廣西北海市2023屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

第1頁/共1頁2023屆北海市高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合交集的運(yùn)算求解.【詳解】∵，∴．故選：D.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，若z為純虛數(shù)，則（）A.-3 B. C.3 D.0【答案】C【解析】【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義列關(guān)系式求即可.【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以且，所以．故選：C.3.在等差數(shù)列中，，，則（）A19 B.18 C.17 D.20【答案】C【解析】【分析】利用已知條件列方程組求出，從而可求出.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由題意可得，解得，所以，故選：C.4.大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域產(chǎn)卵．記鮭魚的游速為v（單位：），鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為Q，研究發(fā)現(xiàn)．當(dāng)時(shí)，鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為800．當(dāng)時(shí)，鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為（）A.12800 B.24800 C.25600 D.51200【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意得，再結(jié)合對數(shù)運(yùn)算解方程即可.【詳解】解：因?yàn)闀r(shí)，，所以，解得，所以，時(shí)，，即，所以，解得．故選：D．5.如圖所示幾何體是底面直徑為2，高為3的圓柱的上底面挖去半個(gè)球，則該幾何體的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，該幾何體的表面積是圓柱的側(cè)面積，圓柱的一個(gè)底面面積和半個(gè)球面面積的和，再依次計(jì)算求和即可.【詳解】解：根據(jù)題意，該幾何體的表面積是圓柱的側(cè)面積，圓柱的一個(gè)底面面積和半個(gè)球面面積的和.因?yàn)閳A柱底面直徑為2，高為3，所以，圓柱的側(cè)面積為，一個(gè)底面面積為，半個(gè)球面的面積為，所以，該幾何體的表面積為．故選：B6.如圖所示，陰影部分由四個(gè)全等的三角形組成，每個(gè)三角形是腰長等于圓的半徑，頂角為的等腰三角形．如果在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，那么該點(diǎn)落到陰影部分內(nèi)的概率為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合三角形的面積公式，根據(jù)幾何概型的面積型問題求解即可.【詳解】解：設(shè)圓的半徑為，則圓的面積為，所以，四個(gè)三角形的面積為，因?yàn)?，在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，那么該點(diǎn)落到陰影部分內(nèi)的概率為所以，，解得，因?yàn)椋裕蔬x：A7.已知角滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由兩角差的正切公式求得，直接二倍角公式及同角關(guān)系將轉(zhuǎn)化為含的形式，由此可得結(jié)果．【詳解】因?yàn)椋喌?，所以，又，所以，故選：A．8.已知奇函數(shù)的定義域?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．若，則的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】作出圖象，從圖象上觀察的解集.【詳解】奇函數(shù)的定義域?yàn)?，，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可作出的大致圖象：由圖象可知解集為．故選：B9.已知，若，恒成立，則正數(shù)m的最小值是（）A. B.1 C. D.e【答案】B【解析】【分析】不等式化簡可得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知條件和函數(shù)的單調(diào)性可求m的最小值.【詳解】由，化簡可得，即．令，則原不等式可化為，由已知在上為單調(diào)遞減函數(shù)，又，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．所以．所以正數(shù)m的最小值是1，故選：B．10.已知函數(shù)，將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，已知在上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得，換元轉(zhuǎn)化為在上恰有5個(gè)不相等的實(shí)根，結(jié)合的性質(zhì)列出不等式求解.【詳解】，令，由題意在上恰有5個(gè)零點(diǎn)，即在上恰有5個(gè)不相等的實(shí)根，由的性質(zhì)可得，解得．故選：D．11.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則數(shù)列的前81項(xiàng)的和為（）A.1640 B.1660 C.1680 D.1700【答案】A【解析】【分析】由得到數(shù)列的特征，再求數(shù)列的前81項(xiàng)的和.【詳解】由，有，有．又由，可得，可得，則數(shù)列的前81項(xiàng)的和為．故選：A12.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，拋物線上的任意一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離比到直線的距離少，過焦點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，直線，與直線分別相交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則直線的斜率為（）A.1或 B.1或2 C.或2 D.【答案】A【解析】【分析】由條件結(jié)合拋物線定義求出拋物線方程，設(shè)直線方程，并與拋物線方程聯(lián)立求出的坐標(biāo)的關(guān)系，再通過聯(lián)立方程組求出的坐標(biāo)，結(jié)合的坐標(biāo)的關(guān)系列方程求出直線的斜率.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，拋物線上的任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離比到直線的距離少，所以拋物線上的任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，由拋物線的定義知，即，所以拋物線的方程為．，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足要求，故可設(shè)的方程為，，．聯(lián)立方程組整理得，方程的判別式，由韋達(dá)定理知，．直線的方程為，聯(lián)立方程組所以，因?yàn)?，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理，．因?yàn)槎荚谥本€上，所以，又由，有，解得或，故直線的斜率為1或．故選：A．【點(diǎn)睛】(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量是單位向量，向量，且，則與的夾角為_____________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律得，進(jìn)而得，再根據(jù)向量夾角范圍即可得答案.【詳解】解：由題意可知，，所以，，所以，解得，因?yàn)樗?，，即和的夾角為．故答案為：14.的展開式中的系數(shù)為_____________．【答案】9【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理求指定項(xiàng)的系數(shù).【詳解】，展開式中的系數(shù)為．故答案為：915.如圖，已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，正六邊形的一邊的中點(diǎn)恰好在雙曲線上，則雙曲線的離心率是_____________．【答案】【解析】【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，進(jìn)而根據(jù)正六邊形的幾何關(guān)系得，，進(jìn)而根據(jù)余弦定理得，再結(jié)合雙曲線的定義得，再求離心率即可.【詳解】解：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，因?yàn)槭钦呅危?，，，所以，，所以，在中，由余弦定理得，解得，所以，所以雙曲線的離心率．故答案為：16.如圖，在體積為的三棱錐中，，，底面，則三棱錐外接球體積的最小值為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)外接圓的圓心為，外接圓的半徑為，由已知得是外心，為三棱錐外接球的球心，求出外接球半徑的最小值可得球體積最小值，為此設(shè)，，，，由棱錐體積得的關(guān)系，利用基本不等式得出的最小值即可得體積最小值．【詳解】如圖，設(shè)外接圓的圓心為，外接圓的半徑為，，，，，由，有，由可知，為三棱錐外接球的球心，有，解得(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號)，故三棱錐外接球體積的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求棱錐外接球體積的最小值，解題關(guān)鍵是確定外接球的球心，設(shè)出棱長，由棱錐體積得出棱長關(guān)系，求得外接球半徑，并用基本不等式求得最小值．確定體積的最小值．結(jié)論：三棱錐外接球的球心一定在過各面外心且與此面垂直的直線．三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答、第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分、17.已知內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若，求周長的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用正弦定理轉(zhuǎn)化后，整理化簡得從而求出角的大小；（2）利用余弦定理可得關(guān)系，利用基本不等式求的最大值，由此可求周長的最大值.【小問1詳解】由及正弦定理得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，，又，解得；【小?詳解】∵，，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．所以周長的最大值為．18.如圖，在直三棱柱中，，E為中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面所成二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）證明四邊形是平行四邊形即可；（2）建立坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量即可求得兩平面所成二面角的余弦值，再求正弦值即可.【小問1詳解】證明：取的中點(diǎn)O，連接,，∵，，∴且，∵，，∴，且,∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，平面，平面，∴平面.【小問2詳解】因?yàn)椋瑑蓛纱怪?，故以為原點(diǎn)，,,分別為,,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，，，可得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，，，可得平面的一個(gè)法向量為，有，，，可得，故平面與平面的二面角的正弦值為．19.某校為了了解學(xué)生每天完成數(shù)學(xué)作業(yè)所需的時(shí)間收集了相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中，學(xué)生完成數(shù)學(xué)作業(yè)的時(shí)間的范圍是．其統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分組區(qū)間為，，，，．（1）求直方圖中x的值；（2）以直方圖中的頻率作為概率，從該校學(xué)生中任選4人，這4名學(xué)生中完成數(shù)學(xué)作業(yè)所需時(shí)間少于20分鐘的人數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為1.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)即可求解；（2）由題意可知，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布.小問1詳解】由直方圖小矩形面積之和為1，可得:，解得；【小問2詳解】X的可能取值為0，1，2，3，4．由直方圖可知，每位學(xué)生完成數(shù)學(xué)作業(yè)所需時(shí)間少于20分鐘的概率為，則，，，，．所以的分布列為：01234因?yàn)樗裕?0.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，且橢圓的離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）相互垂直且斜率存在的直線，都過點(diǎn)，直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)．【答案】（1）.（2）直線過定點(diǎn)，證明見解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)橢圓過點(diǎn)及離心率為，列方程組求解；(2)將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得到二次方程，用韋達(dá)定理表示出中點(diǎn)、的坐標(biāo)，由對稱性可知直線所過x軸上的定點(diǎn)，由三點(diǎn)共線列出方程可解出為定值.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為、，由題意有解得故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】證明：設(shè)直線的斜率為，可得直線的斜率為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，聯(lián)立方程消除后有，有，可得，，同理，，由對稱性可知直線所過的定點(diǎn)必定在軸上，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，有，有，化簡得，解得，故直線過定點(diǎn)．21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求過點(diǎn)且和曲線相切的直線方程；（2）若對任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求得時(shí)的解析式，設(shè)出切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解；（2）對原不等式進(jìn)行配湊，并構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性，轉(zhuǎn)化原不等式并分離參數(shù)，結(jié)合函數(shù)最值，即可求得結(jié)果.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)辄c(diǎn)沒有在曲線上，故不是切點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為，直線斜率為，則切線方程為，又因?yàn)樵撝本€過點(diǎn)，所以，即，記，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，又，∴，故切線方程為；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，由可得，即，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得，所以，即，其中，令，其中，則．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，即．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)范圍的問題，其中第二問中處理問題的關(guān)鍵是對原不等式，經(jīng)過配湊后構(gòu)造函數(shù)，從而簡化問題，屬綜合中檔題.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程與直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)．【答案】（1）曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，直線l的極直角坐標(biāo)方程為；（2）點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B的極坐標(biāo)為【解析】【分析】（1）根據(jù)參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程、極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程的知識即可求解；（2）根據(jù)極坐標(biāo)的定義，結(jié)合的直角坐標(biāo)求極徑、極角，寫出極坐標(biāo)即可【小問1詳解】因?yàn)榍€C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以曲線C的普通方程為，因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為，且所以直線l的直角坐標(biāo)方程為；【小問2詳解】依題意得，聯(lián)立方程解得或故點(diǎn)直角坐標(biāo)分別為，，設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，，(其中，，，)則，；，；因?yàn)辄c(diǎn)在第四象限，點(diǎn)在軸的正半軸，所以，