2011年高考數(shù)學試卷（理）（天津）（解析卷）

第頁|共頁2011年高考理科數(shù)學試題（天津卷）本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼答卷時，考生務必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷注意事項： 1．每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號. 2．本卷共8小題，每小題5分，共40分.參考公式：如果事件A，B互斥，那么 如果事件A，B相互獨立，那么 棱柱的體積公式 圓錐的體積公式其中S表示棱柱的底面面積 其中S表示圓錐的底面面積h表示棱柱的高 h表示圓錐的高一、選擇題：在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的．1．是虛數(shù)單位，復數(shù)= A． B． C． D．2．設則“且”是“”的 A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．即不充分也不必要條件3．閱讀右邊的程序框圖，運行相應的程序，則輸出的值為 A．3 B．4 C．5 D．64．已知為等差數(shù)列，其公差為-2，且是與的等比中項，為的前項和，，則的值為 A．-110 B．-90 C．90 D．1105．在的二項展開式中，的系數(shù)為 A． B． C． D．6．如圖，在△中，是邊上的點，且，則的值為 A． B． C． D．7．已知則 A． B． C． D．8．對實數(shù)和，定義運算“”：設函數(shù)若函數(shù)的圖像與軸恰有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是 A． B． C． D．第II卷二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．9．一支田徑隊有男運動員48人，女運動員36人，若用分層抽樣的方法從該隊的全體運動員中抽取一個容量為21的樣本，則抽取男運動員的人數(shù)為___________10．一個幾何體的三視圖如右圖所示（單位：），則該幾何體的體積為__________11．已知拋物線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）若斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與圓相切，則=________.12．如圖，已知圓中兩條弦與相交于點，是延長線上一點，且若與圓相切，則線段的長為__________.13．已知集合，則集合=________.14．已知直角梯形中，//,,,是腰上的動點，則的最小值為____________.三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）已知函數(shù)（Ⅰ）求的定義域與最小正周期；（II）設，若求的大?。?6．（本小題滿分13分）學校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎．（每次游戲結束后將球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戲中，（i）摸出3個白球的概率；（ii）獲獎的概率；（Ⅱ）求在2次游戲中獲獎次數(shù)的分布列及數(shù)學期望.17．（本小題滿分13分）如圖，在三棱柱中，是正方形的中心，，平面，且（Ⅰ）求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）設為棱的中點，點在平面內(nèi)，且平面，求線段的長．18．（本小題滿分13分）在平面直角坐標系中，點為動點，分別為橢圓的左右焦點．已知△為等腰三角形．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設直線與橢圓相交于兩點，是直線上的點，滿足，求點的軌跡方程．19．（本小題滿分14分）已知，函數(shù)（的圖像連續(xù)不斷）（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當時，證明：存在，使；（Ⅲ）若存在均屬于區(qū)間的，且，使，證明．20．（本小題滿分14分）已知數(shù)列與滿足：，，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設，證明：是等比數(shù)列；（III）設證明：．2011參考答案一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分，滿分40分.BABDCDCB二、填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分，滿分30分.9．1210．11．12．13．14．5三、解答題15．本小題主要考查兩角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函數(shù)的基本關系，二倍角的正弦、余弦公式，正切函數(shù)的性質(zhì)等基礎知識，考查基本運算能力.滿分13分.（I）解：由，得.所以的定義域為的最小正周期為（II）解：由得整理得因為，所以因此由，得.所以16．本小題主要考查古典概型及其概率計算公式、離散型隨機變量的分布列、互斥事件和相互獨立事件等基礎知識，考查運用概率知識解決簡單的實際問題的能力.滿分13分.（I）（i）解：設“在1次游戲中摸出i個白球”為事件則（ii）解：設“在1次游戲中獲獎”為事件B，則，又且A2，A3互斥，所以（II）解：由題意可知X的所有可能取值為0，1，2.所以X的分布列是X012PX的數(shù)學期望17．本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.滿分13分.方法一：如圖所示，建立空間直角坐標系，點B為坐標原點.依題意得（I）解：易得，于是所以異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為（II）解：易知設平面AA1C1的法向量，則即不妨令可得，同樣地，設平面A1B1C1的法向量，則即不妨令，可得于是從而所以二面角A—A1C1—B的正弦值為（III）解：由N為棱B1C1的中點，得設M（a，b，0），則由平面A1B1C1，得即解得故因此，所以線段BM的長為方法二：（I）解：由于AC//A1C1，故是異面直線AC與A1B1所成的角.因為平面AA1B1B，又H為正方形AA1B1B的中心，可得因此所以異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為（II）解：連接AC1，易知AC1=B1C1，又由于AA1=B1A1，A1C1=A1=C1，所以≌，過點A作于點R，連接B1R，于是，故為二面角A—A1C1—B1的平面角.在中，連接AB1，在中，，從而所以二面角A—A1C1—B1的正弦值為（III）解：因為平面A1B1C1，所以取HB1中點D，連接ND，由于N是棱B1C1中點，所以ND//C1H且.又平面AA1B1B，所以平面AA1B1B，故又所以平面MND，連接MD并延長交A1B1于點E，則由得，延長EM交AB于點F，可得連接NE.在中，所以可得連接BM，在中，18．本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面向量等基礎知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結合的數(shù)學思想，考查解決問題能力與運算能力.滿分13分.（I）解：設由題意，可得即整理得（舍），或所以（II）解：由（I）知可得橢圓方程為直線PF2方程為A，B兩點的坐標滿足方程組消去y并整理，得解得得方程組的解不妨設設點M的坐標為，由于是由即，化簡得將所以因此，點M的軌跡方程是19．本小題主要考查導數(shù)的運算、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、解不等式、函數(shù)的零點等基礎知識，考查運算能力和運用函數(shù)思想分析解決問題的能力及分類討論的思想方法.滿分14分.（I）解：，令當x變化時，的變化情況如下表：+0-極大值所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是（II）證明：當由（I）知在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.令由于在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增，故取所以存在即存在（說明：的取法不唯一，只要滿足即可）（III）證明：由及（I）的結論知，從而上的最小值為又由，知故從而20．本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法.滿分14分.（I）解：由可得又（II）證明：對任意 ① ② ③②—③，得 ④將④代入①，可得即又因此是等比數(shù)列.（III）證明：由（II）可得，于是，對任意，有將以上各式相加，得即，此式當k=1時也成立.由④式得從而所以，對任意，對于n=1，不等式顯然成立.所以，對任意選擇填空解析2011年天津市高考數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1．（5分）（2011?天津）i是虛數(shù)單位，復數(shù)=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【專題】數(shù)系的擴充和復數(shù)．【分析】要求兩個復數(shù)的除法運算，分子和分母同乘以分母的共軛復數(shù)，分子和分母上進行復數(shù)的乘法運算，最后結果要化簡成最簡形式．【解答】解：復數(shù)===2﹣i故選B．【點評】本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算，是一個基礎題，這種題目運算量不大，解題應用的原理也比較簡單，是一個送分題目．2．（5分）（2011?天津）設x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】簡易邏輯．【分析】由“x≥2且y≥2”推出“x2+y2≥4”可證明充分性；由滿足“x2+y2≥4”可舉出反例推翻“x≥2且y≥2”，則證明不必要性，綜合可得答案．【解答】解：若x≥2且y≥2，則x2≥4，y2≥4，所以x2+y2≥8，即x2+y2≥4；若x2+y2≥4，則如（﹣2，﹣2）滿足條件，但不滿足x≥2且y≥2．所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要條件．故選A．【點評】本題主要考查充分條件與必要條件的含義．3．（5分）（2011?天津）閱讀程序框圖，運行相應的程序，則輸出i的值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【考點】程序框圖．【專題】算法和程序框圖．【分析】通過程序框圖的要求，寫出前四次循環(huán)的結果得到輸出的值．【解答】解：該程序框圖是循環(huán)結構經(jīng)第一次循環(huán)得到i=1，a=2；經(jīng)第二次循環(huán)得到i=2，a=5；經(jīng)第三次循環(huán)得到i=3，a=16；經(jīng)第四次循環(huán)得到i=4，a=65滿足判斷框的條件，執(zhí)行是，輸出4故選B【點評】本題考查解決程序框圖中的循環(huán)結構時，常采用寫出前幾次循環(huán)結果，找規(guī)律．4．（5分）（2011?天津）已知{an}為等差數(shù)列，其公差為﹣2，且a7是a3與a9的等比中項，Sn為{an}的前n項和，n∈N*，則S10的值為（）A．﹣110 B．﹣90 C．90 D．110【考點】等差數(shù)列的前n項和；等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】通過a7是a3與a9的等比中項，公差為﹣2，求出【解答】解：a7是a3與a9的等比中項，公差為﹣2，所以a72=a3?a9，∵{an}公差為﹣2，∴a3=a7﹣4d=a7+8，a9=a7+2d=a7﹣4，所以a72=（a7+8）（a7﹣4），所以a7=8，所以a1=20，所以S10==110故選D【點評】本題是基礎題，考查等差數(shù)列的前n項和，等比數(shù)列的應用，考查計算能力，?？碱}型．5．（5分）（2011?天津）在的二項展開式中，x2的系數(shù)為（）A． B． C． D．【考點】二項式定理．【專題】二項式定理．【分析】利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令x的指數(shù)為2，求出展開式中，x2的系數(shù)，即得答案．【解答】解：展開式的通項為Tr+1=（﹣1）r22r﹣6C6rx3﹣r令3﹣r=2得r=1所以項展開式中，x2的系數(shù)為﹣故選C【點評】本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題．6．（5分）（2011?天津）如圖，在△ABC中，D是邊AC上的點，且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，則sinC的值為（）A． B． C． D．【考點】三角形中的幾何計算．【專題】解三角形．【分析】根據(jù)題中條件，在△ABD中先由余弦定理求出cosA，利用同角關系可求sinA，利用正弦定理可求sin∠BDC，然后在△BDC中利用正弦定理求解sinC即可【解答】解：設AB=x，由題意可得AD=x，BD=△ABD中，由余弦定理可得∴sinA=△ABD中，由正弦定理可得?sin∠ADB=∴△BDC中，由正弦定理可得故選：D．【點評】本題主要考查了在三角形中，綜合運用正弦定理、余弦定理、同角基本關系式等知識解三角形的問題，反復運用正弦定理、余弦定理，要求考生熟練掌握基本知識，并能靈活選擇基本工具解決問題．7．（5分）（2011?天津）已知，則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞c＞b D．c＞a＞b【考點】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】比較大小的方法：找1或者0做中介判斷大小，log43.6＜1，log23.4＞1，利用分數(shù)指數(shù)冪的運算法則和對數(shù)的運算法則對c進行化簡，得到＞1＞b，再借助于中間值log2進行比較大小，從而得到結果．，【解答】解：∵log23.4＞1，log43.6＜1，又y=5x是增函數(shù)，∴a＞b，＞==b而log23.4＞log2＞log3，∴a＞c故a＞c＞b．故選C．【點評】此題是個中檔題．本題考查對數(shù)函數(shù)單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及比較大小，以及中介值法，考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力．8．（5分）（2011?天津）對實數(shù)a與b，定義新運算“?”：．設函數(shù)f（x）=（x2﹣2）?（x﹣x2），x∈R．若函數(shù)y=f（x）﹣c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則實數(shù)c的取值范圍是（）A． B． C． D．【考點】函數(shù)與方程的綜合運用．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】根據(jù)定義的運算法則化簡函數(shù)f（x）=（x2﹣2）?（x﹣x2）的解析式，并求出f（x）的取值范圍，函數(shù)y=f（x）﹣c的圖象與x軸恰有兩個公共點轉化為y=f（x），y=c圖象的交點問題，結合圖象求得實數(shù)c的取值范圍．【解答】解：∵，∴函數(shù)f（x）=（x2﹣2）?（x﹣x2）=，由圖可知，當c∈函數(shù)f（x）與y=c的圖象有兩個公共點，∴c的取值范圍是，故選B．【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象特征、函數(shù)與方程的綜合運用，及數(shù)形結合的思想．屬于基礎題．二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）9．（5分）（2011?天津）一支田徑隊有男運動員48人，女運動員36人，若用分層抽樣的方法從該隊的全體運動員中抽取一個容量為21的樣本，則抽取男運動員的人數(shù)為12．【考點】分層抽樣方法．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】根據(jù)田徑隊的男女運動員數(shù)目和用分層抽樣要抽取的數(shù)目，得到每個個體被抽到的概率，利用每個個體被抽到的概率乘以男運動員的數(shù)目，得到結果．【解答】解：∵田徑隊有男運動員48人，女運動員36人，∴這支田徑隊共有48+36=84人，用分層抽樣的方法從該隊的全體運動員中抽取一個容量為21的樣本，∴每個個體被抽到的概率是，∵田徑隊有男運動員48人，∴男運動員要抽取48×=12人，故答案為：12．【點評】本題考查分層抽樣，在抽樣過程中每個個體被抽到的概率相等，這是解決這種問題的依據(jù)，本題是一個基礎題．10．（5分）（2011?天津）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則這個幾何體的體積為6+πm3．【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】立體幾何．【分析】由已知中的三視圖，我們易判斷已知中幾何體的形狀，然后根據(jù)已知的三視圖分析出幾何體的相關幾何量，代入體積公式，即可求出該幾何體的體積．【解答】解：由已知可得已知的幾何體是一個圓錐和長方體的組合體其中上部的圓錐的底面直徑為2，高為3，下部的長方體長、寬高分別為：2，3，1則V圓錐=?π?3=πV長方體=1×2×3=6則V=6+π故答案為：6+π【點評】本題考查的知識是由三視圖求體積，其中根據(jù)已知中的三視圖分析幾何體的形狀是解答本題的關鍵．11．（5分）（2011?天津）已知拋物線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），若斜率為1的直線經(jīng)過拋物線C的焦點，且與圓（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相切，則r=．【考點】直線與圓的位置關系；拋物線的簡單性質(zhì)；直線的參數(shù)方程．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；坐標系和參數(shù)方程．【分析】由拋物線C的參數(shù)方程為我們易求出拋物線的標準方程，進而根據(jù)斜率為1的直線經(jīng)過拋物線C的焦點，且與圓（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相切，我們根據(jù)直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，求出直線方程后，代入點到直線距離公式，構造關于r的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：∵拋物線C的參數(shù)方程為則拋物線的標準方程為：y2=8x則拋物線C的焦點的坐標為（2，0）又∵斜率為1的直線經(jīng)過拋物線C的焦點則直線的方程為y=x﹣2，即經(jīng)x﹣y﹣2=0由直線與圓（x﹣4）2+y2=r2，則r==故答案為：【點評】本題考查的知識點是直線與的圓位置關系，拋物線的簡單性質(zhì)及拋物線的參數(shù)方程，其中根據(jù)直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，求出直線方程后，代入點到直線距離公式，構造關于r的方程，是解答本題的關鍵．12．（5分）（2011?天津）如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且DF=CF=，AF：FB：BE=4：2：1．若CE與圓相切，則CE的長為．【考點】圓的切線方程．【專題】直線與圓．【分析】設出AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF?FC=AF?BF求出k的值，利用切割定理求出CE．【解答】解：設AF=4k，