4.7 相似三角形的性質(zhì)（第1課時(shí)）-北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

第四章圖形的相似相似三角形的性質(zhì)第1課時(shí)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等.在兩個(gè)相似三角形中是否只有對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例這個(gè)性質(zhì)呢？本節(jié)課我們將研究相似三角形的其他性質(zhì).還記得相似三角形的定義嗎？還記得相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角有什么關(guān)系嗎？（1）△ACD與△A′C′D′相似嗎？為什么？如果相似，指出它們的相似比.圖1（2）如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？如圖1，小王依據(jù)圖紙上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房的房梁△A′B′C′，CD和C′D′分別是它們的立柱.圖1解：（1）△ACD與△A′C′D′相似.理由是，.相似比是1:2.（2）由CD:C′D′=1:2，得C′D′=2CD=3cm，即模型房的房梁立柱高3cm.ABCDEA′B′C′D′E′圖2FF′如圖2，已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC與△A′B′C′相似比為k（k>0），AD⊥BC，A′D′⊥B′C′；AE平分∠BAC，A′E′平分∠B′A′C′；F，F(xiàn)′分別為BC，B′C′的中點(diǎn).試探究AD與A′D′的比值關(guān)系，AE與A′E′呢？AF與A′F′呢？∵△ABC∽△A′B′C′，∴定理相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)角平分線的比，對(duì)應(yīng)中線的比都等于相似比.ABCDEA′B′C′D′E′FF′圖3如圖4，已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC與△A′B′C′的相似比為k（k>0），點(diǎn)D，E在BC邊上，點(diǎn)D′，E′在

B′C′邊上.（1）

若∠BAD=∠BAC

，

∠B′A′D′=∠B′A′C′

，則等于多少？由“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”，可知△ABD∽△A′B′D′，于是

圖4由“兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”，可知△ABE∽△A′B′E′，于是

（2）

若BE=BC

，

B′E′=B′C′

，則等于多少？如圖4，已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC與△A′B′C′的相似比為k（k>0），點(diǎn)D，E在BC邊上，點(diǎn)D′，E′在

B′C′邊上.圖4（1）△ASR與△ABC相似嗎？為什么？ABCSREPDQ圖5解：∵四邊形PQRS是正方形，∴RS∥BC.∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C.∴△ASR∽△ABC.例如圖5，AD

是△ABC的高，點(diǎn)P，Q在BC邊上，點(diǎn)R在AC邊上，點(diǎn)S在AB邊上，BC=60cm，AD=40cm，四邊形PQRS是正方形.例如圖5，AD

是△ABC的高，點(diǎn)P，Q在BC邊上，點(diǎn)R在AC邊上，點(diǎn)S在AB邊上，BC=60cm，AD=40cm，四邊形PQRS是正方形.（2）求正方形PQRS的邊長(zhǎng).ABCSREPDQ圖5解：∵△ASR∽△ABC，∴設(shè)正方形PQRS的邊長(zhǎng)為xcm，則AE=(40–x)cm，答：正方形PQRS的邊長(zhǎng)為24cm.解得x=24.兩個(gè)相似三角形的一組對(duì)應(yīng)角平分線的長(zhǎng)分別是2cm和5cm，求這兩個(gè)三角形的相似比.在這兩個(gè)三角形的一組對(duì)應(yīng)中線中，如果較短的中線是3cm，那么較長(zhǎng)的中線多長(zhǎng)？這兩個(gè)三角形的相似比是2:5；較長(zhǎng)的中線是7.5cm.