2024屆遼寧省撫順市六校協(xié)作體高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省撫順市六校協(xié)作體2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由不等式，即，解得，所以，又由，所以.故選：B.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，則，.故選：A.3.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，.故選:C.4.已知為等比數(shù)列，且，則（）A.216 B.108 C.72 D.36【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意，所以.故選：A.5.已知曲線在點(diǎn)處的切線與圓相切，則的半徑為（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】由，得，故切線的斜率，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.又因?yàn)榕c圓相切，所以的半徑.故選：C6.已知，是方程的兩個(gè)根，則（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】因?yàn)椋欠匠痰膬蓚€(gè)根，所以，，所以.故選：D.7.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，.過作其中一條漸近線的垂線，垂足為，則（）A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】雙曲線的漸近線方程為，其中，所以到的距離為，因此，，，則，由，得，解得.故選：B8.已知函數(shù)，若，是銳角的兩個(gè)內(nèi)角，則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以，即，所以在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，是銳角的兩個(gè)內(nèi)角，所以，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，故，故D正確.同理可得，C錯(cuò)誤；而的大小不確定，故與，與的大小關(guān)系均不確定，所以與，與的大小關(guān)系也均不確定，AB不能判斷.故選：D.二、選擇題9.直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于M，N兩點(diǎn)，則（）A. B.C.的最小值為6 D.的最小值為12【答案】BD【解析】對(duì)于A，B，由直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，D，當(dāng)直線垂直于軸，即時(shí)，取得最小值，且最小值為．故C錯(cuò)誤，D正確．故選：BD．10.如圖，點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)（不含A，B），，，記，，的弧度數(shù)為，則下列說法正確的是（）A.是的函數(shù) B.是的函數(shù) C.是的函數(shù) D.是的函數(shù)【答案】AD【解析】設(shè)圓的半徑為R，由題可得，，，其中當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到的過程中，的值從一直減小到0，的值從增大到，再從減小到，的值從0一直增大到，由函數(shù)的定義可知不是的函數(shù)，是的函數(shù)，不是的函數(shù)，是的函數(shù).故選：AD.11.如圖，在三棱錐中，平面，，且，，過點(diǎn)的平面分別與棱，交于點(diǎn)M，N，則下列說法正確的是（）A.三棱錐外接球的表面積為B.若平面，則C.若M，N分別為，的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為D.周長(zhǎng)的最小值為3【答案】BCD【解析】取中點(diǎn)為，連接,因?yàn)槠矫?，平面，所?故,,所以,又，且，，所以因此,所以三棱錐外接球的半徑，表面積，A不正確.若平面，平面,則，.平面，平面，所以,又,,平面，所以平面，平面，故，所以.由于,又，所以，，解得，B正確.因?yàn)镸，N分別為，的中點(diǎn)，所以，由于平面,則平面，又平面，平面，故平面，則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，易知，，，由，得，解得，C正確.如圖，將，翻折至平面內(nèi)，連接，易知即周長(zhǎng)的最小值，，周長(zhǎng)的最小值為3，D正確.故選:BCD12.已知，均是由自然數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，且，，，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由，得，又，故，得，即，記表示不大于的最大整數(shù)，因?yàn)?，所以，故，則，A正確；若，則，，故，所以，即，B不正確.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故，C正確.，則，D正確.故選：ACD.三、填空題13.已知向量，，則__________.【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，?故答案為：14.先將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，寫出圖象的一條對(duì)稱軸的方程：__________.【答案】（答案不唯一）【解析】先將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到，向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，令，，解得，，可取，則.故答案為：（答案不唯一）.15.降雨量是指降落在水平地面上單位面積的水層深度（單位：mm）.氣象學(xué)中，把24小時(shí)內(nèi)的降雨量叫作日降雨量.等級(jí)劃分如下表：日降雨量/mm等級(jí)小雨中雨大雨暴雨某數(shù)學(xué)建模小組為了測(cè)量當(dāng)?shù)啬橙盏慕涤炅?，制作了一個(gè)圓臺(tái)形水桶，如圖所示，若在一次降雨過程中用此桶接了24小時(shí)的雨水恰好是桶深的，則當(dāng)日的降雨量等級(jí)為__________.【答案】大雨【解析】由題可知水桶的上底面半徑，下底面半徑，桶深，水面半徑，水深，則水桶中水體積，則日降雨量為，故當(dāng)日降雨量等級(jí)為大雨.故答案為：大雨16.已知，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則__________.【答案】【解析】顯然，當(dāng)時(shí)，令，得.令，，則的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為與圖象的交點(diǎn).因?yàn)椋?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.，故圖象也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，則.故答案為：四、解答題17.銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.（1）求；（2）若，，求的面積.解：（1）因?yàn)?，所以，又，所?由為銳角三角形，得.（2）由（1）及余弦定理知.因?yàn)?，，所以，所以的面積.18.已知函數(shù).（1）若，求的極值；（2）若在上恒成立，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以的極大值為，的極小值為.（2）由在上恒成立等價(jià)于在上恒成立，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，于是，所以的取值范圍為.19.在正項(xiàng)等差數(shù)列中，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.（1）解：設(shè)的公差為d，則，解得或（舍去），故.（2）證明：由（1）可知，則.20.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，，.（1）證明：.（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：連接，與交于點(diǎn)，連接.因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所?因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)椋矫?，平面，所以平?又平，所以.（2）解：過作的垂線，垂足為，由第一問可知：平面平面平面平面，且平面平面，平面，可得：平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過且平行于，的直線分別為軸，軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系如下圖所示：由，得，因?yàn)椋?，所以，則，，，則，，，.由，得，，.設(shè)平面的法向量為，由得令，解方程組可得，故.由圖可知是平面的一個(gè)法向量.，顯然二面角為銳角，故.故平面與平面夾角的余弦值為.21.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)作軸的垂線，并與交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)作一條斜率存在且不為0的直線與交于M，N兩點(diǎn)，，的周長(zhǎng)為8.（1）求的方程.（2）記，分別為的左、右頂點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)Q，和的面積分別為，，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.解：（1）將代入可得，所以解得，，故的方程為.（2）為定值，定值為.理由如下：依題可設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立方程組整理得，則，.易知，，直線的方程為，則直線的方程為，令，得，同理可得..故為定值，且該定值為.22.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，，且恒成立，證明：.（1）解：因?yàn)?，，所?若，則在上恒成立，在上單調(diào)遞增，若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）證明：由，得，令，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，，.由，，得.令，，則，，則，即，則恒成立等價(jià)于恒成立.因?yàn)?，所以恒成立等價(jià)于恒成立.令，則不等式轉(zhuǎn)化恒成立.令，則，令，，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故，從而.遼寧省撫順市六校協(xié)作體2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由不等式，即，解得，所以，又由，所以.故選：B.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，則，.故選：A.3.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，.故選:C.4.已知為等比數(shù)列，且，則（）A.216 B.108 C.72 D.36【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意，所以.故選：A.5.已知曲線在點(diǎn)處的切線與圓相切，則的半徑為（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】由，得，故切線的斜率，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.又因?yàn)榕c圓相切，所以的半徑.故選：C6.已知，是方程的兩個(gè)根，則（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】因?yàn)?，是方程的兩個(gè)根，所以，，所以.故選：D.7.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，.過作其中一條漸近線的垂線，垂足為，則（）A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】雙曲線的漸近線方程為，其中，所以到的距離為，因此，，，則，由，得，解得.故選：B8.已知函數(shù)，若，是銳角的兩個(gè)內(nèi)角，則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以，即，所以在上單調(diào)遞減.因?yàn)椋卿J角的兩個(gè)內(nèi)角，所以，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，故，故D正確.同理可得，C錯(cuò)誤；而的大小不確定，故與，與的大小關(guān)系均不確定，所以與，與的大小關(guān)系也均不確定，AB不能判斷.故選：D.二、選擇題9.直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于M，N兩點(diǎn)，則（）A. B.C.的最小值為6 D.的最小值為12【答案】BD【解析】對(duì)于A，B，由直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，D，當(dāng)直線垂直于軸，即時(shí)，取得最小值，且最小值為．故C錯(cuò)誤，D正確．故選：BD．10.如圖，點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)（不含A，B），，，記，，的弧度數(shù)為，則下列說法正確的是（）A.是的函數(shù) B.是的函數(shù) C.是的函數(shù) D.是的函數(shù)【答案】AD【解析】設(shè)圓的半徑為R，由題可得，，，其中當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到的過程中，的值從一直減小到0，的值從增大到，再從減小到，的值從0一直增大到，由函數(shù)的定義可知不是的函數(shù)，是的函數(shù)，不是的函數(shù)，是的函數(shù).故選：AD.11.如圖，在三棱錐中，平面，，且，，過點(diǎn)的平面分別與棱，交于點(diǎn)M，N，則下列說法正確的是（）A.三棱錐外接球的表面積為B.若平面，則C.若M，N分別為，的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為D.周長(zhǎng)的最小值為3【答案】BCD【解析】取中點(diǎn)為，連接,因?yàn)槠矫?，平面，所?故,,所以,又，且，，所以因此,所以三棱錐外接球的半徑，表面積，A不正確.若平面，平面,則，.平面，平面，所以,又,,平面，所以平面，平面，故，所以.由于,又，所以，，解得，B正確.因?yàn)镸，N分別為，的中點(diǎn)，所以，由于平面,則平面，又平面，平面，故平面，則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，易知，，，由，得，解得，C正確.如圖，將，翻折至平面內(nèi)，連接，易知即周長(zhǎng)的最小值，，周長(zhǎng)的最小值為3，D正確.故選:BCD12.已知，均是由自然數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，且，，，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由，得，又，故，得，即，記表示不大于的最大整數(shù)，因?yàn)?，所以，故，則，A正確；若，則，，故，所以，即，B不正確.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故，C正確.，則，D正確.故選：ACD.三、填空題13.已知向量，，則__________.【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，?故答案為：14.先將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，寫出圖象的一條對(duì)稱軸的方程：__________.【答案】（答案不唯一）【解析】先將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到，向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，令，，解得，，可取，則.故答案為：（答案不唯一）.15.降雨量是指降落在水平地面上單位面積的水層深度（單位：mm）.氣象學(xué)中，把24小時(shí)內(nèi)的降雨量叫作日降雨量.等級(jí)劃分如下表：日降雨量/mm等級(jí)小雨中雨大雨暴雨某數(shù)學(xué)建模小組為了測(cè)量當(dāng)?shù)啬橙盏慕涤炅?，制作了一個(gè)圓臺(tái)形水桶，如圖所示，若在一次降雨過程中用此桶接了24小時(shí)的雨水恰好是桶深的，則當(dāng)日的降雨量等級(jí)為__________.【答案】大雨【解析】由題可知水桶的上底面半徑，下底面半徑，桶深，水面半徑，水深，則水桶中水體積，則日降雨量為，故當(dāng)日降雨量等級(jí)為大雨.故答案為：大雨16.已知，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則__________.【答案】【解析】顯然，當(dāng)時(shí)，令，得.令，，則的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為與圖象的交點(diǎn).因?yàn)椋?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.，故圖象也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，則.故答案為：四、解答題17.銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.（1）求；（2）若，，求的面積.解：（1）因?yàn)?，所以，又，所?由為銳角三角形，得.（2）由（1）及余弦定理知.因?yàn)?，，所以，所以的面積.18.已知函數(shù).（1）若，求的極值；（2）若在上恒成立，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以的極大值為，的極小值為.（2）由在上恒成立等價(jià)于在上恒成立，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，于是，所以的取值范圍為.19.在正項(xiàng)等差數(shù)列中，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.（1）解：設(shè)的公差為d，則，解得或（舍去），故.（2）證明：由（1）可知，則.20.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，，.（1）證明：.（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：連接，與交于點(diǎn)，連接.因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所?因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)椋矫?，平面，所以平?又平，所以.（2）解：過作的垂線，垂足為，由第一問可知：平面平面平面平面，且平面平面，平面，可得：平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過且平行于，的直線分別為軸，軸