微積分人大3版81上課講義

§8.1空間解析幾何簡(jiǎn)介一、空間直角坐標(biāo)系三、曲面與方程二、空間兩點(diǎn)間的距離上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)一、空間直角坐標(biāo)系O過(guò)空間一個(gè)定點(diǎn)O，作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以O(shè)為原點(diǎn)且一般具有相同的長(zhǎng)度單位。它們的正向通常符合右手規(guī)則。這樣的三條坐標(biāo)軸就組成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系。y軸(縱軸)z軸(豎軸)(坐標(biāo))原點(diǎn)x軸(橫軸)x

1y

1z

1拇指方向四指轉(zhuǎn)向右手規(guī)則空間直角坐標(biāo)系：練習(xí)下頁(yè)三條坐標(biāo)軸中的任意兩條可以確定一個(gè)平面，這樣定出的三個(gè)平面統(tǒng)稱為坐標(biāo)面。坐標(biāo)面：Oz

y

x

xOy面yOz面zOx面下頁(yè)卦限：三個(gè)坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)部分，每一部分叫做卦限。Oz

y

x

下頁(yè)卦限：三個(gè)坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)部分，每一部分叫做卦限。Oz

y

x

第五卦限第六卦限第七卦限第八卦限下頁(yè)練習(xí)點(diǎn)的坐標(biāo)：Ox

y

z

PRQ設(shè)M為空間一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作三個(gè)平面，分別垂直于x軸、y軸和z軸，得到三個(gè)平面在x軸、y軸、z軸上的交點(diǎn)P、Q、R。設(shè)OP=a、OQ=b、OR=c，則點(diǎn)M唯一確定了一個(gè)三元有序數(shù)組(a,b,c)。反之，對(duì)任意一個(gè)三元有序數(shù)組(a,b,c)，也可以唯一地確定空間的一個(gè)點(diǎn)M。M三元有序數(shù)組(a,b,c)稱為點(diǎn)M的坐標(biāo)，記為M(a,b,c)。首頁(yè)練習(xí)二、空間兩點(diǎn)間的距離因?yàn)閨M1M2|2=|M1Q|2+|M2Q|2=|M1P|2+|PQ|2+|M2Q|2，M1所以|M1Q|=|z2

z1|。|PQ|=|y2

y1|，設(shè)M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)為空間兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)間的距離d。|M1P|=|x2

x1|，作一個(gè)以M1和M2為對(duì)角線頂點(diǎn)的長(zhǎng)方體，使其三個(gè)相鄰的面分別平行于三個(gè)坐標(biāo)面。OxyzM2x2x1y1y2PQz1z2注意：下頁(yè)二、空間兩點(diǎn)間的距離設(shè)M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)為空間兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的距離為特殊地，點(diǎn)M

(x,y,z

)與原點(diǎn)O(0,0,0)的距離為下頁(yè)二、空間兩點(diǎn)間的距離設(shè)M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)為空間兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的距離為

例1求證以M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)等腰三角形。所以|M2M3|

|M1M3|，|M1M3|2|M2M3|2解：因?yàn)閨M1M2|2

(7

4)2

(1

3)2

(2

1)2

14，

(5

7)2

(2

1)2

(3

2)2

6，

(5

4)2

(2

3)2

(3

1)2

6，即DM1M2M3為等腰三角形。下頁(yè)二、空間兩點(diǎn)間的距離設(shè)M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)為空間兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的距離為

解：設(shè)所求的點(diǎn)為M(0,0,z)，則有|MA|2

|MB|2，例2在z軸上求與兩點(diǎn)A(

4,1,7)和B(3,5,

2)等距離的點(diǎn)。即(0

4)2

(0

1)2

(z

7)2

(3

0)2

(5

0)2

(

2

z)2。首頁(yè)三、曲面與方程如果曲面S上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程F(x,y,z)=0，而不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程F(x,y,z)=0，那么方程F(x,y,z)=0稱為曲面S的方程，而曲面S稱為方程F(x,y,z)=0的圖形。OxyzF(x，y，z)

0M(x，y，z)F(x，y，z

)

0M(x，y，z

)下頁(yè)

例3一動(dòng)點(diǎn)M(x,y,z)與二定點(diǎn)M1(1,-1,0)、M2(2,0,-2)的距離相等，求此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。

解：依題意有|MM1|=|MM2|，由兩點(diǎn)間距離公式得化簡(jiǎn)后可得點(diǎn)M的軌跡方程為

x+y-2z-3=0。動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是線段M1M2的垂直平分面，因此上面所求的方程是該平面的方程。下頁(yè)

例4求三個(gè)坐標(biāo)平面的方程。

解：注意到xOy面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)必有z=0，而滿足z=0的點(diǎn)也必然在xOy面上，所以xOy面的方程為z=0。同理，yOz面的方程為x=0；zOx面的方程為y=0。

例5作z=c(c為常數(shù))的圖形。Oxyzc解：方程z=c中不含x、y，這意味著x與y可取任意值而總有z=c，其圖形是平行于xy平面的平面。M(x,y,c)下頁(yè)前面討論了幾個(gè)平面的方程，它們都是一次方程，可以證明空間內(nèi)任意一個(gè)平面的方程為三元一次方程

Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C、D均為常數(shù)，且A、B、C不全為0。平面方程：下頁(yè)球面方程：

例6求球心為點(diǎn)M0(x0,y0,z0)，半徑為R的球面方程。化簡(jiǎn)得球面方程(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2。M0M解：設(shè)M(x,y,z)為球面上任意一點(diǎn)，則有|MM0|=R，由距離公式有OxyzR下頁(yè)球面方程：球心為點(diǎn)M0(x0,y0,z0)，半徑為R的球面方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2。特殊地，球心為原點(diǎn)的球面方程為

x2+y2+z2=R2。上半球面方程為：下半球面方程為：OxyzR下頁(yè)

例7作曲面x2+y2=R2的圖形。

解：方程x2

y2

R2在xOy面上表示以原點(diǎn)為圓心、以R為半徑的圓。在空間直角坐標(biāo)系中，任意作一條通過(guò)xOy面上的圓x2

y2

R2且平行于z軸的直線，則直線上的點(diǎn)都滿足方程x2

y2

R2，即直線在x2

y2

R2所表示的曲面上。因此，這個(gè)曲面可以看成是由平行于z軸的直線l沿xOy面上的圓x2

y2

R2移動(dòng)而形成的圓柱面。直線l叫做它的母線，x2

y2

R2叫做它的準(zhǔn)線。OxyzRRx2

y2

R2l下頁(yè)

例8作曲面z=x2+y2的圖形。xyOzz=x2+y2

解：當(dāng)c>0時(shí)，平面z=c與曲面

的截痕為圓x2+y2

=c，z=c。我們稱曲面z=x2+y2為旋轉(zhuǎn)拋物面。平面x=a或y=b與曲面的截痕均為拋物線。當(dāng)c<0時(shí)，平面z=c與曲面無(wú)截痕。當(dāng)c=0時(shí)，平面z=c與曲面的截痕只為原點(diǎn)(0,0,0)。下頁(yè)xyzxyzc<0xyzc>0xyzc=0xyzy=0xyzx=0

例9作曲面z=y2-x2的圖形。

解：當(dāng)c

0時(shí)，平面z=c與的截痕為雙曲線

y2-x2=c，z=c。