2024-2025學(xué)年重慶市高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年重慶市高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（每題5分，共計(jì)40分）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．3．已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．4．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為A． B． C． D．5．為了給地球減負(fù)，提高資源利用率，2020年全國(guó)掀起了垃圾分類(lèi)的熱潮，垃圾分類(lèi)已經(jīng)成為新時(shí)尚，假設(shè)某市2020年全年用于垃圾分類(lèi)的資金為5000萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的資金比上一年增長(zhǎng)20%，則該市全年用于垃圾分類(lèi)的資金開(kāi)始超過(guò)1.28億元的年份是（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年6．函數(shù)的圖象的大致形狀是（

）A． B．C． D．7．已知函數(shù).若，使得成立，則實(shí)數(shù)的范圍是（

）A． B． C． D．8．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，恒有，則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心.利用對(duì)稱(chēng)中心的上述定義，研究函數(shù)，可得到（

）A．0 B．2023 C．4046 D．4047二、多選題（每題5分，共計(jì)20分）9．若，則下列命題正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) B．的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）中心對(duì)稱(chēng)C．沒(méi)有最小值 D．沒(méi)有最大值10．下列四個(gè)函數(shù)中過(guò)相同定點(diǎn)的函數(shù)有（

）A． B．C． D．11．已知函數(shù)，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則C．若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則D．若存在實(shí)數(shù)m使得函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則12．定義且.則下列關(guān)于函數(shù)的四個(gè)命題正確的是（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)锽．函數(shù)是偶函數(shù)且在上是增函數(shù)：C．函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意的，都有為常數(shù)且成立；D．函數(shù)有2個(gè)不同零點(diǎn).三、填空題（每題5分，共計(jì)20分）13．若冪函數(shù)是偶函數(shù)，則.14．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是15．已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值是7，則.16．已知函數(shù)，若、、、、滿(mǎn)足，則的取值范圍為.四、解答題（共70分）17．設(shè)集合.(1)若時(shí)，求.(2)若，求的取值范圍.18．已知且.(1)求的值；(2)若，解關(guān)于的不等式：（其中）.19．已知定義在上的奇函數(shù)．在時(shí)，．(1)試求的表達(dá)式；(2)若對(duì)于上的每一個(gè)值，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．中國(guó)茶文化博大精深，小南在茶藝選修課中了解到，不同類(lèi)型的茶葉由于在水中溶解性的差別，達(dá)到最佳口感時(shí)的水溫不同．為了方便控制水溫，小南聯(lián)想到牛頓提出的物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：如果物體的初始溫度為，環(huán)境溫度是，則經(jīng)過(guò)時(shí)間（單位：分鐘）后物體溫度（單位：）滿(mǎn)足公式：，其中是一個(gè)隨著物體與空氣接觸狀況而定的正的常數(shù)．小南與同學(xué)一起通過(guò)多次測(cè)量求平均值的方法得到200毫升初始溫度為的水，在室溫中溫度下降到溫度所需時(shí)間約為分鐘．(1)請(qǐng)根據(jù)小南的實(shí)驗(yàn)結(jié)果求出的值（精確到），并依照牛頓冷卻模型寫(xiě)出冷卻時(shí)間（單位：分）與冷卻后水溫（單位：）的函數(shù)關(guān)系．(2)小南了解到“永川秀芽”用左右的水沖泡口感最佳．在（1）的條件下，毫升水煮沸后（水溫）在室溫下為獲得最佳口感大約需要冷卻多少分鐘再?zèng)_泡？（結(jié)果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：，，，21．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在，使得，則稱(chēng)為函數(shù)的“旺點(diǎn)”.（1）求函數(shù)在上的“旺點(diǎn)”；（2）若函數(shù)在上存在“旺點(diǎn)”，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.22．設(shè)函數(shù).(1)已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)是否存在正整數(shù)，使得在上恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.1．B【分析】解出集合，按照集合的交運(yùn)算進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，故選：B.2．B【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域的求法列不等式，由此求得的定義域.【詳解】依題意或，所以的定義域?yàn)?故選：B3．D【分析】利用函數(shù)的解析式由內(nèi)到外逐層計(jì)算可得的值.【詳解】由已知可得，則.故選：D.4．C【詳解】試題分析：可以求得，所以函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)．故選C．考點(diǎn)：零點(diǎn)存在性定理．5．C【分析】根據(jù)指數(shù)增長(zhǎng)模型列式求解.【詳解】設(shè)2020后第x年該市全年用于垃圾分類(lèi)的資金開(kāi)始超過(guò)1.28億元，則，即，解得，則該市全年用于垃圾分類(lèi)的資金開(kāi)始超過(guò)1.28億元的年份是2026．故選：C．6．B【分析】根據(jù)解析式的特征,選擇特殊值代入即可判斷選項(xiàng).【詳解】函數(shù)當(dāng)時(shí),,所以排除C、D選項(xiàng);當(dāng)時(shí),,所以排除A選項(xiàng);所以B圖像正確故選:B本題考查了函數(shù)圖像的應(yīng)用,根據(jù)解析式判斷函數(shù)圖像可結(jié)合奇偶性、單調(diào)性、特殊值等方法,屬于基礎(chǔ)題.7．C【分析】先根據(jù)基本不等式及函數(shù)的單調(diào)性求得，結(jié)合題意知，解出即可.【詳解】因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，且即時(shí)等號(hào)成立，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，由題意可知，即，所以，故選：C.8．D【分析】根據(jù)題中定義可知的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，然后根據(jù)對(duì)稱(chēng)性即可求值.【詳解】因?yàn)?，則，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，故選：D.9．AD【分析】由題意得出的奇偶性，從而可判斷選項(xiàng)A,B;由，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷選項(xiàng)C,D.【詳解】，所以為偶函數(shù).則選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B不正確.設(shè)，所以（當(dāng)時(shí)取得等號(hào)）當(dāng)或時(shí)，，則，所以沒(méi)有最大值.所以選項(xiàng)C不正確，選項(xiàng)D正確.故選：AD10．ABC【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合冪指對(duì)函數(shù)的性質(zhì)確定各函數(shù)所過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷過(guò)相同定點(diǎn)的函數(shù).【詳解】A：必過(guò)；B：，由知函數(shù)必過(guò)；C：，由知函數(shù)必過(guò)；D：，由知函數(shù)必過(guò)；∴A、B、C過(guò)相同的定點(diǎn).故選：ABC.11．ABD【分析】A選項(xiàng)，令與，解出方程的根，得到零點(diǎn)個(gè)數(shù)；B選項(xiàng)，畫(huà)出與的圖象，得到要想有三個(gè)零點(diǎn)，則，進(jìn)而得到，，求出的范圍即可；C選項(xiàng)，求出當(dāng)時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可判斷；D選項(xiàng)，要想存在實(shí)數(shù)m使得函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則要保證對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)部分存在，從而求出的范圍.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，令，解得或，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，令，則，如圖，畫(huà)出與的圖象如下：要想有三個(gè)零點(diǎn)，則，不妨設(shè)，則，，故，則，則，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)闀r(shí)，，或4時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不存在零點(diǎn)，而有兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)也恰有2個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，畫(huà)出與的圖象如下：要想存在實(shí)數(shù)m使得函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則要保證對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)部分存在，故，故D正確.故選：ABD.方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．12．BCD【分析】畫(huà)出函數(shù)的草圖，根據(jù)函數(shù)的圖象結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】函數(shù)的草圖如下：

由圖象可知：且為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)，且，故A錯(cuò)誤，B正確；由圖象可知，函數(shù)的周期為1,又為偶函數(shù)，，所以，故C正確；對(duì)于D，為偶函數(shù)，當(dāng)，有一個(gè)零點(diǎn)1，且，故在上有唯一零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)，故共有兩個(gè)零點(diǎn)，故D正確，故選：BCD.13．【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義得，解得或，再結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)得.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，為奇函數(shù)，不滿(mǎn)足，舍；當(dāng)時(shí)，，為偶函數(shù)，滿(mǎn)足條件.所以.故14．【分析】先求函數(shù)定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性確定單調(diào)增區(qū)間.【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而也單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞增，故本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性、對(duì)數(shù)函數(shù)定義域，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.15．或【分析】設(shè)，把函數(shù)化為關(guān)于的一元二次函數(shù)，分離討論的范圍，根據(jù)函數(shù)最大值建立方程，解出即可.【詳解】設(shè)，又，若，則，函數(shù)，對(duì)稱(chēng)軸為，則，即時(shí)，，解得或（舍）；若時(shí)，，函數(shù)，對(duì)稱(chēng)軸為，則，即時(shí)，，解得或（舍）；故或.16．【分析】設(shè)，作出函數(shù)的圖象，可得，利用對(duì)稱(chēng)性可得，由可求得，進(jìn)而可得出，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示：設(shè)，當(dāng)時(shí)，，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有五個(gè)交點(diǎn)，且點(diǎn)、關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，可得，同理可得，由，可求得，所以，.因此，的取值范圍是.故答案為.方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.17．(1)；或.(2)【分析】（1）解出集合,按照集合的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可；（2）由題意得，分和兩種情況討論，列出不等式組，解出即可.【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，,所以，或，故或.（2）因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得，綜上知，的取值范圍為.18．(1)12(2)當(dāng)t=0時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)不等式的解集為.【分析】（1）先把對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，再利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解．（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求出a的值，再對(duì)t分情況討論，分別求出不等式的解集．【詳解】（1）且，（2）∴不等式可化為當(dāng)t=0時(shí)，不等式為，解得，當(dāng)不等式的解集為，當(dāng)不等式的解集為，當(dāng)不等式的解集為綜上所述，當(dāng)t=0時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)不等式的解集為.19．(1)(2)【分析】（1）依題意可得，再設(shè)，根據(jù)奇偶性及上的函數(shù)解析式，計(jì)算可得；（2）依題意參變分離可得，令，，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)最小值，從而得解；【詳解】（1）解：是定義在上的奇函數(shù)，，因?yàn)樵跁r(shí)，，設(shè)，則，則，故.（2）解：由題意，可化為化簡(jiǎn)可得，令，，因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，，故．20．(1)，；(2)5分鐘.【分析】（1）運(yùn)用代入法，結(jié)合對(duì)數(shù)的定義、題中所給的數(shù)據(jù)進(jìn)行求解即可；（2）運(yùn)用代入法，結(jié)合題中所給的數(shù)據(jù)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由題意可知，，解得：，即；.由題意：，即，解得：；（2）當(dāng)時(shí)，.大概需要5分鐘冷卻再?zèng)_泡.21．（1）

（2）（1）利用題中定義，列方程求解即可.（2）根據(jù)題意將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程在上有解，化簡(jiǎn)可得，討論二次項(xiàng)系數(shù)使方程在上有解即可.【詳解】（1）由題意，有，化簡(jiǎn)得，∴為所求“旺點(diǎn)”.（2）方程在上有解，化簡(jiǎn)得，記，，①當(dāng)，即時(shí)，在上無(wú)根，故舍去；②當(dāng)，即時(shí)，的對(duì)稱(chēng)軸為，，∴對(duì)一切恒成立，故舍去；③當(dāng)，即時(shí)，的對(duì)稱(chēng)軸為，故只需，即，解得；綜上所述，正實(shí)數(shù)的取值范圍為.本題是一道函數(shù)的新定義題目，考查了方程的根以及含參數(shù)的一元二次方程的根，考查了學(xué)生對(duì)新定義題目的理解能力，屬于中檔題.22．(1)(2)存在滿(mǎn)足條件，理由見(jiàn)解析【分析】（1）