中模擬)某中學(xué)的3名男生和2名女生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,比賽結(jié)束后,這5名同學(xué)排成一排合影留念,則下列說(shuō)法正確的是(

)A.若要求2名女生相鄰,則這5名同學(xué)共有48種不同的排法B.若要求女生與男生相間排列,則這5名同學(xué)共有24種排法C.若要求2名女生互不相鄰,則這5名同學(xué)共有72種排法D.若要求男生甲不在排頭也不在排尾,則這5名同學(xué)共有72種排法ACD[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1](1)(2024浙江杭州二模)將5名志愿者分配到三個(gè)社區(qū)協(xié)助開(kāi)展活動(dòng),每名志愿者至少去一個(gè)社區(qū),每個(gè)社區(qū)至少1名志愿者,則不同的分配方法數(shù)是(

)A.300 B.240

C.150

D.50C(2)(多選題)(2024山東濰坊模擬)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排,下列說(shuō)法正確的是(

)A.如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊,那么不同的排法有24種B.最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有42種C.甲、乙不相鄰的排法種數(shù)為82D.甲、乙、丙按從左到右的順序排列的排法有20種ABD考點(diǎn)二二項(xiàng)式定理例2(1)(2024河北廊坊模擬)(n∈N*)的展開(kāi)式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為(

)A.-160 B.-20 C.20 D.160A(2)(多選題)(2024廣東佛山模擬)若(x-1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,則(

)A.a0=1B.a3=20C.2a1+4a2+8a3+16a4+32a5+64a6=0D.|a0+a2+a4+a6|=|a1+a3+a5|ACD解析

將x=0代入(x-1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,得(0-1)6=a0,解得a0=1,故A正確;(x-1)6的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k+1=x6-k(-1)k,令6-k=3,得k=3,所以a3=(-1)3=-20,故B錯(cuò)誤;將x=2代入(x-1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,得(2-1)6=a0+2a1+4a2+8a3+16a4+32a5+64a6,所以2a1+4a2+8a3+16a4+32a5+64a6=0,故C正確;將x=1代入(x-1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,得(1-1)6=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6,即a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,①將x=-1代入(x-1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,得(-1-1)6=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6,即a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=64,②①+②得2(a0+a2+a4+a6)=64,所以a0+a2+a4+a6=32,①-②得2(a1+a3+a5)=-64,所以a1+a3+a5=-32,所以|a0+a2+a4+a6|=|a1+a3+a5|,故D正確.故選ACD.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2](1)(2024浙江金麗衢十二校一模)(1+x-y)5的展開(kāi)式中含x2y的項(xiàng)的系數(shù)為(

)A.30 B.-30 C.10 D.-10B(2)(2024山東菏澤模擬)(x2+ax-1)(1-x)6的展開(kāi)式中含x2的項(xiàng)的系數(shù)是-2,則實(shí)數(shù)a的值為(

)A.0 B.3 C.-1 D.-2D考點(diǎn)三古典概型例3“春雨驚春清谷天,夏滿芒夏暑相連;秋處露秋寒霜降,冬雪雪冬小大寒”中每句的開(kāi)頭一字代表著季節(jié),每一句詩(shī)歌包含了這個(gè)季節(jié)中的6個(gè)節(jié)氣.若從24個(gè)節(jié)氣中任選2個(gè)節(jié)氣,則這2個(gè)節(jié)氣恰好不在一個(gè)季節(jié)的概率為

.

解析

我們用A1,A2,…,A6表示春季的6個(gè)節(jié)氣,用B1,B2,…,B6表示夏季的6個(gè)節(jié)氣,用C1,C2,…,C6表示秋季的6個(gè)節(jié)氣,用D1,D2,…,D6表示冬季的6個(gè)節(jié)氣,則試驗(yàn)的樣本空間Ω={(A1,A2),(A1,A3),…,(A1,A6),(A1,B1),(A1,B2),…,(A1,B6),(A1,C1),(A1,C2),…,(A1,C6),(A1,D1),(A1,D2),…,(A1,D6),(A2,A3),(A2,A4),…,(A2,D6),(A3,A4),…,(A3,D6),…,(D5,D6)},共

=276(個(gè))樣本點(diǎn),且每個(gè)樣本點(diǎn)都是等可能的,所以這是一個(gè)古典概型.(方法一)設(shè)事件A=“這2個(gè)節(jié)氣恰好不在一個(gè)季節(jié)”,則A={(A1,B1),(A1,B2),…,(A1,D6),(A2,B1),(A2,B2),…,(A2,D6),…,(A6,D6),(B1,C1),(B1,C2),…,(B1,D6),…,(B6,D6),(C1,D1),(C1,D2),…,(C1,D6),…,(C6,D6)},(方法二)設(shè)事件A=“這2個(gè)節(jié)氣恰好不在一個(gè)季節(jié)”,B=“這2個(gè)節(jié)氣恰好在一個(gè)季節(jié)”,則B={(A1,A2),(A1,A3),…,(A1,A6),(B1,B2),(B1,B3),…,(B1,B6),(C1,C2),(C1,C3),…,(C1,C6),(D1,D2),(D1,D3),…,(D1,D6)},延伸探究在本例條件下,若從24個(gè)節(jié)氣中任選3個(gè)節(jié)氣,求這3個(gè)節(jié)氣恰好在一個(gè)季節(jié)的概率.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3](2023全國(guó)甲,文4)某校文藝部有4名學(xué)生,其中高一、高二年級(jí)各2名.從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演,則這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為(

)解析

我們用A,B表示高一年級(jí)的2名學(xué)生,用C,D表示高二年級(jí)的兩名學(xué)生,則試驗(yàn)的樣本空間Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)},共有6個(gè)樣本點(diǎn),且每個(gè)樣本點(diǎn)都是等可能的,所以這是一個(gè)古典概型.設(shè)事件A=“這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)”,則A={(A,C),(A,D