2025屆浙江省臺州市高三第一次教學(xué)質(zhì)量評估數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省臺州市2025屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量評估數(shù)學(xué)試題選擇題部分（共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?故選：D.2.橢圓與橢圓的（）A.長軸長相等 B.短軸長相等C.離心率相等 D.焦距相等【答案】D【解析】對于橢圓：，對于橢圓：，所以它們的長軸不相等，短軸不相等，離心率不相等，焦距相等.故選：D.3.若復(fù)數(shù)是方程的一個虛根，則（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榉匠痰奶摳蓪Τ霈F(xiàn)，且互為共軛，所以一個根為時(shí)，另一個根必然為，所以由根與系數(shù)的關(guān)系，.故選：B.4.已知集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，可得，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，又，由，可得，所以B=xx<1，所以，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.已知變量與的成對樣本數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系，由一元線性回歸模型根據(jù)最小二乘法，計(jì)算得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，若，，則（）A.6.6 B.5 C.1 D.14【答案】C【解析】因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程為，且，，所以，故選：C.6.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A.3 B.2 C.2 D.3【答案】B【解析】根據(jù)題意，是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則.故選：B.7.已知球的半徑為，是球表面上的定點(diǎn)，是球表面上的動點(diǎn)，且滿足，則線段軌跡的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，以球的球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)榍虻陌霃綖?，則，設(shè)，則，，所以，又，，則，得到，如圖，在線段取點(diǎn)，使，所以線段軌跡為圓錐的側(cè)面，又，則，所以圓錐的側(cè)面積為，所以線段軌跡的面積為，故選：C.8.臺州某校為陽光體育設(shè)計(jì)了一種課間活動，四位同學(xué)（兩男兩女）隨機(jī)地站到44的方格場地中（每人站一格，每格至多一人），則兩個男生既不同行也不同列，同時(shí)兩個女生也既不同行也不同列的概率是（）A B. C. D.【答案】D【解析】從16個格子中選4個排4個人有種排法，兩個男生既不同行也不同列的排法有種排法，兩個女生也既不同行也不同列的排法有種排法，兩名女生與兩名男生排在一起的排法有，兩名女生中有一名與男生排在一起的排法有，所以兩個男生既不同行也不同列，同時(shí)兩個女生也既不同行也不同列（每人一格）有種，所以兩個男生既不同行也不同列，同時(shí)兩個女生也既不同行也不同列的概率是:.故選：D.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列選項(xiàng)正確的是（）A.若隨機(jī)變量，則B.若隨機(jī)變量，則C.若隨機(jī)變量服從分布，且，則D.若隨機(jī)變量滿足，則【答案】ABD【解析】A.若隨機(jī)變量，則，故正確；B.若隨機(jī)變量，則，故正確；C.若隨機(jī)變量服從分布，且，則，故錯誤；D.由隨機(jī)變量滿足，則，所以，故正確；故選：ABD.10.已知函數(shù)，且，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對稱C.D.在上有兩個不同的零點(diǎn)【答案】BC【解析】對于A，，，所以最小正周期不為，故A錯誤；對于B，，，所以，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，若，，所以，若，，所以，，所以，同理可得時(shí)，，當(dāng)時(shí)，若，，所以，若，，則，若，，則所以，同理可得時(shí)，，故C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，又，所以，此時(shí)，，只有一個解，所以在上有一個不同的零點(diǎn)，故D錯誤；故選：BC.11.已知棱長為3的正四面體，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，的最大值為D.當(dāng)時(shí)，則的最大值為【答案】ACD【解析】由正四面體，可知，選為空間內(nèi)的基底向量，當(dāng)，，，所以，故A正確；因?yàn)?，?dāng)，，故B錯誤；，又，所以，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，化簡得，解得，故C正確；，所以，由，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，故D正確.故選：ACD.非選擇題部分（共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.如圖的形狀出現(xiàn)存南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳析九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最一上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……，設(shè)從上至下各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列則___________.（填數(shù)字）【答案】【解析】由題意可知，，，，，，故，所以.13.若在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的最大值為_______．【答案】【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上恒成立，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以，故實(shí)數(shù)的最大值為.14.已知圓，其中，若圓上僅有一個點(diǎn)到直線距離為1，則的值為_______；圓的半徑取值可能為_______（請寫出一個可能的半徑取值）．【答案】（滿足即可，答案不唯一）【解析】根據(jù)題意，與直線的距離為1的點(diǎn)都在直線和上，又圓過原點(diǎn)且原點(diǎn)到直線直線的距離為1，則在直線上，且與相切，所以，又因?yàn)閳A與無交點(diǎn)，所以，如圖.故答案為：；（滿足即可，答案不唯一）四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且．（1）求角；（2）若的面積為，為的中點(diǎn)，求長度的最小值．解：（1）在中，由及正弦定理得，則，而，則，又，所以.（2）依題意，，由（1）知，得，在中，由余弦定理得，當(dāng)時(shí)取到等號，所以的最小值為.16.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形，．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：不妨設(shè)正方形邊長為2，則，由，得，再由，，平面??，得平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）解：取中點(diǎn)，連結(jié)，則，由（1）可知，平面平面ABCD，平面平面，所以平面，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，設(shè)平面的法向量為，則取，記與平面所成角為，則．17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）的定義域?yàn)?，，令，解得，由，解得，所以函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．（2）記，，因?yàn)?，所以，得，令，解得或，?dāng)時(shí)，，在上恒成立，因此，在上單調(diào)遞減，得，即對任意恒成立．當(dāng)時(shí)，對任意，，因此，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意．綜上，．18.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，雙曲線的左焦點(diǎn)為T．（1）求的方程和雙曲線的漸近線方程；（2）設(shè)為拋物線和雙曲線的一個公共點(diǎn)，求證：直線與拋物線相切；（3）設(shè)為上的動點(diǎn)，且直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，判斷是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．解：（1）準(zhǔn)線的方程為，雙曲線的漸近線方程為．（2）聯(lián)立方程組，消去得，解得（舍負(fù)），由對稱性，不妨取，又由，求得直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去得，因?yàn)?，所以直線與拋物線相切．（3）因?yàn)椋脺?zhǔn)線為線段的中垂線，則直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，即，設(shè)，由條件知，聯(lián)立方程組，消去得，則，聯(lián)立方程組，消去得，則，所以，故為定值．19.對于無窮數(shù)列和如下的兩條性質(zhì)：：存在實(shí)數(shù)，使得且，都有；：任意且，都存在，使得．（1）若，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)，并說明理由；（2）若，且數(shù)列滿足任意，則稱為數(shù)列的一個子數(shù)列．設(shè)數(shù)列同時(shí)滿足性質(zhì)和性質(zhì)．①若，求的取值范圍；②求證：存在的子數(shù)列為等差數(shù)列．解：（1）數(shù)列滿足性質(zhì)．且，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，因此，存，使得且，都有，故滿足性質(zhì)．注：取之間的任意實(shí)數(shù)都可以．（2）①因?yàn)閿?shù)列滿足性質(zhì)，所以是單調(diào)遞增數(shù)列，又因?yàn)閿?shù)列滿足性質(zhì)，所以存在，使得．而，因此，，由，得，由，得，故的取值范圍是．②由數(shù)列滿足性質(zhì)，可知單調(diào)遞增，設(shè)，令，由性質(zhì)，存在，使得，同理，存，使得，…，以此類推，當(dāng)時(shí)，存在，使得，由數(shù)列單調(diào)遞增，可知．記，則，因?yàn)?，所以?shù)列bn是等差數(shù)列，故存在的子數(shù)列bn為等差數(shù)列，得證．浙江省臺州市2025屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量評估數(shù)學(xué)試題選擇題部分（共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所?故選：D.2.橢圓與橢圓的（）A.長軸長相等 B.短軸長相等C.離心率相等 D.焦距相等【答案】D【解析】對于橢圓：，對于橢圓：，所以它們的長軸不相等，短軸不相等，離心率不相等，焦距相等.故選：D.3.若復(fù)數(shù)是方程的一個虛根，則（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榉匠痰奶摳蓪Τ霈F(xiàn)，且互為共軛，所以一個根為時(shí)，另一個根必然為，所以由根與系數(shù)的關(guān)系，.故選：B.4.已知集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，可得，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，又，由，可得，所以B=xx<1，所以，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.已知變量與的成對樣本數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系，由一元線性回歸模型根據(jù)最小二乘法，計(jì)算得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，若，，則（）A.6.6 B.5 C.1 D.14【答案】C【解析】因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程為，且，，所以，故選：C.6.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A.3 B.2 C.2 D.3【答案】B【解析】根據(jù)題意，是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則.故選：B.7.已知球的半徑為，是球表面上的定點(diǎn)，是球表面上的動點(diǎn)，且滿足，則線段軌跡的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，以球的球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)榍虻陌霃綖?，則，設(shè)，則，，所以，又，，則，得到，如圖，在線段取點(diǎn)，使，所以線段軌跡為圓錐的側(cè)面，又，則，所以圓錐的側(cè)面積為，所以線段軌跡的面積為，故選：C.8.臺州某校為陽光體育設(shè)計(jì)了一種課間活動，四位同學(xué)（兩男兩女）隨機(jī)地站到44的方格場地中（每人站一格，每格至多一人），則兩個男生既不同行也不同列，同時(shí)兩個女生也既不同行也不同列的概率是（）A B. C. D.【答案】D【解析】從16個格子中選4個排4個人有種排法，兩個男生既不同行也不同列的排法有種排法，兩個女生也既不同行也不同列的排法有種排法，兩名女生與兩名男生排在一起的排法有，兩名女生中有一名與男生排在一起的排法有，所以兩個男生既不同行也不同列，同時(shí)兩個女生也既不同行也不同列（每人一格）有種，所以兩個男生既不同行也不同列，同時(shí)兩個女生也既不同行也不同列的概率是:.故選：D.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列選項(xiàng)正確的是（）A.若隨機(jī)變量，則B.若隨機(jī)變量，則C.若隨機(jī)變量服從分布，且，則D.若隨機(jī)變量滿足，則【答案】ABD【解析】A.若隨機(jī)變量，則，故正確；B.若隨機(jī)變量，則，故正確；C.若隨機(jī)變量服從分布，且，則，故錯誤；D.由隨機(jī)變量滿足，則，所以，故正確；故選：ABD.10.已知函數(shù)，且，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對稱C.D.在上有兩個不同的零點(diǎn)【答案】BC【解析】對于A，，，所以最小正周期不為，故A錯誤；對于B，，，所以，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，若，，所以，若，，所以，，所以，同理可得時(shí)，，當(dāng)時(shí)，若，，所以，若，，則，若，，則所以，同理可得時(shí)，，故C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，又，所以，此時(shí)，，只有一個解，所以在上有一個不同的零點(diǎn)，故D錯誤；故選：BC.11.已知棱長為3的正四面體，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，的最大值為D.當(dāng)時(shí)，則的最大值為【答案】ACD【解析】由正四面體，可知，選為空間內(nèi)的基底向量，當(dāng)，，，所以，故A正確；因?yàn)椋?dāng)，，故B錯誤；，又，所以，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，化簡得，解得，故C正確；，所以，由，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，故D正確.故選：ACD.非選擇題部分（共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.如圖的形狀出現(xiàn)存南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳析九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最一上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……，設(shè)從上至下各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列則___________.（填數(shù)字）【答案】【解析】由題意可知，，，，，，故，所以.13.若在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的最大值為_______．【答案】【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上恒成立，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以，故實(shí)數(shù)的最大值為.14.已知圓，其中，若圓上僅有一個點(diǎn)到直線距離為1，則的值為_______；圓的半徑取值可能為_______（請寫出一個可能的半徑取值）．【答案】（滿足即可，答案不唯一）【解析】根據(jù)題意，與直線的距離為1的點(diǎn)都在直線和上，又圓過原點(diǎn)且原點(diǎn)到直線直線的距離為1，則在直線上，且與相切，所以，又因?yàn)閳A與無交點(diǎn)，所以，如圖.故答案為：；（滿足即可，答案不唯一）四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且．（1）求角；（2）若的面積為，為的中點(diǎn)，求長度的最小值．解：（1）在中，由及正弦定理得，則，而，則，又，所以.（2）依題意，，由（1）知，得，在中，由余弦定理得，當(dāng)時(shí)取到等號，所以的最小值為.16.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形，．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：不妨設(shè)正方形邊長為2，則，由，得，再由，，平面??，得平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）解：取中點(diǎn)，連結(jié)，則，由（1）可知，平面平面ABCD，平面平面，所以平面，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，設(shè)平面的法向量為，則取，記與平面所成角為，則．17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）的定義域?yàn)?，，令，解得，由，解得，所以函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．（2）記，，因?yàn)?，所以，得，令，解得或，?dāng)時(shí)，，在上恒成立，因此，在上單調(diào)遞減，得，即對任意恒成立．當(dāng)時(shí)，對任意，，因