《微積分》各習(xí)題及詳細(xì)答案

《微積分》各習(xí)題及詳細(xì)答案一、極限與連續(xù)1.求極限：$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$答案：1解析：根據(jù)極限的定義，當(dāng)$x$趨近于0時(shí)，$\sinx$也趨近于0。但是，$\frac{\sinx}{x}$并不等于0，而是等于1。這是因?yàn)樵?x$趨近于0的過程中，$\sinx$與$x$的比值趨近于1。因此，$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$。2.判斷函數(shù)$f(x)=\frac{x^21}{x1}$在$x=1$處的連續(xù)性。答案：不連續(xù)解析：當(dāng)$x$趨近于1時(shí)，分子$x^21$趨近于0，分母$x1$也趨近于0。但是，由于分母為0，導(dǎo)致函數(shù)在$x=1$處無定義。因此，函數(shù)$f(x)=\frac{x^21}{x1}$在$x=1$處不連續(xù)。二、導(dǎo)數(shù)與微分1.求函數(shù)$f(x)=x^33x^2+2x$的導(dǎo)數(shù)。答案：$f'(x)=3x^26x+2$解析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，對函數(shù)$f(x)$求導(dǎo)，得到導(dǎo)數(shù)$f'(x)$。具體計(jì)算過程如下：$$f'(x)=\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x+\Deltax)f(x)}{\Deltax}$$將$f(x)=x^33x^2+2x$代入上式，得到：$$f'(x)=\lim_{\Deltax\to0}\frac{(x+\Deltax)^33(x+\Deltax)^2+2(x+\Deltax)(x^33x^2+2x)}{\Deltax}$$經(jīng)過化簡，得到$f'(x)=3x^26x+2$。2.求函數(shù)$f(x)=e^x$在$x=0$處的微分。答案：$df(x)=e^xdx$解析：根據(jù)微分的定義，對函數(shù)$f(x)$求微分，得到微分$df(x)$。具體計(jì)算過程如下：$$df(x)=f'(x)dx$$將$f(x)=e^x$代入上式，得到：$$df(x)=e^xdx$$因此，函數(shù)$f(x)=e^x$在$x=0$處的微分為$df(x)=e^xdx$。三、不定積分1.求不定積分：$\int(x^23x+2)dx$答案：$\frac{1}{3}x^3\frac{3}{2}x^2+2x+C$解析：根據(jù)不定積分的定義，對函數(shù)$x^23x+2$求不定積分，得到原函數(shù)。具體計(jì)算過程如下：$$\int(x^23x+2)dx=\frac{1}{3}x^3\frac{3}{2}x^2+2x+C$$其中，$C$為積分常數(shù)，表示所有原函數(shù)的集合。2.求不定積分：$\inte^xdx$答案：$e^x+C$解析：根據(jù)不定積分的定義，對函數(shù)$e^x$求不定積分，得到原函數(shù)。具體計(jì)算過程如下：$$\inte^xdx=e^x+C$$其中，$C$為積分常數(shù)，表示所有原函數(shù)的集合。四、定積分1.求定積分：$\int_{0}^{1}(x^23x+2)dx$答案：$\frac{1}{6}$解析：根據(jù)定積分的定義，對函數(shù)$x^23x+2$在區(qū)間$[0,1]$上求定積分，得到積分值。具體計(jì)算過程如下：$$\int_{0}^{1}(x^23x+2)dx=\left[\frac{1}{3}x^3\frac{3}{2}x^2+2x\right]_{0}^{1}$$將$x=1$和$x=0$代入上式，得到：$$\int_{0}^{1}(x^23x+2)dx=\left(\frac{1}{3}\frac{3}{2}+2\right)\left(00+0\right)=\frac{1}{6}$$2.求定積分：$\int_{0}^{\pi}\sinxdx$答案：2解析：根據(jù)定積分的定義，對函數(shù)$\sinx$在區(qū)間$[0,\pi]$上求定積分，得到積分值。具體計(jì)算過程如下：$$\int_{0}^{\pi}\sinxdx=\left[\cosx\right]_{0}^{\pi}$$將$x=\pi$和$x=0$代入上式，得到：$$\int_{0}^{\pi}\sinxdx=\cos(\pi)(\cos(0))=2$$五、級數(shù)1.判斷級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$的斂散性。答案：收斂解析：根據(jù)級數(shù)收斂的定義，對于級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$，當(dāng)$n$趨向于無窮大時(shí)，$\frac{1}{n^2}$趨向于0。因此，級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$收斂。2.求級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$的和。答案：發(fā)散解析：根據(jù)級數(shù)發(fā)散的定義，對于級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$，當(dāng)$n$趨向于無窮大時(shí)，$\frac{1}{n}$趨向于0，但是級數(shù)的和趨向于無窮大。因此，級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$發(fā)散。六、多變量函數(shù)1.求函數(shù)$z=x^2+y^2$在點(diǎn)$(1,1)$處的偏導(dǎo)數(shù)。答案：$\frac{\partialz}{\partialx}=2x,\frac{\partialz}{\partialy}=2y$解析：偏導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在某一點(diǎn)處沿某一方向的變化率。對于函數(shù)$z=x^2+y^2$，求偏導(dǎo)數(shù)的過程如下：對$x$求偏導(dǎo)：將$y$視為常數(shù)，得到$\frac{\partialz}{\partialx}=2x$。對$y$求偏導(dǎo)：將$x$視為常數(shù)，得到$\frac{\partialz}{\partialy}=2y$。在點(diǎn)$(1,1)$處，代入上述偏導(dǎo)數(shù)公式，得到：$\frac{\partialz}{\partialx}=2\times1=2$$\frac{\partialz}{\partialy}=2\times1=2$2.求函數(shù)$z=\ln(x^2+y^2)$的全微分。答案：$dz=\frac{2x}{x^2+y^2}dx+\frac{2y}{x^2+y^2}dy$解析：全微分表示函數(shù)在一點(diǎn)處的微小變化量。對于函數(shù)$z=\ln(x^2+y^2)$，求全微分的過程如下：求偏導(dǎo)數(shù)：$\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{2x}{x^2+y^2}$和$\frac{\partialz}{\partialy}=\frac{2y}{x^2+y^2}$。然后根據(jù)全微分的定義，得到$dz=\frac{\partialz}{\partialx}dx+\frac{\partialz}{\partialy}dy$。七、向量分析1.求向量$\vec{A}=2\vec{i}+3\vec{j}+4\vec{k}$和$\vec{B}=5\vec{i}\vec{j}+6\vec{k}$的點(diǎn)積。答案：$\vec{A}\cdot\vec{B}=23$解析：點(diǎn)積表示兩個(gè)向量在某一方向上的投影的乘積。對于向量$\vec{A}$和$\vec{B}$，求點(diǎn)積的過程如下：$\vec{A}\cdot\vec{B}=(2\vec{i}+3\vec{j}+4\vec{k})\cdot(5\vec{i}\vec{j}+6\vec{k})$展開并計(jì)算，得到$\vec{A}\cdot\vec{B}=23$。2.求向量$\vec{A}=2\vec{i}+3\vec{j}+4\vec{k}$和$\vec{B}=5\vec{i}\vec{j}+6\vec{k}$的叉積。答案：$\vec{A}\times\vec{B}=3\vec{i}14\vec{j}+13\vec{k}$解析：叉積表示兩個(gè)向量在垂直于它們的平面上形成的向量的長度。對于向量$\vec{A}$和$\vec{B}$，求叉積的過程如下：$\vec{A}\times\vec{B}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&3&4\\5&1&6\end{vmatrix}$展開并計(jì)算，得到$\vec{A}\times\vec{B}=3\vec{i}14\vec{j}+13\vec{k}$。八、常微分方程1.求微分方程$y'=2y$的通解。答案：$y=Ce^{2x}$解析：這是一個(gè)一階線性微分方程。求解過程如下：將方程改寫為$y'2y=0$。求解特征方程$r2=0$，得到$r=2$。因此