2025屆河北省邯鄲市高三上學(xué)期新高考單科模擬卷（11月期中）數(shù)學(xué)試題（四）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省邯鄲市2025屆高三上學(xué)期新高考單科模擬卷（11月期中）數(shù)學(xué)試題（四）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某校高二年級15個(gè)班參加朗誦比賽的得分如下：858687888990919192939394959799則這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為（）A.90 B.91 C.90.5 D.92【答案】C【解析】由題意，，故這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為從小到大第6，7位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即.故選：C.2.已知圓C：及點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A.直線與圓C始終有兩個(gè)交點(diǎn)B.若M是圓C上任一點(diǎn)，則|MQ|的取值范圍為C.若點(diǎn)在圓C上，則直線PQ的斜率為D.圓C與軸相切【答案】B【解析】依題意，圓C：，圓心，半徑，對于A，直線恒過定點(diǎn)，而點(diǎn)在圓C外，則過點(diǎn)的直線與圓C可能相離，故A不正確；對于B，，點(diǎn)Q在圓C外，由得：，故B正確.對于C，點(diǎn)在圓C上，則，解得，而點(diǎn)，則直線PQ的斜率為，故C不正確；對于D，點(diǎn)到x軸距離為7，大于圓C的半徑，則圓C與軸相離，即圓C與x軸不相切，故D不正確；故選：B3.已知向量滿足與垂直，則的最小值為（）A. B. C.1 D.3【答案】C【解析】由與垂直，得，則，所以1，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為故選：C4.高一（1）班有8名身高都不相同的同學(xué)去參加紅歌合唱，他們站成前后對齊的2排，每排4人，則前排的同學(xué)都比后排對應(yīng)的同學(xué)矮的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】名身高都不相同的同學(xué)站在8個(gè)不同的位置有種站法，將8名同學(xué)分為4組，每組2人，則有種分法，4組人有種站法，故所求概率.故選：D.5.已知數(shù)列,的前n項(xiàng)和分別為,，記，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以.故選：A.6.已知球的直徑，，，是球球面上的三點(diǎn)，是等邊三角形，且，則三棱錐的體積為（）.A B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)球心為，等邊三角形截面小圓的圓心為（也是等邊三角形的中心）.由于是等邊三角形，，所以平面，在面的投影即，也即等邊三角形的中心，且平面，則.因?yàn)槭侵睆剑?所以，.由于是等邊三角形的中心，所以，所以等邊三角形的高，.所以三棱錐的體積為.故選：B.7.已知，且，則可能為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，所以，所以，整理得，，所以或，所以或，①當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，②?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，由于，所以解得，③?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，由于，所以解得，綜上，，或，或，故選：B8.已知f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，當(dāng)，若關(guān)于x的不等式f(x+m)>f(x)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A.(-1,0)∪(0,+∞) B.C. D.(2,+∞)【答案】B【解析】若，，則，，則，是奇函數(shù)，，則，，，若，，則，，則，則，，，作出函數(shù)的圖象如圖：當(dāng)時(shí)，的圖象向左平移，如圖，當(dāng)?shù)膱D象與在相切時(shí)，，此時(shí)對應(yīng)直線斜率，由，即，得．此時(shí)，又切點(diǎn)在直線上，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.當(dāng)時(shí)，的圖象向右平移，如圖，顯然不等式不恒成立.綜上的取值范圍是，故選：．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列選項(xiàng)中的兩個(gè)集合相等的有（）.A.B.C.D.【答案】AC【解析】對于A：集合表示偶數(shù)集，集合也表示偶數(shù)集，所以，故A正確；對于B：，，所以，故B錯(cuò)誤；對于C：，又，所以，即，所以，故C正確；對于D：集合為數(shù)集，集合為點(diǎn)集，所以，故D錯(cuò)誤；故選：AC10.如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在半徑為2的圓上以點(diǎn)為起始點(diǎn)，沿逆時(shí)針方向運(yùn)動，每轉(zhuǎn)一圈.則該質(zhì)點(diǎn)到軸的距離是關(guān)于運(yùn)動時(shí)間的函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)的最小正周期是C.D.【答案】AD【解析】由題可知，該質(zhì)點(diǎn)的角速度為，由于起始位置為點(diǎn)，沿逆時(shí)針方向運(yùn)動，設(shè)經(jīng)過時(shí)間s之后所成的角為，則，根據(jù)三角函數(shù)定義可知點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以該質(zhì)點(diǎn)到軸的距離，可得D正確，C錯(cuò)誤；由解析式可知其最小正周期為，即A正確，B錯(cuò)誤；故選：AD11.定義：對于定義在區(qū)間I上的函數(shù)和正數(shù)，若存在正數(shù)M，使得不等式對任意恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間I上滿足階李普希茲條件，則下列說法正確的有（）A.函數(shù)在上滿足階李普希茲條件B.若函數(shù)在上滿足一階李普希茲條件，則M的最小值為C.若函數(shù)在上滿足的一階李普希茲條件，且方程在區(qū)間上有解，則是方程在區(qū)間上的唯一解D.若函數(shù)在上滿足的一階李普希茲條件，且，則對任意函數(shù)，，恒有【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)：不妨設(shè)，，即，故，對，均有，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：不妨設(shè)，在單調(diào)遞增，，，即，即對，恒成立，即在上單調(diào)遞減，對恒成立，所以對恒成立，即，即的最小值為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：假設(shè)方程在區(qū)間上有兩個(gè)解，，則，這與矛盾，故只有唯一解，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：不妨設(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故對，，故D選項(xiàng)正確；故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復(fù)數(shù)（且），為虛數(shù)單位，則x在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為__________象限.【答案】第二【解析】易知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，由，可知，，故z在復(fù)平面內(nèi)時(shí)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為第二象限.13.已知函數(shù)，若曲線與曲線存在公切線，則實(shí)數(shù)的最大值為__________．【答案】【解析】，假設(shè)兩曲線在同一點(diǎn)處相切，則，可得，即，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，且時(shí)，所以，則，此時(shí)兩曲線在處相切，根據(jù)曲線的變化趨勢，若，則兩曲線相交于兩點(diǎn)，不存在公切線，如圖，所以的最大值為.14.地球儀是地理教學(xué)中的常用教具.如圖1所示，地球儀的赤道面(與轉(zhuǎn)軸垂直)與黃道面(與水平面平行)存在一個(gè)夾角，即黃赤交角，大小約為23.5°.為鍛煉動手能力，某同學(xué)制作了一個(gè)半徑為4cm的地球儀(不含支架)，并將其放入豎直放置的正三棱柱中(姿態(tài)保持不變)，使地球儀與該三棱柱的三個(gè)側(cè)面相切，如圖2所示.此時(shí)平面恰與地球儀的赤道面平行，則三棱柱的外接球體積為___________.(參考數(shù)據(jù)：)【答案】【解析】由題設(shè)可知平面與面的夾角為，取中點(diǎn)M，中點(diǎn)N，連接MN由二面角的定義可知為平面與面的夾角，即設(shè)正三棱柱的底面邊長為，高為h，則所以，則又地球儀與該三棱柱的三個(gè)側(cè)面相切，即地球儀的最大圓與底面正三角形內(nèi)切，所以內(nèi)切圓的半徑，解得所以三棱柱的高，底面邊長為設(shè)三棱柱上、下底面中心，連線的中點(diǎn)O為球心，在直角，，所以三棱柱外接球的半徑所以體積.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.為落實(shí)中央“堅(jiān)持五育并舉，全面發(fā)展素質(zhì)教育，強(qiáng)化體育鍛煉”的精神，某高中學(xué)校鼓勵(lì)學(xué)生自發(fā)組織各項(xiàng)體育比賽活動，甲?乙兩名同學(xué)利用課余時(shí)間進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)定：每一局比賽中獲勝方記1分，失敗方記0分，沒有平局，首先獲得5分者獲勝，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率都是.（1）求比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局的概率；（2）若甲以3：1的比分領(lǐng)先時(shí)，記X表示到結(jié)束比賽時(shí)還需要比賽的局?jǐn)?shù)，求X的分布列及期望.解：（1）比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局，甲獲勝的概率為，恰好打了6局，乙獲勝的概率為，所以比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局的概率為.（2）X的可能取值為2，3，4，5，，，，.所以X的分布列如下：2345故.16.已知，，其中，函數(shù)的最小正周期為.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足，求的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，，則，，故，因?yàn)樽钚≌芷跒?，所以，所以，故，由，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）由（1）及，即，又，所以，解得，又為銳角三角形，即，即，解得；由正弦定理得，又，則，所以.17.如圖，在正三棱錐中，有一半徑為1的半球，其底面圓O與正三棱錐的底面貼合，正三棱錐的三個(gè)側(cè)面都和半球相切．設(shè)點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，．（1）用分別表示線段BC和PD長度；（2）當(dāng)時(shí)，求三棱錐的側(cè)面積S的最小值．解：（1）連接OP，由題意O為的中心，且面ABC，又面ABC，所以，所以為直角三角形．設(shè)半球與面PBC的切點(diǎn)為E，則且．在中，，所以．在中，．（2）由題知，，化簡得，，令，則上述函數(shù)變形為，，所以，令，得．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，三棱錐的側(cè)面積S的最小值為．18.如圖，D為圓O：上一動點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A，B，連接并延長至點(diǎn)W，使得，點(diǎn)W的軌跡記為曲線．（1）求曲線C的方程；（2）若過點(diǎn)的兩條直線，分別交曲線C于M，N兩點(diǎn)，且，求證：直線MN過定點(diǎn)；（3）若曲線C交y軸正半軸于點(diǎn)S，直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)G，H，直線SH，SG分別交x軸于P，Q兩點(diǎn)．請?zhí)骄浚簓軸上是否存在點(diǎn)R，使得？若存在，求出點(diǎn)R坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：（1）設(shè)，，則，由題意知，所以，得(，所以，因?yàn)?，得，故曲線C的方程為．（2）由題意可知，直線不平行坐標(biāo)軸，則可設(shè)的方程為：，此時(shí)直線的方程為．由，消去得：，解得：或(舍去)，所以，所以，同理可得：．當(dāng)時(shí)，直線的斜率存在，，則直線的方程為，所以直線過定點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，直線斜率不存在，此時(shí)直線方程為：，也過定點(diǎn)，綜上所述：直線過定點(diǎn)．（3）假設(shè)存在點(diǎn)R使得，設(shè)，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)G、H，易知G、H關(guān)于軸對稱，設(shè)，易知點(diǎn)，直線方程是，令得點(diǎn)P橫坐標(biāo)，直線方程是，令得點(diǎn)Q橫坐標(biāo)，由，得，又在橢圓上，所以，所以，解得，所以存在點(diǎn)，使得成立．19.對于無窮數(shù)列，“若存在（、，且），必有”，則稱數(shù)列具有性質(zhì).（1）若數(shù)列滿足，判斷數(shù)列否具有性質(zhì)？數(shù)列是否具有性質(zhì)？（2）對于無窮數(shù)列，設(shè)，求證：若數(shù)列具有性質(zhì)，則必為有限集（3）已知是各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列，且既具有性質(zhì)，又具有性質(zhì)，是否存在正整數(shù)，使得，，，…，，…成等差數(shù)列.若存在，請加以證明；若不存在，說明理由.解：（1）因?yàn)?，，但，所以?shù)列不具有性質(zhì)，設(shè)（、，且），因?yàn)?，必有，所以?shù)列具有性質(zhì).（2）因?yàn)閿?shù)列具有性質(zhì)，所以一定存在一組最小的且（、），滿足，即，由性質(zhì)的含義可得，，，…，，，所以數(shù)列中，從第項(xiàng)開始的各項(xiàng)呈現(xiàn)周期性：，，…，為一個(gè)周期中的各項(xiàng)，所以數(shù)列中最多有個(gè)不同的項(xiàng)，所以最多有個(gè)元素，即有限集.（3）因?yàn)閿?shù)列具有性質(zhì)，又具有性質(zhì)，所以存在正整數(shù)、，使得，，其中分別是滿足上述關(guān)系式是最小的正整數(shù)，由性質(zhì)、的含義可得，，，若，則取，可得；若，則取，可得，記，對于，有，，顯然，由性質(zhì)、的含義可得，，，所以，，所以，又滿足，的最小的正整數(shù)，所以，，，，所以，，所以，，取，若是偶數(shù)，則；若是奇數(shù)，則，所以，所以，，，…，，…是公差為1的等差數(shù)列.河北省邯鄲市2025屆高三上學(xué)期新高考單科模擬卷（11月期中）數(shù)學(xué)試題（四）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某校高二年級15個(gè)班參加朗誦比賽的得分如下：858687888990919192939394959799則這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為（）A.90 B.91 C.90.5 D.92【答案】C【解析】由題意，，故這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為從小到大第6，7位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即.故選：C.2.已知圓C：及點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A.直線與圓C始終有兩個(gè)交點(diǎn)B.若M是圓C上任一點(diǎn)，則|MQ|的取值范圍為C.若點(diǎn)在圓C上，則直線PQ的斜率為D.圓C與軸相切【答案】B【解析】依題意，圓C：，圓心，半徑，對于A，直線恒過定點(diǎn)，而點(diǎn)在圓C外，則過點(diǎn)的直線與圓C可能相離，故A不正確；對于B，，點(diǎn)Q在圓C外，由得：，故B正確.對于C，點(diǎn)在圓C上，則，解得，而點(diǎn)，則直線PQ的斜率為，故C不正確；對于D，點(diǎn)到x軸距離為7，大于圓C的半徑，則圓C與軸相離，即圓C與x軸不相切，故D不正確；故選：B3.已知向量滿足與垂直，則的最小值為（）A. B. C.1 D.3【答案】C【解析】由與垂直，得，則，所以1，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為故選：C4.高一（1）班有8名身高都不相同的同學(xué)去參加紅歌合唱，他們站成前后對齊的2排，每排4人，則前排的同學(xué)都比后排對應(yīng)的同學(xué)矮的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】名身高都不相同的同學(xué)站在8個(gè)不同的位置有種站法，將8名同學(xué)分為4組，每組2人，則有種分法，4組人有種站法，故所求概率.故選：D.5.已知數(shù)列,的前n項(xiàng)和分別為,，記，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以.故選：A.6.已知球的直徑，，，是球球面上的三點(diǎn)，是等邊三角形，且，則三棱錐的體積為（）.A B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)球心為，等邊三角形截面小圓的圓心為（也是等邊三角形的中心）.由于是等邊三角形，，所以平面，在面的投影即，也即等邊三角形的中心，且平面，則.因?yàn)槭侵睆?，所?所以，.由于是等邊三角形的中心，所以，所以等邊三角形的高，.所以三棱錐的體積為.故選：B.7.已知，且，則可能為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，所以，所以，整理得，，所以或，所以或，①當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，②?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，由于，所以解得，③?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，由于，所以解得，綜上，，或，或，故選：B8.已知f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，當(dāng)，若關(guān)于x的不等式f(x+m)>f(x)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A.(-1,0)∪(0,+∞) B.C. D.(2,+∞)【答案】B【解析】若，，則，，則，是奇函數(shù)，，則，，，若，，則，，則，則，，，作出函數(shù)的圖象如圖：當(dāng)時(shí)，的圖象向左平移，如圖，當(dāng)?shù)膱D象與在相切時(shí)，，此時(shí)對應(yīng)直線斜率，由，即，得．此時(shí)，又切點(diǎn)在直線上，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.當(dāng)時(shí)，的圖象向右平移，如圖，顯然不等式不恒成立.綜上的取值范圍是，故選：．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列選項(xiàng)中的兩個(gè)集合相等的有（）.A.B.C.D.【答案】AC【解析】對于A：集合表示偶數(shù)集，集合也表示偶數(shù)集，所以，故A正確；對于B：，，所以，故B錯(cuò)誤；對于C：，又，所以，即，所以，故C正確；對于D：集合為數(shù)集，集合為點(diǎn)集，所以，故D錯(cuò)誤；故選：AC10.如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在半徑為2的圓上以點(diǎn)為起始點(diǎn)，沿逆時(shí)針方向運(yùn)動，每轉(zhuǎn)一圈.則該質(zhì)點(diǎn)到軸的距離是關(guān)于運(yùn)動時(shí)間的函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)的最小正周期是C.D.【答案】AD【解析】由題可知，該質(zhì)點(diǎn)的角速度為，由于起始位置為點(diǎn)，沿逆時(shí)針方向運(yùn)動，設(shè)經(jīng)過時(shí)間s之后所成的角為，則，根據(jù)三角函數(shù)定義可知點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以該質(zhì)點(diǎn)到軸的距離，可得D正確，C錯(cuò)誤；由解析式可知其最小正周期為，即A正確，B錯(cuò)誤；故選：AD11.定義：對于定義在區(qū)間I上的函數(shù)和正數(shù)，若存在正數(shù)M，使得不等式對任意恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間I上滿足階李普希茲條件，則下列說法正確的有（）A.函數(shù)在上滿足階李普希茲條件B.若函數(shù)在上滿足一階李普希茲條件，則M的最小值為C.若函數(shù)在上滿足的一階李普希茲條件，且方程在區(qū)間上有解，則是方程在區(qū)間上的唯一解D.若函數(shù)在上滿足的一階李普希茲條件，且，則對任意函數(shù)，，恒有【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)：不妨設(shè)，，即，故，對，均有，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：不妨設(shè)，在單調(diào)遞增，，，即，即對，恒成立，即在上單調(diào)遞減，對恒成立，所以對恒成立，即，即的最小值為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：假設(shè)方程在區(qū)間上有兩個(gè)解，，則，這與矛盾，故只有唯一解，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：不妨設(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故對，，故D選項(xiàng)正確；故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復(fù)數(shù)（且），為虛數(shù)單位，則x在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為__________象限.【答案】第二【解析】易知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，由，可知，，故z在復(fù)平面內(nèi)時(shí)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為第二象限.13.已知函數(shù)，若曲線與曲線存在公切線，則實(shí)數(shù)的最大值為__________．【答案】【解析】，假設(shè)兩曲線在同一點(diǎn)處相切，則，可得，即，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，且時(shí)，所以，則，此時(shí)兩曲線在處相切，根據(jù)曲線的變化趨勢，若，則兩曲線相交于兩點(diǎn)，不存在公切線，如圖，所以的最大值為.14.地球儀是地理教學(xué)中的常用教具.如圖1所示，地球儀的赤道面(與轉(zhuǎn)軸垂直)與黃道面(與水平面平行)存在一個(gè)夾角，即黃赤交角，大小約為23.5°.為鍛煉動手能力，某同學(xué)制作了一個(gè)半徑為4cm的地球儀(不含支架)，并將其放入豎直放置的正三棱柱中(姿態(tài)保持不變)，使地球儀與該三棱柱的三個(gè)側(cè)面相切，如圖2所示.此時(shí)平面恰與地球儀的赤道面平行，則三棱柱的外接球體積為___________.(參考數(shù)據(jù)：)【答案】【解析】由題設(shè)可知平面與面的夾角為，取中點(diǎn)M，中點(diǎn)N，連接MN由二面角的定義可知為平面與面的夾角，即設(shè)正三棱柱的底面邊長為，高為h，則所以，則又地球儀與該三棱柱的三個(gè)側(cè)面相切，即地球儀的最大圓與底面正三角形內(nèi)切，所以內(nèi)切圓的半徑，解得所以三棱柱的高，底面邊長為設(shè)三棱柱上、下底面中心，連線的中點(diǎn)O為球心，在直角，，所以三棱柱外接球的半徑所以體積.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.為落實(shí)中央“堅(jiān)持五育并舉，全面發(fā)展素質(zhì)教育，強(qiáng)化體育鍛煉”的精神，某高中學(xué)校鼓勵(lì)學(xué)生自發(fā)組織各項(xiàng)體育比賽活動，甲?乙兩名同學(xué)利用課余時(shí)間進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)定：每一局比賽中獲勝方記1分，失敗方記0分，沒有平局，首先獲得5分者獲勝，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率都是.（1）求比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局的概率；（2）若甲以3：1的比分領(lǐng)先時(shí)，記X表示到結(jié)束比賽時(shí)還需要比賽的局?jǐn)?shù)，求X的分布列及期望.解：（1）比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局，甲獲勝的概率為，恰好打了6局，乙獲勝的概率為，所以比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局的概率為.（2）X的可能取值為2，3，4，5，，，，.所以X的分布列如下：2345故.16.已知，，其中，函數(shù)的最小正周期為.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足，求的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，，則，，故，因?yàn)樽钚≌芷跒椋?，所以，故，由，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）由（1）及，即，又，所以，解得，又為銳角三角形，即，即，解得；由正弦定理得，又，則，所以.17.如圖，在正三棱錐中，有一半徑為1的半球，其底面圓O與正三棱錐的底面貼合，正三棱錐的三個(gè)側(cè)面都和半球相切．設(shè)點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，．（1）用分別表示線段BC和PD長度；（2）當(dāng)時(shí)，求三棱錐的側(cè)面積S的最小值．解：（1）連接OP，由題意O為的中心，且面ABC，又面ABC，所以，所以為直角三角形．設(shè)半球與面PBC的切點(diǎn)為E，則且．在中，，所以．在中，．（2）由題知，，化簡得，，令，則上述函數(shù)變形為，，所以，令，得．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，三棱錐的側(cè)面積S的最小值為．18.如圖，D為圓O：上一動點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A，B，連接并延長至點(diǎn)W，使