冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊《21.3用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達(dá)式》公開課課件

21.3用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達(dá)式第二十一章一次函數(shù)情境引入學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解待定系數(shù)法的意義.2.會(huì)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達(dá)式.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）導(dǎo)入新課

前面，我們學(xué)習(xí)了一次函數(shù)及其圖象和性質(zhì)，你能寫出兩個(gè)具體的一次函數(shù)表達(dá)式嗎？如何畫出它們的圖象？

思考：

反過來，已知一個(gè)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩個(gè)具體的點(diǎn)，你能求出它的表達(dá)式嗎？兩點(diǎn)法——兩點(diǎn)確定一條直線問題引入講授新課用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達(dá)式如圖，已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過P（0，-1），Q（1，1）兩點(diǎn).怎樣確定這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式呢？合作探究

因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的一般形式是y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0），要求出一次函數(shù)的表達(dá)式，關(guān)鍵是要確定k和b的值（即待定系數(shù)）.函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=kx+b滿足條件的兩點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)一次函數(shù)的圖象直線l選取解出畫出選取∵P（0，-1）和Q（1，1）都在該函數(shù)圖象上，∴它們的坐標(biāo)應(yīng)滿足y=kx+b

，將這兩點(diǎn)坐標(biāo)代入該式中，得到一個(gè)關(guān)于k，b的二元一次方程組：k·0+b=-1，k+b=1，

｛｛解這個(gè)方程組，得k=2，b=-1.

∴這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x-1.

像這樣，通過先設(shè)定函數(shù)表達(dá)式（確定函數(shù)模型），再根據(jù)條件確定表達(dá)式中的未知系數(shù)，從而求出函數(shù)表達(dá)式的方法稱為待定系數(shù)法.知識(shí)要點(diǎn)做一做

已知一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（3，5）與（-4，-9），求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式．

解：設(shè)這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式為y=kx+b.

3k+b=5，-4k+b=-9，∴這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式為

解方程組得

b=-1.

把點(diǎn)（3，5）與（-4，-9）分別代入，得：k=2，y=2x-1.（1）設(shè)：設(shè)一次函數(shù)的一般形式；（2）列：把圖象上的點(diǎn)，代入一次函數(shù)的表達(dá)式，組成_________方程組；（3）解：解二元一次方程組得k,b；（4）還原：把k,b的值代入一次函數(shù)的表達(dá)式.求一次函數(shù)表達(dá)式的步驟：y=kx+b(k≠0)二元一次歸納總結(jié)例1.若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)

A(2,0)且與直線y=-x+3平行，求其表達(dá)式.解：設(shè)這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式為y=kx+b.k=-1，2k+b=0，

｛由題意得k=-1，b=2.｛解得∴y=-x+2.典例精析例2已知一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（0，2），且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2，求此一次函數(shù)的表達(dá)式.分析：一次函數(shù)y=kx+b與y軸的交點(diǎn)是（0，b），與x軸的交點(diǎn)是（，0）.由題意可列出關(guān)于k，b的方程.yxO2注意：此題有兩種情況.解：設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式為y=kx+b(k≠0)∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象過點(diǎn)（0，2），

∴b=2

∵一次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)是(，0)，則解得k=1或-1.故此一次函數(shù)的表達(dá)式為y=x+2或y=-x+2.正比例函數(shù)y=k1x與一次函數(shù)y=k2x+b的圖象如圖所示，它們的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，4)，并且OB=5.(1)你能求出這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式嗎？(2)△AOB的面積是多少呢？做一做分析：由OB=5可知點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,-5).y=k1x的圖象過點(diǎn)A(3，4)，y=k2x+b的圖象過點(diǎn)A(3，4)，B(0,-5)，代入解方程(組)即可.例3：正比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象如圖所示，它們的交點(diǎn)為A(4，3)，B為一次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)，且OA＝2OB.求正比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式．解：設(shè)正比例函數(shù)的表達(dá)式為y1＝k1x，一次函數(shù)的表達(dá)式為y2＝k2x＋b.∵點(diǎn)A(4，3)是它們的交點(diǎn)，∴代入上述表達(dá)式中，得3＝4k1，3＝4k2＋b.∴k1＝，即正比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝x.∵OA＝＝5，且OA＝2OB，∴OB＝.∵點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸上，∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，－)．又∵點(diǎn)B在一次函數(shù)y2＝k2x＋b的圖象上，∴－＝b，代入3＝4k2＋b中，得k2＝.∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y2＝x－.做一做

某種拖拉機(jī)的油箱可儲(chǔ)油40L，加滿油并開始工作后，油箱中的剩余油量y（L）與工作時(shí)間x（h）之間為一次函數(shù)關(guān)系，函數(shù)圖象如圖所示.（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（2）一箱油可供拖拉機(jī)工作幾小時(shí)？

y=-5x+40.8h

根據(jù)圖象確定一次函數(shù)的表達(dá)式的方法：從圖象上選取兩個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法將兩點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)代入所設(shè)表達(dá)式中求出待定系數(shù)，從而求出函數(shù)的表達(dá)式．歸納總結(jié)已知一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的自變量的取值范圍是－3≤x≤6，相應(yīng)函數(shù)值的范圍是－5≤y≤－2

，求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式.能力提升分析：(1)當(dāng)－3≤x≤6時(shí)，－5≤y≤－2，實(shí)質(zhì)是給出了兩組自變量及對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；(2)由于不知道函數(shù)的增減性，此題需分兩種情況討論.答案：當(dāng)堂練習(xí)1.一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是（）

A．k=2

B．k=3

C．b=2

D．b=3DyxO232.如圖，直線l是一次函數(shù)y=kx+b的圖象，填空:

(1)b=______,k=______;(2)當(dāng)x=30時(shí)，y=______;(3)當(dāng)y=30時(shí)，x=______.2-18-42lyx解：設(shè)直線l為y=kx+b,∵l與直線y=-2x平行，∴k=-2.

又∵直線過點(diǎn)（0，2），∴2=-2×0+b,∴b=2,∴直線l的解析式為y=-2x+2.3.已知直線l與直線y=-2x平行，且與y軸交于點(diǎn)(0，2)，求直線l的表達(dá)式.4.若一直線與另一直線y=-3x+2交于y軸同一點(diǎn)，且過（2，-6），你能求出這條直線的表達(dá)式嗎？答案：y=-4x+2分析：直線y=-3x+2與y軸的交點(diǎn)為(0,2)，于是得知該直線過點(diǎn)(0,2)，(2，-6)，在用待定系數(shù)法求解即可.5.在彈性限度內(nèi)，彈簧的長度y（厘米）是所掛物體質(zhì)量x（千克）的一次函數(shù).一根彈簧不掛物體時(shí)長14.5厘米；當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為3千克時(shí)，彈簧長16厘米.請寫出y與x之間的關(guān)系式，并求當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為4千克時(shí)彈簧的長度.解：設(shè)y=kx+b(k≠0)

由題意得：14.5=b,16=3k+b,

解得：b=14.5;k=0.5.

所以在彈性限度內(nèi)，y=0.5x+14.5.當(dāng)x=4時(shí)，y＝0.5×4＋14.5=16.5（厘米）.故當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為4千克時(shí)彈簧的長度為16.5厘米.6.

已知一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（0，-4），且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4，求此一次函數(shù)的表達(dá)式.解：設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式為y=kx+b(k≠0)∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象過點(diǎn)（0，-4），

∴b=-4.

∵一次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)是(，0)，則解得k=2或-2.故此一次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x-4或y=-2x-4.課堂小結(jié)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達(dá)式2.根據(jù)已知條件列出關(guān)于k，b的方程(組)；1.設(shè)所求的一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b；3.解方程，求出k，b;4.把求出的k，b代回表達(dá)式即可.小結(jié)與復(fù)習(xí)第二十一章一次函數(shù)一次函數(shù)一般地，如果y＝kx＋b(k、b是常數(shù)，k≠0)，那么y叫做x的一次函數(shù).正比例函數(shù)特別地，當(dāng)b＝____時(shí)，一次函數(shù)y＝kx＋b變?yōu)閥＝_____(k為常數(shù)，k≠0)，這時(shí)y叫做x的正比例函數(shù).0kx1.一次函數(shù)與正比例函數(shù)的概念2.分段函數(shù)當(dāng)自變量的取值范圍不同時(shí)，函數(shù)的表達(dá)式也不同，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù).要點(diǎn)梳理函數(shù)字母系數(shù)取值（k>0）圖象經(jīng)過的象限函數(shù)性質(zhì)y＝kx+b(k≠0)b>0y隨x增大而增大b=0b<0第一、三象限

第一、二、三象限

第一、三、四象限

3.一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)字母系數(shù)取值（k<0）圖象經(jīng)過的象限函數(shù)性質(zhì)y＝kx+b(k≠0)b>0y隨x增大而減小b＝0b<0第一、二、四象限

第二、四象限

第二、三、四象限

求一次函數(shù)表達(dá)式的一般步驟：（1）先設(shè)出函數(shù)表達(dá)式；（2）根據(jù)條件列關(guān)于待定系數(shù)的方程（組）；（3）解方程（組）求出表達(dá)式中未知的系數(shù)；（4）把求出的系數(shù)代入設(shè)的表達(dá)式，從而具體寫出這個(gè)解析式.這種求表達(dá)式的方法叫待定系數(shù)法.4.用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達(dá)式求ax+b=0(a，b是常數(shù)，a≠0)的解．

x為何值時(shí)，函數(shù)y=ax+b的值為0？

從“數(shù)”的角度看求ax+b=0(a,b是常數(shù)，a≠0)的解．

求直線y=ax+b，與

x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

從“形”的角度看(1)一次函數(shù)與一元一次方程5.一次函數(shù)與方程

一般地，任何一個(gè)二元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)y=kx+b(k、b為常數(shù)，且k≠0)的形式，所以每個(gè)二元一次方程都對(duì)應(yīng)一個(gè)一次函數(shù)，也對(duì)應(yīng)一條直線．(2)一次函數(shù)與二元一次方程組方程組的解

對(duì)應(yīng)兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo).考點(diǎn)一一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)例1

已知函數(shù)y=（2m+1）x+m﹣3；(1)若該函數(shù)是正比例函數(shù)，求m的值；(2)若函數(shù)的圖象平行直線y=3x﹣3，求m的值；(3)若這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)，且y隨著x的增大而減小，求m的取值范圍；(4)若這個(gè)函數(shù)圖象過點(diǎn)（1，4），求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式.【分析】(1)由函數(shù)是正比例函數(shù)得m-3=0且2m+1≠0；(2)由兩直線平行得2m+1=3；(3)一次函數(shù)中y隨著x的增大而減小，即2m+1＜0；(4)代入該點(diǎn)坐標(biāo)即可求解.考點(diǎn)講練解：(1)∵函數(shù)是正比例函數(shù)，∴m﹣3=0，且2m+1≠0，解得m=3.

(2)∵函數(shù)的圖象平行于直線y=3x﹣3，∴2m+1=3，解得m=1.

(3)∵y隨著x的增大而減小，∴2m+1＜0，解得m＜

．

(4)∵該函數(shù)圖象過點(diǎn)（1,4），代入得2m+1+m-3=4,

解得m=2，∴該函數(shù)的表達(dá)式為y=5x-1.一次函數(shù)的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是y=kx+b中b的值；兩條直線平行，其函數(shù)表達(dá)式中的自變量系數(shù)k相等；當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時(shí)，y隨x的增大而減小.方法總結(jié)針對(duì)訓(xùn)練1.一次函數(shù)y=-5x+2的圖象不經(jīng)過第______象限.2.點(diǎn)（-1，y1），（2，y2）是直線y=2x+1上兩點(diǎn)，則y1____y2.三＜3.填空題：有下列函數(shù)：①,②

,③

,④.其中函數(shù)圖象過原點(diǎn)的是_____；函數(shù)y隨x的增大而增大的是________；函數(shù)y隨x的增大而減小的是_____；圖象在第一、二、三象限的是______.②③①②③④xy2=考點(diǎn)二一次函數(shù)與方程例2如圖，一次函數(shù)y1=x+b與一次函數(shù)y2=kx+4的圖象交于點(diǎn)P（1，3），則關(guān)于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（）yxOy1=x+by2=kx+4PA．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜113C【分析】觀察圖象，兩圖象交點(diǎn)為P(1，3),當(dāng)x＞1時(shí)，y1在y2上方，據(jù)此解題即可.【答案】C．本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，從函數(shù)的角度看，就是尋求一次函數(shù)y=ax+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合.方法總結(jié)針對(duì)訓(xùn)練4.方程x+2=0的解就是函數(shù)y=x+2的圖象與（）A.x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)B.y軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)C.y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)D.以上都不對(duì)5.兩個(gè)一次函數(shù)y=-x+5和y=-2x+8的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是_________.A(3，2)(1)問符合題意的搭配方案有幾種？請你幫助設(shè)計(jì)出來；(2)若搭配一個(gè)A種造型的成本是800元，搭配一個(gè)B

種造型的成本是960元，試說明(1)中哪種方案成本最低？最低成本是多少元？例3為美化深圳市景，園林部門決定利用現(xiàn)有的3490盆甲種花卉和2950盆乙種花卉搭配A、B

兩種園藝造型共50個(gè)擺放在迎賓大道兩側(cè)，已知搭配一個(gè)A

種造型需甲種花卉80盆，乙種花卉40盆，搭配一個(gè)B

種造型需甲種花卉50盆，乙種花卉90盆．考點(diǎn)三

一次函數(shù)的應(yīng)用解：設(shè)搭配A種造型x個(gè)，則B種造型為(50－x)個(gè)，依題意，得

∴31≤x≤33.∵x

是整數(shù)，x

可取31,32,33，∴可設(shè)計(jì)三種搭配方案：①A

種園藝造型31個(gè)，B

種園藝造型19個(gè)；②A

種園藝造型32個(gè)，B

種園藝造型18個(gè)；③A種園藝造型33個(gè)，B

種園藝造型17個(gè)．解得方案①需成本：31×800＋19×960＝43040(元)；方案②需成本：32×800＋18×960＝42880(元)；方案③需成本：33×800＋17×960＝42720(元)．（2）方法一：方法二：成本為y＝800x＋960(50－x)＝－160x＋48000(31≤x≤33)．根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，y隨x的增大而減小，故當(dāng)x＝33時(shí)，y取得最小值為33×800＋17×960＝42720(元)．即最低成本是42720元．用一次函數(shù)解決實(shí)際問題