【八年級上冊數(shù)學浙教版】專題2.1 等腰（直角）三角形中的分類討論問題 專項講練（原卷版）

第第頁專題2.1等腰（直角）三角形中的分類討論問題專項講練1、等腰三角形中的分類討論：【解題技巧】凡是涉及等腰三角形邊、角、周長、面積等問題，優(yōu)先考慮分類討論，再利用等腰三角形的性質(zhì)與三角形三邊關系解題即可。1.無圖需分類討論①已知邊長度無法確定是底邊還是腰時要分類討論；②已知角度數(shù)無法確定是頂角還是底角時要分類討論；③遇高線需分高在△內(nèi)和△外兩類討論；④中線把等腰△周長分成兩部分需分類討論。2.“兩定一動”等腰三角形存在性問題：（常見于與坐標系綜合出題，后續(xù)會專題進行講解）即：如圖：已知，兩點是定點，找一點構成等腰方法：兩圓一線具體圖解：①當時，以點為圓心，長為半徑作⊙，點在⊙上（，除外）②當時，以點為圓心，長為半徑作⊙，點在⊙上（，除外）③當時，作的中垂線，點在該中垂線上（除外）注意：本專題部分題目涉及勾股定理，希望大家學習完第3章后再完成該專題訓練。例1．（2022·上虞市實驗中學初二月考）在如圖所示的三角形中，∠A＝30°，點P和點Q分別是邊AC和BC上的兩個動點，分別連接BP和PQ，把△ABC分割成三個三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的這三個三角形都是等腰三角形，則∠C有可能的值有________個．變式1．（2021·保定市第三中學分校初二期中）如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，在軸上確定點，使為等腰三角形，則符合條件的點有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個例2．（2022·福建·廈門一中八年級期末）在平面直角坐標系中，點A（10，0）、B（0，3），以AB為邊在第一象限作等腰直角△ABC，則點C的坐標為_______．變式2．（2022·黑龍江密山·八年級期末）如圖，直線MN與x軸、y軸分別相交于B、A兩點，．(1)求A，B兩點的坐標；(2)若點O到AB的距離為，求線段AB的長；(3)在（2）的條件下，x軸上是否存在點P，使△ABP是以AB為腰的等腰三角形，若存在請直接寫出滿足條件的點P的坐標．例3．（2021·北京·北方工業(yè)大學附屬學校八年級期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC為一邊．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，則線段BD的長為____．變式3．（2021·浙江余杭·八年級期中）如圖，已知在中，，，，若動點P從點B開始，按的路徑運動，且速度為每秒2個單位長度，設出發(fā)的時間為t秒．(1)出發(fā)2秒后，求CP的長．(2)出發(fā)幾秒鐘后，CP恰好平分的周長．(3)當t為何值時，為等腰三角形？例4．（2022·江西宜春·八年級期末）規(guī)定：在直角三角形中，如果直角邊是斜邊的一半，那么它所對的銳角為30°．等腰三角形ABC中，于點D，若，則底角的度數(shù)為______．變式4．（2021·重慶市榮昌初級中學八年級期中）如圖1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，點B、D、C、F在同一直線上，點A在DE上．如圖2，△ABC固定不動，將△EDF繞點D逆時針旋轉α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，當直線E′F′與直線AC、BC所圍成的三角形為等腰三角形時，α的大小為___．2、直角三角形中的分類討論：【解題技巧】1.無圖需分類討論——經(jīng)典運用：已知邊長度無法確定是直角邊還是斜邊時要分類討論。2.“兩定一動”直角三角形存在性問題：（常見于與坐標系綜合出題，后續(xù)會專題進行講解）即：如圖：已知，兩點是定點，找一點構成方法：兩線一圓具體圖解：①當時，過點作的垂線，點在該垂線上（除外）②當時，過點作的垂線，點在該垂線上（除外）③當時，以為直徑作圓，點在該圓上（，除外）例1．（2022·江西九江·八年級期末）已知在平面直角坐標系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．點P在x軸上運動，當點P與點A、B、C三點中任意兩點構成直角三角形時，點P的坐標為________．例2．（2021·江蘇興化·八年級期中）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點D、E在邊BC所在的直線上，且AB=DB，AC=EC，則∠DAE的度數(shù)為________．變式1.（2021·廣東廣州·八年級階段練習）在中，若過頂點的一條直線把這個三角形分割成兩個三角形，其中一個為等腰三角形，另一個為直角三角形，則稱這條直線為的關于點的二分割線．例如：如圖，在中，，，若過頂點的一條直線交于點，且，則直線是的關于點的二分割線．如圖，已知，同時滿足：①為最小角；②存在關于點的二分割線，則的度數(shù)為______．例3．（2021·河南·鄭州市第六十三中學三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，點P是邊AC上一動點，把△ABP沿直線BP折疊，使得點A落在圖中點A′處，當△AA′C是直角三角形時，則線段CP的長是_________．變式2．（2021?海州區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝6，AO＝BO，P是射線CO上的一個動點，∠AOC＝60°，則當△PAB為直角三角形時，AP的長為．例4．（2022·全國·八年級專題練習）如圖，，點A是延長線上的一點，，動點P從點A出發(fā)沿以的速度移動，動點Q從點O出發(fā)沿以的速度移動，如果點同時出發(fā)，用表示移動的時間，當_____s時，是等腰三角形；當___s時，是直角三角形．變式3．（2022·浙江·諸暨市八年級期中）如圖∠MAN＝60°，若△ABC的頂點B在射線AM上，且AB＝6，動點C從點A出發(fā)，以每秒1個單位沿射線AN運動，當運動時間t是_______秒時，△ABC是直角三角形．課后訓練1．（2022·安徽淮北·九年級階段練習）如圖，在中，，，．若點P為直線BC上一點，且為等腰三角形，則符合條件的點P有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2022·黑龍江·哈爾濱工業(yè)大學附屬中學校八年級階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，在軸上確定點，使為等腰三角形，則符合條件的點有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個3．（2022·四川廣元·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C為原點，C所在直線為y軸，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標系，在坐標軸上取一點M使△MAB為等腰三角形，符合條件的M點有（

）A．6個B．7個C．8個D．9個4．（2022·黑龍江哈爾濱·八年級期末）在平面直角坐標系xOy中，已知A（1，2），在y軸確定點P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點P有____個．5．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，在中，，，，．是邊上的一個動點，點與點關于直線對稱，當為直角三角形時，的長為________．6．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，，點A是延長線上的一點，，動點P從點A出發(fā)沿以的速度移動，動點Q從點O出發(fā)沿以的速度移動，如果點同時出發(fā)，用表示移動的時間，當_________s時，是等腰三角形；當_________s時，是直角三角形．7．（2022·浙江·義烏市稠州中學教育集團八年級期中）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點P是BC邊上的一個動點，點B與B′是關于直線AP的對稱點，當△CPB'是直角三角形時，BP的長＝_______．8．（2022·河南平頂山·八年級期末）如圖，中，，，的平分線與線段交于點，且有，點是線段上的動點（與A、不重合），連接，當是等腰三角形時，則的長為___________．9．（2022·河北承德·八年級期末）如圖，，，動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線運動，嘉琪在研究過程中發(fā)現(xiàn)，隨著點Р運動，形狀在發(fā)生變化，設點P的運動時間為t秒．（1）當是直角三角形時，t的值為_________；（2）當是鈍角三角形時，t滿足的條件是____________．10．（2022·全國·八年級專題練習）已知：如圖，線段和射線有公共端點．求作：點，使點在射線上，且為等腰三角形．（利用無刻度的直尺和圓規(guī)作出所有符合條件的點，不寫作法，保留作圖痕跡）11．（2022·山東·周村二中八年級期中）在同一平面內(nèi)，若點P與△ABC三個頂點中的任意兩個頂點連接形成的三角形都是等腰三角形，則