2023-2024學(xué)年福建省福州市福建師大附中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年福建師大附中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若集合A={a}，B={1,3a?1}，若A?B，則a=(

)A.1 B.12 C.12或1 2.據(jù)統(tǒng)計(jì)2023年“五一”假期哈爾濱太陽(yáng)島每天接待的游客人數(shù)X服從正態(tài)分布N(2000,1002)，則在此期間的某一天，太陽(yáng)島接待的人數(shù)不少于1800的概率為(

)

附：X～N(μ,σ2)，P(μ?σ<x<μ+σ)=0.6827，A.0.4987 B.0.8413 C.0.9773 D.0.99873.設(shè)a∈R，則“2<a<3”是“(a+1)(a?6)<0”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知函數(shù)f(x)=x2?2x，g(x)=ax+2(a>0)，若對(duì)?x1∈[?1,2]，?x2A.(0,12] B.[12,3)5.已知變量x，y的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表，由表中數(shù)據(jù)得x，y之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.8x+a，現(xiàn)有一測(cè)量數(shù)據(jù)為(35,n)，若該數(shù)據(jù)的殘差為1.2，則x21232527y15181920A.25.6 B.28 C.29.2 D.24.46.已知離散型隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X～B(n,p)且E(X)=2，D(X)=q，則1p+1qA.2 B.3+222 C.97.已知偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x)+f(3?x)=0，且當(dāng)x∈[0,32]時(shí)，f(x)=x2A.?54 B.?1 C.1 8.現(xiàn)隨機(jī)安排甲、乙等4位同學(xué)參加校運(yùn)會(huì)跳高、跳遠(yuǎn)、投鉛球比賽，要求每位同學(xué)參加一項(xiàng)比賽，每項(xiàng)比賽至少一位同學(xué)參加，事件A=“甲參加跳高比賽”，事件B=“乙參加跳高比賽”，事件C=“乙參加跳遠(yuǎn)比賽”，則(

)A.事件A與B相互獨(dú)立 B.事件A與C為互斥事件

C.P(C|A)=512 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列關(guān)于回歸分析的說(shuō)法中正確的是(

)A.回歸直線(xiàn)一定過(guò)樣本中心(x?,y?)

B.兩個(gè)模型中殘差平方和越小的模型擬合的效果越好

C.甲、乙兩個(gè)模型的R2分別約為10.一個(gè)不透明的箱子中裝有5個(gè)小球，其中白球3個(gè)，紅球2個(gè)，小球除顏色不同外，材質(zhì)大小全部相同，現(xiàn)投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若硬幣正面朝上，則從箱子里抽出一個(gè)小球且不再放回；若硬幣反面朝上，則不抽取小球；重復(fù)該試驗(yàn)，直至小球全部取出，假設(shè)試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)，試驗(yàn)者手中沒(méi)有任何小球，下列說(shuō)法正確的有(

)A.經(jīng)過(guò)兩次試驗(yàn)后，試驗(yàn)者手中恰有2個(gè)白球的概率為340

B.若第一次試驗(yàn)抽到一個(gè)白球，則第二次試驗(yàn)后，試驗(yàn)者手有白紅球各1個(gè)的概率為12

C.經(jīng)過(guò)6次試驗(yàn)后試驗(yàn)停止的概率為320

D.經(jīng)過(guò)811.已知f(x)，g(x)的定義域?yàn)镽，若f(1?x)+g(x)=3，g(?2)=2，且f(x+2)為奇函數(shù)，g(x+1)為偶函數(shù)，則(

)A.f(x)為偶函數(shù) B.g(x)為奇函數(shù)

C.f(?1)=?1 D.g(x)關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，即X～N(1,σ2)，若P(X>2a?1)=P(X<a)，則a=13.函數(shù)y=x4,14.某盒中有12個(gè)大小相同的球，分別標(biāo)號(hào)為1，2，?，12，從盒中任取3個(gè)球，記ξ為取出的3個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和被3除的余數(shù)，則隨機(jī)變量ξ的期望為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+cx2+4是定義在[?2,2]上的奇函數(shù)，且f(1)=15．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)判斷并用定義法證明f(x)在[?2,2]16.(本小題15分)

游樂(lè)園推出的西游主題毛絨公仔，具有造型逼真可愛(ài)、觸感柔軟等特點(diǎn)，深受學(xué)生喜愛(ài).某調(diào)查機(jī)構(gòu)在參觀西游樂(lè)園的游客中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生，對(duì)是否有購(gòu)買(mǎi)西游主題毛絨公仔的意愿進(jìn)行調(diào)查，得到以下的2×2列聯(lián)表：有購(gòu)買(mǎi)意愿沒(méi)有購(gòu)買(mǎi)意愿合計(jì)男40女60合計(jì)50(1)完成上述2×2列聯(lián)表，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)西游主題毛絨公仔與學(xué)生的性別有關(guān)？

(2)某文創(chuàng)商店為了宣傳推廣西游主題毛絨公仔產(chǎn)品，設(shè)計(jì)了一個(gè)游戲：在三個(gè)外觀大小都一樣的袋子中，分別放大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)藍(lán)球，2個(gè)紅球和2個(gè)藍(lán)球，以及3個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球.游客可以從三個(gè)袋子中任選一個(gè)，再?gòu)闹腥稳?個(gè)球，若取出2個(gè)紅球，則可以獲贈(zèng)一套西游主題毛絨公仔.現(xiàn)有3名同學(xué)參加該游戲，ξ表示3名同學(xué)中獲贈(zèng)一套毛絨公仔的人數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望．

附：χ2=n(ad?bc)P(0.050.0250.0100.0050.001k3.8415.0246.6357.87910.82817.(本小題15分)

某小微企業(yè)對(duì)其產(chǎn)品研發(fā)的年投入金額x(單位：萬(wàn)元)與其年銷(xiāo)售量y(單位：萬(wàn)件)的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，整理后得到如下的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表：x15789y236811z=lny0.71.11.82.12.4(1)公司擬分別用①y=bx+a和②y=enx+m兩種模型作為年銷(xiāo)售量y關(guān)于年投入金額x的回歸分析模型，根據(jù)上表數(shù)據(jù)，分別求出兩種模型的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；

(2)統(tǒng)計(jì)學(xué)中常通過(guò)殘差的平方和比較兩個(gè)模型的擬合效果，若模型①和②的殘差的平方和分別為9.9和4.2，請(qǐng)?jiān)冖俸廷谥羞x擇擬合效果更好的模型，并估計(jì)當(dāng)年投入金額為10萬(wàn)元時(shí)的年銷(xiāo)售量．

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,3,…,n)，其回歸直線(xiàn)y?=b?x+a18.(本小題17分)

某市每年上半年都會(huì)舉辦“清明文化節(jié)”，下半年都會(huì)舉辦“菊花文化節(jié)”，吸引著眾多海內(nèi)外游客.為了更好地配置“文化節(jié)”旅游相關(guān)資源，2023年該市旅游管理部門(mén)對(duì)初次參加“菊花文化節(jié)”的游客進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，據(jù)統(tǒng)計(jì)，有23的人計(jì)劃只參加“菊花文化節(jié)”，其他人還想?yún)⒓?024年的“清明文化節(jié)”，只參加“菊花文化節(jié)”的游客記1分，兩個(gè)文化節(jié)都參加的游客記2分.假設(shè)每位初次參加“菊花文化節(jié)”的游客計(jì)劃是否來(lái)年參加“清明文化節(jié)”相互獨(dú)立，將頻率視為概率．

(1)從2023年初次參加“菊花文化節(jié)”的游客中隨機(jī)抽取三人，求三人合計(jì)得分的分布列；

(2)2024年的“清明文化節(jié)”擬定于4月4日至4月19日舉行，為了吸引游客再次到訪，該市計(jì)劃免費(fèi)向到訪的游客提供“單車(chē)自由行”和“觀光電車(chē)行”兩種出行服務(wù).已知游客甲每天的出行將會(huì)在該市提供的這兩種出行服務(wù)中選擇，甲第一天選擇“單車(chē)自由行”的概率為45，若前一天選擇“單車(chē)自由行”，后一天繼續(xù)選擇“單車(chē)自由行”的概率為14，若前一天選擇“觀光電車(chē)行”，后一天繼續(xù)選擇“觀光電車(chē)行”的概率為13，如此往復(fù)．

(i)求甲第二天選擇“單車(chē)自由行”的概率；

(ii)求甲第n(n=1,2,…,16)天選擇“單車(chē)自由行”的概率Pn，并幫甲確定在19.(本小題17分)

如果三個(gè)互不相同的函數(shù)y=f(x)，y=g(x)，y=?(x)在區(qū)間D上恒有f(x)≤?(x)≤g(x)或g(x)≤?(x)≤f(x)，則稱(chēng)y=?(x)為y=f(x)與y=g(x)在區(qū)間D上的“分割函數(shù)”．

(1)證明：函數(shù)f1(x)=x為函數(shù)y=ln(x+1)與y=ex?1在(?1,+∞)上的分割函數(shù)；

(2)若函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)為函數(shù)y=2x2+2與y=4x在(?∞,+∞)上的“分割函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若[m,n]?[?2,2]，且存在實(shí)數(shù)k，d，使得函數(shù)y=kx+d參考答案1.C

2.C

3.A

4.D

5.B

6.B

7.D

8.C

9.ABD

10.AD

11.ACD

12.1

13.[0,169]14.545515.解：(1)由題意可得ax2+bx+cx2+4=?a(?x)2+b(?x)+c(?x)2+4，

即ax2+bx+c=?ax2+bx?c，即ax2+c=0，故a=0，c=0，

又f(1)=a+b+c1+4=b5=15，故b=1，即f(x)=xx2+4；

(2)f(x)在[?2,2]上單調(diào)遞增，證明如下：

設(shè)?2≤x1<x2≤2，

則f(x1)?f(x16.解：(1)由題可得2×2列聯(lián)表如下：有購(gòu)買(mǎi)意愿沒(méi)有購(gòu)買(mǎi)意愿合計(jì)男9040130女601070合計(jì)15050200提出假設(shè)H0：購(gòu)買(mǎi)西游主題毛絨公仔與學(xué)生的性別無(wú)關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得

χ2=200(90×10?60×40)2150×50×130×70=60091≈6.5934<6.635，

因?yàn)楫?dāng)H0成立時(shí)，χ2≥6.635的概率大于1%，所以沒(méi)有99%的把握認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)西游主題毛絨公仔與學(xué)生的性別有關(guān)．

(2)一次游戲中取出2個(gè)紅球的概率P=13×0+117.解：(1)由題知，x?=1+5+7+8+95=6，y?=2+3+6+8+115=6，

z?=0.7+1.1+1.8+2.1+2.45=1.62，

所以i=15(xi?x?)2=(1?6)2+(5?6)2+(7?6)2+(8?6)2+(9?6)2=40，

所以b?=i=15(xi?x?)(yi?y?)i=1518.解：(1)由題意，每位游客得(1分)的概率為23，得(2分)的概率為13，

隨機(jī)抽取三人，用隨機(jī)變量X表示三人合計(jì)得分，則X可能的取值為3，4，5，6，

P(X=3)=(23)3=827，P(X=4)=CX

3

4

5

6

P

8

4

21(2)第一天選擇“單車(chē)自由行”的概率為45，則第一天選擇“觀光電車(chē)行”的概率為15，

若前一天選擇“單車(chē)自由行”，后一天繼續(xù)選擇“單車(chē)自由行”的概率為14，

若前一天選擇“觀光電車(chē)行”，后一天繼續(xù)選擇“觀光電車(chē)行”的概率為13，

則后一天選擇“單車(chē)自由行”的概率為23，

(i)甲第二天選擇“單車(chē)自由行”的概率P=45×14+15×23=13．

(ii)甲第n(n=1,2,…,16)天選擇“單車(chē)自由行”的概率Pn，有P1=45，

Pn=14Pn?1+23(1?Pn?1)=?512Pn?1+23(n=2,3,…,16)，Pn?817=?512(Pn?1?817)，

又P1?817=2885≠0，

19.解：(1)證明：設(shè)F(x)=ln(x+1)?x，

則F′(x)=1x+1?1，當(dāng)?1<x<0時(shí)，F(xiàn)′(x)>0，F(xiàn)(x)在(?1,0)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)′(x)<0，F(xiàn)(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減，

則F(x)在x=0處取得極大值，即為最大值，

即F(x)≤F(0)=0，則當(dāng)x∈(?1,+∞)時(shí)，x≥ln(x+1)；

設(shè)H(x)=ex?1?x，則H′(x)=ex?1?1，

當(dāng)?1<x<1時(shí)，H′(x)<0，H(x)在(?1,1)上單調(diào)遞咸，

當(dāng)x>1時(shí)，H′(x)>0，H(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

則H(x)在x=1處取得極小值，即為最小值，

即H(x)≥H(1)=0，則當(dāng)x∈(?1,+∞)時(shí)，x≤ex?1，

于是當(dāng)x∈(?1,+∞)時(shí)，ln(x+1)≤x≤ex?1，

∴函數(shù)f1(x)=x為函數(shù)y=ln(x+1)與y=ex?1在(?1,+∞)上的“分割函數(shù)”．

(2)∵函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)為函數(shù)y=2x2+2與y=4x在(?∞,+∞)上的“分割函數(shù)”，

∴對(duì)?x∈R，4x≤ax2+bx+c≤2x2+2恒成立，

而(2x2+2)′=4x，于是函數(shù)y=2x2+2在x=1處的切線(xiàn)方程為y=4x，

∴函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象在x=1處的切線(xiàn)方程也為y=4x，又y′=2ax+b，

則2a+b=4a+b+c=4，解得a=cb=4?2a，