2024屆浙江省杭州市高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省杭州市2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得：，解得：，由可得，即，即，解得：或，故，，所以.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，，則，因為，則，又，則，解得或，所以或，所以或，故選：B.3.已知隨機變量，分別滿足二項分布，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因為，，所以，所以，則，若，則.所以“”是“”的充要條件.故選：C.4.若，則的最小值是（）A. B.6 C. D.9【答案】A【解析】因為，可得，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以的最小值是.故選：A.5.冬季是流行病的高發(fā)季節(jié)，大部分流行病是由病毒或細菌引起的，已知某細菌是以簡單的二分裂法進行無性繁殖，在適宜的條件下分裂一次（1個變?yōu)?個）需要23分鐘，那么適宜條件下1萬個該細菌增長到1億個該細菌大約需要（參考數(shù)據(jù)：）（）A.3小時 B.4小時 C.5小時 D.6小時【答案】C【解析】設(shè)適宜條件下1萬個該細菌增長到1億個該細菌大約需要分鐘，則，兩邊同時取對數(shù)得，，所以，所以大約需要小時.故選：C.6.已知定義在上的函數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，，故恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，即.故選：B7.已知數(shù)列，滿足，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，則，又，則，所以數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別為公比為的等比數(shù)列，由可得，則數(shù)列的各項為，其中奇數(shù)項的通項公式為，偶數(shù)項的通項公式為，所以數(shù)列的通項公式為.故選：D8.已知四面體，是邊長為6的正三角形，，二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，取中點，連接，因為是邊長為6的正三角形，，則由三線合一可知，所以二面角的平面角為，取三角形的外心，設(shè)外接球的球心為，則平面，且，其中為四面體外接球的半徑，過點作垂直平面，垂足為點，由對稱性可知點必定落在的延長線上面，由幾何關(guān)系，設(shè)，而由正弦定理邊角互換得，進而，由勾股定理得，從而，，所以，，所以由得，，解得，所以四面體的外接球的表面積為.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知平面向量，，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】ABD【解析】A.若，則，解得，故正確；B若，則，解得，故正確；C.若，或，故錯誤；D.若，則，解得，故正確，故選：ABD10.已知四棱柱的底面為菱形，且，，，為的中點，為線段上的動點，則下列命題正確的是（）A.可作為一組空間向量的基底B.可作為一組空間向量的基底C.直線平面D.向量在平面上的投影向量為【答案】BCD【解析】如圖所示，四棱柱，對于選項A，，三個向量都在平面，即三個向量共面，則也共面，不可作為一組空間向量的基底，選項A錯誤；對于選項B，兩個向量都在平面，顯然直線與平面是相交關(guān)系，不與平面平行，故三個向量不共面，可作為一組空間向量的基底，選項B正確；對于選項C，由于，，易得平面，平面，從而有平面平面，且平面，所以直線平面，選項C正確；對于選項D，取作為一組空間向量的基底，，，，其中，因為底面為菱形，且，，，得，，所以，即，，其中，顯然，，所以，即，，因為，，且平面，平面，，所以平面，所以向量在平面上的投影向量為，選項D正確；故選：BCD.11.已知函數(shù)，，則（）A.將函數(shù)的圖象右移個單位可得到函數(shù)的圖象B.將函數(shù)的圖象右移個單位可得到函數(shù)的圖象C.函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱D.函數(shù)與的圖象關(guān)于點對稱【答案】ACD【解析】因為，將函數(shù)的圖象右移個單位可得到，將函數(shù)的圖象右移個單位可得到，故A正確，B錯誤；由A選項可知，，所以函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；若函數(shù)與的圖象關(guān)于點對稱，則在上取點關(guān)于的對稱點必在上，所以，所以，故D正確.故選：ACD.12.（多選）已知數(shù)據(jù)，若去掉后剩余6個數(shù)的平均數(shù)比7個數(shù)的平均數(shù)大，記，，，的平均數(shù)與方差為，，記，，，的平均數(shù)與方差為，，則（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】因為，所以，所以，所以，故A正確，B錯誤；，故C正確，D錯誤.故選：AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.直線的傾斜角是___________.【答案】0【解析】的斜率為0，設(shè)傾斜角為，則，解得，故傾斜角0故答案為：014.已知二項式的展開式中含的項的系數(shù)為84，則___________.【答案】【解析】二項式中含的項為：，該項的系數(shù)為，由于該項的系數(shù)為84，得方程，即，解得或（舍去），故答案為：.15.位于奧體核心的杭州世紀(jì)中心總投資近100億元，總建筑面積約53萬平方米，由兩座超高層雙子塔和8萬平方米商業(yè)設(shè)施構(gòu)成，外形為杭州的拼音首字母“H”，被譽為代表新杭州風(fēng)貌、迎接八方來客的“杭州之門”.如圖，為測量杭州世紀(jì)中心塔高，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與D，現(xiàn)測得，，米，在點C測得塔頂A的仰角為80°，則塔高為___________米.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）【答案】310【解析】設(shè)米，因為在點C測得塔頂A的仰角為80°，所以，在中，，所以，在中，因為，，所以，由正弦定理得，所以，則，所以米.故答案為：310.16.已知點P是雙曲線C：與圓在第一象限的公共點，若點P關(guān)于雙曲線C其中一條漸近線的對稱點恰好在y軸負(fù)半軸上，則雙曲線C的離心率___________.【答案】【解析】聯(lián)立，取，解得，即，設(shè)點P關(guān)于雙曲線C的漸近線的對稱點為，則恰好在軸負(fù)半軸上，且，所以，由點與點關(guān)于漸近線對稱，所以直線的斜率為，所以，即，化簡可得，所以.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，角C為銳角，已知的面積為.（1）求c；（2）若為上的中線，求的余弦值.解：（1）由的面積為可得：，因為，，解得：得，由角為銳角得，故，解得.（2）因為為上的中線，所以，所以，，解得：.故.18.已知為公差為2的等差數(shù)列的前項和，若數(shù)列為等差數(shù)列.（1）求；（2）求數(shù)列的前項和.解：（1）因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以，因為為公差為2的等差數(shù)列的前項和，則，解得.故.（2）由（1）得，故，故數(shù)列的前項和為.19.已知直三棱柱，，，D，E分別為線段，上的點，.（1）證明：平面平面；（2）若點到平面的距離為，求直線與平面所成的角的正弦值.證明：（1）在直三棱柱中，，平面，所以以為原點，，，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點，，，，，則，，，設(shè)，則，設(shè)平面和平面的法向量分別為，則，取，則；，取，則，因為，所以平面平面.解：（2）設(shè)點，由，得平面的法向量，由得點到平面的距離，解得，由，得，直線與平面所成的角的正弦值為.20.已知點，為橢圓C：的左，右焦點，橢圓C上的點P，Q滿足，且P，Q在x軸上方，直線，交于點G.已知直線的斜率為.（1）當(dāng)時，求值；（2）記，的面積分別為，，求的最大值.解：（1）設(shè)直線與橢圓的另一個交點為，由橢圓的對稱性得，關(guān)于原點對稱.設(shè)點，.因為C：中，所以，所以當(dāng)時，直線的方程為：，聯(lián)立直線與橢圓的方程得，所以，所以，所以.（2）由題可設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線與橢圓得：，所以，，，所以當(dāng)即時等號成立，取到最大值.21.我國有天氣諺語“八月十五云遮月，正月十五雪打燈”，說的是如果中秋節(jié)有降水，則來年的元宵節(jié)亦會有降水.某同學(xué)想驗證該諺語的正確性，統(tǒng)計了40地5年共200組中秋節(jié)與來年元宵節(jié)的降水狀況，整理如下：中秋天氣元宵天氣合計降水無降水降水194160無降水5090140合計69131200（1）依據(jù)的獨立性檢驗，能否認(rèn)為元宵節(jié)的降水與前一年的中秋節(jié)降水有關(guān)？（2）從以上200組數(shù)據(jù)中隨機選擇2組，記隨機事件A為二組數(shù)據(jù)中中秋節(jié)的降水狀況為一降水一無降水，記隨機事件B為二組數(shù)據(jù)中元宵節(jié)的降水狀況為一降水一無降水，求.參考公式與數(shù)據(jù)：.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假設(shè)為：元宵節(jié)的降水與中秋節(jié)的降水無關(guān).，因為，所以沒有充分證據(jù)推斷不成立，故元宵節(jié)的降水與中秋節(jié)的降水無關(guān).（2）中秋節(jié)的降水狀況為一降水一無降水概率為，中秋節(jié)、元宵節(jié)的降水狀況均為一降水一無降水概率為，故.22.定義滿足的實數(shù)為函數(shù)的然點.已知.（1）證明：對于，函數(shù)必有然點；（2）設(shè)為函數(shù)的然點，判斷函數(shù)的零點個數(shù)并證明.證明：（1），由得.令，因為在上單調(diào)遞增，故至多一個零點，又因為，，所以使，故對于，函數(shù)有唯一然點.解：（2）由（I）得，令，因為在上單調(diào)遞減，且，，故使，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因為，故，將代入，得，所以有2個零點.浙江省杭州市2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得：，解得：，由可得，即，即，解得：或，故，，所以.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，，則，因為，則，又，則，解得或，所以或，所以或，故選：B.3.已知隨機變量，分別滿足二項分布，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因為，，所以，所以，則，若，則.所以“”是“”的充要條件.故選：C.4.若，則的最小值是（）A. B.6 C. D.9【答案】A【解析】因為，可得，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以的最小值是.故選：A.5.冬季是流行病的高發(fā)季節(jié)，大部分流行病是由病毒或細菌引起的，已知某細菌是以簡單的二分裂法進行無性繁殖，在適宜的條件下分裂一次（1個變?yōu)?個）需要23分鐘，那么適宜條件下1萬個該細菌增長到1億個該細菌大約需要（參考數(shù)據(jù)：）（）A.3小時 B.4小時 C.5小時 D.6小時【答案】C【解析】設(shè)適宜條件下1萬個該細菌增長到1億個該細菌大約需要分鐘，則，兩邊同時取對數(shù)得，，所以，所以大約需要小時.故選：C.6.已知定義在上的函數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，，故恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，即.故選：B7.已知數(shù)列，滿足，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，則，又，則，所以數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別為公比為的等比數(shù)列，由可得，則數(shù)列的各項為，其中奇數(shù)項的通項公式為，偶數(shù)項的通項公式為，所以數(shù)列的通項公式為.故選：D8.已知四面體，是邊長為6的正三角形，，二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，取中點，連接，因為是邊長為6的正三角形，，則由三線合一可知，所以二面角的平面角為，取三角形的外心，設(shè)外接球的球心為，則平面，且，其中為四面體外接球的半徑，過點作垂直平面，垂足為點，由對稱性可知點必定落在的延長線上面，由幾何關(guān)系，設(shè)，而由正弦定理邊角互換得，進而，由勾股定理得，從而，，所以，，所以由得，，解得，所以四面體的外接球的表面積為.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知平面向量，，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】ABD【解析】A.若，則，解得，故正確；B若，則，解得，故正確；C.若，或，故錯誤；D.若，則，解得，故正確，故選：ABD10.已知四棱柱的底面為菱形，且，，，為的中點，為線段上的動點，則下列命題正確的是（）A.可作為一組空間向量的基底B.可作為一組空間向量的基底C.直線平面D.向量在平面上的投影向量為【答案】BCD【解析】如圖所示，四棱柱，對于選項A，，三個向量都在平面，即三個向量共面，則也共面，不可作為一組空間向量的基底，選項A錯誤；對于選項B，兩個向量都在平面，顯然直線與平面是相交關(guān)系，不與平面平行，故三個向量不共面，可作為一組空間向量的基底，選項B正確；對于選項C，由于，，易得平面，平面，從而有平面平面，且平面，所以直線平面，選項C正確；對于選項D，取作為一組空間向量的基底，，，，其中，因為底面為菱形，且，，，得，，所以，即，，其中，顯然，，所以，即，，因為，，且平面，平面，，所以平面，所以向量在平面上的投影向量為，選項D正確；故選：BCD.11.已知函數(shù)，，則（）A.將函數(shù)的圖象右移個單位可得到函數(shù)的圖象B.將函數(shù)的圖象右移個單位可得到函數(shù)的圖象C.函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱D.函數(shù)與的圖象關(guān)于點對稱【答案】ACD【解析】因為，將函數(shù)的圖象右移個單位可得到，將函數(shù)的圖象右移個單位可得到，故A正確，B錯誤；由A選項可知，，所以函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；若函數(shù)與的圖象關(guān)于點對稱，則在上取點關(guān)于的對稱點必在上，所以，所以，故D正確.故選：ACD.12.（多選）已知數(shù)據(jù)，若去掉后剩余6個數(shù)的平均數(shù)比7個數(shù)的平均數(shù)大，記，，，的平均數(shù)與方差為，，記，，，的平均數(shù)與方差為，，則（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】因為，所以，所以，所以，故A正確，B錯誤；，故C正確，D錯誤.故選：AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.直線的傾斜角是___________.【答案】0【解析】的斜率為0，設(shè)傾斜角為，則，解得，故傾斜角0故答案為：014.已知二項式的展開式中含的項的系數(shù)為84，則___________.【答案】【解析】二項式中含的項為：，該項的系數(shù)為，由于該項的系數(shù)為84，得方程，即，解得或（舍去），故答案為：.15.位于奧體核心的杭州世紀(jì)中心總投資近100億元，總建筑面積約53萬平方米，由兩座超高層雙子塔和8萬平方米商業(yè)設(shè)施構(gòu)成，外形為杭州的拼音首字母“H”，被譽為代表新杭州風(fēng)貌、迎接八方來客的“杭州之門”.如圖，為測量杭州世紀(jì)中心塔高，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與D，現(xiàn)測得，，米，在點C測得塔頂A的仰角為80°，則塔高為___________米.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）【答案】310【解析】設(shè)米，因為在點C測得塔頂A的仰角為80°，所以，在中，，所以，在中，因為，，所以，由正弦定理得，所以，則，所以米.故答案為：310.16.已知點P是雙曲線C：與圓在第一象限的公共點，若點P關(guān)于雙曲線C其中一條漸近線的對稱點恰好在y軸負(fù)半軸上，則雙曲線C的離心率___________.【答案】【解析】聯(lián)立，取，解得，即，設(shè)點P關(guān)于雙曲線C的漸近線的對稱點為，則恰好在軸負(fù)半軸上，且，所以，由點與點關(guān)于漸近線對稱，所以直線的斜率為，所以，即，化簡可得，所以.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，角C為銳角，已知的面積為.（1）求c；（2）若為上的中線，求的余弦值.解：（1）由的面積為可得：，因為，，解得：得，由角為銳角得，故，解得.（2）因為為上的中線，所以，所以，，解得：.故.18.已知為公差為2的等差數(shù)列的前項和，若數(shù)列為等差數(shù)列.（1）求；（2）求數(shù)列的前項和.解：（1）因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以，因為為公差為2的等差數(shù)列的前項和，則，解得.故.（2）由（1）得，故，故數(shù)列的前項和為.19.已知直三棱柱，，，D，E分別為線段，上的點，.（1）證明：平面平面；（2）若點到平面的距離為，求直線與平面所成的角的正弦值.證明：（1）在直三棱柱中，，平面，所以以為原點，，，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點，，，，，則，，，設(shè)，則，設(shè)平面和平面的法向量分別為，則，取，則；，取，則，因為，所以平面平面.解：（2）設(shè)點，由，得平面的法向量，由得點到平面的距離，解得，由，得，直線與平面所成的角的正弦值為.20.已知點，為橢圓C：的左，右焦點，橢圓C上的點P，Q滿