2024屆江蘇省揚(yáng)州市寶應(yīng)縣高三上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省揚(yáng)州市寶應(yīng)縣2024屆高三上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.已知集合，，則等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意知，則則故選：A.2.設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A.66 B.67 C.65 D.63【答案】C【解析】因?yàn)?，則，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，可得，所以.故選：C.3.已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝，點(diǎn)D在線段BC上，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)等腰△ABC在邊上的高為，因?yàn)?，所以，所?所以，所以.故選:B.4.一個盒子中裝有5個黑球和4個白球，現(xiàn)從中先后無放回的取2個球，記“第一次取得黑球”為事件，“第二次取得白球”為事件，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，．故選：A.5.若，，則（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】，即，，故，，故，故，故，，，故．故選：D6.折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1）.圖2是一個圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧DE，AC所在圓的半徑分別是3和6，且，則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)圓臺上下底面的半徑分別為，由題意可知，解得，，解得：，作出圓臺的軸截面，如圖所示：圖中，，過點(diǎn)向作垂線，垂足為，則，所以圓臺的高，則上底面面積，，由圓臺的體積計算公式可得：，故選：.7.已知雙曲線的焦點(diǎn)關(guān)于漸近線的對稱點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】關(guān)于漸近線的對稱點(diǎn)在雙曲線上，如圖所示，則．所以是的中位線，所以，．所以到漸近線的距離為，即，在中，，，所以，進(jìn)而，所以，則漸近線方程為，故選：C.8.函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在閉區(qū)間，使得函數(shù)同時滿足：在上是單調(diào)遞增函數(shù)，且在上的值域?yàn)椋ǎ?，則稱區(qū)間為的“倍值區(qū)間”．如下四個函數(shù)，存在“2倍值區(qū)間”的是（）A.， B.C. D.【答案】B【解析】對于A:，函數(shù)在上單調(diào)遞增，若函數(shù)存在“倍值區(qū)間”，則，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，故在上不可能存在兩個零點(diǎn)，所以函數(shù)不存在“2倍值區(qū)間”，故A錯誤；對于B:為增函數(shù)，若函數(shù)存在“2倍值區(qū)間”，則，令，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，即有兩個根，所以存2倍值區(qū)間，故B正確；對于C:上單調(diào)遞增，若函數(shù)存在“2倍值區(qū)間”，則，所以，解得.所以函數(shù)不存在“2倍值區(qū)間”，故C錯誤；對于D：為增函數(shù)，若存在“2倍值區(qū)間”，則，結(jié)合及的圖象知，方程無解，故不存在“2倍值區(qū)間”，D錯誤；故選：B.二?多選題9.已知為復(fù)數(shù)，設(shè)，，在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】設(shè)，，，，，，對于A，，故選項(xiàng)A正確；對于B，，，故選項(xiàng)B正確；對于C，，當(dāng)時，，故選項(xiàng)C錯誤；對于D，，可以為零，也可以不為零，所以不一定平行于，故選項(xiàng)D錯誤.故選:AB.10.下列命題中正確的是（）A.中位數(shù)就是第50百分位數(shù)B.已知隨機(jī)變量X~，若，則C.已知隨機(jī)變量~，且函數(shù)為偶函數(shù)，則D.在回歸分析中，對一組給定的樣本數(shù)據(jù)而言，當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)越接近1時，樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)．【答案】ACD【解析】對于選項(xiàng)A，中位數(shù)就是第50百分位數(shù)，選項(xiàng)A正確；對選項(xiàng)B，，則，因此，故B錯誤；對選項(xiàng)C，，函數(shù)為偶函數(shù)，則，區(qū)間與關(guān)于對稱，故，選項(xiàng)C正確；對選項(xiàng)D，在回歸分析中，樣本相關(guān)系數(shù)越接近1，樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，選項(xiàng)D正確．故選：ACD.11.已知函數(shù)滿足，其圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，且在上單調(diào)遞減，則（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于對稱C.可以等于5D.的最小值為2【答案】BCD【解析】對于A，因?yàn)?，，所以，則，又，故，故A錯誤；對于B，由選項(xiàng)A得，所以，故是的一個對稱中心，故B正確；對于C，的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，解得，當(dāng)時，，因?yàn)?，所以，故C正確；對于D，因?yàn)?，所以，則，又，故，當(dāng)時，，可知，故D正確.故選：BCD.12.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)，直線：交拋物線于，兩點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），則以下說法正確的是（）A.B.存在實(shí)數(shù)，使得C.若，則D.若直線與的傾斜角互補(bǔ)，則【答案】ACD【解析】由已知，拋物線：，∴，，焦點(diǎn)，不妨設(shè)為，，設(shè)，到準(zhǔn)線的距離分別為，，對于A，∵由標(biāo)準(zhǔn)方程知，拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向右，，∴由拋物線的定義，故選項(xiàng)A正確；對于B，消去，化簡得（），則，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴不存在實(shí)數(shù)，使得，選項(xiàng)B錯誤；對于C，，，∵，∴，∴又∵由選項(xiàng)B判斷過程知，，∴解得，，或，，，∴若，則，選項(xiàng)C正確；對于D，由題意，，，，，直線與的傾斜角互補(bǔ)時，斜率均存在，且，∴，代入，，化簡得，由選項(xiàng)B的判斷知，，∴，∴，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.三?填空題13.已知的二項(xiàng)式系數(shù)的和為64，則其展開式的常數(shù)項(xiàng)為______.（用數(shù)字作答）【答案】240【解析】因?yàn)檎归_式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，所以，解得，則展開式的通項(xiàng)公式為，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：240.14.已知圓，過點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，且，請寫出一條滿足上述條件的直線的方程______.【答案】（答案不唯一，也滿足）【解析】由題意得，半徑，，故在圓外，設(shè)O到直線的距離為d，由得，即，解得，當(dāng)直線l斜率不存在時，即，此時，符合題意；當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)為，即，則，即，解得，故直線為.故答案為：（答案不唯一，也滿足）15.已知，將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列，則__________.【答案】【解析】因?yàn)閿?shù)列是正奇數(shù)列，對于數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時，設(shè)，則為偶數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)，則為奇數(shù)，所以，，則，因此，.故答案為：.16.函數(shù)，當(dāng)時，的零點(diǎn)個數(shù)為_____________；若恰有4個零點(diǎn)，則的取值范圍是______________.【答案】1【解析】第一空：當(dāng)時，當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，無零點(diǎn)，故此時的零點(diǎn)個數(shù)是1；第二空：顯然，至多有2個零點(diǎn)，故在上至少有2個零點(diǎn)，所以；若恰有2個零點(diǎn)，則，此時恰有兩個零點(diǎn)，所以，解得，此時；若恰有3個零點(diǎn)，則，此時，所以恰有1個零點(diǎn)，符合要求；③當(dāng)時，，所以恰有1個零點(diǎn)，而至少有4個零點(diǎn)，此時至少有5個零點(diǎn)，不符合要求，舍去.綜上，或.故答案為：1；.四、解答題17.在四棱錐中，底面．（1）證明：；（2）求PD與平面所成的角的正弦值．（1）證明：在四邊形中，作于，于，因?yàn)?，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以；?）解：如圖，以點(diǎn)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，，則，則，設(shè)平面的法向量，

則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.18.已知的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求A；（2）若的面積為，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，求的長．解：（1）因?yàn)?，所以由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，又，所以．?）因?yàn)椋?，即，又，則，所以，所以，，所以，所以，故，，故在中，由余弦定理可得，則．19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對于任意的，且，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）的定義域?yàn)?，?dāng)時，在恒成立，當(dāng)時，令，得，單調(diào)遞增；令，得，單調(diào)遞減，綜上所述：當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）不妨設(shè)，則不等式等價于，即，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，所以在上恒成立，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在遞增，所以，所以實(shí)數(shù)取值范圍為.20.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求，并證明數(shù)列是等差數(shù)列：（2）若，求正整數(shù)的所有取值.解：（1）由，得，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，兩式相減得，即，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）得，所以，，，兩式相減得，所以，則，由，得，即，令，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，由，，則當(dāng)時，，所以若，正整數(shù)的所有取值為.21.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上三個不同的動點(diǎn)（點(diǎn)不在軸上），滿足，且與的周長的比值為．（1）求橢圓的離心率；（2）判斷是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由．解：（1）依題意點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，則的周長為，則的周長為，所以，即，橢圓的離心率為．（2）解法一：設(shè)且，則有，即，由題由，可得，則，由題設(shè)直線，聯(lián)立，化簡整理可得顯然成立，故，，同理可得，（定值）.解法二：設(shè)且，則由，即有①，由題，由，可得，則，，點(diǎn)在橢圓上，則，則將上式代入整理得②，②-①整理化簡得，同理可得，（定值）.22.某商場在五一假期間開展了一項(xiàng)有獎闖關(guān)活動，并對每一關(guān)根據(jù)難度進(jìn)行賦分，競猜活動共五關(guān)，規(guī)定：上一關(guān)不通過則不進(jìn)入下一關(guān)，本關(guān)第一次未通過有再挑戰(zhàn)一次的機(jī)會，兩次均未通過，則闖關(guān)失敗，且各關(guān)能否通過相互獨(dú)立，已知甲、乙、丙三人都參加了該項(xiàng)闖關(guān)活動.（1）若甲第一關(guān)通過的概率為，第二關(guān)通過的概率為，求甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率；（2）已知該闖關(guān)活動累計得分服從正態(tài)分布，且滿分為450分，現(xiàn)要根據(jù)得分給共2500名參加者中得分前400名發(fā)放獎勵.①假設(shè)該闖關(guān)活動平均分?jǐn)?shù)為171分，351分以上共有57人，已知甲的得分為270分，問甲能否獲得獎勵，請說明理由；②丙得知他的分?jǐn)?shù)為430分，而乙告訴丙：“這次闖關(guān)活動平均分?jǐn)?shù)為201分，351分以上共有57人”，請結(jié)合統(tǒng)計學(xué)知識幫助丙辨別乙所說信息的真?zhèn)?附：若隨機(jī)變量，則；；.解：（1）設(shè)：第i次通過第一關(guān)，：第i次通過第二關(guān)，甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率為，由題意知.（2）設(shè)此次闖關(guān)活動的分?jǐn)?shù)記為.①由題意可知，因?yàn)?，且，所以，則；而，且，所以前400名參賽者的最低得分高于，而甲的得分為270分，所以甲能夠獲得獎勵；②假設(shè)乙所說為真，則，，而，所以，從而，而，所以為小概率事件，即丙的分?jǐn)?shù)為430分是小概率事件，可認(rèn)為其一般不可能發(fā)生，但卻又發(fā)生了，所以可認(rèn)為乙所說為假.江蘇省揚(yáng)州市寶應(yīng)縣2024屆高三上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.已知集合，，則等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意知，則則故選：A.2.設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A.66 B.67 C.65 D.63【答案】C【解析】因?yàn)?，則，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，可得，所以.故選：C.3.已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝，點(diǎn)D在線段BC上，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)等腰△ABC在邊上的高為，因?yàn)?，所以，所?所以，所以.故選:B.4.一個盒子中裝有5個黑球和4個白球，現(xiàn)從中先后無放回的取2個球，記“第一次取得黑球”為事件，“第二次取得白球”為事件，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，．故選：A.5.若，，則（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】，即，，故，，故，故，故，，，故．故選：D6.折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1）.圖2是一個圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧DE，AC所在圓的半徑分別是3和6，且，則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)圓臺上下底面的半徑分別為，由題意可知，解得，，解得：，作出圓臺的軸截面，如圖所示：圖中，，過點(diǎn)向作垂線，垂足為，則，所以圓臺的高，則上底面面積，，由圓臺的體積計算公式可得：，故選：.7.已知雙曲線的焦點(diǎn)關(guān)于漸近線的對稱點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】關(guān)于漸近線的對稱點(diǎn)在雙曲線上，如圖所示，則．所以是的中位線，所以，．所以到漸近線的距離為，即，在中，，，所以，進(jìn)而，所以，則漸近線方程為，故選：C.8.函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在閉區(qū)間，使得函數(shù)同時滿足：在上是單調(diào)遞增函數(shù)，且在上的值域?yàn)椋ǎ?，則稱區(qū)間為的“倍值區(qū)間”．如下四個函數(shù)，存在“2倍值區(qū)間”的是（）A.， B.C. D.【答案】B【解析】對于A:，函數(shù)在上單調(diào)遞增，若函數(shù)存在“倍值區(qū)間”，則，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，故在上不可能存在兩個零點(diǎn)，所以函數(shù)不存在“2倍值區(qū)間”，故A錯誤；對于B:為增函數(shù)，若函數(shù)存在“2倍值區(qū)間”，則，令，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，即有兩個根，所以存2倍值區(qū)間，故B正確；對于C:上單調(diào)遞增，若函數(shù)存在“2倍值區(qū)間”，則，所以，解得.所以函數(shù)不存在“2倍值區(qū)間”，故C錯誤；對于D：為增函數(shù)，若存在“2倍值區(qū)間”，則，結(jié)合及的圖象知，方程無解，故不存在“2倍值區(qū)間”，D錯誤；故選：B.二?多選題9.已知為復(fù)數(shù)，設(shè)，，在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】設(shè)，，，，，，對于A，，故選項(xiàng)A正確；對于B，，，故選項(xiàng)B正確；對于C，，當(dāng)時，，故選項(xiàng)C錯誤；對于D，，可以為零，也可以不為零，所以不一定平行于，故選項(xiàng)D錯誤.故選:AB.10.下列命題中正確的是（）A.中位數(shù)就是第50百分位數(shù)B.已知隨機(jī)變量X~，若，則C.已知隨機(jī)變量~，且函數(shù)為偶函數(shù)，則D.在回歸分析中，對一組給定的樣本數(shù)據(jù)而言，當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)越接近1時，樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)．【答案】ACD【解析】對于選項(xiàng)A，中位數(shù)就是第50百分位數(shù)，選項(xiàng)A正確；對選項(xiàng)B，，則，因此，故B錯誤；對選項(xiàng)C，，函數(shù)為偶函數(shù)，則，區(qū)間與關(guān)于對稱，故，選項(xiàng)C正確；對選項(xiàng)D，在回歸分析中，樣本相關(guān)系數(shù)越接近1，樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，選項(xiàng)D正確．故選：ACD.11.已知函數(shù)滿足，其圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，且在上單調(diào)遞減，則（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于對稱C.可以等于5D.的最小值為2【答案】BCD【解析】對于A，因?yàn)椋?，所以，則，又，故，故A錯誤；對于B，由選項(xiàng)A得，所以，故是的一個對稱中心，故B正確；對于C，的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，解得，當(dāng)時，，因?yàn)?，所以，故C正確；對于D，因?yàn)?，所以，則，又，故，當(dāng)時，，可知，故D正確.故選：BCD.12.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)，直線：交拋物線于，兩點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），則以下說法正確的是（）A.B.存在實(shí)數(shù)，使得C.若，則D.若直線與的傾斜角互補(bǔ)，則【答案】ACD【解析】由已知，拋物線：，∴，，焦點(diǎn)，不妨設(shè)為，，設(shè)，到準(zhǔn)線的距離分別為，，對于A，∵由標(biāo)準(zhǔn)方程知，拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向右，，∴由拋物線的定義，故選項(xiàng)A正確；對于B，消去，化簡得（），則，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴不存在實(shí)數(shù)，使得，選項(xiàng)B錯誤；對于C，，，∵，∴，∴又∵由選項(xiàng)B判斷過程知，，∴解得，，或，，，∴若，則，選項(xiàng)C正確；對于D，由題意，，，，，直線與的傾斜角互補(bǔ)時，斜率均存在，且，∴，代入，，化簡得，由選項(xiàng)B的判斷知，，∴，∴，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.三?填空題13.已知的二項(xiàng)式系數(shù)的和為64，則其展開式的常數(shù)項(xiàng)為______.（用數(shù)字作答）【答案】240【解析】因?yàn)檎归_式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，所以，解得，則展開式的通項(xiàng)公式為，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：240.14.已知圓，過點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，且，請寫出一條滿足上述條件的直線的方程______.【答案】（答案不唯一，也滿足）【解析】由題意得，半徑，，故在圓外，設(shè)O到直線的距離為d，由得，即，解得，當(dāng)直線l斜率不存在時，即，此時，符合題意；當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)為，即，則，即，解得，故直線為.故答案為：（答案不唯一，也滿足）15.已知，將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列，則__________.【答案】【解析】因?yàn)閿?shù)列是正奇數(shù)列，對于數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時，設(shè)，則為偶數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)，則為奇數(shù)，所以，，則，因此，.故答案為：.16.函數(shù)，當(dāng)時，的零點(diǎn)個數(shù)為_____________；若恰有4個零點(diǎn)，則的取值范圍是______________.【答案】1【解析】第一空：當(dāng)時，當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，無零點(diǎn)，故此時的零點(diǎn)個數(shù)是1；第二空：顯然，至多有2個零點(diǎn)，故在上至少有2個零點(diǎn)，所以；若恰有2個零點(diǎn)，則，此時恰有兩個零點(diǎn)，所以，解得，此時；若恰有3個零點(diǎn)，則，此時，所以恰有1個零點(diǎn)，符合要求；③當(dāng)時，，所以恰有1個零點(diǎn)，而至少有4個零點(diǎn)，此時至少有5個零點(diǎn)，不符合要求，舍去.綜上，或.故答案為：1；.四、解答題17.在四棱錐中，底面．（1）證明：；（2）求PD與平面所成的角的正弦值．（1）證明：在四邊形中，作于，于，因?yàn)?，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以；?）解：如圖，以點(diǎn)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，，則，則，設(shè)平面的法向量，

則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.18.已知的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求A；（2）若的面積為，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，求的長．解：（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻?，即，由余弦定理可得，又，所以．?）因?yàn)?，所以，即，又，則，所以，所以，，所以，所以，故，，故在中，由余弦定理可得，則．19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對于任意的，且，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）的定義域?yàn)?，?dāng)時，在恒成立，當(dāng)時，令，得，單調(diào)遞增；令，得，單調(diào)遞減，綜上所述：當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）不妨設(shè)，則不等式等價于，即，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，所以在上恒成立，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在遞增，所以，所以實(shí)數(shù)取值范圍為.20.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求，并證明數(shù)列是等差數(shù)列：（2）若，求正整數(shù)的所有取值.解：（1）由，得，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，兩式相減得，即，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）得，所以，，，兩式相減得，所以，則，由，得，即，令，因?yàn)楹瘮?shù)