第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用60582

第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用一問題的提出二區(qū)域的連通性及分類三格林（Green）公式四格林（Green）公式的簡單應(yīng)用五曲線積分與路徑的無關(guān)六二元函數(shù)的全微分求積七小結(jié)與思考判斷題2025/1/81一問題的提出

在一元函數(shù)的微積分中我們通過Newton-lebiniz公式可以把定積分和原函數(shù)聯(lián)系起來.在曲線積分中，我們是否有相似的聯(lián)系呢？下面的Green公式告訴我們，在曲線積分中，也有相似的聯(lián)系。即二重積分與曲線積分的聯(lián)系，這就是我們所要講授的Green公式。2025/1/82二區(qū)域連通性的分類

設(shè)D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D,則稱D為平面單連通區(qū)域,否則稱為復(fù)連通區(qū)域.復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域DD2025/1/83三格林公式定理12025/1/84邊界曲線L的正向:當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí),區(qū)域D總在他的左邊.證明(1)yxoabDcdABCE2025/1/86同理可證yxodDcCEAB2025/1/87證明(2)D兩式相加得2025/1/882025/1/89GDFCEAB證明(3)由(2)知2025/1/8102025/1/811xyoL1）簡化曲線積分四、應(yīng)用AB

2025/1/8122025/1/8132）簡化二重積分xyo2025/1/8142025/1/815解2025/1/816xyoLyxo2025/1/817xyo(注意格林公式的條件)2025/1/818例4計(jì)算解:為了使用格林公式,添加輔助線段它與L

所圍其中L為上半從

O(0,0)到

A(4,0).圓周區(qū)域?yàn)镈,

則3）計(jì)算平面面積2025/1/820例5橢圓所圍面積解：解2025/1/8222025/1/823Gyxo五曲線積分與路徑的無關(guān)BA如果在區(qū)域G內(nèi)有2025/1/824定理2曲線積分與路徑無關(guān)的條件2025/1/825兩條件缺一不可有關(guān)定理的說明：2025/1/826六二元函數(shù)的全微分求積定理32025/1/8272025/1/828例7驗(yàn)證是某個(gè)函數(shù)的全微分,并求出這個(gè)函數(shù).

證:設(shè)則由定理2可知,存在函數(shù)

u(x,y)使。。說明:根據(jù)定理2,若在某區(qū)域內(nèi)則2)求曲線積分時(shí),可利用格林公式簡化計(jì)算,3)可用積分法求du=

Pdx+Qdy在域

D內(nèi)的原函數(shù):及動(dòng)點(diǎn)或則原函數(shù)為若積分路徑不是閉曲線,可添加輔助線;取定點(diǎn)1)計(jì)算曲線積分時(shí),可選擇方便的積分路徑;解2025/1/831解2025/1/8322025/1/833七小結(jié)與思考判斷題1）連通區(qū)域的概念;2）二重積分與曲線積分的關(guān)系3）格林公式的應(yīng)用.——格林公式;2025/1/8344）與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題2025/1/835

若區(qū)域