《多元函數的一致性問題分析》7000字

多元函數的一致性問題分析[摘要]函數的一致性問題是研究函數各種分析性質的重要組成部分，內容包括函數(列)的一致連續(xù)、一致可微、一致可導、一致有界、一致收斂等．本文在一元函數有關一致性概念與基本結論的基礎上，著重探討了多元函數（列）的各類一致性問題，包括多元函數的一致連續(xù)、一致可微、一致可導，以及多元函數列的一致有界、一致收斂等，推廣建立了一些新的判定條件，并給出相關應用．文中給出的許多定理都具有條件相異、結論相同的特點，這對進一步豐富函數相關理論具有重要的意義．[關鍵詞]多元函數（列）一致連續(xù)一致可微一致收斂一致有界目錄引言……………11一元函數（列）的一致性問題……………11.1一致連續(xù)與一致可微…………………11.2一元函數列的一致收斂………………32多元函數的一致連續(xù)………………………62.1一致連續(xù)的定義與性質………………62.2一致連續(xù)的判別方法…………………93多元函數的一致可導與一致可微………123.1一致可導的定義與性質………………123.2一致可微的定義與性質………………154多元函數列的一致收斂…………………184.1多元函數列一致收斂的基本概念……………………184.2多元函數列一致收斂的判別方法……………………184.3多元函數列一致收斂的應用…………22結論…………………………23參考文獻……………………25引言 函數的一致性問題是數學分析課程中的重要內容，包括一元和多元函數(列)一致連續(xù)、一致可微、一致可導、一致有界、一致收斂等。但教材中關于多元函數（列）的一致性等問題很少涉及.另外，對于多元函數的一致性問題，多元與一元函數有什么本質區(qū)別？能否在一元函數的基礎上進行推廣？是否可以建立一些一致性新的判定的充分條件或充要條件？本文就此問題進行專門討論．同時，考慮將某些定理適當改變條件或者減弱條件，研究它的結論是否仍然成立？或有什么變化？研究多元函數（列）的一致性問題的充分條件或必要條件，這是本文關注的主要內容．另外，通過構造一些非一致的反例來說明某些條件不可減弱，這在理論和應用中也很有意義．1一元函數（列）的一致性問題1.1一致連續(xù)與一致可微 定義1.1.1設在區(qū)間滿足：，,，當時，有，則稱在一致連續(xù).定義1.1.2設在區(qū)間可微，且對,，當時，有，則稱在一致可微.下面介紹一元函數一致連續(xù)和一致可微的幾個常用判定定理.定理1.1.1設在一致連續(xù)當且僅當在連續(xù)，且，均存在有限極限.定理1.1.2設在區(qū)間滿足Lipschitz條件：,,有，則在一致連續(xù).定理1.1.3設在連續(xù)，且存在有限極限，則在一致連續(xù).定理1.1.4設在區(qū)間存在有界導數，則在一致連續(xù).定理1.1.5設在區(qū)間一致連續(xù)的充要條件是對：，都有.定理1.1.6設在有限區(qū)間一致連續(xù)的充要條件是將柯西序列映射成柯西序列（即為柯西序列時，亦為柯西序列）.證明充分性設若不然，在有限區(qū)間非一致連續(xù)，則，,，有.注意到為有限區(qū)間，，因此中存在收斂子列.因為，故中相應的子列也收斂于相同的極限.從而序列收斂成為柯西序列.而其像序列卻有，不是柯西序列，與已知條件矛盾.必要性已知，對，當時，有,（1-1）又是柯西序列，則對此，當時，有，從而由（1-1）式得，.所以亦為柯西序列.定理1.1.7設在區(qū)間一致可微的充要條件是在一致連續(xù).證明必要性任取,介于之間.由在一致可微知，對，當，亦有，于是，，所以，故在一致連續(xù).充分性由在一致連續(xù)知，,且時，有，由微分中值定理知，存在介于與之間，有且.故，所以在一致可微.定理1.1.8設在一致可微的充要條件是在有連續(xù)的導數且均存在有限極限.證明必要性因為在一致可微，由定理1.1.7知，在一致連續(xù)，所以在連續(xù)且均存在有限.充分性由于在連續(xù)且均存在，所以在一致連續(xù)，同樣由定理1.1.7可知，在一致可微.1.2一元函數列的一致收斂定義1.2.1設和是定義在區(qū)間的函數列，若對,,，有，則稱在一致收斂于.下面介紹一元函數列一致收斂的幾個常用判定定理.定理1.2.1設在區(qū)間一致收斂的充要條件是：對，,,，有.定理1.2.2設在區(qū)間一致收斂于的充要條件是.定理1.2.3設和在閉區(qū)間上連續(xù)，則在一致收斂于的充要條件是對，都有.證明充分性首先證明，是在上的極限函數.任取，考慮以為極限的常數列，那么，從而這表明函數列在點點收斂于.其次，若在非一致收斂于，依定義1.2.1，，取,,，使；取,,，使；一般地，取，,，使,.因為為閉區(qū)間，所以數列存在收斂子列，設.于是，.但這與，矛盾.故連續(xù)函數列在一致收斂于連續(xù)函數.必要性由于，又.即得.又連續(xù)函數列在閉區(qū)間上一致收斂時，極限函數在也連續(xù)，從而.定理1.2.4設在上滿足，，且在上收斂于，則在上一致收斂于.證明任取，因為在點處收斂，由柯西收斂原理可知，對，，當時，有.取，則當時，有，對,，使上述不等式成立.于是，開區(qū)間族覆蓋，根據有限覆蓋定理知，可以從中選取有限個開區(qū)間，不妨設覆蓋區(qū)間.取，則當時，對任意，存在，使得，所以,即在上一致收斂于.定理1.2.5設可微函數列在上收斂，在上一致有界，則在上一致收斂.證明由于在上一致有界，有定義可知，，對一切，有.于是，對,，由微分中值定理可知，,由定理1.2.4可得在上一致收斂.2多元函數的一致連續(xù)2.1一致連續(xù)的定義及性質定義2.1.1（二元函數一致連續(xù)）（1）函數在給定平面區(qū)域上關于一致連續(xù)是指，對以及內任何兩點，，存在，當時.同理可得出函數在給定平面區(qū)域上關于一致連續(xù)的定義.（2）函數在給定平面區(qū)域上一致連續(xù)是指，對以及內任何兩點，，存在，當時，有.定理2.1.1設在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則上一致連續(xù).定理2.1.2在有界區(qū)域一致連續(xù)的充要條件是在連續(xù)，且對（其中為的邊界），都存在有限極限.證明充分性構造函數,易知在上連續(xù)，從而在上一致連續(xù)，又在內，所以在一致連續(xù).必要性由在有界區(qū)域一致連續(xù)知，對，對，，當時，有.于是，，當,：,時，由于，從而，再由柯西收斂原理可知，存在.定理2.1.3設在區(qū)域滿足：對，都有，其中為正常數，則在一致連續(xù).證明，取，則對：,，有，由定義2.1.1可知，在一致連續(xù).在1.1節(jié)中的定理1.1.3，對于二元函數是否也有類似的結論？設在區(qū)域連續(xù)，且存在，那么在一致連續(xù)是否成立呢？答案是否定的.例2.1.1在連續(xù)，且，但在上卻非一致連續(xù).事實上，取,對，取,，則，從而在上非一致連續(xù).若將存在改為,均存在，則有以下定理.定理2.1.4若在區(qū)域連續(xù)，且對，，都存在，則在一致連續(xù).證明由,知，,對,，當,時，有,（2-1）當，時，也有,（2-2）將分成以下三個區(qū)域：,,，從而有在一致連續(xù)，即對上述,,：，則，取，則對上述,,，，當，時，有1），有,；2），有,；3），有；4），有，由.由（2-1）式知，；5），有，由，于是由（2-2）式知，，綜上可知在一致連續(xù).例2.1.2判斷在的一致連續(xù)性.證明，有.，有，所以由定理2.1.4知，在上一致連續(xù).2.2一致連續(xù)的判定方法定義2.2.1設區(qū)域上的任意兩點，若對，有，則稱區(qū)域為凸區(qū)域.定理2.2.1設在凸區(qū)域存在有界偏導數，則在一致連續(xù).證明由假設可知，，使對，有，于是對，：，（1）若、之一屬于，不妨設，則.（2）若、均不屬于，將的連線等分，并記分點依次為,,,,（其中），并記.因為為凸區(qū)域，所以這些分點都在內，且當足夠大時能使點也都屬于.于是，綜上，對,：，有，即在一致連續(xù).定理2.2.2設在區(qū)域連續(xù)，且存在（其中），則在一致連續(xù).證明因為存在，由柯西收斂原理知，，對于滿足的點，都有.記.由于在有界區(qū)域上連續(xù)，從而在上一致連續(xù)，故對上述,，當時，有.取,，當時或同屬于或同時滿足，于是，所以在一致連續(xù).注：該定理只是充分條件并非必要條件，其逆命題不成立，這一點與定理2.1.2有區(qū)別.例如在一致連續(xù)，但不存在.定理2.2.3在區(qū)域一致連續(xù)的充要條件是對：，都有.證明充分性設若不然在非一致連續(xù)，則，使對,:，有.取，則:，有，而，但有，此與假設矛盾.必要性由一致連續(xù)定義可知，對:，有.對，因，所以對此，，，有，從而，即.定理2.2.4在有界區(qū)域一致連續(xù)的充要條件是將柯西序列映射成柯西序列（即為柯西序列時，亦為柯西序列）.證明仿照定理1.1.6的證明可得.例2.2.1判斷在上的一致連續(xù)性.證明顯然在點連續(xù)，為凸區(qū)域.又，，故有界，由定理2.2.1得，在上一致連續(xù).定理2.2.5對于，都有，則在上一致連續(xù).證明，取，對：，有：故由一致連續(xù)定義，在一致連續(xù).證畢.3多元函數一致可導與一致可微3.1一致可導的定義與性質定義3.1.1（二元函數一致可導）函數在給定平面區(qū)域上關于一致可導是指，假設二元函數在該區(qū)域內有偏導數，對以及內任何兩點，，存在，當時，有.同理可得出函數在給定平面區(qū)域上關于一致可導的定義.注3.1.1該定義中的僅與任意給出的有關，與平面區(qū)域內的點無關.定義3.1.2設在區(qū)域關于與均一致可導，則稱在一致可導.例3.1.1在一致可導.事實上，，由于,于是，，取，對于任意兩點及，當時，（3-1）式成立.由定義可知，在關于一致可導.同理可得，在關于一致可導，從而在一致可導.定理3.1.1設在區(qū)域關于存在偏導數，則以下三個條件等價：1）在關于一致可導；2），對于內的任意點及，當，時，有；3）在關于一致連續(xù).證明1）2）設及是內的任意點，由1）知，，當,時，有，，于是，對上述，當,時，有，所以，2）式成立.2）1），對內的任意點及，當，時，2）式成立.在2）式中令，則，即在關于一致可導.1）3）由1）及2），，對于內的任意點及，當,時，有,,，從而，所以在關于一致連續(xù).3）1）由于在關于一致連續(xù)，故，，，當時，有，從而，即在關于一致可導.推論3.1.1設在區(qū)域關于存在偏導數.，則以下三個條件等價：1）在關于一致可導；2）對，對于內的任意點及，當，時，有；3）在關于一致連續(xù).推論3.1.2若在區(qū)域關于存在偏導數.，且滿足，其中是正常數，則在關于一致可導.定理3.1.2（一致可導的必要條件）若在區(qū)域一致可導，則，在連續(xù).證明因為在一致可導，由定理2.2.1知，,在分別關于和一致連續(xù)，從而,在連續(xù).3.2一致可微的定義與性質[12-14]定義3.2.1設在區(qū)域兩個偏導數存在，若對,，，當時，有，（3-2）則稱在一致可微.記.顯然，由定義3.2.1可知，若在一致可微，則在可微且連續(xù).定理3.2.1（一致可微的充分條件）若在區(qū)域一致可導，且（或）在一致連續(xù)，則在一致可微.證明由在一致連續(xù)知，對,，當時，有.由于在關于一致可導，對上述，對，當時，有.對上述，取，對，當,時，利用一元函數微分中值定理，可得,所以在一致可微.推論3.2.1若,均在區(qū)域一致連續(xù)，則在一致可微.證明因為,均在一致連續(xù)，所以與在一定分別關于和一致連續(xù)，于是在一致可導，從而在一致可微.定理3.2.2（一致可微的必要條件）若在區(qū)域一致可微，則在一致可導，且,在連續(xù).證明由假設，對，對中的任意兩點及，當時，有.在上式中分別令及可得，，即在一致可導，從而,在連續(xù).下面給出二元函數一致可微的充要條件.定理3.2.3在區(qū)域一致可微的充要條件是：.（3-3）證明必要性由定義，對，對內的任意點及，當時，有.于是，當時，有，所以（3-3）式成立.充分性設（3-3）式成立，則,當時，有，從而，對且時，有.由定義3.2.1可知，在一致可微.定理3.2.4在區(qū)域一致可微的充要條件是：對，且時，有.（3-4）證明必要性由定義知，，當且時，有，故當且時，有.充分性由條件及二元函數極限的Cauchy準則知，當時，二重極限存在.又累次極限，故.在（3-4）式中令可得，，即在區(qū)域一致可微.定理3.2.5在區(qū)域一致可微的充要條件是對滿足條件的任意點列：,且有，函數列在一致收斂于，即,,，有.證明必要性由定義，，對，當時，有.于是，對于滿足定理條件的點列，必存在，當時，有，從而當時，有.充分性設若不然，在非一致可微，則,對，，存在，，當時，有.由及在一致收斂于，于是，當和,有.產生矛盾.例3.2.1證明在任意有界區(qū)域一致可微，但在非一致可微.證明由于在任意有界區(qū)域一致連續(xù)，故在關于一致可導，同理在關于一致可導.因此在一致可導，從而在一致可微.但當時，,，取及，使得，雖然，但是，所以在非一致可微.4多元函數列的一致收斂及應用4.1多元函數列一致收斂的基本概念[15]定義4.1.1設和是定義在區(qū)域的函數列，若對，,，有，則稱在一致收斂.4.2多元函數列的一致收斂的判別方法定理4.2.1在區(qū)域一致收斂的充要條件是：對,，使得,，有.（4-1）證明充分性由假設條件可知,對,,，不等式對成立，故由Cauchy收斂原則，在點點收斂，記其極限為.現固定（4-1）式中的，令，則對，，有，即在一致收斂于.必要性設在一致收斂于，即，使得，，有，于是，時，有.定理4.2.2在區(qū)域一致收斂于的充要條件是：.證明充分性由可知，,，，有，所以在區(qū)域一致收斂于.必要性設，則對,,，有，由上確界的定義可得，.定理4.2.3設和在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則在一致收斂于的充要條件是：，.證明仿定理1.2.3可證.定理4.2.4設在有界閉區(qū)域上滿足，,其中，且在收斂于，則在一致收斂于.證明任取.因為在處收斂，由Cauchy收斂原理可知，,，當時，有.取，則當時，有，這表明，,,，上述不等式成立.于是，開區(qū)域族覆蓋有界閉區(qū)域，根據有限覆蓋定理知，可以從中選取有限個開區(qū)域，不妨設也覆蓋.取，則當時，對，存在，使得，所以，即在一致收斂于.定理4.2.5設可微函數列在凸區(qū)域收斂，且在均一致有界，則在一致收斂.證明由假設條件知，，使對,，有.于是對于,，由二元微分中值定理可知，（），由定理4.4可得，在一致收斂.定理4.2.6設在區(qū)域連續(xù)且一致收斂于，則在連續(xù).證明由在一致收斂知，,,,有.注意到對，在連續(xù)，所以對，,，當時，有.于是，對上述，當時，有，所以在連續(xù).定理4.2.7設在區(qū)域一致收斂，且,均是有界函數，則在一致有界.證明設對，使對，有.由函數列一致收斂的柯西原理知，對,,,有.于是,有.令，則對，有.即在一致有界.4.3多元函數列一致收斂的應用引理4.3.1[7]二元函數函數列在給定區(qū)域上一致收斂于，將該區(qū)域內的一個聚點記為，如果對每個，都有，則和都存在，且.注4.3.1該引理表明，條件為一致收斂時，二元函數列的極限順序可以互換，即.下面給出定理4.3.1說明應用二元函數列一致收斂解決函數連續(xù)問題.定理4.3.1二元函數列在給定某一區(qū)域上一致收斂于，并且函數列的每一項都在該區(qū)域上連續(xù)，那么在此區(qū)域上也連續(xù).證明首先給出區(qū)域上任意一點，根據和引理6.3.1可知存在，并且所以在點處連續(xù)，再根據點的任意性可得出結論在上連續(xù).定理4.3.2給出應用一致收斂得到二元函數可積性的問題.定理4.3.2二元函數列在有界閉區(qū)域上一致收斂于，并且函數列的每一項都在該區(qū)域上連續(xù)，那么在此區(qū)域上可積.證明根據定理4.3.1可知在上連續(xù)，所以與在此區(qū)域上均可積.定理4.3.3介紹應用一致收斂性解決一致連續(xù)性問題.定理4.3.3二元函數列在給定某一區(qū)域上一致收斂于，且函數列在該區(qū)域上一致連續(xù)，那么在此區(qū)域上也一致連續(xù).證明由一致收斂定義知，對，（N為正整數），使得當時，對有，再根據一致連續(xù)可知，對上述，，對，當時，有.從而對于同樣的，，當且時，可得到因此在區(qū)域上也一致連續(xù)，定理得證.例4.3.1判斷在的一致收斂性.證明，當時，，.又，故在有界，所以,在是有界函數.，取，則,有，即在一致收斂于.由定理4.7知，在一致有界.同理可證，在一致有界.從而由定理4.5得，在一致收斂于.例4.3.2證明在區(qū)域非一致收斂.證明易知對，在連續(xù)，若在一致收斂于，則由定理4.6知，在連續(xù).但顯然在不連續(xù)，產生矛盾，所以在非一致收斂.結論本文針對數學分析中核心內容——函數的一致性進行研究，首先介紹了一元函數一致性的基本概念及性質，其中包括一致連續(xù)、一致可導、一致可微和一致連續(xù).隨后將一致性推廣到多元函數中，并說明了其概念、性質以及判別方法，從而得出多元函數一致性內容之間的聯(lián)系，