《多元函數(shù)一致可導(dǎo)與一致可微分析》1400字

PAGEPAGE31多元函數(shù)一致可導(dǎo)與一致可微分析1一致可導(dǎo)的定義與性質(zhì)定義1.1（二元函數(shù)一致可導(dǎo)）函數(shù)在給定平面區(qū)域上關(guān)于一致可導(dǎo)是指，假設(shè)二元函數(shù)在該區(qū)域內(nèi)有偏導(dǎo)數(shù)，對(duì)以及內(nèi)任何兩點(diǎn)，，存在，當(dāng)時(shí)，有.同理可得出函數(shù)在給定平面區(qū)域上關(guān)于一致可導(dǎo)的定義.注1.1該定義中的僅與任意給出的有關(guān)，與平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)無關(guān).定義1.2設(shè)在區(qū)域關(guān)于與均一致可導(dǎo)，則稱在一致可導(dǎo).例1.1在一致可導(dǎo).事實(shí)上，，由于,于是，，取，對(duì)于任意兩點(diǎn)及，當(dāng)時(shí)，（3-1）式成立.由定義可知，在關(guān)于一致可導(dǎo).同理可得，在關(guān)于一致可導(dǎo)，從而在一致可導(dǎo).定理1.1設(shè)在區(qū)域關(guān)于存在偏導(dǎo)數(shù)，則以下三個(gè)條件等價(jià)：1）在關(guān)于一致可導(dǎo)；2），對(duì)于內(nèi)的任意點(diǎn)及，當(dāng)，時(shí)，有；3）在關(guān)于一致連續(xù).證明1）2）設(shè)及是內(nèi)的任意點(diǎn)，由1）知，，當(dāng),時(shí)，有，，于是，對(duì)上述，當(dāng),時(shí)，有，所以，2）式成立.2）1），對(duì)內(nèi)的任意點(diǎn)及，當(dāng)，時(shí)，2）式成立.在2）式中令，則，即在關(guān)于一致可導(dǎo).1）3）由1）及2），，對(duì)于內(nèi)的任意點(diǎn)及，當(dāng),時(shí)，有,,，從而，所以在關(guān)于一致連續(xù).3）1）由于在關(guān)于一致連續(xù)，故，，，當(dāng)時(shí)，有，從而，即在關(guān)于一致可導(dǎo).推論1.1設(shè)在區(qū)域關(guān)于存在偏導(dǎo)數(shù).，則以下三個(gè)條件等價(jià)：1）在關(guān)于一致可導(dǎo)；2）對(duì)，對(duì)于內(nèi)的任意點(diǎn)及，當(dāng)，時(shí)，有；3）在關(guān)于一致連續(xù).推論1.2若在區(qū)域關(guān)于存在偏導(dǎo)數(shù).，且滿足，其中是正常數(shù)，則在關(guān)于一致可導(dǎo).定理1.2（一致可導(dǎo)的必要條件）若在區(qū)域一致可導(dǎo)，則，在連續(xù).證明因?yàn)樵谝恢驴蓪?dǎo)，由定理2.2.1知，,在分別關(guān)于和一致連續(xù)，從而,在連續(xù).2一致可微的定義與性質(zhì)[12-14]定義2.1設(shè)在區(qū)域兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，若對(duì),，，當(dāng)時(shí)，有，（3-2）則稱在一致可微.記.顯然，由定義2.1可知，若在一致可微，則在可微且連續(xù).定理2.1（一致可微的充分條件）若在區(qū)域一致可導(dǎo)，且（或）在一致連續(xù)，則在一致可微.證明由在一致連續(xù)知，對(duì),，當(dāng)時(shí)，有.由于在關(guān)于一致可導(dǎo)，對(duì)上述，對(duì)，當(dāng)時(shí)，有.對(duì)上述，取，對(duì)，當(dāng),時(shí)，利用一元函數(shù)微分中值定理，可得,所以在一致可微.推論2.1若,均在區(qū)域一致連續(xù)，則在一致可微.證明因?yàn)?均在一致連續(xù)，所以與在一定分別關(guān)于和一致連續(xù)，于是在一致可導(dǎo)，從而在一致可微.定理2.2（一致可微的必要條件）若在區(qū)域一致可微，則在一致可導(dǎo)，且,在連續(xù).證明由假設(shè)，對(duì)，對(duì)中的任意兩點(diǎn)及，當(dāng)時(shí)，有.在上式中分別令及可得，，即在一致可導(dǎo)，從而,在連續(xù).下面給出二元函數(shù)一致可微的充要條件.定理2.3在區(qū)域一致可微的充要條件是：.（3-3）證明必要性由定義，對(duì)，對(duì)內(nèi)的任意點(diǎn)及，當(dāng)時(shí)，有.于是，當(dāng)時(shí)，有，所以（3-3）式成立.充分性設(shè)（3-3）式成立，則,當(dāng)時(shí)，有，從而，對(duì)且時(shí)，有.由定義2.1可知，在一致可微.定理2.4在區(qū)域一致可微的充要條件是：對(duì)，且時(shí)，有.（3-4）證明必要性由定義知，，當(dāng)且時(shí)，有，故當(dāng)且時(shí)，有.充分性由條件及二元函數(shù)極限的Cauchy準(zhǔn)則知，當(dāng)時(shí)，二重極限存在.又累次極限，故.在（3-4）式中令可得，，即在區(qū)域一致可微.定理2.5在區(qū)域一致可微的充要條件是對(duì)滿足條件的任意點(diǎn)列：,且有，函數(shù)列在一致收斂于，即,,，有.證明必要性由定義，，對(duì)，當(dāng)時(shí)，有.于是，對(duì)于滿足定理?xiàng)l件的點(diǎn)列，必存在，當(dāng)時(shí)，有，從而當(dāng)時(shí)，有.充分性設(shè)若不然，在非一致可微，則,對(duì)，，存在，，當(dāng)時(shí)，有.由及在一致收斂于，于是，當(dāng)和,有.產(chǎn)生矛盾.例2.1證明在任意有界區(qū)域一致可微，但在非一致可微.證明由于在任意有界區(qū)