第四章雅可比(微分變換)講解材料

第四章微分變換

ChapterⅤDifferentialRelationships4.1引言4.2微分矩陣

4.3微分平移和旋轉(zhuǎn)變換

4.4微分旋轉(zhuǎn)

4.5坐標(biāo)系之間的微分變換

4.6機(jī)械手的微分變換方程——雅可比方程

4.7本章小結(jié)1/9/202514.1引言（Introduction）微分變換在機(jī)器人視覺(jué)、動(dòng)力學(xué)和機(jī)器人控制（如力控、剛度控制、阻抗控制、順應(yīng)控制等）中十分重要。例如當(dāng)攝像機(jī)或其它傳感裝置檢測(cè)到機(jī)器人末端執(zhí)行器的位置和方向的微小變化時(shí)，需要將該微小變化從攝像機(jī)或其它傳感裝置坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到基坐標(biāo)或參考坐標(biāo)系。在機(jī)器人剛度控制中，需要獲得在控制坐標(biāo)系中力與位置的微分變換。又如將直角坐標(biāo)的微分變換轉(zhuǎn)化為關(guān)節(jié)坐標(biāo)的微分變換，還有在下一章介紹的機(jī)器人動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，也會(huì)用到微分變換。本章將介紹微分變換的基本原理和方法，包括微分平移、微分旋轉(zhuǎn)、坐標(biāo)系之間的微分變換、雅可比矩陣和逆雅可比矩陣及其應(yīng)用。1/9/202524.2微分矩陣（DerivativeMatrixes）

給出一個(gè)4×4的矩陣A（5.1）矩陣A的微分就是對(duì)矩陣A中的每一個(gè)元素對(duì)自變量x的微分，結(jié)果如下：

（5.2）1/9/20253我們用符號(hào)來(lái)表示式（5.4）和式（5.6）中的并將它稱為微分變換算子（5.6）這樣式（5.4）和式（5.6）就可寫成如下形式（5.7）和（5.8）式（5.7）中的微分變換算子是針對(duì)基坐標(biāo)的，而式（5.8）中的微分變換算子則是針對(duì)T坐標(biāo)的。在第二章我們給出了平移和一般性旋轉(zhuǎn)變換的齊次變換矩陣表達(dá)式，平移變換矩陣是100a010bTrans(a,b,c)=001c（5.9）00011/9/20255當(dāng)平移向量是微分向量d＝dxi+dyj+dzk時(shí)，微分平移矩陣為：100dx010dyTrans(d)=001dz（5.10）0001一般性旋轉(zhuǎn)變換的變換矩陣是:kxkxversθ+cosθkykxversθ-kzsinθkzkxversθ+kysinθ0kxkyversθ+kzsinθkykyversθ+cosθkzkyversθ-kxsinθ0Rot(k,θ)=kxkzversθ-kysinθkykzversθ+kxsinθkzkzversθ+cosθ0(5.11)0

0

01當(dāng)進(jìn)行微分旋轉(zhuǎn)變換時(shí)，旋轉(zhuǎn)角dθ極小，此時(shí)有如下關(guān)系:1/9/20256將上述關(guān)系代入式（5.11）可得1-kzdθkydθ0kzdθ1-kxdθ0Rot(k,dθ)=-kydθkxdθ10(5.12)0

0

01由式（5.6）可得(5.13)1/9/202574.4微分旋轉(zhuǎn)(DifferentialRotations)

式（5.13）給出的微分變換算子是基于微分旋轉(zhuǎn)角dθ的微分平移和旋轉(zhuǎn)變換表達(dá)式，下面討論繞坐標(biāo)軸x、y、z旋轉(zhuǎn)δx、δy、δz的微分變換。第二章給出的繞坐標(biāo)軸x、y、z旋轉(zhuǎn)的變換矩陣分別為

（5.14）（5.15）（5.16）1/9/20258在微分變換的情況下，sinθ→dθ，conθ→1，上面三個(gè)式子變?yōu)椋海?.17）（5.18）

（5.19）由此可得到

（5.20）1/9/20259比較式（5.12）和式（5.20）可知，繞任意向量k旋轉(zhuǎn)dθ的微分旋轉(zhuǎn)與繞x、y、z軸分別旋轉(zhuǎn)的結(jié)果相同，即（5.21）由此可得到繞坐標(biāo)軸x、y、z旋轉(zhuǎn)δx、δy、δz的微分變換算子為（5.22）

微分變換算子中的元素由微分平移向量d和微分旋轉(zhuǎn)向量δ的各個(gè)分量組成，即（5.23）（5.24）將上述二個(gè)向量組合構(gòu)成一個(gè)微分運(yùn)動(dòng)矢量D（5.25）這樣，我們就可根據(jù)式（5.25）給出的微分運(yùn)動(dòng)矢量D直接得到微分變換算子，或基于T坐標(biāo)的微分運(yùn)動(dòng)矢量的微分變換算子。1/9/202510【例5.1】已知坐標(biāo)A的變換矩陣為當(dāng)用微分平移矢量d=1i+0j+0.5k和微分旋轉(zhuǎn)矢量δ＝0i+0.1j+0k對(duì)坐標(biāo)A進(jìn)行變換時(shí)，求出微分變換的結(jié)果dA。解：首先，由式（5.22）求出微分變換算子由式（5.7）可得即微分變換結(jié)果如圖5.1所示。xyzzAyA+dAx圖5.1坐標(biāo)A的微分變換1/9/2025114.5坐標(biāo)系之間的微分變換

(TransformingDifferentialChangesbetweenCoordinateFrames)上節(jié)討論了基于基坐標(biāo)或某個(gè)指定坐標(biāo)的微分變換，本節(jié)繼續(xù)討論坐標(biāo)系之間的微分變換，也就是已知微分變換算子，如何求出T坐標(biāo)的微分變換算子。由式（5.7）和（5.8）可知：（5.26）則為（5.27）上式是一個(gè)重要的表達(dá)式，它描述了坐標(biāo)系之間的微分變換關(guān)系。下面我們用微分平移矢量d和微分旋轉(zhuǎn)矢量來(lái)推導(dǎo)的表達(dá)式。已知變換矩陣T為1/9/202512我們用矢量的叉乘來(lái)得到式（5.27）等號(hào)右邊二項(xiàng)的乘積

（5.29）式中d和分別是微分平移和微分旋轉(zhuǎn)矢量。用左乘式（5.29）可得

（5.30）上式矩陣元素都具有如下矢量三重積形式根據(jù)矢量三重積的性質(zhì)有（5.31）1/9/202513同時(shí)，三重積中只要有二個(gè)矢量是相同的，其結(jié)果為零。如（5.32）根據(jù)上述性質(zhì)，式（5.30）可寫成（5.33）對(duì)于正交矢量有（5.34）這樣，式（5.33）可重寫成

（5.35）1/9/202514上式可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為（5.36）比較式（5.35）和式（5.36）的矩陣元素可得

（5.37）

（5.38）在式（5.37）和式（5.38）中，n、o、a和p是微分坐標(biāo)變換矩陣T的旋轉(zhuǎn)和平移矢量，和是對(duì)應(yīng)坐標(biāo)T的微分平移和旋轉(zhuǎn)矢量。1/9/202515式（5.37）和式（5.38）也可用6×6的矩陣形式表示如下（5.39）將上式寫成式（5.36）和式（5.37）的形式如下

（5.40）

（5.41）式（5.40）和式（5.41）是后續(xù)內(nèi)容中要經(jīng)常用到的重要結(jié)果。1/9/202516【例5.2】給出與例5.1相同的坐標(biāo)的變換矩陣、微分平移矢量和微分旋轉(zhuǎn)矢量如下：

d=1i+0j+0.5kδ＝0i+0.1j+0k試求出坐標(biāo)A上的等效微分變換dA。解：由坐標(biāo)變換矩陣A可得到相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)與平移矢量由此可求出根據(jù)式（5.40）和式（5.41）得到1/9/202517用上述結(jié)果來(lái)驗(yàn)證坐標(biāo)A上的等效微分變換dA，由式（5.8）有由已求出的、和式（5.36）可得到則上述結(jié)果與例5.1相同。1/9/202518機(jī)械手的操作速度與關(guān)節(jié)的線形變換定義為機(jī)械手的雅可比矩陣，可將視為從關(guān)節(jié)空間向操作空間運(yùn)動(dòng)速度的傳動(dòng)比。令機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)方程為：（5.42）代表操作空間x與關(guān)節(jié)空間q之間的位移關(guān)系。將上式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有：（5.43）稱為末端在操作空間的廣義速度，簡(jiǎn)稱操作速度；為關(guān)節(jié)速度；是的偏導(dǎo)數(shù)矩陣，稱為機(jī)械手的雅可比矩陣。它的第i行第j列為：（5.44）剛體或坐標(biāo)系的廣義速度是由線形速度和角速度組成的6維列矢量

（5.45）5.6.1雅可比矩陣的定義5.6機(jī)械手的微分變換方程——雅可比方程1/9/202519由式（5.45）有：（5.46）代入式（5.43）有：（5.47）含有n個(gè)關(guān)節(jié)的機(jī)器人，其雅可比是階矩陣，前3行代表了對(duì)夾手線速度的傳遞比，后3行代表了對(duì)夾手的角速度的傳遞比，而每一列代表相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度對(duì)于夾手線速度和角速度的傳遞比。（5.48）

（5.49）（5.50）

1/9/2025205.6.2雅可比矩陣的求法

（1）、矢量積法求解機(jī)器人雅可比矩陣的矢量積方法是建立在運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系概念的基礎(chǔ)上的，由惠特尼（Whitney）提出的。對(duì)于移動(dòng)關(guān)節(jié)i，有（5.51）對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)i，有：（5.52）式中，表示夾手坐標(biāo)原點(diǎn)相對(duì)坐標(biāo)系{i}的位置矢量在基座標(biāo)系{o}中的表示，即：（5.53）而是坐標(biāo)系{i}的軸矢量在基坐標(biāo)系{o}的表示。1/9/202521

（2）微分變換法在第三章我們介紹過(guò)，機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程由它的末端相對(duì)于基坐標(biāo)的齊次變換矩陣T6表示，即T6=A1A2A3A4A5A6其中每一個(gè)關(guān)節(jié)變換矩陣Ai描述了該關(guān)節(jié)坐標(biāo)相對(duì)于前一個(gè)關(guān)節(jié)坐標(biāo)的變換關(guān)系，關(guān)節(jié)變量用qi表示，如果是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，關(guān)節(jié)變量是θi，它是繞前一個(gè)關(guān)節(jié)坐標(biāo)z軸的旋轉(zhuǎn)角度；如果是滑動(dòng)關(guān)節(jié)，關(guān)節(jié)變量是di，它是沿前一個(gè)關(guān)節(jié)坐標(biāo)z軸滑動(dòng)的距離。同樣，當(dāng)我們討論機(jī)械手的微分變換方程時(shí)，首先定義微分關(guān)節(jié)變量為dqi，如果是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，則為dθi，如果是滑動(dòng)關(guān)節(jié)，則為ddi。1/9/202522機(jī)械手第i個(gè)關(guān)節(jié)的微分變換引起第6個(gè)連桿末端（即機(jī)械手末端）的微分變換dT6可由下式表示：（5.54）又有：（5.55）由上面兩式可得到機(jī)械手末端的微分變換算子（5.56）有：（5.57）

1/9/202523如果關(guān)節(jié)i是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，則di=[dx,dy,dz]=0，式（5.40）和式（5.41）變?yōu)楫?dāng)，為單位微分旋轉(zhuǎn)矢量時(shí)，式（5.47）和（5.48）可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為此時(shí)：式中，n,o,a和p是的四個(gè)列矢量。1/9/202524

如果關(guān)節(jié)i是棱形滑動(dòng)關(guān)節(jié)，則δi＝[δx,δy,δz]=0，di=0i+0j+1k，式（5.40）和式（5.41）變?yōu)?/p>

此時(shí)：式中，n,o,a和p是的四個(gè)列矢量。1/9/202525雅可比矩陣計(jì)算步驟:1、計(jì)算各連桿變換2、計(jì)算各連桿至末端連桿的變換：3、計(jì)算J(q)個(gè)各列元素，第i列由決定。圖5.2J和T的變換關(guān)系1T62T63T64T65T60T11T22T33T44T55T6TJ60T6TJ5TJ3TJ4TJ2TJ11/9/202526PUMA560機(jī)器人的雅可比矩陣:微分變換法求J(q)1、的求解

2、的求解1/9/2025273、的求解1/9/2025284、的求解1/9/2025295.7本章小結(jié)（Summary）

本章介紹了微分變換的基本原理和方法，包括微分平移、微分旋轉(zhuǎn)、坐標(biāo)系之間的微分變換、雅可比矩陣和逆雅可比矩陣及其應(yīng)用。首先我們給出了微分變換矩陣的兩種表示方式，即（5.7）和（5.8）其中式（5.7）是針對(duì)基坐標(biāo)的微分變換表達(dá)式，式（5.8）是針對(duì)T坐標(biāo)的微分變換表達(dá)式。式中的稱為微分變換算子，它是針對(duì)基坐標(biāo)的；而則是針對(duì)T坐標(biāo)的。微分變換算子由微分平移向量d和微分旋轉(zhuǎn)向量δ的各個(gè)分量組成，即（5.22）1/9/202530式中的微分旋轉(zhuǎn)向量δ的各個(gè)分量δx，δy，δz是分別繞基坐標(biāo)的x、y、z軸旋轉(zhuǎn)的角度，如果微分旋轉(zhuǎn)是繞任意向量k旋轉(zhuǎn)一個(gè)微小角dθ，則其對(duì)應(yīng)的各個(gè)分量為（5.21）微分變換算子與的轉(zhuǎn)換公式為（5.27）式（5.27）中T是由旋轉(zhuǎn)向量n、o、a和平移向量p組成的齊次變換矩陣，的各個(gè)元素可由的元素計(jì)算得到，計(jì)算公式如下（5.40）

（5.41）根據(jù)微分變換的基本原理和方法，我們推導(dǎo)了機(jī)械手的末端直角坐標(biāo)與各關(guān)節(jié)坐標(biāo)的微分變換關(guān)系和相應(yīng)的計(jì)算方法，這就是所謂的雅可比矩陣和逆雅可比矩陣，并以斯坦福機(jī)械手為例，詳細(xì)說(shuō)明了該計(jì)算方法的具體應(yīng)用。1/9/2025311/9/2025321/9/202533機(jī)器人的感覺(jué)

SensesofRobotics4.1傳感器的種類4.2觸覺(jué)信息的獲取4.3視覺(jué)信息的獲取4.4距離信息的獲取1/9/202534SensesofRobotics

4.1傳感器的種類

1.傳感器的分類內(nèi)部傳感器：檢測(cè)機(jī)器人本身狀態(tài)（手臂間角度等）的傳感器。外部傳感器：檢測(cè)機(jī)器人所處環(huán)境（是什么物體，離物體的距離有多遠(yuǎn)等）及狀況（抓取的物體滑落等）的傳感器。外部傳感器分為末端執(zhí)行器傳感器和環(huán)境傳感器。末端執(zhí)行器傳感器：主要裝在作為末端執(zhí)行器的手上，檢測(cè)處理精巧作業(yè)的感覺(jué)信息。相當(dāng)于觸覺(jué)。環(huán)境傳感器：用于識(shí)別物體和檢測(cè)物體與機(jī)器人的距離。相當(dāng)于視覺(jué)。1/9/202535SensesofRobotics

4.1傳感器的種類

2.內(nèi)部狀態(tài)的感覺(jué)（1）位置傳感器典型的傳感器是電位計(jì)。檢測(cè)的是以電阻中心為基準(zhǔn)位置的移動(dòng)距離。E：輸入電壓L：最大移動(dòng)距離觸頭X：向左端移動(dòng)的距離E：電阻右側(cè)的輸出電壓1/9/202536SensesofRobotics

4.1傳感器的種類

2.內(nèi)部狀態(tài)的感覺(jué)（1）位置傳感器另有光電傳感器。1/9/202537SensesofRobotics

4.1傳感器的種類

2.內(nèi)部狀態(tài)的感覺(jué)（2）角度傳感器回轉(zhuǎn)式編碼器。1/9/202538SensesofRobotics

4.1傳感器的種類

3.外部狀態(tài)的感覺(jué)（1）物體識(shí)別傳感器典型的是視覺(jué)傳感器。如攝像機(jī)。視覺(jué)是利用光（機(jī)器人可用紅外線等）的非接觸方式。觸覺(jué)也能識(shí)別物體。機(jī)器人可以用觸覺(jué)傳感器來(lái)實(shí)現(xiàn)這種機(jī)能。（2）物體探測(cè)傳感器視覺(jué)傳感器是一種識(shí)別物體而且知道其存在的傳感器。例如光電開關(guān)。視覺(jué)傳感器、光電開關(guān)和超聲波傳感器，即使物體較遠(yuǎn)也能探測(cè)其存在。1/9/202539SensesofRobotics

4.1傳感器的種類

3.外部狀態(tài)的感覺(jué)（3）極近物體探測(cè)傳感器探測(cè)非常近的物體存在的傳感器稱為接近傳感器。1/9/202540SensesofRobotics

4.1傳感器的種類

3.外部狀態(tài)的感覺(jué)（4）距離傳感器超聲波做距離傳感器?？捎糜隰~群探測(cè)、金屬內(nèi)部探傷等方面。（5）力覺(jué)傳感器力覺(jué)傳感器是檢測(cè)力和力矩的施加地點(diǎn)大小方向三個(gè)量的傳感器。力的檢測(cè)主要是用電阻應(yīng)變片。1/9/202541SensesofRobotics

4.1傳感器的種類

3.外部狀態(tài)的感覺(jué)（6）其他傳感器利用聲波：語(yǔ)音識(shí)別傳感器。分析振動(dòng)聲音探測(cè)機(jī)械故障的點(diǎn)傳感器。熱傳感器：點(diǎn)檢傳感器。通過(guò)分析敲打的聲音測(cè)定果品成熟程度的傳感器。根據(jù)近紅外線的糖度吸收程度測(cè)定水果甜度的傳感器。1/9/202542SensesofRobotics

4.2觸覺(jué)信息的獲取

1.接觸覺(jué)傳感器接觸覺(jué)傳感器：探測(cè)是否接觸到物體，傳感器接受由于接觸產(chǎn)生的柔量。微動(dòng)開關(guān)：按下開關(guān)就能進(jìn)入電信號(hào)的簡(jiǎn)單機(jī)構(gòu)。貓胡須傳感器：如圖a,b1/9/202543SensesofRobotics

4.2觸覺(jué)信息的獲取

2.壓覺(jué)傳感器壓覺(jué)傳感器：檢測(cè)物體同手爪間產(chǎn)生的壓力和力以及其分布情況。利用壓電元件或彈簧。如圖是使用彈簧的平面?zhèn)鞲衅鳌?/9/202544SensesofRobotics

4.2觸覺(jué)信息的獲取

3.滑覺(jué)傳感器檢測(cè)垂直加壓力方向的力和位移。1/9/202545SensesofRobotics

4.2觸覺(jué)信息的獲取

4.力覺(jué)傳感器力覺(jué)傳感器主要利用電阻應(yīng)變片。原理：金屬絲拉伸時(shí)電阻變大。1/9/202546SensesofRobotics

4.3視覺(jué)信息的獲取

1.PSD（positionsensitivedevice）傳感器PSD傳感器：當(dāng)光束照射到1維的線和2維的平面時(shí)，檢測(cè)光照射的位置。L：電極1與電極2的距離。I1：流過(guò)電極1的電流。I2：流過(guò)電極2的電流。X：光照射點(diǎn)與電極1的距離。1/9/202547SensesofRobotics

4.3視覺(jué)信息的獲取

2.視覺(jué)傳感器機(jī)器人通過(guò)攝像機(jī)以圖像的形式獲得環(huán)境的信息。（1）CCD(chargecoupleddevice)傳感器。CCD陣列，二維掃描，對(duì)表示灰度的電壓采樣，二值數(shù)字化處理。每一定時(shí)間間隔掃描一遍。1/9/202548SensesofRobotics

4.3視覺(jué)信息的獲取

2.視覺(jué)傳感器（2）圖像的投影O：原點(diǎn)，透鏡中心。Z軸：光軸，攝像機(jī)的前方。xy軸：組成圖像面。P點(diǎn)：物體上一點(diǎn)。p點(diǎn)：P在圖像面上的投影。1/9/202549SensesofRobotics

4.3視覺(jué)信息的獲取

2.視覺(jué)傳感器（2）圖像的投影物點(diǎn)的空間坐標(biāo)變?yōu)橛?jì)算機(jī)圖像的數(shù)字坐標(biāo)，經(jīng)過(guò)了三個(gè)變換?？臻g坐標(biāo)的物點(diǎn)變換到攝像機(jī)坐標(biāo)系；攝像機(jī)坐標(biāo)下的物點(diǎn)映射到攝像機(jī)的CCD面，滿足三角幾何關(guān)系；CCD面上的實(shí)際圖像坐標(biāo)變換到計(jì)算機(jī)圖像坐標(biāo)。設(shè)（xW,yW,zW）為三維世界坐標(biāo)系中物點(diǎn)P的三維坐標(biāo)，（x,y,z）是同一點(diǎn)P在攝像機(jī)坐標(biāo)系中的三維坐標(biāo)，（XU,YU）是P點(diǎn)在理想小孔攝像機(jī)模型下CCD面上的投影坐標(biāo)，該投影在計(jì)算機(jī)中圖像坐標(biāo)（Xf,Yf）的單位是像素（pixels）。則有如下關(guān)系：1/9/202550SensesofRobotics

4.3視覺(jué)信息的獲取

2.視覺(jué)傳感器（2）圖像的投影設(shè)（x