人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算【課件】

6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算預(yù)學(xué)案共學(xué)案預(yù)學(xué)案一、向量的數(shù)乘?定義實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個________記法λa長度|λa|＝|λ||a|方向λ＞0方向與a的方向________λ＜0方向與a的方向________向量相同相反【即時練習(xí)】判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)對于任意的向量a，總有0·a＝0.(

)(2)當(dāng)λ＞0時，|λa|＝λa.(

)(3)若a≠0，λ≠0，則a與－λa的方向相反．(

)(4)向量－8a(a≠0)的模是向量4a的模的2倍．(

)×××√二、向量數(shù)乘的運(yùn)算律?設(shè)λ，μ為任意實(shí)數(shù)①λ(μa)＝________；②(λ＋μ)a＝________；③λ(a＋b)＝________．特別地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝________．向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算．對于任意向量a、b，以及任意實(shí)數(shù)λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝____________．(λμ)aλa＋μaλa＋λbλa－λbλμ1a±λμ2b【即時練習(xí)】3(2a－4b)＝(

)A．5a＋7b

B．5a－7bC．6a＋12b

D．6a－12b答案：D解析：3(2a－4b)＝6a－12b.故選D.三、向量共線定理?向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實(shí)數(shù)λ，使________.b＝λa

答案：B

2．若|a|＝5，b與a的方向相反，且|b|＝7，則a＝________b.

微點(diǎn)撥?(1)向量數(shù)乘仍是一個向量．λa中的實(shí)數(shù)λ叫做向量a的系數(shù)．(2)不要忽略特殊情況：當(dāng)λ＝0時，λa＝0.當(dāng)λ≠0時，若a＝0，也有λa＝0.(3)實(shí)數(shù)與向量可以求積，但是不能進(jìn)行加減運(yùn)算．(4)向量的數(shù)乘的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或a的反方向擴(kuò)大或縮小．當(dāng)λ＞0時，沿著a的方向擴(kuò)大(λ＞1)λ倍或縮小(0<λ<1)λ；當(dāng)λ＜0時，沿著a的反方向擴(kuò)大(|λ|＞1)λ倍或縮小(|λ|<1)|λ|.微點(diǎn)撥?(1)向量數(shù)乘運(yùn)算律與實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算律很相似，只是向量數(shù)乘分配律由于因子的不同，可分為(λ＋μ)a＝λa＋μa和λ(a＋b)＝λa＋λb.(2)向量數(shù)乘運(yùn)算律的理論依據(jù)是兩個向量相等的定義．微點(diǎn)撥?(1)由a＝λb?a∥b中，若λ＝0，則a＝0，零向量與任一向量都平行．若λ＞0，則a與b同向；若λ＜0，則a與b反向．(2)由a∥b?a＝λb中，由λ的唯一性，得b≠0.(3)該定理有兩方面的應(yīng)用，一是一個向量可以由另一個向量線性表示，則可以判定兩向量平行；二是若兩向量平行，則一個向量可以由另一非零向量線性表示，可以用來求參數(shù)λ，它是軸上向量坐標(biāo)化的依據(jù)．共學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

(1)了解向量數(shù)乘的概念并理解數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義．(2)理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，會進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算．(3)理解并掌握兩向量共線的性質(zhì)及判定方法．題型

1向量的數(shù)乘運(yùn)算【問題探究1】

(1)如圖，已知非零向量a作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)．它們的長度和方向分別是怎樣的？類比數(shù)的乘法，該如何表示運(yùn)算結(jié)果？它們的長度和方向分別是怎樣的？(2)λa的幾何意義是什么？

例1

(多選)已知λ，μ∈R，且a≠0，則在以下各命題中，正確的命題是(

)A．當(dāng)λ<0時，λa的方向與a的方向一定相反B．當(dāng)λ＝0時，λa與a是共線向量C．|λa|＝λ|a|D．當(dāng)λμ>0時，λa的方向與μa的方向一定相同答案：ABD解析：根據(jù)實(shí)數(shù)λ與向量a的積λa的方向的規(guī)定，易知A正確；對于B，當(dāng)λ＝0時，λa＝0，0與a是共線向量，故B正確；對于D，由λμ>0可得λ，μ同為正或同為負(fù)，所以λa和μa與a同向，或者都與a反向，所以λa與μa是同向的，故D正確；對于C，|λa|＝|λ||a|，C錯誤．故選ABD.

跟蹤訓(xùn)練1

設(shè)a是非零向量，λ是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是(

)A．a(chǎn)與λa的方向相反B．a(chǎn)與λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a|

D．|－λa|>|λ||a|答案：B解析：對于A中，只有λ<0時，a與λa的方向相反，所以A不正確；對于B中，因?yàn)棣?>0，所以a與λ2a的方向相同，所以B正確；對于C中，因?yàn)閨－λa|＝|λ||a|，只有當(dāng)|λ|≥1，才有|－λa|≥|a|，所以C不正確；對于D中，因?yàn)閨－λa|＝|λ||a|，所以D不正確．故選B.題型

2向量的線性運(yùn)算【問題探究2】已知向量a，請通過作圖判斷以下結(jié)論是否成立？你能據(jù)此歸納出向量數(shù)乘的運(yùn)算律嗎？(1)3(2a)＝6a；(2)(2＋3)a＝2a＋3a；(3)2(a＋b)＝2a＋2b.提示：(1)作圖如下：故3(2a)＝6a成立．(2)作圖如下：故(2＋3)a＝2a＋3a成立．(3)作圖如下：故2(a＋b)＝2a＋2b成立．

題后師說向量線性運(yùn)算的兩種方法

答案：B

解析：原式＝a＋4b－4a＋2b＝6b－3a.(2)已知向量x，y滿足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，則x＝________，y＝________(用a，b表示)．

答案：3a＋2b

4a＋3b

題后師說用已知向量表示其他向量的兩種方法

答案：D

題型

4向量共線定理【問題探究3】引入向量數(shù)乘運(yùn)算后，你能發(fā)現(xiàn)數(shù)乘向量與原向量之間有什么位置關(guān)系？提示：λa與a都是向量，當(dāng)λ>0時，λa與a方向相同，|λa|＝λ|a|；當(dāng)λ<0時，λa與a方向相反，|λa|＝|λ||a|.因此λa與a共線．

一題多變本例條件不變，將(2)改為：欲使ke1＋2e2和2e1＋ke2共線，試確定實(shí)數(shù)k的值．

答案：B

(2)設(shè)a與b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與－(b－2a)平行，則λ＝________．

隨堂練習(xí)1．10(a＋b)－(a－b)＝(

)A．9a＋9b

B．9a＋11bC．11a＋9bD．11a＋11b答案：B解