2024-2025學(xué)年福建省廈門(mén)市高二上冊(cè)第二次月考（12月）數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省廈門(mén)市高二上學(xué)期第二次月考（12月）數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．等差數(shù)列中，已知，則該數(shù)列的前9項(xiàng)和為（

）A．54 B．63 C．66 D．722．棱長(zhǎng)為的正四面體中，點(diǎn)是AD的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．3．設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S3=4，a4A．32B．1910C．53D．1964．已知兩條直線(xiàn)與被圓截得的線(xiàn)段長(zhǎng)均為2，則圓的面積為（

）A． B． C． D．5．如圖所示，橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)，在x軸上，A，B是橢圓的頂點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且軸，，則此橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．6．已知四面體中，，，兩兩垂直，，與平面所成角的正切值為，則點(diǎn)到平面的距離為（）A． B． C． D．7．設(shè)，若過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線(xiàn)和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線(xiàn)交于點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B．2 C．3 D．58．正方體的棱長(zhǎng)為5，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)是正方體下底面內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方差為25，則動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的最小值是（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，且，則（）A．公差 B． C． D．時(shí)，最大10．在正方體中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，空間中一點(diǎn)滿(mǎn)足，則（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得與所成角為11．雙紐線(xiàn)，也稱(chēng)伯努利雙紐線(xiàn)，伯努利雙紐線(xiàn)的描述首見(jiàn)于1694年，雅各布·伯努利將其作為橢圓的一種類(lèi)比來(lái)處理.橢圓是由到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡，而卡西尼卵形線(xiàn)則是由到兩定點(diǎn)距離之乘積為定值的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)此定值使得軌跡經(jīng)過(guò)兩定點(diǎn)的中點(diǎn)時(shí)，軌跡便為伯努利雙紐線(xiàn).曲線(xiàn)：是雙紐線(xiàn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)5個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）B．已知，，為雙紐線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則C．若直線(xiàn)與曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D．曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)方程為三、填空題（本大題共3小題）12．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，則．13．如圖，在四棱柱中，底面是平行四邊形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，則.14．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線(xiàn)論》中有這樣一個(gè)結(jié)論：平面內(nèi)與兩點(diǎn)距離的比為常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人稱(chēng)這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.已知點(diǎn)，為直線(xiàn)：上的動(dòng)點(diǎn)，為圓：上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，等差數(shù)列滿(mǎn)足，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.16．如圖，在四棱錐中，，，，，平面，與平面所成角為，為中點(diǎn)，

(1)證明：；(2)若直線(xiàn)與平面所成角為，求的值.17．已知雙曲線(xiàn)C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的虛軸長(zhǎng)為4，直線(xiàn)2x－y＝0為雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)．(1)求雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記雙曲線(xiàn)C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過(guò)點(diǎn)T(2,0)的直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)C于點(diǎn)M，N(點(diǎn)M在第一象限)，記直線(xiàn)MA的斜率為k1，直線(xiàn)NB的斜率為k2，求證：eq\f(k1,k2)為定值．18．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，設(shè)Px0,y0是第一象限內(nèi)橢圓

(1)求橢圓的方程；(2)當(dāng)軸，求的面積；(3)若分別記的斜率分別為，求的最大值.19．已知兩個(gè)數(shù)列和的項(xiàng)數(shù)均為，且對(duì)于數(shù)列，其中，若存在滿(mǎn)足：①，都有；②，使得，則稱(chēng)數(shù)列是的單極數(shù)列.(1)已知，若的單極數(shù)列為，求滿(mǎn)足條件的的個(gè)數(shù).(2)已知是的單極數(shù)列.（i）若，求.（ii）若，當(dāng)時(shí)，證明.

答案1．【正確答案】A【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，則，故前9項(xiàng)的和為.故選A.2．【正確答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，又，，，，所以．故選：A．3．【正確答案】B【分析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，求得q3【詳解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，若q=1，則a4所以，q≠1，故a4+a5+所以，S6=S9=因此，S9S4．【正確答案】A【詳解】因?yàn)閮蓷l直線(xiàn)與，所以，所以與間的距離為，所以圓心到直線(xiàn)的距離為1，因?yàn)橹本€(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為2，所以圓的半徑為，所以圓的面積為.故選：A.5．【正確答案】B【詳解】橢圓方程，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，，，于是，，由得，即，故，．故選：B6．【正確答案】D【詳解】以為原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，，，，，．，，．設(shè)平面的法向量為，則，令，得，，故．因?yàn)橹本€(xiàn)與平面所成角的正切值為，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．即，解得．所以平面的一個(gè)法向量，故到平面的距離為．故選：D7．【正確答案】A【分析】先確定兩直線(xiàn)所過(guò)的定點(diǎn)、的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩直線(xiàn)的位置關(guān)系可判斷它們垂直，結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】依題意，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，直線(xiàn)可整理為，故直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，又因?yàn)橹本€(xiàn)和直線(xiàn)始終垂直，為兩直線(xiàn)交點(diǎn)，所以，則，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值是.故選：A.8．【正確答案】A【詳解】如圖所示，作，Q為垂足，則易知平面，過(guò)點(diǎn)Q作，交于，則易知平面，所以即為P到直線(xiàn)的距離．因?yàn)?，且，所以．所以點(diǎn)P的軌跡是以AD為準(zhǔn)線(xiàn)，點(diǎn)M為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)．如圖建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)P的軌跡方程是，點(diǎn)，設(shè)，所以，所以當(dāng)，取得最小值.故選：A9．【正確答案】BC【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得，由于，所以，，所以AD選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確.，C選項(xiàng)正確.故選：BC10．【正確答案】AC【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，如圖所示，

根據(jù)平面向量基本定理，此時(shí)P在線(xiàn)段上，由于在正方體中，平面，平面，所以，選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，如圖所示，

由平面向量基本定理，此時(shí)P在線(xiàn)段上，由圖可知，三棱錐當(dāng)以平面為底面時(shí)為定值，但因?yàn)轫旤c(diǎn)P在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，所以P到底面的高不確定，故三棱錐的體積不是定值，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，如圖所示，

此時(shí)，由平面向量基本定理，取AB與中點(diǎn)M，N，則P在線(xiàn)段MN上運(yùn)動(dòng)，由圖可知，過(guò)B點(diǎn)且與平面平行的平面為平面，平面，所以此時(shí)平面，又P是MN與交點(diǎn)，即當(dāng)且僅當(dāng)P是MN中點(diǎn)時(shí)，有平面，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，如圖所示，

以D為原點(diǎn)，DC，DA，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)?，則有，又，所以，所以.于是，，所以的夾角為時(shí)有，，解得或，即或都可以使得的夾角為，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.11．【正確答案】BCD【詳解】對(duì)于A，由，可得，所以，即，令，解得，或；當(dāng)時(shí)，得，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，得，無(wú)解；所以曲線(xiàn)C經(jīng)過(guò)整點(diǎn)，故A錯(cuò)；對(duì)于B，由于，，則，所以為雙紐線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則，B正確；對(duì)于C，直線(xiàn)與曲線(xiàn)一定有公共點(diǎn)，若直線(xiàn)與曲線(xiàn)C只有一個(gè)交點(diǎn)，所以，整理得無(wú)非零實(shí)數(shù)解，，實(shí)數(shù)k的取值范圍為，故C正確；對(duì)于D，曲線(xiàn)方程中x，y互換可得曲線(xiàn)C關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)方程為，故D正確.故選：BCD.12．【正確答案】【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有，不符合，故故13．【正確答案】【詳解】在四棱柱中，底面是平行四邊形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以又所以即.故答案為.14．【正確答案】【詳解】令，則，依題意，圓是由點(diǎn)，確定的阿波羅尼斯圓，且，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，整理得，而該圓的方程為，則，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此，當(dāng)時(shí)，最小，最小值為，所以當(dāng)時(shí)，的值最小為.故15．【正確答案】(1)；(2)【詳解】（1），又，兩式相減得，即，故數(shù)列是以3為公比的等比數(shù)列，又當(dāng)時(shí)，，得，，，，等差數(shù)列的公差為，；（2）由（1）可得，，上兩式相減得，.16．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，因?yàn)槠矫?，與平面所成角為，所以為與平面所成角，即，則，又平面，所以，所以可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則由題，所以，，所以，所以，即.（2）設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則，所以，所以由（1）得，取，則，又直線(xiàn)與平面所成角為，所以，解得.17．【正確答案】(1)x2－eq\f(y2,4)＝1(2)證明見(jiàn)詳解【詳解】(1)∵虛軸長(zhǎng)為4，∴2b＝4，即b＝2，∵直線(xiàn)2x－y＝0為雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)，∴eq\f(b,a)＝2，∴a＝1，故雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq\f(y2,4)＝1.(2)由題意知，A(－1,0)，B(1,0)，由題可知，直線(xiàn)l的斜率不能為零，故可設(shè)直線(xiàn)l的方程為x＝ny＋2，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－\f(y2,4)＝1，,x＝ny＋2，）得(4n2－1)y2＋16ny＋12＝0，∴y1＋y2＝－eq\f(16n,4n2－1)，y1y2＝eq\f(12,4n2－1)，∴ny1y2＝－eq\f(3,4)(y1＋y2)，∵直線(xiàn)MA的斜率k1＝eq\f(y1,x1＋1)，直線(xiàn)NB的斜率k2＝eq\f(y2,x2－1)，∴eq\f(k1,k2)＝eq\f(\f(y1,x1＋1),\f(y2,x2－1）＝eq\f(y1(ny2＋1),y2(ny1＋3）＝eq\f(ny1y2＋y1,ny1y2＋3y2)＝eq\f(－\f(3,4)(y1＋y2)＋y1,－\f(3,4)(y1＋y2)＋3y2)＝－eq\f(1,3)，為定值．18．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由題意：，可得：，故橢圓方程；（2）設(shè)Ax當(dāng)時(shí)，由在第一象限，可得，即P1,22，故求得直線(xiàn)方程為聯(lián)立方程，得，整理得，，所以；（3）設(shè)Ax1,y1,Bx由題意故將直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立方程，代入可得整理可得：，所以，即