《高中數(shù)學(xué)選擇性必修三》一輪復(fù)習(xí)考點講解與訓(xùn)練

《高中數(shù)學(xué)選擇性必修三》一輪復(fù)習(xí)考點講解與訓(xùn)練

<6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理》考點講解

【思維導(dǎo)圖】

完成一件事有n類不同的方案，在第1類方案中有叫種不同的方法，

定義在第2類方案中有此種不同的方法，…，在第n類方案中有％種不同

—的方法，則完成這件事共有N=nn+iL2+…+m”種不同的方法

分

類

加

法

解題思路求出每一類的

方法效

將每一類的方去

敕相加得出站果

完成一件事需要n個步驟，做第1步有叫種不同的方法，做第2步有叱

定義一種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，則完成這件事共有

分

N=miXmzX…Xmn種不同的方法.

類

乘①分步：將完成這件事的過程分成若干步:

法

解題思路②計數(shù)：求出每一步中的方法數(shù);

③結(jié)論：將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果

區(qū)分類加法計數(shù)原理份步乘法計數(shù)原理

相同點如來計算完成一件事的方法種類

別

與不同點分類完成，類類相加份步完成,步步相乘

聯(lián)肉類方案中的每二種方法每步依次完成才算亮成這件事（每步

系都能獨立完成這件事中的一種方法不能獨立完成這件事）

注意點限類獨立，不重東I停步相依，步修完整

【常見考點】

考點一分類加法計數(shù)原理）

計數(shù)原理考點二分布乘法計數(shù)原理）

考點三兩個計數(shù)原理綜合運Q

考點一分類加法計數(shù)原理

【例1】從集合｛1,2,3,4,.??,15｝中任意選擇三個不同的數(shù)，使得這三個數(shù)組成等差數(shù)列，

這樣的等差數(shù)列有（）個

A.98B.56C.34D.49

【一隅三反】

1.完成一項工作，有兩種方法，有5個人只會用第一種方法，另外有4個人只會第二種方

法，從這9個人中選1個人完成這項工作，則不同的選法共有（）

A.5種B.4種C.9種D.45種

2.李明自主創(chuàng)業(yè)種植有機蔬菜，并且為甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服務(wù)，甲、乙、

丙、丁四家超市分別需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次.已知5月1日李明分別

去了這四家超市配送，那么整個S月他不用去配送的天數(shù)是（）

A.12B.13C.14D.15

3.將編號1,2,3,4的小球放入編號為1,2,3的盒子中，要求不允許有空盒子，且球

與盒子的號不能相同，則不同的放球方法有（）

A.16種B.12種C.9種D.6種

考點二分步乘法計數(shù)原理

【例2】某校在舉辦文藝匯演，原節(jié)目單上有10個節(jié)目已經(jīng)排好順序，又有3個新節(jié)目需

要加進去，不改變原來節(jié)目的順序，則新節(jié)目單的排法有（）種

A.165B.286C.990D.1716

【一隅三反】

1.如圖，用五種不同的顏色分別給A,B,C,D四個區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂不同顏

色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法共有多少種（）

A.280B.180C.96D.60

2.7名旅客分別從3個不同的景區(qū)中選擇一處游覽，不同選法種數(shù)是（）

A.73B.37C.A。D.C；

3.從集合｛0,1,2,3,4｝中任取兩個互不相等的數(shù)a,b組成復(fù)數(shù)。十方，其中虛數(shù)有

（）

A.10個B.12個C.16個D.20個

4.現(xiàn)有6種不同的顏色，給圖中的6個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方

法共有（）

A.720種B.1440種C.2880種D.4320種

考點三兩個計數(shù)原理綜合運用

【例3】某校高中部，高一有6個班，高二有7個班，高三有8個班，學(xué)校利用星期六組

織學(xué)生到某廠進行衿會實踐活動.選2個班參加社會實踐.要求這2個班不同年級，有

種不同的選法.

【一隅三反】

1.如圖，圓形花壇分為4部分，現(xiàn)在這4部分種植花卉，要求每部分種植1種，且相鄰部

分不能種植同一種花卉，現(xiàn)有5種不同的花卉供選擇，則不同的種植方案共有_____種

（用數(shù)字作答）

2.假設(shè)今天是4月23日，某市未來六天的空氣質(zhì)量預(yù)報情況如下圖所示.該市有甲、乙、

丙三人計劃在未來六天（4月24日?4月29日）內(nèi)選擇一天出游，甲只選擇空氣質(zhì)量為優(yōu)

的一天出游，乙不選擇周一出游，丙不選擇明天出游，且甲與乙不選擇同一天出游，則這

三人出游的不同方法數(shù)為.

未來空氣質(zhì)量瓊報

娜后天周日距

4月2404月25日4月26日4月27日4月28日4月29日

優(yōu)優(yōu)優(yōu)優(yōu)良良

3.某學(xué)校需要把包含甲，乙，丙在內(nèi)的6名教育專家安排到高一，高二，高三三個年級去

聽課，每個年級安排2名專家,已知甲必須安排到高一年級，乙和丙不能安排到同一年

級，則安排方案的種數(shù)有（）

A.24種B.36種C.48種D.72種

答案解析

考點一分類加法計數(shù)原理

【例1】從集合｛1,2,3,4,…,15｝中任意選擇三個不同的數(shù)，使得這三個數(shù)組成等差數(shù)列，

這樣的等差數(shù)列有（）個

A.98B.56C.弘D.49

【答案】A

【解析】當(dāng)公差為1時，數(shù)列可以是：1,2,3,2,3,4,3,4,5,……13,14,15,共13種情

況.

當(dāng)公差為2時，數(shù)列可以是：1,3,5,2,4,6,3,5,7,……11,13,15,共11種情況.

當(dāng)公差為3時，數(shù)列可以是：1,4,7,2,5,8,3,6,9,……9,12,15,共9種情況.

當(dāng)公差為4時，數(shù)列可以是：1,5,9,2,6,10,3,7,11,……7,11,15,共7種情況.

當(dāng)公差為5時，數(shù)列可以是：1,6,11,2,7,12,3,8,13,4,9,14,5,10,15,共5種情

況.

當(dāng)公差為6時，數(shù)列可以是：1,7,13,2,8,14,3,9,15,共3種情況.

當(dāng)公差為7時，數(shù)列可以是：1,8,15,共1種情況.

總的情況是13+11+9+7+5+3+1=49.

又因為三個數(shù)成公差數(shù)列有兩種情況，遞增或遞減,

所以這樣的等差數(shù)列共有98個.

故選：A

【解題思路】

I分類計數(shù)原理解題思路

I1.根據(jù)題目特點恰當(dāng)選擇一個分類標準.

|2.分類時應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類

|的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù).

|3.分類時除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺

—————————————————————————————————————

【一隅三反】

1.完成一項工作，有兩種方法，有5個人只會用第一種方法，另外有4個人只會第二種方

法，從這9個人中選1個人完成這項工作，則不同的選法共有（）

A.5種B.4種C.9種I）.45種

【答案】C

【解析】會用第一種方法的有5個人，選1個人完成這項工作有5種選擇；

會用第二種方法的有4個人，選1個人完成這項工作有4種選擇；兩者相加一共有9種選

擇，

故選：C.

2.李明自主創(chuàng)業(yè)種植有機蔬菜，并且為甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服務(wù)，甲、乙、

丙、丁四家超市分別需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次.已知5月1日李明分別

去了這四家超市配送，那么整個5月他不用去配送的天數(shù)是（）

A.12B.13

C.14D.15

【答案】B

【解析】將5月剩余的30天依次編號為1,2,3---30,

因為甲、乙、丙、丁四家超市分別需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次，且5月1

日李明分別去了這四家超市配送，

所以李明每逢編號為3的倍數(shù)的那天要去甲超市配送，每逢編號為4的倍數(shù)的那天要去乙

超市配送，每逢編號為6的倍數(shù)的那天要去丙超市配送，每逢編號為7的倍數(shù)的那天要去

丁超市配送，

則李明去甲超市的天數(shù)編號為：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30,共10天；

李明去乙超市但不去甲超市的天數(shù)編號為：4、8、16、20、28,共5天；

李明去丙超市但不去甲、乙超市的天數(shù)編號不存在，共0天；

李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天數(shù)編號為：7、14,共2天：

所以李明需要配送的天數(shù)為10+5+0+2=17,

所以整個5月李明不用去配送的天數(shù)是30—17=13.

故選：B.

3.將編號1,2,3,4的小球放入編號為1,2,3的盒子中，要求不允許有空盒子，且球

與盒子的號不能相同，則不同的放球方法有（）

A.16種B.12種C.9種【）.6種

【答案】B

【解析】由題意可知，這四個小球有兩個小球放在一個盒子中，當(dāng)四個小球分組為如下情

況時，放球方法有：

當(dāng)1與2號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；

當(dāng)1與3號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；

當(dāng)1與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法：

當(dāng)2與3號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；

當(dāng)2與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；

當(dāng)3與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；

因此，不同的放球方法有12種，故選B.

考點二分步乘法計數(shù)原理

【例2】某校舉辦文藝匯演，原節(jié)目單上有10個節(jié)目已經(jīng)排好順序，又有3個新節(jié)目需要

加進去，不改變原來節(jié)目的順序，則新力目單的排法有（）種

A.165B.286C.990D.1716

【答窠】D

【解析】第一步：10個節(jié)目空出11個位置，加入1個新來的節(jié)目，所以加入一個新節(jié)目

有11種方法，

第二步：從排好的11個節(jié)目空出的12個位置中，加入第2個新節(jié)目，有12種方法，

第三步：從排好的12個節(jié)目空出的13個位置中，加入第3個新節(jié)目，有13種方法，

所以由分步乘法計數(shù)原理得，加入3個新節(jié)目后的節(jié)FI單的排法有11x12x13=1716

（種）.

故選：D

【方法總結(jié)】

(1)利用分步計數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序

的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成

了，才算完成這件事.

【一隅三反】

1.如圖，用五種不同的顏色分別給A,B,C,D四個區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂不同顏

色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法共有多少種()

C.96D.60

【解析】按區(qū)域分四步：第1步，A區(qū)域有5種顏色可選；

第2步，B區(qū)域有4種顏色可選；

第3步，C區(qū)域有3種顏色可選；

第4步，D區(qū)域也有3種顏色可選.

由分步乘法計數(shù)原理，共有5X4X3X3=180種不同的涂色方案.

選選:B.

2.7名旅客分別從3個不同的景區(qū)中選擇一處游覽，不同選法種數(shù)是()

A.73B.37C.A；D.C；

【答案】B

【解析】由題意，每名旅客可選擇方案有3種，

因此7名旅客分別從3個不同的景區(qū)中選擇一處游覽，不同選法種數(shù)是3’.故選：B.

3.從集合｛0,1,2,3,4｝中任取兩個互不相等的數(shù)a,b組成復(fù)數(shù)。+次，其中虛數(shù)有

()

A.10個B.12個C.16個D.20個

【答案】C

【解析】Va,b互不相等且為虛數(shù)，，所有b只能從｛L2,3,4｝中選一個有4種，

a從剩余的4個選一個有4種，.?.根據(jù)分步計數(shù)原理知虛數(shù)有4X4=16（個）.

故選：C.

4.現(xiàn)有6種不同的顏色，給圖中的6個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方

法共有（）

A.720種B.1440種C.2880種D.4320種

【答案】D

【解析】根據(jù)題意分步完成任務(wù)：

第一步：完成3號區(qū)域：從6種顏色中選1種涂色，有6種不同方法；

第二步：完成1號區(qū)域：從除去3號區(qū)域的1種顏色后剩下的5種顏色中選1種涂色，有

5種不同方法；

第三步：完成4號區(qū)域：從除去3、1號區(qū)域的2種顏色后剩下的4種顏色中選1種涂色,

有4種不同方法；

第四步：完成2號區(qū)域：從除去3、1、4號區(qū)域的3種顏色后剩下的3種顏色中選1種涂

色，有3種不同方法；

第五步：完成5號區(qū)域：從除去1、2號區(qū)域的2種顏色后剩下的4種顏色中選1種涂色,

有4種不同方法；

第六步：完成6號區(qū)域：從除去］、2、5號區(qū)域的3種顏色后剩下的3種顏色中選1種涂

色，有3種不同方法；

所以不同的涂色方法：6x5x4x3x4x3=4320種.

故選：D.

考點三兩個計數(shù)原理綜合運用

【例3】某校高中部，高一有6個班，高二有7個班，高三有8個班，學(xué)校利用星期六組

織學(xué)生到某廠進行社會實踐活動.選2個班參加社會實踐，要求這2個班不同年級，有

_______種不同的選法.

【答案】146

【解析】選2個班參加社會實踐，這2個班不同年級，

2個班為高一和高二各一個班有6x7=42,

2個班為高二和高三各一個班有7x8=56,

2個班為高三和高一各一個班有8x6=48,

所以不同的選法共有42+56+48=146.

故答案為：146.

「【方法總結(jié)】

I兩種計數(shù)原理選擇思路

I①分清要完成的事情是什么；

|②分清完成該事情是分類完成還是分步完成，“類”間互相獨立，“步”間互相聯(lián)系;

|③有無特殊條件的限制；

!④檢驗是否有重復(fù)或遺漏.

【一隅三反】

1.如圖，圓形花壇分為4部分，現(xiàn)在這4部分種植花卉，要求每部分種植1種，且相鄰部

分不能種植同一種花卉，現(xiàn)有5種不同的花卉供選擇，則不同的種植方案共有______種

(用數(shù)字作答)

【答案】260

【解析】根據(jù)題意：當(dāng)1,3相同時，2,4相同或不同兩類，有：

5x4x1x(1+3)=80種，

當(dāng)1,3不相同時，2,4相同或不同兩類，有：5x4x3x(1+2)=180種，

所以不同的種植方案共有80+180=260

故答案為：260

2.假設(shè)今天是4月23日，某市未來六天的空氣質(zhì)量預(yù)報情況如下圖所示.該市有甲、乙、

丙三人計劃在未來六天（4月24日?4月29日）內(nèi)選擇一天出游，甲只選擇空氣質(zhì)量為優(yōu)

的一天出游，乙不選擇周一出游，丙不選擇明天出游，且甲與乙不選擇同一天出游，則這

三人出游的不同方法數(shù)為.

未來空氣質(zhì)量18報

娜后天周日距尾

4月24日4月25日4月26日4月27日4月28日4月29日

優(yōu)優(yōu)優(yōu)優(yōu)良良

【答案】85

【解析】若甲選擇周一出游，則三人出游的不同方法數(shù)乂=5x5=25；若甲不選擇周一

出游，則三人出游的不同方法數(shù)N2=3x4x5=60.故這三人出游的不同方法數(shù)

N=M+M=85.

故答案為：85

3.某學(xué)校需要把包含甲，乙，丙在內(nèi)的6名教育專家安排到高一，高二，高三三個年級去

聽課，每個年級安排2名專家，已知甲必須安排到高一年級，乙和丙不能安排到同一年

級，則安排方案的種數(shù)有（）

A.24種B.36種C.48種D.72種

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，分2種情況討論：

①甲和乙丙中1人在高一，

此時高一的安排方法有C；種，高二的選法有C：種，則此時有C；xC：=12種安排分法，

②甲和其他三人中的1人在高一，

則乙丙三人分別在高二、高三，有2種情況，將其他三人全排列，安排到三個年級，有

用=6種安排方法，

則此時有2x6=12種安排方法；

故有12+12=24種安排方法；

安排方案的種數(shù)有12+24=36

故選:B.

6.2.1排列及排列數(shù)》考點講解

【思維導(dǎo)圖】

一般地，從n個不同元素中取出mGnWn）個元素，按照一定的順序排

【常見考點】

考點一排列的概念

［例1］下列問題是排列問題的是（）

A.從10名同學(xué)中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法？

B.10個人互相通信一次，共寫了多少封信？

C.平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？

D.從1,2,3,4四個數(shù)字中，任選兩個相加，其結(jié)果共有多少種？

（2）從3個不同的數(shù)字中取出2個：①相加；②相減；③相乘；④狗除；⑤一個為被開方

數(shù)，一個為根指數(shù).則上述問題為排列問題的個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【一隅三反】

1.判斷下列問題是否為排列問題.

（1）會場有50個座位，要求選出3個座位有多少種方法？若選出3個座位安排三位客人，

又有多少種方法？

（2）從集合M={1,2,…，9}中，任取兩個元素作為a,b,可以得到多少個焦點在x軸上的

x2V2x2v2

橢圓方程二+￡=1?可以得到多少個焦點在x軸上的雙曲線方程-7一記=1?

abab

（3）從1,3,5,7,9中任取3個數(shù)字，有多少種方法？若這3個數(shù)字組成沒有重復(fù)的三位數(shù)，

又有多少種方法？

2.下列問題是排列問題的是（）

A.從8名同學(xué)中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法？

B.10個人互相通信一次，共寫了多少封信？

C.平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？

D.從1,2,3,4四個數(shù)字中，任選兩個相乘，其結(jié)果共有多少種？

考點二排列數(shù)

【例2】(1)若6=20,則用二()

A.5B.6C.7D.8

⑵若其=2耳，則m的值為()

A.5B.3C.6D.7

(3)不等式43-〃<7的解集為()

A.{?|-l<n<5}B.{1,2,3,4}C.{3,4}D.{4}

[?隅三反】

1.對于滿足〃之13的正整數(shù)n,5-5)(〃-6)…(九-12)=()

A7B.<5川2

A.4-12C.<5D.g-5

已知3&7=44-2,貝

2.)

A.5B.7C.10D.14

3.給出下列四個關(guān)系式:

①〃!=鬻②-的*t_(n-1)!

③-E

1-1(w-n)!

其中正確的個數(shù)為()

A.1個B.2個3個D.4個

4.(1)解不等式A；VGA；"；(9)證明：-

考點三排隊問題

【例3】有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù).

(1)選5人排成一排；

(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；

(3)全體排成一排，女生必須站在一起；

(4)全體排成一排，男生互不相鄰；

(5)全體排成一排，其中甲不站最左邊，也不站最右邊；

（6）全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊.

【?隅三反】

1.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)和一名老師站成一排合影留念.若老師站在正中間，則不同站

法的種數(shù)有（）

A.12種B.18種C.24種D.60種

2.參加完某項活動的6名成員合影留念，前排和后排各3人，不同神法的種數(shù)為（）

A.360B.720C.2160D.4320

3.某單位有8個連在一起的車位，現(xiàn)有4輛不同型號的車需要停放，如果要求剩余的4個

車位中恰好有3個連在一起，則不同的停放方法的種數(shù)為（）

A.240B.360C.480D.720

考點四數(shù)字問題

【例4】現(xiàn)有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十個數(shù)字.

（1）可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

（2）組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，315是從小到大排列的第幾個數(shù)？

（3）可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？

【一隅三反】

1.由0,1,2,3,4,5共6個不同數(shù)字組成的6位數(shù)，要求0不能在個位數(shù)，奇數(shù)恰好

有2個相鄰，則組成這樣不同的6位數(shù)的個數(shù)是（）

A.144B.216C.288D.432

2.用數(shù)字。，1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40U0U大的偶數(shù)共有

A.144個B.120個C.96個D.72個

3.用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).

（1）可組成多少個不同的四位數(shù)？

（2）可組成多少個不同的四位偶數(shù)？

答案解析

考點一排列的概念

【例1】（1）下列問題是排列問題的是（）

A.從10名同學(xué)中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法？

B.10個人互相通信一次，共寫了多少封信？

C.平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？

D.從1,2,3,4四個數(shù)字中，任選兩個相加，其結(jié)果共有多少種？

(2)從3個不同的數(shù)字中取出2個：①相加；②相減；③相乘；④相除；⑤一個為被開方

數(shù)，一個為根指數(shù).則上述問題為排列問題的個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】(1)B(2)B

【解析】(1)排列問題是與順序有關(guān)的問題，四個選項中只有B中的問題是與順序相關(guān)

的，其他問題都與順序無關(guān)，所以選B.

(2)排列與順序有關(guān)，故②④⑤是排列.

【一隅三反】

1.判斷下列問題是否為排列問題.

(D會場有50個座位，要求選出3個座位有多少種方法？若選出3個座位安排三位客人，

又有多少種方法？

(2)從集合M={1,2,…，9}中，任取兩個元素作為a,b,可以得到多少個焦點在x軸上的

橢圓方程5+1=1?可以得到多少個焦點在x軸上的雙曲線方程與一^=1?

abab

(3)從1,3,5,7,9中任取3個數(shù)字，有多少種方法？若這3個數(shù)字組成沒有重復(fù)的三位數(shù)，

又有多少種方法？

【答案】見解析

【解析】(1)第一問不是排列問題，第二問是排列問題.“入座”問題同“排隊”問題與順

序有關(guān)，故選3個座位安排三位客人是排列問題.

⑵第一間不是排列問題，第二問是排列問題.若方程與+卷=1表示焦點在x軸上的橢

ab

22

Xy

圓，則必有a>b,a,b的大小關(guān)系一定；在雙曲線F—寸=1中，不管a>b還是a〈b,方程

ab

22

均表示焦點在X軸上的雙曲線，且是不同的雙曲線，故是排列問題.

(3)第一問不是排列問題，第二問是排列問題.從5個數(shù)中取3個數(shù)，與順序無關(guān)；若這3

個數(shù)組成不同的三位數(shù)，則與順序有關(guān).

2.下列問題是排列問題的是()

A.從8名同學(xué)中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法？

B.10個人互相通信一次，共寫了多少封信？

C.平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？

D.從1,2,3,4四個數(shù)字中，任選兩個相乘，其結(jié)果共有多少種？

【答案】B

【解析】排列問題是與順序有關(guān)的問題，四個選項中只有B中的問題是與順序有關(guān)的，

其他問題都與順序無關(guān).故選B.

考點二排列數(shù)

【例2】(1)若片=20,則加二()

A.5B.6C.7I),8

(2)若4=2耳，則m的值為()

A.5B.3C.6【).7

(3)不等式-“<7的解集為()

A.{n|-l<n<5}B.{1,2,3,4)

C.{3,4}D.{4}

【答案】(1)A(2)A(2)C

【解析】(1)A；=機(加-1)=20,化解得“2一機一20=0解得：m=T(舍)或m=5故

選：A

(2)根據(jù)題意，若A：=2A：,則有m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)=2Xm(m-1)(m

-2),

即(m-3)(m-4)=2,解可得：廿5故答案為A

(3)由A；［-〃<7,得：(〃一<7,整理得〃2—4〃—5V0，解得：

-1<〃<5,

由題可知，〃一1N2且〃EN"則〃=3或〃=4,即原不等式的解集為：{3,4}.故選：

C.

|【方法總結(jié)】

要注意中隱含了3個條件：①加，〃wN*；②加工〃：③成”的運算結(jié)果為正整

：2.形A：=〃A：［；陷;=A：：；-A：〃㈤=(〃+1)!-〃！+小丁=%

I______________________________________________________

【一隅三反】

1.對于滿足"N13的正整數(shù)n,(〃-5)5—6)…(〃-12)=()

A.<12B.心C.&D.心

【答案】C

【解析】根據(jù)排列數(shù)定義，要確定元素總數(shù)和選取個數(shù)，元素總數(shù)為幾-5,

選取個數(shù)為(〃-5)—(〃-12)+1=8,(〃一5)(〃一6)…(〃-12)=4±5?故選：C.

2.已知34*7=44"，則〃=()

A.5B.7C.10D.14

【答案】B

【解析】34"=4A；-2,可得3x8x7x…x(8-〃+2)=4x9x8x7x…x(9-〃+3),

即3(11-〃)(10-〃)=36,解得九=7.故選:B.

3.給出下列四個關(guān)系式：

①〃!=吟?、?的③父=/、④婚=盧與

其中正確的個數(shù)為()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】①因為(〃+1)!=(〃+1)力?(〃-1卜?2」,〃!=小(〃-1)(〃一2戶?24，故正確.

川1)!

一故正確.

②4'(72-/W)!*3

加

③篌=正確.

④因為4'=廠'二，所以熠與,故不正確.

[n-tn)\{n-m)!

故選：C

4.(1)解不等式A；<6A；2；(9)證明：AK—A；=〃?A：i.

【答案】⑴x=8；(2)詳見解析.

、8!/8!

【解析】（1）由A；<6A>，得向二可<6乂麗f，

化簡得/一19升84<0,解之得7<x<12,①

8>X….

又〈八八，.,.2<x?8,②由①②及xeN得尸8.

x-2>0

(2

5+1)!n!n!n\m

1，--------------------=m—--------=〃冏一

(zz+1-ZM)!(H-ZM)!(n-/7i)!/z+1-m

,...A3—A；=mA；l

考點三排隊問題

【例3】有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù).

⑴選5人排成一排;

（2）排成前后兩排,前排3人,后排4人;

（3）全體排成一排,女生必須站在一起;

（4）全體排成一排,男生互不相鄰;

（5）全體排成一排,其中甲不站最左邊，也不站最右邊;

（6）全體排成一排,其中甲不站最左邊，乙不站最右邊.

【答案】(1)2520；(2)5040；⑶576；(4)1440；(5)3600；(6)3720.

【解析】（D從7人中選5人排列，共有片=7x6x5x4x3=2520（種）.

（2）分兩步完成，先選3人站前排，有用種方法，余下4人站后排，有A：種方法，按照

分步乘法計數(shù)原理計算可得一共有禺-A：=7x6x5x4x3x2xl=5040（種）.

（3）捆綁法，將女生看成一個整體，進行全排列，有號種，再與3名男生進行全排列有

A：種,共有A：x^=576（種）.

（4）插空法，先排女生，再在空位中插入男生，故有A：X6=I*O（種）?

（5）先排甲，有5種方法，其余6人有4種排列方法，共有5x￡=3600（種）.

（6）7名學(xué)生全排列，有A；種方法，其中甲在最左邊時，有反種方法，乙在最右邊

時，有A：種方法，其中都包含了甲在最左邊且乙在最右邊的情形，有4種方法，故共有

%-2X&+6=3720（種）.

【一隅三反】

1.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)和一名老師站成一排合影留念.若老師站在正中間，則不同站

法的種數(shù)有（）

A.12種B.18種C.24種D.60種

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，若老師站在正中間，則站法只有1種，將甲、乙、丙、丁全排列，安

排在兩邊4個位置，有=24種情況，由分步乘法計數(shù)原理知共有1x24=24種，故選：

C.

2.參加完某項活動的6名成員合影留念，前排和后排各3人，不同抹法的種數(shù)為（）

A.360B.720C.2160D.4320

【答案】B

【解析】分兩步完成：

第一步：從6人中選3人排前排：&二120種不同排法；

第二步：剩下的3人排后排：8=6種不同排法，

再按照分步乘法計數(shù)原理：120x6=720種不同排法，

故選：B.

3.某單位有8個連在一起的車位，現(xiàn)有4輛不同型號的車需要停放，如果要求剩余的4個

車位中恰好有3個連在一起，則不同的停放方法的種數(shù)為（）

A.240B.360C.480D.720

【答案】C

【解析】解法一：給8個車位編號：1,2,3,4,5,6,7,8,

當(dāng)1,2,3號車位停放3輛車時，有4x4：種停放方法；

當(dāng)2,3,4號車位停放3輛車時，有3x4：種停放方法；

當(dāng)3,4,5號車位停放3輛車時，有3xA：種停放方法；

當(dāng)4,5,6號車位停放3輛車時，有3xA：種停放方法；

當(dāng)5,6,7號車位停放3輛車時，有3xA：種停放方法；

當(dāng)6,7,8號車位停放3輛車時，有4xA：種停放方法；

所以不同的停放方法的種數(shù)為

4A：+3A：+3A：+3A：+3A；+4M=20A：=20x24=480種.

解法二：先定四個車位，其中三個車位連在一起捆綁，

三個車位和另一個被四個空車位間隔開，四個空車位就1種排法，

造成5個空格，排入三個捆綁車位和一個車位有&=20種方法，

再把4輛車停入四個車位有A；=24種方法，

根據(jù)乘法原理共有20x24=480種停車方法.

故選：C.

考點四數(shù)字問題

【例4】現(xiàn)有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十個數(shù)字.

（1）可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

（2）組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，315是從小到大排列的第幾個數(shù)？

（3）可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？

【答案】（1）648；（2）156；（3）2296；

【解析】（1）由題意，無重復(fù)的三位數(shù)共有4尺=9x72=648個；

（2）當(dāng)百位為1時，共有尺=9x8=72個數(shù)；

當(dāng)百位為2時，共有蜀=9x8=72個數(shù)：

當(dāng)百位為3時，共有A+A：=12個數(shù)，

所以315是第72+72+12=156個數(shù)；

（3）無重復(fù)的四位偶數(shù)，所以個位必須為0,2,4,6,8,千位上不能為0,

當(dāng)個位上為0時，共有國=504個數(shù)；

當(dāng)個位上是2,4,6,8中的一個時，共有A64=1792個數(shù)，

所以無重堂的四位偶數(shù)共有504+1792=2296個數(shù);

【一隅三反】

1.由0,1,2,3,4,5共6個K同數(shù)字組成的6位數(shù)，要求0不能在個位數(shù)，奇數(shù)恰好

有2個相鄰，則組成這樣不同的6位數(shù)的個數(shù)是()

A.144B.216C.288D.432

【答案】B

【解析】先從3個奇數(shù)中選出2個捆綁內(nèi)部全排共有&=6種排法，

再把捆綁的2個奇數(shù)看成一個整體，

因為這個整體與剩下的一個奇數(shù)不相鄰，將2個非0偶數(shù)全排有=2種選法，

奇數(shù)插空全排有&=6種選法，

最后把0插空，0不能在兩端，有3種排法，

可組成這樣不同的6位的個數(shù)為6x2x6x3=216種排法，

故選：B

2.用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有

A.144個B.120個C.96個D.72個

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，符合條件的五位數(shù)首位數(shù)字必須是4、5其中1個，末位數(shù)字為0、

2、4中其中1個；

分兩種情況討論：

①首位數(shù)字為5時，末位數(shù)字有3種情況，在剩余的4個數(shù)中任取3個，放在剩余的3個

位置上，有心=24種情況,此時有3X24=72個，

②首位數(shù)字為4時，木位數(shù)字有2種情況，在剩余的4個數(shù)中任取3個，放在剩余的3個

位置上，有A；=24種情況，此時有2X24=48個，

共有72+48=120個.

故選B

3.用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).

(1)可組成多少個不同的四位數(shù)？

(2)可組成多少個不同的四位偶數(shù)？

【答案】(1)300；(2)156.

【解析】(1)根據(jù)題意分步完成任務(wù)：

第一步：排千位數(shù)字，從1,2,3,4,5這5個數(shù)字中選1個來排，有4=5種不同排

法；

第二步：排百位、十位、個位數(shù)字，從排了千位數(shù)字后剩下的5個數(shù)字中選3個來排列，

有田=5x4x3=60種不同排法；

所以組成不同的四位數(shù)有5x60=300種，

（2）根據(jù)題意分類完成任務(wù)：

第一類：個位數(shù)字為0,則從1,2,3,4,5這5個數(shù)字中選3個來排在千位、百位、十

位，有g(shù)=5x4x3=60種不同排法；

第二類：個位數(shù)字為2或4,則。不能排在千位，有=2x4x4x3=96種不同排

法：

所以組成不同的四位偶數(shù)有60+96=156種.

6.2.2組合及組合數(shù)》考點講解

【思維導(dǎo)圖】

【常見考點】

考法一組合的概念

【例1］給出下列問題：

①有10個車站，共需要準備多少種車票？

②有10個車站，共有多少中不同的票價？

③平面內(nèi)有10個點，共可作出多少條不同的有向線段？

④有10個同學(xué)，假期約定每兩人通電話一次，共需通話多少次？

⑤從10個同學(xué)中選出2名分別參加數(shù)學(xué)和物理競賽，有多少中選派方法?

以上問題中，屬于組合問題的是（填寫問題序號）.

【一隅三反】

1.以下四個問題中，屬于組合問題的是（）

A.從3個不同的小球中，取出2個小球排成一列

B.老師在排座次時將甲、乙兩位同學(xué)安排為同桌

C.在電視節(jié)目中，主持人從100名幸運觀眾中選出2名幸運之星

D.從13位司機中任選出兩位分別去往甲、乙兩地

2.下列問題屬于排列問題的是（）

①從10個人中選2人分別去種樹和掃地；

②從10個人中選2人去掃地；

③從班上30名男生中選出5人組成一個籃球隊；

④從數(shù)字5,6,7,8中任取兩個不同的數(shù)作為log〃b中的底數(shù)與真數(shù)

A.?@B.①?C.④D.?@@

考法二組合數(shù)

【例2】（1）C；+C：+C；=（）

A.C；B.C：C.ClD.C；

（2）滿足條件￡>C；的自然數(shù)〃有（）

A.7個B.6個C.5個D.4個

【一隅三反】

1.若C+LG=Cl(〃eN*),則n等于()

A.11B.12C.13D.14

2.已知第二15,那么看=（）

A.20B.30C.42D.72

3.設(shè)n為滿足不等式C：+C：+2C；+…+〃C：<2008的最大正整數(shù)，則n的值為

().

A.11B.10C.9D.8

4.（多選）下列等式正確的是（）

A.（〃+1兇=端B.

Am|

C.C：=j1）.----A：+I=A：

n\n-tn

5.（多選）如下的四個命題中真畬題的標號為（）

A.緇=162700

B.C；+C；=G%

C.C；+C；+C；+C；+C"C；-C；=254

Ix3x5x7x9

D.（1+2幻|°的展開式中二項式系數(shù)最大的項是5

5!

考法三組合應(yīng)用

【例3】男運動員6名，女運動員4名，其中男、女隊長各1名.現(xiàn)選派5人外出參加比

賽，在下列情形中各有多少種選派方法？

(1)男運動員3名，女運動員2名；

(2)至少有1名女運動員；

(3)隊長中至少有1人參加；

(4)既要有隊長，又要有女運動員.

【?隅三反】

1.一個口袋內(nèi)有3個不同的紅球，4個不同的白球

(1)從中任取3個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種？

(2)若取一個紅球記2分，取一個白球記1分，從中任取4個球，使總分不少于6分的取

法有多少種？

2.某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工

人.現(xiàn)采用分層抽樣方法(層內(nèi)采用不放回簡單隨機抽樣)從甲、乙兩組中共抽取3名工

人進行技術(shù)考核.

(I)求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)；

(II)求從甲組抽取的工人中恰好1名女工人的概率；

(III)求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率.

3.有男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1名.選派5人外出比賽，在下列情形

中各有多少種選派方法？

(D男運動員3名，女運動員2名；

(2)至少有1名女運動員；

(3)既要有隊長，又要有女運動員.

答案解析

考法一組合的概念

【例1】給出下列問題：

①有10個車站，共需要準備多少種車票？

②有10個車站，共有多少中不同的票價？

③平面內(nèi)有10個點，共可作出多少條不同的有向線段？

④有10個同學(xué)，假期約定每兩人通電話一次，共需通話多少次？

⑤從10個同學(xué)中選出2名分別參加數(shù)學(xué)和物理競賽，有多少中選派方法？

以上問題中，屬于組合問題的是（填寫問題序號）.

【答案】②④

【解析】①有10個車站，共需要準備多少種車票？相當(dāng)于從10個不同元素任取2個按一

定順序排列起來，屬于排列問題；②有10個車站，共有多少中不同的票價？相當(dāng)于從10

個不同元素任取2個并