《電路分析基礎》課件5第3章

3.1電路的圖

3.2KCL和KVL的獨立方程

3.3支路電流法

3.4回路法與網(wǎng)孔法

3.5割集法與節(jié)點法

習題3第3章電阻電路的一般分析方法

3.1電路的圖

3.1.1電路的拓撲圖

圖論是研究點和線連接關系的理論，它是拓撲學的一個分支。在電路問題的討論中，我們可以利用圖論的一些知識來理解電路的連接性質(zhì)并應用圖的方法選擇電路方程的獨立變量。將電路中的每一個元件用一線段表示，稱為一條拓撲支路，簡稱為支路；各支路的連接點用黑點表示，稱為拓撲節(jié)點，簡稱為節(jié)點。這樣從電路抽象出來的幾何圖形就稱為電路的拓撲圖，簡稱為圖(Graph)，以符號G表示。一個圖G是一組支路和一組節(jié)點的集合，每條支路的兩端必須連接在節(jié)點上，支路不能獨立存在于圖G中，但節(jié)點可以獨立存在。

圖3.1-1(a)是一個具有6個電阻和2個獨立電源的電路。按照嚴格支路與節(jié)點的定義，圖3.1-1(a)所示電路的對應拓撲圖如圖3.1-1(b)所示，它具有8條支路和5個節(jié)點。習慣上，通常把元件的串聯(lián)組合當作一條支路，如電阻串聯(lián)或獨立電壓源與電阻的串聯(lián)，這樣圖3.1-1(a)的對應拓撲圖將如圖3.1-1(c)所示，它具有7條支路和4個節(jié)點。有時為了需要,還可以把元件的并聯(lián)組合作為一條支路，如電導并聯(lián)或獨立電流源與電導的并聯(lián)，這樣圖3.1-1(a)的對應拓撲圖將如圖3.1-1(d)所示，它具有6條支路和4個節(jié)點。在電路中,通常要指定每一條支路中電流的參考方向，電壓一般取關聯(lián)參考方向。對電路的圖的每一條支路也可以指定一個方向，此方向即表示該支路電流(和電壓)的參考方向。全部支路都標有方向的圖稱為有向圖，否則稱為無向圖。例如,圖3.1-1(b)、(c)為無向圖，圖(d)為有向圖。

從圖G中去掉某些支路和節(jié)點所得到的圖G1

稱為圖G的子圖。顯然,子圖中的每個節(jié)點和每條支路都是圖G中的一部分。一個圖G可以有多個子圖。例如,圖3.1-2(b)、(c)、(d)為圖3.1-2(a)的3個子圖，其余子圖未畫出。圖3.1-1電路的拓撲圖

圖3.1-2圖與子圖如果圖G中的所有節(jié)點都被支路所連通，則該圖稱為連通圖，否則稱為非連通圖。也就是說，連通圖的任意兩節(jié)點之間至少存在一條由支路構(gòu)成的路徑。圖3.1-2(a)、(b)、(c)均為連通圖；圖3.1-2(d)為非連通圖，該圖中的節(jié)點a與其他節(jié)點之間不存在由支路構(gòu)成的路徑。一個非連通圖至少有兩個分離部分。

在第1章中我們知道，基爾霍夫電流定律(KCL)和基爾霍夫電壓定律(KVL)分別說明了一個電路各支路電流之間和各支路電壓之間的約束關系。這兩個定律都只與電路的幾何結(jié)構(gòu)有關，而與電路中各元件的性質(zhì)無關，只要一個電路的幾何結(jié)構(gòu)不變，且支路電流和支路電壓的參考方向不改變，無論支路上的電路元件如何更換，所寫出的KCL方程或KVL方程就總是相同的。因此，可利用電路的拓撲圖討論如何列寫KCL和KVL方程，并討論它們的獨立性。3.1.2回路、割集與樹

1.回路

在第1章中已經(jīng)介紹了回路的概念，這里我們將從圖的角度對回路給出定義。從圖中的某一節(jié)點開始，經(jīng)過一些支路和節(jié)點，并且只經(jīng)過一次，最后又回到原開始節(jié)點的閉合路徑稱為回路。簡單地說，回路是由支路和節(jié)點構(gòu)成的閉合路徑。需要注意以下幾點：

(1)任何一個回路都是一個圖的連通子圖；

(2)此子圖中的每個節(jié)點所連接的支路必須且只能有兩條；

(3)若去掉該子圖中的任意一條支路或一個節(jié)點，則閉合路徑便遭破壞。

圖3.1-3所示的圖G中，支路、節(jié)點集合{1,5,8;a,b,e}，{1,2,3,4;a,b,c,d}，{1,2,6,7,4;a,b,c,e,d}，{1,2,3,7,8;a,b,c,d,e}等均為回路，此圖中共有13個不同的回路。

討論回路是為了應用KVL，對每一回路寫出一個KVL方程。圖3.1-3回路的概念

2.割集

割集是這樣定義的：若從連通圖G中移去某些支路，則恰好將圖G分割成兩個分離的部分,但只要少移去其中任一條支路，則圖G仍然還是連通的，這些支路的集合就叫割集。簡單地說，割集就是把一個連通圖分割為兩個連通子圖所需要移去的最少支路的集合。所謂移去支路，是指僅僅移去支路而保留其相關的節(jié)點。圖3.1-4所示的圖G中，一條虛線所切割的支路的集合{1,2,4}，{1,3,5,4}，{1,3,6}，{4,5,6}等均為割集。顯然，一個連通圖可以有許多不同的割集。需要注意的是，割集定義中的兩個條件都是必要的，只有同時滿足這兩個條件才能確定割集。如圖3.1-4中的支路集{2,3,5,6},若少移去其中的支路6，則圖G仍是分離的兩部分，故支路集{2,3,5,6}不是圖G的割集，而支路集{2,3,5}是圖G的割集。

討論割集是為了應用KCL。引入割集這一概念后，KCL可以表示為：任一割集中的各支路電流的代數(shù)和為零。這里是把切割線設想為一封閉面，流入該封閉面的電流之和等于流出該封閉面的電流之和。因此，對每一割集可以寫出一個KCL方程。圖3.1-4割集的概念

3.樹

討論樹的概念有助于確定一個圖的獨立回路組和獨立割集組，從而得到獨立的KVL方程和KCL方程。樹是這樣定義的：一個連通圖G的樹T是包含圖中所有節(jié)點和部分支路但不包含回路的連通子圖。如圖3.1-5所示，圖(b)、(c)是圖(a)的兩種樹；圖(d)、(e)、(f)不是圖(a)的樹，因為圖(d)是圖(a)的非連通子圖，圖(e)沒有包含圖(a)中的所有節(jié)點，圖(f)是回路。一個連通圖可以有多種樹。例如,圖3.1-5(a)所示的圖G就具有16個不同的樹，圖3.1-5(b)、(c)僅僅是其中的兩個。圖3.1-5樹的概念樹中的支路稱為該樹的樹支，而圖G中不屬于樹支的其他支路稱為對應于該樹的連支。所謂樹支和連支，都是對某一選取的樹而言的，不同的樹有不同的樹支，相應地也有不同的連支。如圖3.1-5(b)所示的樹T1，它的樹支為{4,5,6}，其相應的連支為{1,2,3}；如圖3.1-5(c)所示的樹T2，它的樹支為{2,5,6}，其相應的連支為{1,3,4}。樹支和連支一起構(gòu)成圖G的全部支路。圖3.1-5(a)所示的圖G有4個節(jié)點，圖3.1-5(b)、(c)所示的樹T1和T2都具有3條支路；圖3.1-5(d)、(e)都有兩條支路，它們不是樹；圖3.1-5(f)有4條支路，它也不是樹。這個圖G還有其他多個不同的樹，其任一樹的樹支數(shù)總是3，讀者可自行驗證?？梢宰C明，一個具有n個節(jié)點、b條支路的連通圖G，其任何一種樹的樹支數(shù)一定為n－1，相應的連支數(shù)為b－n+1。此處證明從略，讀者可以參考有關圖論的書。

4.基本回路與基本割集

我們知道，一個連通圖G可能有多個回路，這些回路相互并不都是獨立的，某個回路可能是由另外幾個回路的部分支路組合得到的。對相互不獨立的回路列寫的KVL方程必然也是相互不獨立的。也就是說，所列寫的KVL方程組中的方程不是滿足求解要求的最少方程。同樣，一個連通圖G可能有多個割集，這些割集相互也并不都是獨立的。對相互不獨立的割集列寫的KCL方程也是相互不獨立的。為了保證所寫出的KVL方程和KCL方程最少且是必需的，在分析電路問題時我們所關心的并不是如何找出一個電路的全部回路和全部割集，而是如何找出電路的獨立回路組和獨立割集組。下面介紹基本回路和基本割集的概念。在連通圖G中，任選一樹，則樹支、連支相應確定。圖中僅包含一條連支的回路稱為基本回路或單連支回路；僅包含一條樹支的割集稱為基本割集或單樹支割集。注意，每一個基本回路只含一條連支且這一連支不出現(xiàn)在其他基本回路中；每一個基本割集只含一條樹支且這一樹支不出現(xiàn)在其他基本割集中。因此，一個有n個節(jié)點、b條支路的連通圖G，其基本回路個數(shù)為它的連支個數(shù)，即b－n+1個；其基本割集個數(shù)為它的樹支個數(shù)，即n－1個。如圖3.1-6所示，圖中實線表示樹支，虛線表示連支。圖3.1-6(a)取支路{2,3,5}為樹，相應的連支為{1,4,6}，則對應于這一樹的基本回路是支路、節(jié)點集{1,3,2;a,c,b}、{2,4,5;a,d,b}和{3,6,5;b,c,d}，基本割集是支路集{1,2,4}、{1,3,6}和{4,5,6}。圖3.1-6(b)取支路{1,3,6}為樹，相應的連支為{2,4,5}，則對應于這一樹的基本回路是支路、節(jié)點集{1,2,3;a,b,c}、{3,5,6;b,d,c}和{1,4,6;a,d,c}，基本割集是支路集{1,2,4}、{2,5,3}和{4,5,6}。對一個選取了樹的圖，全部連支所形成的基本回路構(gòu)成基本回路組，顯然基本回路組是獨立回路組，根據(jù)基本回路寫出的KVL方程是獨立方程；全部樹支所形成的基本割集構(gòu)成基本割集組，基本割集組是獨立割集組，根據(jù)基本割集寫出的KCL方程是獨立方程。對同一個圖，選擇不同的樹，就可以得到不同的基本回路組和基本割集組，因此其選取是很靈活的。

這里還應提到的是，為了列寫KVL方程和KCL方程方便，還應規(guī)定基本回路、基本割集的參考方向?；净芈返膮⒖挤较蚴侵富净芈返睦@行方向，通常選連支的方向作為該連支所在基本回路的方向；基本割集的參考方向是指封閉面的法線方向，通常選樹支的方向為該樹支所在基本割集的方向，如圖3.1-6(a)、(b)所示。圖3.1-6基本回路與基本割集的概念

3.2KCL和KVL的獨立方程

圖3.2-1(a)所示為一個電路的圖G，它的節(jié)點和支路都已分別加以編號，并給出了支路的方向，該方向即為支路電流的參考方向(支路電壓參考方向與支路電流參考方向關聯(lián)，省略不標)。圖3.2-1KCL和KVL的獨立方程對圖G中的節(jié)點a、b、c、d分別列出KCL方程，支路電流選取流出節(jié)點為正號,流入節(jié)點為負號，有

(3.2-1)將式(3.2-1)中a、b節(jié)點的方程分別移項整理后得

再將式(3.2-2)代入式(3.2-1)中c節(jié)點的方程，得

－i3+i4－i5=0(3.2-3)(3.2-2)

可以看到，式(3.2-3)即為式(3.2-1)中d節(jié)點的方程。也就是說，由a、b、c三個節(jié)點方程可以推出d節(jié)點方程。讀者可自行驗證，由這四個方程中的任意三個可推出另一個。若一方程組中，任一個方程可以由其他幾個方程推導出來，則該方程組中的方程不是相互獨立的。

要寫出方程數(shù)目最少且又能滿足求解要求的方程組，只需寫出相互獨立的方程。在3.1節(jié)中我們介紹了基本割集和基本回路的概念。選圖G的一種樹T1如圖3.2-1(b)中粗實線所示，樹支為{1,2,3}，相應連支為{4,5,6}，則基本割集為{6,1,4}、{6,2,5}、{4,3,5}，割集的方向分別取樹支1、2、3的方向。按基本割集列寫KCL方程，選取與割集方向一致的支路電流為正號，否則為負號，有

顯然,式(3.2-4)中各方程之間相互獨立。這是因為每個基本割集都包含一條其他基本割集所不包含的樹支，所以按基本割集列寫的KCL方程相互獨立。由此可得結(jié)論：一個b條支路、n個節(jié)點的電路(連通圖)，可列寫且僅能列寫相互獨立的KCL方程數(shù)為樹支的個數(shù)，即n－1個。(3.2-4)

按基本割集列寫相互獨立的KCL方程需要選樹并確定基本割集，過程比較繁雜，那么有沒有什么方法能方便地寫出獨立的KCL方程呢？可按獨立節(jié)點來列寫KCL方程?？梢宰C明，對于具有n個節(jié)點的電路，在任意n－1個節(jié)點上可以寫出n－1個獨立的KCL方程。相應的n－1個節(jié)點稱為獨立節(jié)點。

選圖G的一種樹T2如圖3.2-1(c)中粗實線所示，樹支為{3,4,5}，相應連支為{1,2,6}，則基本回路為{4,5,6;a,d,c}、{1,3,4;a,b,d}、{2,3,5;b,d,c}，回路的方向分別取連支1、2、6的方向。按基本回路列寫KVL方程，沿回路方向循行，先遇到其正極的支路電壓取正號，否則取負號(支路電壓與支路電流參考方向為關聯(lián))，有

顯然,式(3.2-5)中各方程之間相互獨立。這是因為，每個基本回路都包含一條其他基本回路所不包含的連支，所以按基本回路列寫的KVL方程相互獨立。由此可得結(jié)論：一個b條支路、n個節(jié)點的電路(連通圖)，可列寫且僅能列寫相互獨立的KVL方程數(shù)為連支的個數(shù)，即b－n+1個。(3.2-5)

在分析電路問題時我們遇到的大多數(shù)電路屬于平面電路。對于這類電路，按基本回路列寫相互獨立的KVL方程需要選樹并確定基本回路，過程也比較繁雜，那么有沒有什么方法能方便地寫出獨立的KVL方程呢？可按平面電路的網(wǎng)孔來列寫KVL方程?？梢宰C明，對于具有b條支路、n個節(jié)點的平面電路，它具有的網(wǎng)孔個數(shù)恰為連支的個數(shù)b－n+1，對b－n+1個網(wǎng)孔可以列出b－n+1個獨立的KVL方程。

3.3支路電流法

對于一個具有b條支路、n個節(jié)點的電路，當以各支路電壓和支路電流作為變量列寫方程時，總共有2b個未知變量。由3.2節(jié)的結(jié)論我們可以知道，根據(jù)KCL可列出n－1個獨立的電流方程；根據(jù)KVL可列出b－n+1個獨立的電壓方程；根據(jù)每一支路的電壓-電流關系(VCR)可列出b個電壓-電流關系方程，因為b條支路各異，所以列出的b個電壓電流關系方程相互獨立。這樣，總共可列出2b個獨立方程，與未知變量數(shù)相等。由這2b個方程可解出2b個支路電壓、支路電流，這種方法稱為2b法。為了減少求解方程的個數(shù)，可以將b個VCR方程整理變換為以支路電流表示支路電壓的形式，然后代入KVL方程，這樣就得到以b個支路電流為未知量的b個KCL和KVL方程，方程數(shù)從2b減少至b。解該方程組得各支路電流，如果需要，再以支路電流為已知進一步求得所需要求的電壓、功率等。這種方法稱為支路電流法。

下面以圖3.3-1(a)所示的電路為例說明2b法和支路電流法。將電壓源us1和電阻R1的串聯(lián)組合作為一條支路,把電流源is5和電阻R5的并聯(lián)組合作為一條支路，則該電路的圖如圖3.3-1(b)所示，其節(jié)點數(shù)n=4，支路數(shù)b=6，各支路電流的參考方向如圖中所示，支路電壓參考方向與支路電流參考方向關聯(lián)，省略不標。圖3.3-12b法和支路電流法任選圖中n－1個節(jié)點為獨立節(jié)點，這里選a、b、c節(jié)點，流出節(jié)點的電流取“+”號，反之取“－”號，根據(jù)KCL列寫方程，有

(3.3-1)因本示例電路為平面電路，平面電路的網(wǎng)孔即是獨立回路，故網(wǎng)孔Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的循行方向如圖中所示，根據(jù)KVL對各網(wǎng)孔列寫方程，有

(3.3-2)根據(jù)電路中各支路的具體結(jié)構(gòu)與元件值列寫各支路的電壓-電流關系(VCR)方程，有

(3.3-3)若聯(lián)立式(3.3-1)、式(3.3-2)和式(3.3-3)可得到有2b(本例中2b=12)個方程的方程組，其中有2b個未知量i1、i2、…、i6、u1、u2、…、u6，解此方程組即可求解出各支路的電壓、電流，這就是2b法。

式(3.3-3)即是用支路電流來表示支路電壓的形式，把式(3.3-3)代入式(3.3-2)并移項整理，得

(3.3-4)聯(lián)立式(3.3-1)和式(3.3-4)得到有b(本例中b=6)個方程的方程組，其中有b個未知量i1、i2、…、i6，解此方程組可求解出各支路電流，這就是支路電流法。若有需要，則可將求得的支路電流回代入式(3.3-3)求得各支路電壓。

如果將式(3.3-3)整理變換為用支路電壓表示支路電流的形式，然后代入式(3.3-1)的KCL方程，再聯(lián)立式(3.3-2)的KVL方程，則可得到以支路電壓為變量的b個方程。解該方程組便得各支路電壓，這就是支路電壓法。

支路電流法和支路電壓法也叫b法。從解聯(lián)立方程的個數(shù)來看，b法比2b法少了一半，若手算，b法比2b法簡便；但若用現(xiàn)代的MATLAB工具軟件在計算機上求解，二者都不算是難事。

【例3.3-1】如圖3.3-2所示的三個電路，其中R1、R2、R3、R4、R5、us、us5、us6、is、γ、μ均為已知。試用支路電流法列寫出各電路的求解方程。圖3.3-2例3.3-1圖

【解】在圖3.3-1(a)中，電流源有一電阻與之并聯(lián)，這種電流源稱為有伴電流源。當電路中存在有伴電流源時，可將其等效變換為電壓源與電阻的串聯(lián)組合，再應用支路電流法列寫方程。在本例中，圖3.3-2(a)所示電路的一條支路僅含電流源而不存在與之并聯(lián)的電阻，這種電流源稱為無伴電流源。當電路中存在無伴電流源時，就無法用支路電流表示支路電壓，必須加以處理后才能應用支路電流法列寫方程。一種方法可先假設該電流源兩端電壓為u6，將u6當作獨立電壓源一樣看待列寫方程。這樣雖引入了電流源兩端電壓u6這個未知量，但電流源所在支路的支路電流等于is為已知，所以所列方程數(shù)還是等于未知量數(shù)。另一種方法是合理選擇回路以減少方程中的電路變量，一般不選擇由無伴電流源所在支路構(gòu)成的獨立回路。這里我們采用第一種方法。對圖3.3-2(a)，選取a、b、c為獨立節(jié)點，網(wǎng)孔Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ為獨立回路。設各支路電流參考方向及各網(wǎng)孔循行方向如圖中所示。應用KCL、KVL及VCR列寫方程為

解式(3.3-5)即可求解出各支路電流i1、i2、…、i5和電流源兩端電壓u6。(3.3-5)

圖3.3-2(b)所示的電路含有受控電壓源，且其控制量是某一支路電流，那么就將受控電壓源兩端電壓當作獨立電壓源來列寫方程。對圖3.3-2(b)，選取a、b、c為獨立節(jié)點，網(wǎng)孔Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ為獨立回路。設各支路電流參考方向及各網(wǎng)孔循行方向如圖中所示。應用KCL、KVL及VCR列寫方程為

解式(3.3-6)即可求解出各支路電流i1、i2、…、i6。(3.3-6)圖3.3-2(c)所示電路含有受控電壓源和無伴電流源。其中,受控電壓源的控制量是某一電壓，這種情況可先將受控源兩端電壓當作獨立電壓源來列寫方程，然后再增加一個用未知電流表示控制量的輔助方程，這樣就得到了數(shù)量足夠而又相互獨立的方程組。對圖3.3-2(c)，選取a、b、c為獨立節(jié)點，回路Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ為獨立回路。設各支路電流參考方向及各回路循行方向如圖中所示。應用KCL、KVL及VCR列寫方程為

(3.3-7)

式(3.3-7)中有i1、i2、i3、i4、i5、u3、u6七個未知量，而只有六個方程，無法求解該電路，所以還必須增加一個輔助方程。將控制量u3用支路電流i3表示，即

u3=R3i3(3.3-8)

聯(lián)立式(3.3-7)和式(3.3-8)就可以求解電路。

若電路中含有受控電流源，則處理方法與獨立電流源類似。對具有n個節(jié)點、b條支路的電路，用支路電流法列寫電路方程的一般步驟如下：

(1)標出各支路電流及其參考方向。

(2)對任意n－1個節(jié)點列寫KCL方程:

第ni節(jié)點：∑ik=0

其中,ik為與節(jié)點ni相關的第k條支路上的支路電流。寫方程時要注意各電流的方向。

(3)根據(jù)VCR用支路電流表示支路電壓，對b－n+1個獨立回路列寫KVL方程：

第li回路：∑Rkik=∑usk

其中，Rkik為li回路中第k條支路的電阻上的電壓，當ik的參考方向與回路方向一致時，Rkik項前取“+”號，反之取“－”號；usk為回路中第k條支路的電源電壓，電源電壓包括電壓源的電壓，也包括電流源和受控源引起的電壓，當usk與回路方向一致時前面取“－”號，反之取“+”號(因移在等號另一側(cè))。

(4)若電路中含有電流源或受控源，則需作相應處理。

3.4回路法與網(wǎng)孔法

支路電流法需要求解b個聯(lián)立方程，如果電路的支路較多，則手工求解的過程就會相當繁雜。回路法和網(wǎng)孔法是為減少方程個數(shù)、簡化手工求解過程的一類改進方法。3.4.1回路法

要使方程個數(shù)減少，必須使要求解的未知量個數(shù)減少，所以我們應尋找一組新的求解變量，這組求解變量的數(shù)目應少于支路數(shù)，并且應是相互獨立和完備的。

在3.1節(jié)中我們知道，一個n個節(jié)點、b條支路的連通圖G其基本回路個數(shù)為它的連支個數(shù)，即b－n+1個。B－n+1個連支電流即是一組完備的獨立電流變量。根據(jù)樹的定義，樹連通所有的節(jié)點，因此對連通圖中的任何一個節(jié)點，與它相連的所有支路中一定有一條樹支，不可能全是連支。所以，不能由節(jié)點的KCL方程把各連支電流的關系聯(lián)系起來。對于已選定樹的連通圖來說，割集不可能只由連支組成，因為若將所有連支移去則將會剩下樹而不會成為兩個分離部分,所以也不能通過割集的KCL方程把各連支電流的關系聯(lián)系起來。因此，連支電流是相互獨立的電流變量。也就是說，若已知b－n+1個連支電流中的任何b－n個，則求不出第b－n+1個連支電流。由于每一樹支都可以與有關的連支構(gòu)成一個基本割集，而對任一割集來說KCL是成立的,因此，每一基本割集中唯一的一個樹支電流都可以用連支電流線性表示。如圖3.1-6(a)所示，如果知道了各連支電流i1、i4、i6，則各樹支電流i2、i3、

i5即可通過節(jié)點或基本割集的KCL方程求得，如

i2=－i1－i4

i3=－i1+i6

i5=－i4－i6

這就是說，一旦連支電流確定，則所有支路電流即可確定。因此，連支電流是完備的電流變量。假想在每個獨立回路中均有一沿回路邊沿流經(jīng)該回路上各支路的電流，稱為各獨立回路的回路電流。顯然,各連支電流就等于該連支所確定的基本回路的回路電流，而樹支電流就等于經(jīng)過該支路的回路電流的代數(shù)和。這樣，一個n個節(jié)點、b條支路的電路有b－n+1條連支，就會有b－n+1個基本回路及b－n+1個回路電流。以b－n+1個基本回路的回路電流為求解變量，列寫b－n+1個基本回路的KVL方程，解方程先求得回路電流，進而求得所需要求的電流、電壓、功率等量，這種分析方法稱為回路電流法，簡稱回路法。用回路法列寫電路方程的一般步驟如下：

(1)選樹，確定基本回路，設定各支路電流及基本回路電流的參考方向，一般取連支電流的參考方向為基本回路電流的參考方向。

(2)以基本回路電流的參考方向為循行方向，列寫基本回路的KVL方程。在列寫KVL方程時，將回路內(nèi)各電阻上的電壓表示為電阻值與流經(jīng)該電阻的回路電流代數(shù)和相乘積的形式，與循行方向一致的回路電流取正號，反之取負號。

(3)解方程組，得基本回路電流。

(4)由解得的基本回路電流，應用各支路電流等于流經(jīng)各支路的回路電流的代數(shù)和，求得各支路電流。

【例3.4-1】如圖3.4-1(a)所示的電路，其中R1=R2=R3=

1Ω，R4=R5=R6=2Ω，us1=4V，us5=2V。試選擇一組獨立回路，并列出回路電流方程。圖3.4-1例3.4-1圖

【解】[HT]電路的圖如圖3.4-1(b)所示，選擇支路4、5、6為樹。Il1、Il2、Il3為基本回路電流，其參考方向如圖中所示。按回路法列寫方程，有

(3.4-1)式(3.4-1)經(jīng)整理后為

(3.4-2)將各已知的參數(shù)值代入式(3.4-2)，得到

(3.4-3)解式(3.4-3)的方程組得到Il1、Il2、Il3，然后可根據(jù)以下各式計算支路電流：

I1=Il1

I2=Il2

I3=Il3

I4=－Il1－Il2

I5=Il1+Il2－Il3

I6=－Il1+Il3

回路法中求解變量數(shù)b－n+1肯定少于電路的支路數(shù)b，所以從手工解算方程數(shù)的多少來看，回路法比支路電流法要簡單。3.4.2網(wǎng)孔法

網(wǎng)孔法以網(wǎng)孔電流作為求解變量，該法僅適用于平面電路。由于實際中所遇到的電路大都屬于平面電路，因此人們更經(jīng)常使用的是網(wǎng)孔法，下面我們將重點討論網(wǎng)孔法。圖3.4-2網(wǎng)孔法假想在每一網(wǎng)孔中均有一電流沿著構(gòu)成該網(wǎng)孔的各支路作閉合流動，這些假想的電流就稱為各網(wǎng)孔的網(wǎng)孔電流。圖3.4-2所示的平面電路有3個網(wǎng)孔，網(wǎng)孔1、網(wǎng)孔2、網(wǎng)孔3的網(wǎng)孔電流分別為im1、im2、im3，網(wǎng)孔電流的方向可任意設定，網(wǎng)孔電流的方向即作為列寫KVL方程時的循行方向。平面電路的網(wǎng)孔是一組獨立的回路，因此網(wǎng)孔電流就是獨立回路電流。我們知道，對于具有b條支路、n個節(jié)點的平面電路，它具有的網(wǎng)孔個數(shù)恰為連支的個數(shù)b－n+1。這

b－n+1個網(wǎng)孔電流也是一組完備的獨立電流變量。各網(wǎng)孔電流不能通過KCL相互聯(lián)系起來。由于每一網(wǎng)孔電流沿著網(wǎng)孔流動，當它流經(jīng)某節(jié)點時，從該節(jié)點流入，又從該節(jié)點流出，在為該節(jié)點所列的KCL方程中彼此抵消,因此，就KCL而論，各網(wǎng)孔電流線性無關。所以,網(wǎng)孔電流是一組相互獨立的電流變量。

任何一條支路一定屬于一個或兩個網(wǎng)孔，如果某支路只屬于某一網(wǎng)孔，那么該支路電流就等于該網(wǎng)孔電流，如圖3.4-2中i1=im1、i2=im2、i3=－im3；如果某支路屬于兩個網(wǎng)孔所共有，那么該支路上的電流就等于流經(jīng)該支路的兩網(wǎng)孔電流的代數(shù)和，與支路電流方向一致的網(wǎng)孔電流取正號，反之取負號，如圖3.4-2中i4=im1－im3，其他支路電流都可類似地求出。所以若網(wǎng)孔電流確定，則所有的支路電流就可確定。因此，網(wǎng)孔電流是完備的電流變量。對平面電路，以網(wǎng)孔電流為求解變量，根據(jù)KVL對全部網(wǎng)孔列寫方程，解方程求得網(wǎng)孔電流，進而求得所需要求的電流、電壓、功率等量，這種分析方法稱為網(wǎng)孔電流法，簡稱網(wǎng)孔法。圖3.4-2所示的電路中，以網(wǎng)孔電流為未知量，對各網(wǎng)孔列寫KVL方程，有

解式(3.4-4)即可得各網(wǎng)孔電流，進而可確定各支路電流、電壓。(3.4-4)

我們將式(3.4-4)整理后可得

(3.4-5)令

則式(3.4-5)可表示為

(3.4-6)觀察電路及式(3.4-6)，R11是網(wǎng)孔1內(nèi)所有電阻之和，稱為網(wǎng)孔1的自電阻，由于循行方向與網(wǎng)孔電流方向一致，因此自電阻前總為正號；R12是網(wǎng)孔1和網(wǎng)孔2公有支路上的電阻，稱為網(wǎng)孔1和網(wǎng)孔2的互電阻，由于網(wǎng)孔電流im1、im2以相同方向流過公有電阻R5，im2在R5上引起的電壓的方向與網(wǎng)孔1的循行方向一致，因此R5前取正號；R13是網(wǎng)孔1和網(wǎng)孔3公有支路上的電阻，稱為網(wǎng)孔1和網(wǎng)孔3的互電阻，由于網(wǎng)孔電流im1、im3以相反方向流過公有電阻R4，im3在R4上引起的電壓的方向與網(wǎng)孔1的循行方向相反，因此R4前取負號；

us11為網(wǎng)孔1中各電壓源的代數(shù)和，按網(wǎng)孔電流的方向循行，先遇到電壓源正極性端取負號，否則取正號(因移到等式右邊)。同樣，對網(wǎng)孔2、網(wǎng)孔3的方程，其中的R22、R33分別為網(wǎng)孔2、網(wǎng)孔3的自電阻;R21、R23、R31、R32分別為下標所示網(wǎng)孔之間的互電阻;us22、us33分別為網(wǎng)孔2、網(wǎng)孔3中各電壓源的代數(shù)和。根據(jù)以上的分析我們可以知道，用網(wǎng)孔法列寫的電路方程在形式上是有一定規(guī)律的。式(3.4-6)是三網(wǎng)孔電路的網(wǎng)孔方程的一般形式。對于具體的電路，僅是其中的自電阻、互電阻和電壓源代數(shù)和的具體值不同。如果是具有m個網(wǎng)孔的電路，則網(wǎng)孔方程的一般形式為

(3.4-7)在按一般形式列寫網(wǎng)孔方程時要注意：自電阻恒為正；互電阻的正負根據(jù)兩網(wǎng)孔電流流經(jīng)公有電阻的方向是否相同而定，相同為正，相反為負；方程右邊的us11、us22等為相應網(wǎng)孔中各電源(電壓源、電流源、受控源)引起的電壓的代數(shù)和，按網(wǎng)孔電流的方向循行，先遇到電源電壓的正極性端取負號，否則取正號。需要說明的是，實際上電阻值是沒有正負的，這里互電阻的正負號是由于把公有電阻上的電壓的正負號歸在相應的互電阻中，以使方程的形式整齊統(tǒng)一。網(wǎng)孔法是回路法的一種特殊情況，選取網(wǎng)孔作獨立回路時，回路法就是網(wǎng)孔法?；芈贩ǚ匠桃部砂词?3.4-7)的一般形式列寫，只不過式中的求解變量為獨立回路電流。采用網(wǎng)孔法，我們無需選樹確定基本回路，只需設出各網(wǎng)孔電流的方向，通過觀察電路求出各網(wǎng)孔的自電阻、互電阻及電源電壓代數(shù)和，按照網(wǎng)孔方程的一般形式即可直接寫出方程。網(wǎng)孔法比回路法更加簡便，但網(wǎng)孔法只適用于平面電路，回路法則無此限制，它適用于平面及非平面電路。

【例3.4-2】如圖3.4-3(a)所示的電路，其中R1=R3=R4=

20Ω，R2=R5=R6=10Ω，is1=0.1A，us5=2V，us6=4V。用網(wǎng)孔電流法求電流i3。圖3.4-3例3.4-2圖

【解】本題電路中含有有伴電流源。這種情況可應用電壓源、電流源模型的互換等效將其等效為圖3.4-3(b)所示的電路，其中:

us1=is1R1=0.1×20=2V

設網(wǎng)孔電流為im1、im2、im3，其方向如圖3.4-3(b)所示。觀察電路，根據(jù)通式列寫方程為

解上式，得

im1≈－0.0471A,im2≈－0.1294A,im3≈－0.1765A

所以

i3=im1－im2=［(－0.0471)－(－0.1294)］A=0.0823A

【例3.4-3】如圖3.4-4所示的電路，試用網(wǎng)孔法列寫網(wǎng)孔方程。圖3.4-4例3.4-3圖

【解】設網(wǎng)孔電流為im1、im2、im3，其方向如圖3.4-4所示。本題電路中的電流源是無伴電流源，無法將其等效變換為電壓源的形式，而且電流源兩端的電壓是不知道的，也就無法寫出其所在網(wǎng)孔的方程等式右邊電源電壓的代數(shù)和。這種情況可先假設電流源兩端電壓為U，列寫方程時把U當作獨立電壓源寫入方程。由于引入了U這個未知量，所以還需要增加一個輔助方程，使得方程數(shù)與未知量數(shù)相等，方可求解。這個輔助方程可用網(wǎng)孔電流來表示電流源電流。根據(jù)本題電路可寫出輔助方程為

im3－im2=1A按網(wǎng)孔方程的一般形式列寫方程為

聯(lián)立上面四個式子即可求解電路。

【例3.4-4】如圖3.4-5所示的電路，試用網(wǎng)孔法求電流i。

圖3.4-5例3.4-4圖

【解】設網(wǎng)孔電流為im1、im2，其方向如圖3.4-5所示。本題電路中含有受控電壓源。在列寫方程時，將受控電壓源當作獨立電壓源寫入方程，由此會引入一個新的未知量，即受控源的控制量，它可能是電壓或是電流，在本題中是電壓ux。因此需要增加一個輔助方程，用網(wǎng)孔電流來表示控制量。根據(jù)本題電路可寫出輔助方程為

ux=4im2

按網(wǎng)孔方程的一般形式列寫方程為

聯(lián)立上面三個式子解得

im1=－1A,im2=3A,ux=12V所以

i=im2=3A

當電路中含有受控電流源時，處理方法與前面處理電流源的方法類似，同時把控制量用網(wǎng)孔電流表示。

網(wǎng)孔電流法的步驟可以歸納如下：

(1)對平面電路的各網(wǎng)孔指定網(wǎng)孔電流的參考方向。

(2)按照式(3.4-7)網(wǎng)孔方程的一般形式直接寫出方程。注意自電阻、互電阻及電壓源電壓前面的“＋”、“－”號。

(3)當電路中有電流源或受控源時需加以處理。

3.5割集法與節(jié)點法

割集法和節(jié)點法是另一類改進的方法。

3.5.1割集法

在3.1節(jié)中我們知道：一個n個節(jié)點、b條支路的連通圖G其基本割集個數(shù)為它的樹支個數(shù)，即n－1個。n－1個樹支電壓是一組完備的獨立電壓變量。根據(jù)樹的定義，樹不包含回路，因此，各樹支電壓不能通過KVL相互聯(lián)系起來。就KVL而論，各樹支電壓線性無關,所以,樹支電壓是相互獨立的電壓變量。也就是說，一個具有n個節(jié)點、b條支路的連通圖，如果知道它的n－1個樹支電壓中的任何n－2個，則求不出第n－1個樹支電壓。圖3.5-1樹支電壓的表示根據(jù)樹的定義，樹連通所有的節(jié)點，因此從一個節(jié)點到其他任何一個節(jié)點，一定有一條只由樹支構(gòu)成的唯一路徑，那么任何兩節(jié)點間的電壓可以用沿這一路徑的各樹支電壓的代數(shù)和表示。如圖3.5-1所示的連通圖，若選樹支為{1,2,4}，則相應連支為{3,5,6}。各支路上的箭頭為支路電流的參考方向，支路電壓參考方向與電流參考方向關聯(lián)，省略未標出。如果已知各樹支電壓為u1、u2、u4，那么各連支電壓可表示為

u3=－u1－u2

u5=－u1－u2－u4

u6=u2+u4這就是說，一旦樹支電壓確定，則所有支路電壓即可確定。因此，樹支電壓是完備的電壓變量。

以n－1個樹支電壓為求解變量，列寫n－1個基本割集的KCL方程，解方程先求得樹支電壓進而求得所需要求的電流、電壓、功率等量，這種分析方法稱為割集電壓法，簡稱割集法。用割集法列寫電路方程的一般步驟如下：

(1)選樹，確定基本割集，設定各支路電流的參考方向(支路電壓的參考方向與支路電流的參考方向關聯(lián)，省略不標)。以樹支電流的方向作為基本割集的方向。

(2)列寫基本割集的KCL方程。列寫方程時，將割集中的各支路電流表示為該支路的電導值與支路電壓相乘積的形式。

(3)將第(2)步寫出的KCL方程中的各支路電壓用樹支電壓表示。

(4)解方程組，得樹支電壓。

(5)由解得的樹支電壓，根據(jù)任何兩節(jié)點間的電壓等于連接這兩點的樹支的電壓的代數(shù)和，求得各支路電壓。

【例3.5-1】如圖3.5-2(a)所示的電路，試選擇一組基本割集，并列出割集方程。圖3.5-2例3.5-1圖

【解】[HT]本題電路的圖如圖3.5-2(b)所示，選支路2、3、6為樹支，則基本割集為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，各支路電流及割集的方向如圖所示，支路電壓參考方向與支路電流參考方向關聯(lián)。列寫基本割集的KCL方程，有

(3.5-1)將各支路電流表示為該支路的電導值與支路電壓相乘積的形式，并用樹支電壓表示連支電壓，有

(3.5-2)支路電流i4就等于獨立電流源的電流is4，即

i4=is4

(3.5-3)

將式(3.5-2)和式(3.5-3)代入式(3.5-1)，整理后可得

(3.5-4)解式(3.5-4)割集方程即可得到各樹支電壓u2、u3、u6，則各連支電壓為

u1=u3+u6

u4=u2－u3－u6

u5=－u2+u33.5.2節(jié)點法

在電路中任選一個節(jié)點作為參考節(jié)點，其余各節(jié)點到參考節(jié)點的電壓稱為相應節(jié)點的節(jié)點電壓。如圖3.5-3(a)所示的電路，這里把電導與獨立電流源的并聯(lián)看做一條支路，電路的圖如圖3.5-3(b)所示，電路的節(jié)點數(shù)為4，支路數(shù)為6。各節(jié)點的編號和各支路電流的方向如圖所示。若選擇節(jié)點4作為參考節(jié)點，則節(jié)點1、2、3與參考節(jié)點之間的電壓即節(jié)點電壓分別為un1、un2、un3。節(jié)點電壓的參考方向是以參考節(jié)點為低電位端，以其余節(jié)點為高電位端。顯然，一個具有n個節(jié)點的電路有n－1個節(jié)點電壓。這n－1個節(jié)點電壓是一組完備的獨立電壓變量。圖3.5-3節(jié)點法對電路中的任一個回路，節(jié)點電壓自動滿足KVL。例如,圖3.5-3(a)中由G4、G5、G6所在支路構(gòu)成的回路，有KVL方程：

u12+u23+u31=0

將式中的各支路電壓用節(jié)點電壓表示，則有

un1－un2+un2－un3+un3－un1=0(3.5-5)

式(3.5-5)中各節(jié)點電壓自身相互抵消，un1、un2、un3無論為何種數(shù)值該式都恒等于零。因此，不能通過KVL方程將各節(jié)點電壓之間的關系聯(lián)系起來，若已知n－1個節(jié)點電壓中的任意n－2個，求不出第n－1個。也就是說，就KVL而論，各節(jié)點電壓線性無關。所以節(jié)點電壓是一組相互獨立的電壓變量。由圖3.5-3(b)可以看出，電路中的所有支路電壓都可以用節(jié)點電壓表示，若已知節(jié)點電壓un1、un2、un3，則各支路電壓為

u14=un1

u24=un2

u34=un3

u12=un1－un2

u23=un2－un3

u13=un1－un3

所以若節(jié)點電壓確定，則所有的支路電壓就可確定。因此，節(jié)點電壓是完備的電壓變量。以節(jié)點電壓為求解變量，根據(jù)KCL對獨立節(jié)點列寫方程，解方程求得節(jié)點電壓進而求得所需要求的電流、電壓、功率等量，這種分析方法稱為節(jié)點電壓法，簡稱節(jié)點法。

如圖3.5-3所示的電路，對節(jié)點1、2、3應用KCL，設流出節(jié)點的電流取正號，流入節(jié)點的電流取負號，有

(3.5-6)將各支路電流用節(jié)點電壓表示為

(3.5-7)將式(3.5-7)代入式(3.5-6)，并進行整理，得

(3.5-8)

觀察電路及式(3.5-8)，以節(jié)點1的方程為例，我們可以發(fā)現(xiàn)：un1前的系數(shù)恰好是與節(jié)點1相連的各支路電導之和，令G11=G1+G4+G6，G11稱為節(jié)點1的自電導；un2前的系數(shù)是連接節(jié)點1與節(jié)點2的支路電導的負值，令G12=－G4，G12稱為節(jié)點1與節(jié)點2間的互電導；un3前的系數(shù)是連接節(jié)點1與節(jié)點3的支路電導的負值，令G13=－G6，G13稱為節(jié)點1與節(jié)點3間的互電導；等式右端是流入節(jié)點1的電流源的代數(shù)和，流入節(jié)點取“+”號，流出節(jié)點取“－”號，令is11=is1－is6，is11稱為節(jié)點1的等效電流源。同樣，對節(jié)點2、節(jié)點3的方程，我們可以找到節(jié)點2和節(jié)點3的自電導、互電導、等效電流源為 G21=－G4,G22=G2+G4+G5,G23=－G5,is22=0

G31=－G6,G32=－G5,G33=G3+G5+G6,is33=is6+is3

因此我們可以將式(3.5-8)表示為如下形式：

(3.5-9)根據(jù)以上的分析我們可以知道，用節(jié)點法列寫的電路方程在形式上是有一定規(guī)律的。式(3.5-9)是具有三個獨立節(jié)點電路的節(jié)點方程的一般形式，對于具體的電路，僅是其中的自電導、互電導和等效電流源的具體值不同。如果是具有m個獨立節(jié)點的電路，則節(jié)點方程的一般形式為

(3.5-10)在按一般形式列寫節(jié)點方程時要注意：自電導總是正的；互電導總是負的，出現(xiàn)負號是因為所有節(jié)點電壓都一律假定為電壓降；方程右邊的等效電流源is11、is22、…為與相應節(jié)點相連的各電源(電壓源、電流源、受控源)引起的電流的代數(shù)和，流入節(jié)點取“+”號，流出節(jié)點取“－”號。

節(jié)點法是割集法的一種特殊情況。割集法方程也可按式(3.5-10)的一般形式列寫，只不過式中的求解變量為樹支電壓。和割集法相比，節(jié)點法無需選樹確定基本割集，只需選定參考節(jié)點設出各節(jié)點電壓，通過觀察電路求出各獨立節(jié)點的自電導、互電導及等效電流源，按照節(jié)點方程的一般形式即可直接寫出方程。和網(wǎng)孔法相比，如果電路的獨立節(jié)點數(shù)少于網(wǎng)孔數(shù)，則節(jié)點法聯(lián)立的方程數(shù)就少一些，較易求解；網(wǎng)孔法只適用于平面電路，節(jié)點法則對平面和非平面電路都適用。因此，節(jié)點法更具有普遍意義。

【例3.5-2】如圖3.5-4(a)所示的電路，試列寫該電路的節(jié)點電壓方程。圖3.5-4例3.5-2圖

【解】本題電路中含有有伴電壓源。這種情況可應用電源互換等效將電壓源形式變換為電流源形式，如圖3.5-4(b)所示。選取節(jié)點5作為參考節(jié)點，其他4個節(jié)點的節(jié)點電壓分別為un1、un2、un3、un4。觀察電路，按節(jié)點電壓方程的一般形式列寫方程為

解式(3.5-11)的節(jié)點電壓方程組即可得到各節(jié)點電壓。(3.5-11)在本題中要注意，節(jié)點1的自電導是G2+G3，而不是G1+G2+G3。這是因為節(jié)點法的實質(zhì)是按KCL列寫方程，在KCL方程中電流源所在支路的電流已作為電流源電流寫到了方程的右邊，而與串聯(lián)電阻無關，所以在列寫節(jié)點電壓方程時，要把與理想電流源串聯(lián)的元件(包括電阻、電導、電壓源)看成短路。另外，由于節(jié)點1和3、2和4之間沒有直接的公共支路，所以G13=G31=G24=G42=0。

【例3.5-3】如圖3.5-5所示的電路，試用節(jié)點電壓法求獨立電流源產(chǎn)生的功率。圖3.5-5例3.5-3圖

【解】本題電路中含有無伴電壓源，無法將其等效變換為電流源形式，因為獨立電壓源的輸出電流是不知道的，也就無法列寫與電壓源相關的節(jié)點的KCL方程。在應用節(jié)點法時若遇到無伴電壓源，一種方法是選擇無伴電壓源支路所連的兩個節(jié)點之一作為參考節(jié)點，這樣另一節(jié)點的節(jié)點電壓就為已知量了，就可少列寫一個方程；另一種方法是假設獨立電壓源的輸出電流為ix，按一般形式列寫方程時把ix當作電流源寫入方程。由于引入了ix這個未知量，所以還需要增加一個輔助方程。這個輔助方程可用節(jié)點電壓來表示電壓源電壓。在可能的條件下一般優(yōu)先采用第一種處理方法。由于本題電路中含有兩個無伴電壓源支路，所以需結(jié)合上述兩種方法來處理。選取節(jié)點4作為參考節(jié)點，其他3個節(jié)點的節(jié)點電壓分別為un1、un2、un3。顯然，有

un1=10V(3.5-12)設5V電壓源所在支路電流為ix，參考方向如圖3.5-5中所示。對節(jié)點2、節(jié)點3列寫方程，有

(3.5-13)用節(jié)點電壓表示電壓源電壓，增加一個輔助方程為

un2－un3=5V(3.5-14)

聯(lián)立式(3.5-12)、式(3.5-13)、式(3.5-14)，整理后可得

(3.5-15)解式(3.5-15)，可得

un2=10V,