2024-2025學(xué)年上海市虹口區(qū)高三上冊11月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年上海市虹口區(qū)高三上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題一?填空題（本大題共12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）1.不等式的解集為___________.【正確答案】【分析】將不等式變形為，利用分式不等式的解法解此不等式即可得解.原不等式即為，等價于，解得，因此，原不等式的解集為.故答案為.2.表面積為的球的體積是__________（結(jié)果保留）【正確答案】##【分析】根據(jù)表面積求得球的半徑，進而求得球的體積.設(shè)球的半徑為，則，所以球的體積為.故3.已知向量和向量平行，則實數(shù)__________.【正確答案】【分析】根據(jù)向量共線的坐標表示得到方程，解得即可.因為向量和向量平行，所以，即，所以.故4.的展開式中，項的系數(shù)是__________.【正確答案】5040【分析】根據(jù)計數(shù)原理確定展開式中含的項，即可得出答案.的展開式中，含有的項是，所以項的系數(shù)是5040，故5.已知，且，則________.【正確答案】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及角所在的象限求出正弦函數(shù)值，求解即可．∵第四象限角，，∴，故答案為.本題考查誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計算能力．6.在中，已知角所對的邊分別為，若，則__________.【正確答案】【分析】根據(jù)正余弦定理邊角互化即可求解.由可得，進而可得，所以，由于,故，故7.已知定義域為R的奇函數(shù)y=fx，滿足，且，則函數(shù)y=fx在區(qū)間上的零點個數(shù)的最小值為__________.【正確答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)和可知，f1=0，，再利用得函數(shù)y=fx為周期函數(shù)，利用周期性可得區(qū)間上的其余零點.依題意，奇函數(shù)y=fx的定義域為R，所以.由，得，即，由奇函數(shù)的性質(zhì)得f1=0，又，即，由奇函數(shù)的性質(zhì)得，解得，由，得，所以函數(shù)y=fx是周期函數(shù)，且周期為，因此，f1=0，，，，，，，f6=f0=0.這表明函數(shù)在上至少有這個零點.當時，函數(shù)在上的全部零點恰為.所以，函數(shù)y=fx在區(qū)間上的零點個數(shù)的最小值為.故答案為.8.函數(shù)，的最小值為________.【正確答案】5【分析】用三角函數(shù)的恒等變換化簡f（x），結(jié)合基本不等式求出f（x）的最值即可.此時時取等，但，所以，當時，有最小值為5，故答案為5.本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了邏輯推理與計算能力，是綜合性題目．9.若，則實數(shù)取值范圍是__________.【正確答案】【分析】根據(jù)題意，分，與討論，結(jié)合一次函數(shù)與二次函數(shù)的值域列出不等式，即可得到結(jié)果.當時，，當時，，若，則時，，則上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，此時要滿足函數(shù)的值域為，則，解得；若，則當時，；當時，，滿足函數(shù)的值域為；若，則時，，則在上單調(diào)遞增，則，此時要滿足函數(shù)的值域為，則，解得；綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故10.已知在一個平面上過點作單位圓的兩條切線和，點和點分別為切點，則的最小值是__________.【正確答案】【分析】設(shè)，把用表示出來，然后求最小值．設(shè)，，則，.從而，故.故.當時，所以的最小值是.故．11.現(xiàn)有10個完全相同，尺寸為的長方體箱子，將第一個箱子平放在地面上，其余的9個箱子的每一個箱子都平放在前面的箱子上，可以任意旋轉(zhuǎn)箱子，那么使得這10個箱子堆放高度為41的堆放方式共有__________種.【正確答案】5130【分析】設(shè)分別有個高度為的箱子，結(jié)合題意可得，，進而得到，，，再結(jié)合排列組合知識求解即可.因為10個箱子都有3種不同的高度，設(shè)分別有個高度為的箱子，則，則，由于，則，所以，，，則使得這10個箱子堆放高度為41的堆放方式共有種.故5130.12.已知且，設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，當時，實數(shù)的取值范圍是__________.【正確答案】【分析】根據(jù)已知求導(dǎo)函數(shù)，再構(gòu)造新函數(shù)，應(yīng)用，兩種情況分類討論求出參數(shù)即可.，且，令，，若時，單調(diào)遞增，則若，則單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，因為存在，所以x∈?∞,a,f'因為所以分別為y=fx的極大值點和極小值點，不合題意；若時，單調(diào)遞減，若，則，x∈?∞,x0,g因為存在，所以，f'x0即，故lnmx0=x單調(diào)遞減，x∈a,b,f'因為所以分別為y=fx的極小值點和極大值點，符合題意；所以.故關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是分類討論后求解，得出，對的計算求解.二?選擇題（本大題共4題，滿分18分，第13～14題每題4分，第題每題5分）13.對于實數(shù)“”是“”的（）條件.A.充分非必要 B.必要非充分C.充要 D.既非充分又非必要【正確答案】B【分析】根據(jù)題意，分別求解不等式，再由充分條件以及必要條件的定義，即可得到結(jié)果.由可得，解得，由可得，解得，則“”是“”的必要非充分條件.故選：B14.已知直線及平面，其中，且和之間的距離為2，那么在平面內(nèi)到直線和距離之和為3的點的集合不可能是（）A.一個點 B.一條直線C.兩條直線 D.空集【正確答案】A【分析】考慮且和到平面之間的距離相等和不等，得到BCD可能，當與相交（垂直或斜交），由對稱性分析，A不可能，得到答案.如圖1，假如且和到平面之間的距離等于，和在平面上的投影分別為，在平面內(nèi)取一點，過點作⊥，則⊥，，設(shè)，則，過點作⊥平面，交于點，同理過點作⊥平面，交于點，則，分別為點到和的距離，由勾股定理得，，所以，，兩邊平方得，故①，當，即時，①只有1個根，即此時在平面內(nèi)存在一條直線到直線和距離之和為3，當，即時，①有2個根，此時在平面內(nèi)存在2條直線到直線和距離之和為3，，即時，①無根，即此時在平面內(nèi)到直線和距離之和為3的點的集合為空集，BCD均可能，A不可能；假如且和到平面之間的距離分別等于，可同理分析，要么存在一條直線，要么存在兩條直線，要么為空集；假如與相交（垂直或斜交），如圖2，假設(shè)在平面內(nèi)存在一個點到直線和距離之和為3，由對稱性可知，則存在另一個點到直線和距離之和為3，所以至少存在兩個點，到直線和距離之和為3，綜上，BCD可能，A不可能,故選：A15.設(shè)分別為雙曲線的左?右焦點.若在雙曲線右支上存在點，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近線的斜率為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，由勾股定理可得，再由雙曲線的定義代入計算，即可得到的關(guān)系式，再由雙曲線漸近線的方程，即可得到結(jié)果.由題意可得，為等腰三角形，且，又到直線的距離等于雙曲線的實軸長，由勾股定理可得，結(jié)合雙曲線的定義可得，即，所以，代入可得，整理可得，即，所以雙曲線的漸近線方程的斜率為.故選：C16.已知兩個各項均不為零的無窮數(shù)列和，若對于數(shù)列中的任意一項，總在數(shù)列中存在一項，使得，則稱數(shù)列是數(shù)列的“數(shù)列”.對于以下兩個命題，說法正確的是（）.①對于任意等比數(shù)列，總存在等比數(shù)列是其“數(shù)列”；②存在公差不為零的等差數(shù)列，使其“數(shù)列”是等差數(shù)列.A.①真②真 B.①真②假 C.①假②真 D.①假②假【正確答案】B【分析】結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的定義及通項公式，利用數(shù)列的定義求解.設(shè)等比數(shù)列的通項公式為，則是等比數(shù)列，故①是真命題；設(shè)等差數(shù)列的通項公式為，則不是等差數(shù)列，故②是假命題.故選：B三?解答題（本大題共有78分，第1719題每題14分，第20題16分?第21題20分）17.已知數(shù)列的前項和為.（1）若數(shù)列為等差數(shù)列，，求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列為等比數(shù)列，，求的值，并求滿足時，正整數(shù)的最小值.【正確答案】（1）（2）2；7【分析】（1）計算出公差，然后寫出通項公式；（2）計算出公比，根據(jù)無窮等比數(shù)列求和公式計算出，寫出再解不等式得出答案.【小問1】設(shè)的公差為，由，又，則，解得，所以.【小問2】設(shè)的公比為，由，，得，則，所以，而，所以，化簡得，由于為正整數(shù)，所以的最小值為7.18.已知，.（1）若函數(shù)y=fx在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)的三邊分別是，若，，求的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）化簡函數(shù)解析式為，由可求得的取值范圍，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的不等式組，由此可解得的取值范圍.（2）先求出C，再用正弦定理邊角互化，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值域即可.【小問1】所以所以即，由于，即，故，而，故.又由于，所以.【小問2】，所以，即或，由于為的內(nèi)角，故.所以由正弦定理，，.所以，.所以的取值范圍是1,2.19.在邊長為2的正方體中，已知點是棱上的動點（包含端點）.（1）若為的中點（圖1），求點到平面的距離；（2）若點與點重合（圖2），求證：與平面的交點為等邊的中心；（3）是否存在點使得與平面的所成角是，若存在，請求出的長，若不存在，請說明理由.【正確答案】（1）（2）證明見解析（3）存在，【分析】（1）如圖建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，然后由空間向量知識可得答案；（2）由三垂線定理，可證平面，然后由可得結(jié)論；（3）設(shè)，由題及空間向量知識可得關(guān)于y的表達式，即可得答案.【小問1】以為原點?方向作為軸?軸?軸正方向，建立空間直角坐標系.則所以，設(shè)n=x,y,z為平面的法向量，則，即n=所以點到平面的距離為.【小問2】證明：當點與點重合時，為在平面上的投影，由于，結(jié)合三垂線定理，所以，同理可得.由于和是平面上相交于點的直線，所以平面.所以平面，故，由于，所以，即，即為的外心.又由于為等邊，則為中心.【小問3】若存在這樣的點，設(shè)，所以故，解得，所以存在，此時20.已知甲和乙分別依次各拋擲次和次同一枚質(zhì)地均勻的硬幣，甲和乙每次拋硬幣均互不影響.（1）若，設(shè)事件：甲拋擲的3次硬幣中至少1次正面；事件B：甲拋擲的3次硬幣中有且僅有第二次是反面，判斷事件和事件是否是獨立的，并說明理由；（2）若，若甲在第次拋擲的結(jié)果與乙在第次拋擲的結(jié)果相同，則稱甲和乙“有靈犀”，求在此情況下，甲和乙“心有靈犀”有且僅有2次的概率；（3）若，求甲拋擲次硬幣的正面數(shù)比乙拋擲次硬幣的正面數(shù)多的概率.【正確答案】（1）事件和事件不是獨立的，理由見解析（2）（3）【分析】（1）利用對立事件來求至少有1次正面的概率，利用相互獨立事件的判斷公式來進行求解即可；（2）利用相互獨立事件同時發(fā)生用乘法公式來計算即可；（3）利用反證法來分析求解即可.【小問1】事件：甲拋擲的3次硬幣中至少1次正面，則，事件B：甲拋擲的3次硬幣中有且僅有第二次是反面，則，而事件：表示甲拋擲的3次硬幣中僅第二次反面，其余兩次正面，則，此時，故事件和事件不是獨立的.【小問2】設(shè)事件C：甲和乙“心有靈犀”有且僅有2次則.【小問3】設(shè)事件：甲拋擲的正面數(shù)比乙拋擲的正面數(shù)多；事件：甲拋擲的反面數(shù)比乙拋擲的反面數(shù)多.現(xiàn)考慮，當兩個事件同時發(fā)生時，甲拋擲的次數(shù)至少比乙拋擲的次數(shù)多2次，故與矛盾，即.再考慮，如果兩個事件都不發(fā)生，則甲拋擲的次數(shù)要小于等于乙拋擲的次數(shù)，故與矛盾，故，即為全集.所以有可加性，可得，由于硬幣的質(zhì)地均勻，故有.21.已知為實數(shù)，記.（1）當時，定義在上的奇函數(shù)滿足：當時，，求的解析式；（2）若函數(shù)為偶函數(shù)，若對于任意，關(guān)于的不等式均成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）求證：“”是“存在正數(shù)，使得函數(shù)在處取到最小值”的充要條件.【正確答案】（1）（2）（3）證明見解析【分析】（1）當，利用函數(shù)奇偶性可知，代入求得時的解析式，從而得到分段函數(shù)解析式；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性化簡不等式，利用分離常數(shù)法，求導(dǎo)求出的單調(diào)性求得的取值范圍.（3）先證明充分性，通過求導(dǎo)得出，，由于的圖像是連續(xù)曲線，由零點存在性定理可知函數(shù)y=f'x有且只有一個零點，再證明函數(shù)y=fx在處取到最小值，最后再證明必要性．【小問1】當時，，所以當時，.所以.【小問2】當函數(shù)y=fx為偶函數(shù)時，必有，解得，經(jīng)檢驗，此時y=fx確為偶函數(shù)此時，令，解得，故當時，f'x<0，函數(shù)當x∈0,+∞時，f'結(jié)合函數(shù)y=fx為偶函數(shù)，所以等價于.化簡得，即對x∈0,2恒成立.令，則有當時，為嚴格減函數(shù)，當時，為嚴格增函數(shù)，結(jié)合，可知解得.【小問3】充分性：當時，在R上是嚴格增函數(shù)，且，，設(shè)在時恒大于零，故在上是嚴格增函數(shù)，故，故.又由于的圖象是連續(xù)曲線，由零點存在性