2024-2025學(xué)年福建省廈門市高三上冊(cè)11月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省廈門市高三上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知向量，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．3．已知向量，的夾角為，，，則（

）A．2 B． C． D．54．已知，則（

）A． B． C． D．5．某三棱錐的體積為，表面積為，則該三棱錐的內(nèi)切球的直徑為（

）A． B． C． D．6．設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)積為，并且滿足條件，.則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．的最大項(xiàng)為7．已知，直線，直線，若為的交點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，，則的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法正確的是（

）A．用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則個(gè)體m被抽到的概率是0.1B．?dāng)?shù)據(jù)13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是23C．已知數(shù)據(jù)，，，的極差為6，方差為2，則數(shù)據(jù)，，，的極差和方差分別為12，8D．?dāng)?shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為90，方差為3；數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為85，方差為5，則，，，，，，，的平均數(shù)為87，方差為10.210．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心B．的單調(diào)遞增區(qū)間為，C．在上的值域?yàn)镈．將的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則11．如圖，棱長(zhǎng)為的正方體的內(nèi)切球?yàn)榍?，，分別是棱，的中點(diǎn)，在棱上移動(dòng)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．該內(nèi)切球的球面面積為B．存在點(diǎn)，使得平面C．平面被球截得的截面圓的面積為D．當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，過，，的平面截該正方體所得截面的面積為三、填空題（本大題共3小題）12．已知集合，，則．13．酒駕新規(guī)來了，2024年3月1日起實(shí)施，新國(guó)標(biāo)將酒駕的上限從降低到了，也就是說，只要駕駛員血液中酒精含量超過了，就屬于違法行為.某人飲酒后，體內(nèi)血液酒精含量迅速上升到，然后血液酒精含量會(huì)以每小時(shí)的速度減少，則按照新規(guī)他至少經(jīng)過小時(shí)后才能開車.（參考數(shù)據(jù)：）14．已知數(shù)列滿足：，定義：表示整數(shù)除以4的余數(shù)與整數(shù)除以4的余數(shù)相同，例.設(shè)，其中，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則滿足的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，，已知．(1)求；(2)若的面積為，求的周長(zhǎng)．16．如圖，在四面體中，，，，，M是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值.17．已知函數(shù)(1)求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論的單調(diào)區(qū)間.18．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，以的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不與橢圓的頂點(diǎn)重合）.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，求證：直線與圓相切；(3)若動(dòng)直線過點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線AD與軸的交點(diǎn)為，求面積的最大值.19．生命的誕生與流逝是一個(gè)永恒的話題，就某種細(xì)胞而言，由該種細(xì)胞的一個(gè)個(gè)體進(jìn)行分裂，分裂后成為新細(xì)胞而原細(xì)胞不復(fù)存在，多次分裂后，由該個(gè)細(xì)胞繁殖而來的全部細(xì)胞均死亡，我們稱該細(xì)胞“滅絕”.現(xiàn)已知某種細(xì)胞有的概率分裂為...（即死亡），...，有的概率分裂為個(gè)細(xì)胞.記事件：細(xì)胞最終滅絕，：細(xì)胞第一次分裂為個(gè)細(xì)胞.記該細(xì)胞第一次分裂后有個(gè)個(gè)體（分裂后的細(xì)胞互不影響），在概率論中，我們用的數(shù)學(xué)期望作為衡量生物滅絕可能性的依據(jù)，如果，則在理論上細(xì)胞就不會(huì)滅絕；相反，如果，則理論上我們認(rèn)為細(xì)胞在足夠多代的繁殖后會(huì)滅絕，而這兩種情況在生物界中都是普遍存在的.(1)直接寫出的數(shù)學(xué)期望.(2)用只含和的概率式表示并證明該細(xì)胞滅絕的概率為關(guān)于方程：的最小正實(shí)根.(3)若某種細(xì)胞發(fā)生基因突變，當(dāng)時(shí).（ⅰ）若當(dāng)其分裂為兩個(gè)細(xì)胞后，有一個(gè)細(xì)胞具有與原細(xì)胞相同的活力，而另一細(xì)胞則在此后喪失分裂為兩個(gè)的能力（即只有可能分裂成個(gè)或個(gè)），求證：該細(xì)胞的滅絕是必然事件.（ⅱ）受某種輻射污染，若當(dāng)其分裂為兩個(gè)細(xì)胞后分裂生成的兩個(gè)細(xì)胞此后均喪失分裂為個(gè)的能力，并等可能分裂為個(gè)或個(gè)細(xì)胞.我們稱為“泛濫型細(xì)胞”，已知：，求出一個(gè)該種泛濫型細(xì)胞經(jīng)過次分裂，得到個(gè)細(xì)胞的概率.

答案1．【正確答案】A【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限.故選：A.2．【正確答案】A【分析】利用投影向量公式進(jìn)行求解.【詳解】在上的投影向量為.故選A.3．【正確答案】C【詳解】.故選：C.4．【正確答案】D【詳解】∵，∴，∴，∴.故選：D.5．【正確答案】B【詳解】設(shè)該三棱錐的體積為，表面積為，該三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，則，所以，故該三棱錐的內(nèi)切球的直徑為.故選：B.6．【正確答案】C【詳解】對(duì)于A，若，因?yàn)?，則，，不滿足，若，因?yàn)?，則，，不滿足，顯然，所以，故A正確；對(duì)于B、C，因?yàn)?，，且，所以，故B正確，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由等比數(shù)列可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最大項(xiàng)為，故D正確；故選：C.7．【正確答案】B【詳解】直線過定點(diǎn)，直線過定點(diǎn)，且直線與直線垂直，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，故圓心是，半徑為則點(diǎn)的方程是令，因?yàn)?，所以，則所以，可得點(diǎn)則.

8．【正確答案】C【詳解】設(shè)，，則，根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知，所以，，又因所以為直角三角形，可得，所以可得，解之可得或（舍），可求出，在中根據(jù)余弦定理，解之可得，所以.故選：C9．【正確答案】ACD【詳解】選項(xiàng)A：依題意，得個(gè)體m被抽到的概率為，故A正確；選項(xiàng)B：這組數(shù)據(jù)從小到大排列為12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，因?yàn)椋谄邆€(gè)數(shù)為23，第八個(gè)數(shù)為24，則第70百分位數(shù)為，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：因?yàn)橐阎獢?shù)據(jù)，，，的極差為6，方差為2，則數(shù)據(jù)，，，的極差為，方差為，故C正確；選項(xiàng)D：因?yàn)閿?shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為90，方差為3；數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為85，方差為5，所以，，，，，，，的平均數(shù)為，方差為，故D正確.故選：ACD.10．【正確答案】AC【詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，A正確；令（），則（），故的單調(diào)遞增區(qū)間為（），B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故在上的值域?yàn)?，C正確；將的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)的圖象，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），可得的圖象，D錯(cuò)誤.故選：AC11．【正確答案】ACD【詳解】對(duì)于A，根據(jù)已知條件球?yàn)橐詾閳A心，半徑，內(nèi)切球的球面面積為，A正確；對(duì)于B：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則由題意可得，，，，設(shè)點(diǎn)，其中，對(duì)于，，，設(shè)平面法向量為，，，則，令，則y=?1，，為平面的一個(gè)法向量，若存在點(diǎn)，使平面，只需，因?yàn)椴怀闪ⅲ訠錯(cuò)誤；對(duì)于C：設(shè)平面法向量為m=x1,，，則，令，則，，為平面的法向量，又因?yàn)?，則到平面的距離為，則，設(shè)平面被球截得的截面圓的半徑為，，所以平面被球截得的截面圓的面積為，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，過的平面截該正方體所得截面為正六邊形，，在中，，所以邊長(zhǎng)，所以截面面積，D正確；故選：ACD.12．【正確答案】【詳解】由已知，所以，故13．【正確答案】7【詳解】設(shè)他至少經(jīng)過x小時(shí)后才能開車，則，即，故（小時(shí)），即他至少經(jīng)過7小時(shí)后才能開車，故714．【正確答案】40【詳解】由，即，因?yàn)?，所以，，則都不是的倍數(shù)，是的倍數(shù)，所以不是的倍數(shù)，，不是的倍數(shù)，不是的倍數(shù)，是的倍數(shù)，依次可得當(dāng)為的倍數(shù)時(shí)，也是的倍數(shù)，當(dāng)不為的倍數(shù)時(shí)，也不是的倍數(shù)，由，則有當(dāng)是4的倍數(shù)時(shí)，，當(dāng)不是4的倍數(shù)時(shí)，，則；當(dāng)，，當(dāng)，即時(shí)，有，，故滿足的最小值為.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)10【詳解】（1）因?yàn)?，所以即．因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以．?）由（1）可知，則．因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得由余弦定理得，則．故的周長(zhǎng)為．16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)?，且，由余弦定理可得，即，即，所以，即，又，且，平面，所以平面，又，則，即，以為原點(diǎn)，分別以為軸正半軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，又M是的中點(diǎn)，則，是的中點(diǎn)，則，且，則，則，所以，因?yàn)槠矫?，取為平面的一個(gè)法向量，且，因?yàn)?，所以，則平面.（2）由（1）可知，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，解得，取，則，則平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為n=a,b,c則，解得，取，則，則平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角為，顯然為銳角，則.所以二面角的余弦值為.17．【正確答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程即可；（2）先將f'x整理為，只需考慮的符號(hào)即可，根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)對(duì)參數(shù)分類討論可得結(jié)果.【詳解】（1）.故的圖象在點(diǎn)1,f1處的切線方程為.（2）.①當(dāng)時(shí)，令，解得，有0,111,+f+0-極大值故單調(diào)遞增區(qū)間為0,1，單調(diào)遞減區(qū)間為1,+∞②當(dāng)時(shí)，令，解得或.當(dāng)時(shí)，11,+f-0+0-極小值極大值故單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為0,+∞，無單調(diào)遞增區(qū)間.當(dāng)時(shí)，0,11f-0+0-極小值極大值單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為0,1，單調(diào)遞減區(qū)間為1,+∞；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為0,+∞，無單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.18．【正確答案】(1)(2)證明見解析(3)【詳解】（1）設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，半焦距為.由已知，，即，又，由可得:，因?yàn)榈慕裹c(diǎn)在軸上，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程是（2）當(dāng)直線有斜率時(shí)，設(shè)直線的方程為，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，即，設(shè)Ax1,聯(lián)立方程，得，即，，化簡(jiǎn)得，設(shè)到直線距離為，則，所以直線與圓相切.當(dāng)直線無斜率時(shí)，設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立可得，，由于AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，故，故圓的圓心到直線的距離，故直線與圓相切.綜上，直線與圓相切.（3）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，得，即.設(shè)點(diǎn)Ax1則.因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則.設(shè)點(diǎn)，因?yàn)槿c(diǎn)共線，則，即，即，即，得所以點(diǎn)為定點(diǎn)，，.令，則.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的面積的最大值為.19．【正確答案】(1)(2)，，證明見解析(3)（?。┳C明見解析；（ⅱ）【詳解】（1）.（2），則：，，由于分裂后細(xì)胞相互獨(dú)立，.，所以.若能取到中的所有數(shù)，則令：，有：，為該方程