2025屆山東省青島市部分學(xué)校高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量聯(lián)合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試題(解析版)_第1頁
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高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省青島市部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量聯(lián)合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試題一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合,,則()A. B.C. D.【答案】A【解析】.故選:A.2.已知平面上的兩個(gè)非零向量,滿足,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】由,故,則,又,故.故選:B.3.在等差數(shù)列中,若,則的值為()A.10 B.20 C.30 D.40【答案】D【解析】由題設(shè),所以.故選:D4.已知,,則()A. B.或C. D.或【答案】A【解析】因?yàn)?,所以,因?yàn)?,所以,,所以,,所?故選:A.5.七巧板是一種古老的中國(guó)傳統(tǒng)智力玩具,它是由如圖所示的七塊板組成的,即五塊等腰直角三角形板(兩塊小型三角形板、一塊中型三角形板和兩塊大型三角形板),一塊正方形板和一塊平行四邊形板.現(xiàn)從這七塊板中任取兩塊,則這兩塊板面積相等的概率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】如下圖,將七塊三角形編號(hào)如下,所以從七巧板的五塊三角形中任意取出兩塊的基本事件為:,,,,,共有種,將七巧板劃分如下,被分成個(gè)全等的三角形,設(shè)正方形的面積為,則編號(hào)的面積為,則編號(hào)的面積為,編號(hào)的面積為,任取兩塊板面積相等的基本事件為:.從這七塊板中任取兩塊,則這兩塊板面積相等的概率為.故選:C.6.已知點(diǎn),,若過點(diǎn)的直線與線段相交,則該直線斜率的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意,,,因?yàn)檫^點(diǎn)的直線與線段相交,結(jié)合圖象可知,該直線的斜率的取值范圍為.故選:B.7.已知四棱錐平面BCDE,底面EBCD是為直角,的直角梯形,如圖所示,且,點(diǎn)為AD的中點(diǎn),則到直線BC的距離為()A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意知,平面,平面,所以,又,故以為原點(diǎn),所在的直線分別為軸,建立如圖空間直角坐標(biāo)系,則,得所以,,記,則,所以F到直線BC的距離為.故選:A8.若函數(shù)的最大值為,最小值為,則()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】,令,因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為,最小值為,所以函數(shù)的最大值為,最小值為,因?yàn)?,所以函?shù)是奇函數(shù),所以,即,所以.故選:B.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知關(guān)于x不等式的解集為,則下列結(jié)論正確的是()A. B.的最大值為C.的最小值為 D.的最小值為【答案】BC【解析】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為,所以,所以,,所以,A錯(cuò)誤;因?yàn)?,,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故,由于設(shè),由于,故,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故B正確;,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),C正確;,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故最小值為,D錯(cuò)誤.故選:BC.10.已知事件A,B滿足,,則()A若,則B.若A與B互斥,則C.若P(AB)=0.1,則A與B相互獨(dú)立D.若A與B相互獨(dú)立,則【答案】BC【解析】對(duì)于A,由,得,A錯(cuò)誤;對(duì)于B,由A與B互斥,得,B正確;對(duì)于C,由,得,則A與B相互獨(dú)立,C正確;對(duì)于D,由A與B相互獨(dú)立,得相互獨(dú)立,則,D錯(cuò)誤.故選:BC11.在直三棱柱中,,,E、F分別是、的中點(diǎn),D在線段上,則下面說法中正確的有()A.平面B.直線EF與平面ABC所成角的正弦值為C.若D是的中點(diǎn),若M是的中點(diǎn),則F到平面BDM的距離是D.直線BD與直線EF所成角最小時(shí),線段BD長(zhǎng)為【答案】ABD【解析】因?yàn)橹比庵?,,所以兩兩互相垂直,于是以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)?,分別是的中點(diǎn),在線段上,所以,對(duì)于A:因?yàn)樵谥比庵?,平面,又,平面,所以,又,所以,又,平面,所以平面,所以為平面的一個(gè)法向量,又,則,又平面,平面,故A正確;對(duì)于B:為平面的一個(gè)法向量,又,設(shè)直線與平面所成角為,則,故B正確;對(duì)于C:若是的中點(diǎn),若M是的中點(diǎn),則,則,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,令,則,所以平面的一個(gè)法向量為,又,所以到平面的距離是,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D:設(shè),則,設(shè)直線與直線所成角為,又,則,當(dāng),即時(shí),取最大值,此時(shí)直線與直線所成角最小,,,故D正確.故選:ABD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.在中,,的平分線與交于點(diǎn),且,,則的面積為______.【答案】【解析】因?yàn)椋瑸榈钠椒志€,所以,又,所以,由余弦定理可得,又,所以所以,所以的面積.13.在平面直角坐標(biāo)系中,定義為,兩點(diǎn)之間的“折線距離”.已知,,,,點(diǎn)在矩形內(nèi)(含邊界)且到點(diǎn),的“折線距離”相等,則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為______.【答案】【解析】設(shè)Mx,y,因?yàn)辄c(diǎn)在矩形內(nèi)(含邊界),則,,因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn),的“折線距離”相等,所以,即,則,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,設(shè),,則點(diǎn)的軌跡為線段,故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.14.已知無窮數(shù)列滿足,,給出下列四個(gè)結(jié)論:①,;②數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列;③,使得;④,均有.其中正確結(jié)論的序號(hào)是________.【答案】①②④【解析】由,,進(jìn)而可得,結(jié)合,以此類推可得,故,故,故①②正確,③錯(cuò)誤,由可得,故,由于,故,進(jìn)而可得,,故,因此,累加,故,當(dāng)時(shí),,故,故④正確.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知,,函數(shù).(1)求函數(shù)的解析式及對(duì)稱中心;(2)若,且,求的值.(3)在銳角中,角A,B,C分別為a,b,c三邊所對(duì)的角,若,,求周長(zhǎng)的取值范圍.解:(1).令,則,,函數(shù)的對(duì)稱中心為,.(2)由可知,化簡(jiǎn)有,,,,(3)由可得,即,又,所以由正弦定理有所以,因?yàn)闉殇J角三角形,所以,解得所以,則,所以,則,所以的周長(zhǎng)的取值范圍為.16.已知平面邊形中,,,且.以為腰作等腰直角三角形,且,將沿直線折起,使得平面平面.(1)證明:平面;(2)若是線段上一點(diǎn),且平面,①求三棱錐的體積;②求平面與平面夾角的余弦值.解:(1)因,,故,又,且,故在直角梯形中,,由可得;因平面平面,,平面平面,則平面,又平面,則,又,因平面,故平面.(2)①如圖,連接,設(shè),連接,因平面,且平面,平面平面,則,故,在四邊形中,由,可得,故,即,即點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn),故②如圖,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,所以,,,設(shè)平面的法向量為,則,可取,因,故,,設(shè)平面的法向量為,則由,可取,故,故平面與平面夾角的余弦值為.17.已知圓內(nèi)有一點(diǎn),傾斜角為的直線過點(diǎn)且與圓交于兩點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí),求的長(zhǎng);(2)是否存在弦被點(diǎn)三等分?若存在,求出直線的斜率;若不存在,請(qǐng)說明理由;(3)記圓與軸的正半軸交點(diǎn)為,直線的斜率為,直線的斜率為,求證:為定值.解:(1)因?yàn)?,所以,直線的方程為,設(shè)圓心到直線的距離為,則,所以(2)取的中點(diǎn)為,如圖,假設(shè)存在弦被點(diǎn)三等分,設(shè),,則,,解得,當(dāng)斜率不存在時(shí),,故斜率存在,設(shè)斜率為,則:,,解得,即存在弦被點(diǎn)三等分,直線的斜率為.(3)由題意知,,當(dāng)直線斜率不存在時(shí),,,不妨取,則,此時(shí)直線斜率存在時(shí),設(shè)方程為,代入圓的方程可得,設(shè),則,又,所以綜上,為定值.18.模糊數(shù)學(xué)普遍存在于自然界和數(shù)學(xué)模型中,比如天氣預(yù)測(cè)?種群數(shù)量變化和天體運(yùn)動(dòng)等等.假設(shè)在一個(gè)模糊數(shù)學(xué)系統(tǒng)中,用來表示系統(tǒng)在第個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)值,且該系統(tǒng)下一時(shí)刻的狀態(tài)滿足,,其中.(1)當(dāng)時(shí),若滿足對(duì),有,求;(2)當(dāng)時(shí),判斷中是否存在連續(xù)的三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列;若存在,求出連續(xù)的三項(xiàng);若不存在,說明理由.(3)若,,記,證明:.解:(1)當(dāng)時(shí),,由題意知:,,兩式作差得:,或;當(dāng)時(shí),,解得:或,又,;當(dāng)時(shí),,解得:;恒成立,又,,數(shù)列為常數(shù)列,即.(2)當(dāng)時(shí),;假設(shè)在數(shù)列中,存在連續(xù)的三項(xiàng)成等比數(shù)列,則,,,,即,又,,解得:,與矛盾,假設(shè)錯(cuò)誤,即在中,不存在連續(xù)的三項(xiàng)成等比數(shù)列.(3)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),且,;,,,,數(shù)列為遞減數(shù)列,,,.19.已知函數(shù).(1)寫出函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并證明;(2)若存在,方程有解,記的最大值為,證明.解:(1)求導(dǎo),可得,當(dāng)時(shí),,,所以,這表明函數(shù)在上單調(diào)遞增,由于,,由于函數(shù)在上單調(diào)遞增且,,所以函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).(2)由,可得,設(shè),,求的導(dǎo)數(shù),,令,,求的導(dǎo)數(shù),當(dāng)時(shí),,,所以,這表明在上單調(diào)遞減,又,,,所以存在,使得,即,當(dāng)時(shí),,,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,,單調(diào)遞減,所以在處取得最大值,由,可得,設(shè),則,所以在上單調(diào)遞減,所以,因?yàn)?,所以,,則,即,又,且在上單調(diào)遞增,所以.故原命題得證山東省青島市部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量聯(lián)合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試題一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合,,則()A. B.C. D.【答案】A【解析】.故選:A.2.已知平面上的兩個(gè)非零向量,滿足,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】由,故,則,又,故.故選:B.3.在等差數(shù)列中,若,則的值為()A.10 B.20 C.30 D.40【答案】D【解析】由題設(shè),所以.故選:D4.已知,,則()A. B.或C. D.或【答案】A【解析】因?yàn)?,所以,因?yàn)?,所以,,所以,,所?故選:A.5.七巧板是一種古老的中國(guó)傳統(tǒng)智力玩具,它是由如圖所示的七塊板組成的,即五塊等腰直角三角形板(兩塊小型三角形板、一塊中型三角形板和兩塊大型三角形板),一塊正方形板和一塊平行四邊形板.現(xiàn)從這七塊板中任取兩塊,則這兩塊板面積相等的概率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】如下圖,將七塊三角形編號(hào)如下,所以從七巧板的五塊三角形中任意取出兩塊的基本事件為:,,,,,共有種,將七巧板劃分如下,被分成個(gè)全等的三角形,設(shè)正方形的面積為,則編號(hào)的面積為,則編號(hào)的面積為,編號(hào)的面積為,任取兩塊板面積相等的基本事件為:.從這七塊板中任取兩塊,則這兩塊板面積相等的概率為.故選:C.6.已知點(diǎn),,若過點(diǎn)的直線與線段相交,則該直線斜率的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意,,,因?yàn)檫^點(diǎn)的直線與線段相交,結(jié)合圖象可知,該直線的斜率的取值范圍為.故選:B.7.已知四棱錐平面BCDE,底面EBCD是為直角,的直角梯形,如圖所示,且,點(diǎn)為AD的中點(diǎn),則到直線BC的距離為()A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意知,平面,平面,所以,又,故以為原點(diǎn),所在的直線分別為軸,建立如圖空間直角坐標(biāo)系,則,得所以,,記,則,所以F到直線BC的距離為.故選:A8.若函數(shù)的最大值為,最小值為,則()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】,令,因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為,最小值為,所以函數(shù)的最大值為,最小值為,因?yàn)?,所以函?shù)是奇函數(shù),所以,即,所以.故選:B.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知關(guān)于x不等式的解集為,則下列結(jié)論正確的是()A. B.的最大值為C.的最小值為 D.的最小值為【答案】BC【解析】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為,所以,所以,,所以,A錯(cuò)誤;因?yàn)?,,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故,由于設(shè),由于,故,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故B正確;,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),C正確;,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故最小值為,D錯(cuò)誤.故選:BC.10.已知事件A,B滿足,,則()A若,則B.若A與B互斥,則C.若P(AB)=0.1,則A與B相互獨(dú)立D.若A與B相互獨(dú)立,則【答案】BC【解析】對(duì)于A,由,得,A錯(cuò)誤;對(duì)于B,由A與B互斥,得,B正確;對(duì)于C,由,得,則A與B相互獨(dú)立,C正確;對(duì)于D,由A與B相互獨(dú)立,得相互獨(dú)立,則,D錯(cuò)誤.故選:BC11.在直三棱柱中,,,E、F分別是、的中點(diǎn),D在線段上,則下面說法中正確的有()A.平面B.直線EF與平面ABC所成角的正弦值為C.若D是的中點(diǎn),若M是的中點(diǎn),則F到平面BDM的距離是D.直線BD與直線EF所成角最小時(shí),線段BD長(zhǎng)為【答案】ABD【解析】因?yàn)橹比庵校?,所以兩兩互相垂直,于是以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)?,分別是的中點(diǎn),在線段上,所以,對(duì)于A:因?yàn)樵谥比庵?,平面,又,平面,所以,又,所以,又,平面,所以平面,所以為平面的一個(gè)法向量,又,則,又平面,平面,故A正確;對(duì)于B:為平面的一個(gè)法向量,又,設(shè)直線與平面所成角為,則,故B正確;對(duì)于C:若是的中點(diǎn),若M是的中點(diǎn),則,則,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,令,則,所以平面的一個(gè)法向量為,又,所以到平面的距離是,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D:設(shè),則,設(shè)直線與直線所成角為,又,則,當(dāng),即時(shí),取最大值,此時(shí)直線與直線所成角最小,,,故D正確.故選:ABD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.在中,,的平分線與交于點(diǎn),且,,則的面積為______.【答案】【解析】因?yàn)?,為的平分線,所以,又,所以,由余弦定理可得,又,所以所以,所以的面積.13.在平面直角坐標(biāo)系中,定義為,兩點(diǎn)之間的“折線距離”.已知,,,,點(diǎn)在矩形內(nèi)(含邊界)且到點(diǎn),的“折線距離”相等,則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為______.【答案】【解析】設(shè)Mx,y,因?yàn)辄c(diǎn)在矩形內(nèi)(含邊界),則,,因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn),的“折線距離”相等,所以,即,則,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,設(shè),,則點(diǎn)的軌跡為線段,故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.14.已知無窮數(shù)列滿足,,給出下列四個(gè)結(jié)論:①,;②數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列;③,使得;④,均有.其中正確結(jié)論的序號(hào)是________.【答案】①②④【解析】由,,進(jìn)而可得,結(jié)合,以此類推可得,故,故,故①②正確,③錯(cuò)誤,由可得,故,由于,故,進(jìn)而可得,,故,因此,累加,故,當(dāng)時(shí),,故,故④正確.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知,,函數(shù).(1)求函數(shù)的解析式及對(duì)稱中心;(2)若,且,求的值.(3)在銳角中,角A,B,C分別為a,b,c三邊所對(duì)的角,若,,求周長(zhǎng)的取值范圍.解:(1).令,則,,函數(shù)的對(duì)稱中心為,.(2)由可知,化簡(jiǎn)有,,,,(3)由可得,即,又,所以由正弦定理有所以,因?yàn)闉殇J角三角形,所以,解得所以,則,所以,則,所以的周長(zhǎng)的取值范圍為.16.已知平面邊形中,,,且.以為腰作等腰直角三角形,且,將沿直線折起,使得平面平面.(1)證明:平面;(2)若是線段上一點(diǎn),且平面,①求三棱錐的體積;②求平面與平面夾角的余弦值.解:(1)因,,故,又,且,故在直角梯形中,,由可得;因平面平面,,平面平面,則平面,又平面,則,又,因平面,故平面.(2)①如圖,連接,設(shè),連接,因平面,且平面,平面平面,則,故,在四邊形中,由,可得,故,即,即點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn),故②如圖,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,所以,,,設(shè)平面的法向量為,則,可取,因,故,,設(shè)平面的法向量為,則由,可取,故,故平面與平面夾角的余弦值為.17.已知圓內(nèi)有一點(diǎn),傾斜角為的直線過點(diǎn)且與圓交于兩點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí),求的長(zhǎng);(2)是否存在弦被點(diǎn)三等分?若存在,求出直線的斜率;若不存在,請(qǐng)說明理由;(3)記圓與軸的正半軸交點(diǎn)為,直線的斜率為,直線的斜率為,求證:為定值.解:(1)因?yàn)?,所以,直線的方程為,設(shè)圓心

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