第6章系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)仿真研究報(bào)告

本章將給出動力學(xué)系統(tǒng)仿真算法的設(shè)計(jì)思想和分析方法，并介紹由這些思想得到的一些常用仿真算法。根據(jù)實(shí)際問題的需要，靈活應(yīng)用本章給出的常用算法的構(gòu)造思想，將它們適當(dāng)?shù)慕M合，可構(gòu)造出合適的算法，實(shí)現(xiàn)對復(fù)雜動力學(xué)系統(tǒng)有效的數(shù)字仿真。

在工程領(lǐng)域中，連續(xù)系統(tǒng)是最常見的系統(tǒng)，其仿真方法是系統(tǒng)仿真技術(shù)中最基本、最常用和最成熟的。進(jìn)行數(shù)字仿真首先要建立被仿真系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并將此模型轉(zhuǎn)換成計(jì)算機(jī)可接受的、與原模型等價(jià)的仿真模型，然后編制仿真程序，使模型在計(jì)算機(jī)上運(yùn)轉(zhuǎn)。計(jì)算機(jī)仿真1/9/20251第6章系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)及其仿真仿真算法系統(tǒng)仿真MATLAB的函數(shù)采樣控制系統(tǒng)仿真1/9/20252引言：對象與工具的矛盾連續(xù)系統(tǒng)數(shù)字計(jì)算機(jī)被仿真系統(tǒng)的數(shù)值及時(shí)間均具有連續(xù)性數(shù)字計(jì)算機(jī)的數(shù)值及時(shí)間均具有離散性對象與工具的矛盾前者如何用后者來實(shí)現(xiàn)？如何保證離散模型的計(jì)算結(jié)果從原理上的確能代表原系統(tǒng)的行為，這是連續(xù)系統(tǒng)數(shù)字仿真首先必須解決的問題。相似原理

如何將連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)字模型轉(zhuǎn)換成計(jì)算機(jī)可接受的等價(jià)仿真模型，采用何種方法在計(jì)算機(jī)上求解此模型，這是連續(xù)系統(tǒng)數(shù)字仿真算法要解決的問題。1/9/20253數(shù)字仿真的本質(zhì)和基本要求用數(shù)字仿真的方法對微分方程的數(shù)值積分是通過某種數(shù)值計(jì)算方法來實(shí)現(xiàn)的。任何一種計(jì)算方法都只能是原積分的一種近似。因此，連續(xù)系統(tǒng)仿真，從本質(zhì)上來說，是從時(shí)間、數(shù)值兩個(gè)方面對原系統(tǒng)進(jìn)行離散化，并選擇合適的數(shù)值計(jì)算方法來近似積分運(yùn)算，由此得到離散模型來近似原連續(xù)模型。相似原理用于仿真時(shí)，對仿真建模方法有三個(gè)基本要求：(1)穩(wěn)定性(2)準(zhǔn)確性(3)快速性對系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)域仿真分析，實(shí)際上就是要求解微分方程的“初值問題”。求的解精度問題效率問題存在問題1/9/20255連續(xù)系統(tǒng)數(shù)字仿真的兩種方法⑶實(shí)時(shí)半實(shí)物仿真原理基于離散相似原理建立的歐拉法、梯形法、Adams法基于Taylor級數(shù)匹配原理建立的Runge—Kutta法、線性多步法⑴數(shù)值積分法：⑵離散相似法：采樣控制系統(tǒng)的仿真方法⑸數(shù)值積分法的選擇與計(jì)算步長的確定

⑷數(shù)值積分法穩(wěn)定性分析

離散相似法數(shù)值積分法基于離散相似原理基于泰勒級數(shù)匹配原理連續(xù)系統(tǒng)近似離散化1/9/202566.1仿真算法積分的幾何意義：曲線下面的面積積分的含義：離散和連續(xù)和1/9/202576.1.1數(shù)值積分法的基本原理⑴已知描述某系統(tǒng)的一階微分方程及其初值為

在微分方程理論中稱為初值問題

方程的解為

時(shí)的連續(xù)解為

在差分方程

問題的關(guān)鍵：如何計(jì)算此積分？數(shù)值積分法的說法是從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)提出的，離散相似原理的說法揭示了本質(zhì)，與工程實(shí)際更接近，兩者其實(shí)是統(tǒng)一的。1/9/20258數(shù)值積分法的基本原理⑴數(shù)值積分法（數(shù)值解法），就是對一階常微分方程（組）建立離散形式的數(shù)學(xué)模型——差分方程，并求出其數(shù)值解。

⑵關(guān)鍵是如何計(jì)算Qk！圍繞Qk，產(chǎn)生了各種各樣的數(shù)值積分法！不同的積分方法，對系統(tǒng)求解的精度、速度和數(shù)值穩(wěn)定性等，都有不同的影響。⑶根據(jù)已知的初值y0，可逐步遞推算出以后各時(shí)刻的數(shù)值yi。采用不同的遞推算法，就出現(xiàn)了各種各樣的數(shù)值積分法。⑷數(shù)值積分是解決初值已知，對f(t,y)進(jìn)行近似積分，對y(t)進(jìn)行數(shù)值求解的方法。所謂數(shù)值解法，就是尋求初值問題的解在一系列離散點(diǎn)的近似解（數(shù)值解）結(jié)論計(jì)算步長：相鄰兩個(gè)離散點(diǎn)的間距稱為計(jì)算步長或步距：h=tk+1－tk

1/9/20259歐拉法很少實(shí)用，但能說明構(gòu)造數(shù)值解法一般計(jì)算公式的基本思想。對微分方程積分，寫作圖示曲線下的面積就是y(t)。在一個(gè)步距內(nèi)，有在t＞t0時(shí)，f(t,y)是未知的，上式右端的積分是求不出來的。為了求此積分，把積分間隔取得足夠小，使得在tk與tk+1之間的f(t,y)可以近似看成常數(shù)，這樣便得到用矩形公式計(jì)算積分得近似公式：當(dāng)t=t2時(shí)，對于任意時(shí)刻，注意：f(tk,yk)也就是y(tk)的導(dǎo)數(shù)。一般遞推差分方程形式

1/9/202510梯形法

為了提高精度，可考慮用梯形代替矩形來近似小區(qū)間的曲線積分表示的曲面面積。梯形法近似積分形式式中隱含有未知量fk+1，梯形法是隱函數(shù)形式。一般用歐拉法估計(jì)初值，用梯形法校正：歐拉法估計(jì)梯形法校正通過反復(fù)迭代，直到滿足誤差ε要求梯形法實(shí)質(zhì)上是采用了連續(xù)兩點(diǎn)斜率平均值，以提高計(jì)算精度。估計(jì)—校正方法1/9/202511數(shù)值積分統(tǒng)一公式

這一思想被廣泛應(yīng)用于許多算法之中。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可采用加權(quán)平均，即在每一步中取若干點(diǎn)，分別求出其斜率，然后加不同的權(quán)。數(shù)值積分統(tǒng)一公式

f(t,y)——y(t)的導(dǎo)數(shù)權(quán)值權(quán)值計(jì)算步距前一步或多步計(jì)算的結(jié)果梯形法公式1/9/202512幾個(gè)概念⑴⒈單步法與多步法解初值問題的各種數(shù)值方法的共同特點(diǎn)是：步進(jìn)式，即從最初一點(diǎn)或幾點(diǎn)出發(fā)，每一步根據(jù)yk一點(diǎn)或與前面幾點(diǎn)yk-1，yk-2，…，來計(jì)算yk+1的值，這樣逐步遞推。單步法：從yk推進(jìn)到y(tǒng)k+1只需用到時(shí)刻tk的數(shù)據(jù)時(shí)，稱為單步法。多步法：從yk推進(jìn)到y(tǒng)k+1需要用到時(shí)刻tk以及過去時(shí)刻tk-1，tk-2，…的數(shù)據(jù)時(shí)，稱為多步法。⒉顯式與隱式顯式：計(jì)算yk+1所用到的數(shù)據(jù)均已解算出來；隱式：在算式中隱含有未知量。1/9/202513幾個(gè)概念⑵⒊截?cái)嗾`差分析數(shù)值積分的精度常用泰勒級數(shù)作為工具。假設(shè)前一步的結(jié)果y(tk)是精確的，則在數(shù)學(xué)上，可用泰勒級數(shù)求得下一步的精確解為：表示高階無窮小之意。若只取前兩項(xiàng)之和來近似，則由這種方法單獨(dú)一步引入的附加誤差——局部截?cái)嗾`差（局部離散誤差），是近似值與微分方程的解之間的誤差。若某種方法的局部截?cái)嗾`差為，則稱它有r階精度，即該方法是r階的。r是衡量精度的重要標(biāo)志。歐拉法只是精確解的一次近似式，因此歐拉法的截?cái)嗾`差為

，歐拉法為一階精度。1/9/202514幾個(gè)概念⑶⒋舍入誤差舍入誤差與計(jì)算機(jī)的字長、所使用的數(shù)字系統(tǒng)、數(shù)的運(yùn)算次序以及子程序的精確度等有關(guān)。舍入誤差與計(jì)算步長成反比，步長小，計(jì)算次數(shù)就多，舍入誤差就大。由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，現(xiàn)代計(jì)算機(jī)仿真可以忽略舍入誤差。⒌數(shù)值穩(wěn)定性采用數(shù)值方法解穩(wěn)定的方程（穩(wěn)定的系統(tǒng)）時(shí)，應(yīng)保持系統(tǒng)穩(wěn)定的特征，即要求用于計(jì)算的差分方程是穩(wěn)定的。但是，由于計(jì)算機(jī)逐次計(jì)算時(shí)，初始數(shù)據(jù)的誤差及計(jì)算過程的舍入誤差對后面的計(jì)算結(jié)果將會產(chǎn)生影響（誤差會傳播）。所以帶來計(jì)算數(shù)值是否穩(wěn)定的問題。所謂穩(wěn)定性問題就是指誤差的積累是否受到控制的問題。一般地，如果計(jì)算結(jié)果對初始數(shù)據(jù)的誤差以及計(jì)算過程的舍入誤差不敏感的話，就說相應(yīng)的計(jì)算方法是穩(wěn)定的，否則稱之為不穩(wěn)定。1/9/202515泰勒級數(shù)匹配原理表示高階無窮小直接應(yīng)用Taylor展開式構(gòu)造精度較高的方法是不現(xiàn)實(shí)的：計(jì)算y(t)的高階導(dǎo)數(shù)很困難，求復(fù)合函數(shù)的各階偏導(dǎo)數(shù)往往更復(fù)雜。即使能得到解析公式，計(jì)算量也是很可觀的。如何計(jì)算y(tm+1)的近似值ym+1能否不計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)、各階偏導(dǎo)數(shù)？計(jì)算精度與精確展開式的前若干項(xiàng)一致？應(yīng)用這種原理構(gòu)造的ym+1的計(jì)算過程將不需要計(jì)算y(t)的高階導(dǎo)數(shù)，或者只需計(jì)算一些比較低階的導(dǎo)數(shù)，但與精確值y(tm+1)之間的誤差是h的高階無窮小量。用點(diǎn)(tm，y(tm))鄰域中的若干個(gè)點(diǎn)(t，y(t))上的值來構(gòu)造近似值ym+1的計(jì)算公式。要求該公式在(tm，y(tm))處的Taylor展開式與精確展開式的前若干項(xiàng)一致。1/9/202516龍格—庫塔法基本思想利用低階導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的曲線去擬合含有高階導(dǎo)數(shù)的曲線，避免計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)。

1/9/202517二階龍格—庫塔法設(shè)原微分的解具有如下的形式將K2展成泰勒一次近似式代回、比較，有多個(gè)解！a1=a2二階RK法公式如何選取待求的參數(shù)a，b1和b2？1/9/202518四階RK法公式RK—4公式是4點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的加權(quán)平均和，由于第2點(diǎn)、第3點(diǎn)以h/2為步長，精度較高，所以加權(quán)平均時(shí)各取2份，第1、4點(diǎn)各取1份。龍格—庫塔法的基本思想

用f(tm,ym)在幾個(gè)不同點(diǎn)的數(shù)值加權(quán)平均代替φ(t，y(t)，h)的值，而使截?cái)嗾`差的階數(shù)盡可能高。也就是說，取不同點(diǎn)的斜率加權(quán)平均作為平均斜率，從而提高方法的階數(shù)。1/9/202519龍格—庫塔法的一般形式不論幾階龍格—庫塔法，它們的計(jì)算公式總是由兩部分組成：上一步的計(jì)算結(jié)果ym及步長h乘以tm～tm+1中各點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的加權(quán)平均和。1/9/2025206.1.2數(shù)值積分方法的選擇從前面的分析可知，數(shù)值積分方法就是采用不同的差分方程來逼近原微分方程。數(shù)值積分方法的選擇與仿真的精度、速度、計(jì)算穩(wěn)定性、自啟動能力等密切相關(guān)，涉及因素較多，至今尚無一種確定的方法來選擇最好的積分形式。這里提出一些選擇時(shí)應(yīng)考慮的因素。數(shù)值積分的精度主要受三個(gè)因素的影響：截?cái)嗾`差、舍入誤差、積累誤差。其中截?cái)嗾`差取決于積分方法的階次與步長。在同一種算法下(階次相同)，步長越小，截?cái)嗾`差越小；同樣的步長下，算法階次越高，截?cái)嗾`差越小。舍入誤差主要取決于計(jì)算機(jī)的字長，字長越長，舍入誤差越小。而積累誤差對計(jì)算精度的影響，又與積分算法和數(shù)值積分計(jì)算時(shí)間的長短有關(guān)?？傊?，應(yīng)根據(jù)精度要求，合理地選擇積分方法和階數(shù)。(1)精度要求1/9/202521數(shù)值積分方法的選擇⑴計(jì)算速度取決于積分步長及每一步積分所需的時(shí)間。每一步的計(jì)算時(shí)間與積分方法有關(guān)，它主要取決于計(jì)算右函數(shù)的次數(shù)。在進(jìn)行數(shù)值積分中，最費(fèi)時(shí)的部分是積分變量導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。RK4在每一步中都要計(jì)算4次導(dǎo)數(shù)，費(fèi)時(shí)較多；而顯式Adams法中，每步只要求計(jì)算1次變量導(dǎo)數(shù)，計(jì)算速度相對較快。在積分方法已定的條件下，應(yīng)在保證精度要求的前提下，盡量選用較大步長，以縮短積分時(shí)間。(2)計(jì)算速度進(jìn)行數(shù)字仿真，首先應(yīng)保證所選方法的數(shù)值解是穩(wěn)定的，否則計(jì)算結(jié)果就失去了意義。數(shù)值方法的選擇具有較大的靈活性，應(yīng)根據(jù)具體情況而定。(3)數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性1/9/202522數(shù)值積分方法的選擇⑵針對一些變量隨時(shí)間變化過程中包含有變化較快及較慢的部分，采用根據(jù)給定計(jì)算誤差，調(diào)整積分步長的策略，使快過程計(jì)算時(shí)步長會自動縮小，慢過程計(jì)算時(shí)步長又自動放大，可以獲得較好的仿真速度和精度。(5)變步長能力(4)自啟動能力

單步法具有自啟動能力，多步法沒有自啟動能力，需用單步法啟動后才能計(jì)算。1/9/202523步長選擇原則⑴

(6)步長選擇原則

選擇步長除了應(yīng)考慮上述諸因素的影響外，一般可根據(jù)采用的積分方法的穩(wěn)定半徑rk來確定積分步長。為了保證計(jì)算的穩(wěn)定性，步長h一般應(yīng)限制在最小時(shí)間常數(shù)Tmin（相當(dāng)于最大特征值λmax的倒數(shù)）的數(shù)量級，因此h的選擇首先應(yīng)滿足

或

還可根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式選取步長。如工程中采用RK4時(shí)，h可選為

（見采樣定理）或

ωc——系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的剪切頻率（穿越頻率）；

tr——系統(tǒng)在階躍函數(shù)作用下的上升時(shí)間；

ts——系統(tǒng)在階躍函數(shù)作用下的調(diào)整時(shí)間。1/9/202524步長選擇原則⑵系統(tǒng)中最小時(shí)間常數(shù)的極點(diǎn)只影響瞬態(tài)過程起始段的形狀，而瞬態(tài)過程則主要由那些靠近虛軸的主導(dǎo)極點(diǎn)所決定，由于固定步長是按起始段選取的，這就會造成后面階段計(jì)算量的浪費(fèi)，因而可采用變步長的方法。應(yīng)當(dāng)指出1/9/2025256.1.3時(shí)域離散相似法標(biāo)量齊次微分方程齊次狀態(tài)方程由轉(zhuǎn)移而來，是一種向量變換關(guān)系。變換矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣注意：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣與線性變換矩陣的區(qū)別！系統(tǒng)自由運(yùn)動的性質(zhì)完全由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣確定！1/9/202526狀態(tài)方程的解狀態(tài)方程的解為：如何解得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣！非齊次狀態(tài)方程零輸入響應(yīng)自由響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)關(guān)鍵適當(dāng)?shù)剡x擇控制作用u(t)，可使系統(tǒng)的響應(yīng)過程，即狀態(tài)X(t)按預(yù)定性能指標(biāo)的要求變化。結(jié)論1/9/202527時(shí)域離散相似法根據(jù)狀態(tài)方程的解式，可以得到

1/9/202528時(shí)域離散相似法令τ＝kT＋t，并考慮B是常數(shù)陣，而在相鄰的采樣點(diǎn)之間保持不變，即當(dāng)kT≤τ＜(k＋1)T

時(shí)，，可得

離散化模型實(shí)質(zhì)上就是原來連續(xù)系統(tǒng)的解1/9/202529連續(xù)系統(tǒng)的離散化保持器采樣器采樣周期系統(tǒng)開環(huán)幅值穿越頻率保持器傳遞函數(shù)sysd=c2d(sysc,Ts,method)零階保持器‘zoh’1/9/2025306.2系統(tǒng)仿真的MATLAB函數(shù)[T,Y]=ode45(‘f’,tspan,y0,option)[T,Y]=ode23(‘f’,tspan,y0,option)[T,Y]=ode113(‘f’,tspan,y0,option)[T,Y]=ode15s(‘f’,tspan,y0,option)[T,Y]=ode23s(‘f’,tspan,y0,option)[T,Y]=ode23t(‘f’,tspan,y0,option)[T,Y]=ode23tb(‘f’,tspan,y0,option)1/9/202531例6—1求方程的解1/9/202532例6—2

設(shè)表示為一階微分方程組求方程的解1/9/202533時(shí)間響應(yīng)仿真的函數(shù)step(sys,T)T=[T0,Ts,Tfinal]

Ts:采樣周期step(sys)系統(tǒng)默認(rèn)例6—4基本調(diào)用格式階躍響應(yīng)仿真函數(shù)step(sys,Tfinal)1/9/202534step(sys1,sys2,...)step(sys1,'r',sys2,'y--',sys3,'gx',...)多系統(tǒng)調(diào)用格式例6—5繪制兩個(gè)系統(tǒng)系統(tǒng)1系統(tǒng)21/9/202535時(shí)間響應(yīng)仿真的函數(shù)impulse(sys)Initial(sys,X0)例6—6lsim(sys,U,T)例6—7gensig(Type,Tau)脈沖響應(yīng)仿真函數(shù)impulse(sys,Tfinal)impulse