上海市閔行區(qū)2024-2025學(xué)年高三上冊期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

上海市閔行區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題一、填空題1.函數(shù)的定義域是__________.【正確答案】【分析】根據(jù)定義域求法解決即可.【詳解】由題知，，解得，所以函數(shù)的定義域是，故2.已知，，且是奇函數(shù)，則______．【正確答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可求參數(shù).【詳解】因為是奇函數(shù)，故即，故，故答案為.3.已知則______．【正確答案】【分析】利用分段函數(shù)的形式可求.【詳解】因為故，故答案為.4.函數(shù)最小正周期為______．【正確答案】##【分析】直接根據(jù)周期公式計算得到答案.【詳解】函數(shù)的最小正周期為.故答案為.5.函數(shù)（且）的圖象恒過定點P，則點P的坐標(biāo)為________【正確答案】【分析】令，計算即可求解.【詳解】由題意知，令，得，將代入解析式中，得，則函數(shù)的圖象恒定點，即.故6.函數(shù)在點處的切線方程為___________.【正確答案】【分析】根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可知，，則切點，因為，則，所以在點處的切線斜率為，則切線方程為，即故7.已知平面向量的夾角為，則___________【正確答案】【分析】由向量的數(shù)量積運算及運算律可求得答案.【詳解】，所以．故答案為.8.設(shè)向量、滿足，則在方向上的投影向量是__________.【正確答案】或【分析】利用投影向量的定義求解即得.【詳解】向量，則，在方向上的投影向量為.故或9.設(shè)，，則不等式的解集為__________.【正確答案】【分析】先分別寫出和時的表達(dá)式，再分別解這兩種情況下的不等式，最后將解集合并.【詳解】當(dāng)時,首先求出的表達(dá)式，因為，根據(jù)，而，所以，則.然后解不等式，即，移項得到.對于二次函數(shù)，其判別式，且二次項系數(shù)，所以恒成立，所以時不等式的解為.當(dāng)時,求出的表達(dá)式，因為，根據(jù)的定義.解不等式，即，移項得到，因式分解得.解為，又，所以此時不等式解為.故答案為.10.已知是定義在上的奇函數(shù)，且，都有，當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有零點之和為______．【正確答案】【分析】根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)結(jié)合得出函數(shù)的周期，再應(yīng)用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為零點是函數(shù)的交點橫坐標(biāo)，最后應(yīng)用對稱性即可求出零點和.【詳解】奇函數(shù)y=fx，對于都有，，則，即f4+x=fx則函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)．且關(guān)于直線對稱，作出函數(shù)y=fx與的圖象知共有5個交點，其橫坐標(biāo)從小到大依次為，所以，，，，則，故在內(nèi)所有的零點之，故答案為:．11.黎曼函數(shù)是一個特殊的函數(shù)，由德國數(shù)學(xué)家波恩哈德?黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.黎曼函數(shù)定義在上，其解析式為，若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且對任意的，都有，當(dāng)時，，則__________.【正確答案】##【分析】由，推得f4+x=fx，得到的周期為4，奇函數(shù)性質(zhì)得，且，即可求解.【詳解】因為，所以，因為是奇函數(shù)，所以，所以f4+x=fx，所以的周期為所以，且，所以.故答案為.12.如圖，是款電動自行車用“遮陽神器”的結(jié)構(gòu)示意圖，它由三叉形的支架和覆蓋在支架上的遮陽布組成.已知，，且；為保障行車安全，要求遮陽布的最寬處；若希望遮陽效果最好（即的面積最大），則的大小約為______.（結(jié)果四舍五入精確到）【正確答案】【分析】設(shè)，則，則利用面積公式可得，利用導(dǎo)數(shù)可求面積最大時對應(yīng)的角.【詳解】因為，，故，故，設(shè)，則，又，設(shè)，則，，記，，因為，故，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故，此時，故，用度表示后約等于，故答案為.二、單選題13.給定平面上的一組向量、，則以下四組向量中不能構(gòu)成平面向量的基底的是（）A.和 B.和C.和 D.和【正確答案】C【分析】根據(jù)平面向量共線定理，結(jié)合選項，進(jìn)行逐一分析即可.【詳解】對A：不存在實數(shù)，使得，故和不共線，可作基底；對B：不存在實數(shù)，使得，故和不共線，可作基底；對C：對和，因為是不共線的兩個非零向量，且存在實數(shù)，使得，故和共線，不可作基底；對D：不存在實數(shù)，使得，故和不共線，可作基底.故選：C.14.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又是周期為的函數(shù)為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的奇偶性和周期性一一判斷即可.【詳解】對A，是偶函數(shù)，周期為，故A錯誤；對B，設(shè)，定義域為，且，則其為偶函數(shù)，因為周期為，則的周期為，故B正確；對C，是奇函數(shù)，周期為，故C錯誤；對D，是奇函數(shù)，周期為，故D錯誤.故選：B.15.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若對任意的正實數(shù)，都有恒成立，且，則使成立的實數(shù)的集合為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)可得，利用已知條件可得在0,+∞單調(diào)遞增，且是上的偶函數(shù)，等價于也即是，利用單調(diào)性即可求解.【詳解】令函數(shù)，則對任意的正實數(shù)，，所以，所以在0,+∞單調(diào)遞增，因為是上的偶函數(shù)，所以也是上的偶函數(shù)，所以即，所以，可得，解得：，所以實數(shù)的集合為故選：B本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及利用單調(diào)性和奇偶性解不等式，屬于中檔題.16.已知是定義在上的函數(shù)，其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，設(shè)函數(shù)，下列說法正確的是（）A.若在上單調(diào)遞增，則存在實數(shù)，使得在上單調(diào)遞增B.對于任意實數(shù)，若在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增C.對于任意實數(shù)，若存在實數(shù)，使得，則存在實數(shù)，使得D.若函數(shù)滿足：當(dāng)時，，當(dāng)時，，則為最小值【正確答案】D【分析】首先理解函數(shù)表達(dá)的是函數(shù)圖象上兩點割線的斜率，當(dāng)時，表示的為切線斜率，然后舉反例設(shè)可判斷A錯誤；設(shè)可得B錯誤；設(shè)可得C錯誤；由函數(shù)單調(diào)性的定義可以判斷D正確.【詳解】函數(shù)表達(dá)的是函數(shù)圖象上兩點割線的斜率，當(dāng)時，表示的為切線斜率；所以對于A：因為是定義在R上的函數(shù)，其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且在R上單調(diào)遞增，所以設(shè)，則，此時為常數(shù)，即任意兩點的割線的斜率為常數(shù)，故A錯誤；對于B：設(shè)，由圖象可知，當(dāng)x∈R時，隨增大，點與點連線的割線斜率越來越大，即單調(diào)遞增，但在R不是單調(diào)函數(shù)，故B錯誤；對于C：因為對于任意實數(shù)存在實數(shù)，使得，說明為有界函數(shù)，所以設(shè)，函數(shù)在上有界，但當(dāng)且x趨近于-2時、、且x趨近于2時導(dǎo)函數(shù)無界，故割線的斜率不一定有界，如圖當(dāng)點向點靠近時，割線的斜率近似等于點處切線的斜率，故C錯誤；對于D：因為函數(shù)滿足：當(dāng)時，，即，因為，，所以；同理，當(dāng)時，，即，因為，，所以；所以為的最小值，故D正確；故選：D.關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于理解函數(shù)表達(dá)的是函數(shù)圖像上兩點割線的斜率，當(dāng)時，表示的為切線斜率，然后通過熟悉的函數(shù)可逐項判斷.三、解答題17.已知函數(shù)，其中實數(shù)為常數(shù).（1）若，解關(guān)于的方程；（2）若函數(shù)是奇函數(shù)，求實數(shù)的值.【正確答案】（1）x=1或；（2）a=?1.【分析】（1）根據(jù)，求得，再解方程即可；（2）根據(jù)，求得參數(shù)，再驗證即可.【小問1詳解】因為，則，解得，則，即，整理得，則，或，解得x=1或.故方程的根為或.【小問2詳解】函數(shù)是奇函數(shù)，又的定義域為，則，解得a=?1；當(dāng)a=?1時，，則，滿足為奇函數(shù)，故a=?1.18.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，a，b，c為角A，B，C的對邊，且滿足，且，求角A的值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用三角恒等變換公式化簡，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，通過整體代入求解可得；（2）利用正弦定理邊化角，結(jié)合二倍角公式展開后因式分解可解.【小問1詳解】由題意得，，由，解得：，所以單調(diào)遞增區(qū)間為；【小問2詳解】由正弦定理邊化角得，因為在中，，則，所以，即，所以當(dāng)時，；當(dāng)，即時，．因為，所以．19.某校高二年級某小組開展研究性學(xué)習(xí)，主要任務(wù)是對某產(chǎn)品進(jìn)行市場銷售調(diào)研，通過一段時間的調(diào)查，發(fā)現(xiàn)該商品每日的銷售量單位：千克與銷售價格單位：元千克近似滿足關(guān)系式，其中，，，為常數(shù)，已知銷售價格為元千克時，每日可售出千克，銷售價格為元千克時，每日可售出千克．（1）求的解析式；（2）若該商品的成本為元千克，請你確定銷售價格的值，使得商家每日獲利最大．【正確答案】（1），（2）元千克【分析】（1）依題意可得當(dāng)時，，當(dāng)時，，即可得到關(guān)于、的方程組，解得即可；（2）設(shè)每日銷售該商品獲利元，即可得到的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最大值，從而得解.小問1詳解】由題意可知，當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

即，解得，

所以，，【小問2詳解】設(shè)每日銷售該商品獲利元，則

，

則，

令，得或舍去，

所以時，，為增函數(shù)，

時，，為減函數(shù)，

所以時，取得最大值，

，

所以銷售價格定為元千克，商家每日獲利最大．20.已知函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求的值；（2）判斷并證明的單調(diào)性；（3）若存在實數(shù)，使得成立，求的取值范圍．【正確答案】（1）（2）函數(shù)在R上單調(diào)遞減，證明見解析（3）【分析】（1）根據(jù)定義域為R且為奇函數(shù)，所以，即可求解.（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義法即可證明求解.（3）由（2）中結(jié)果及奇函數(shù)性質(zhì)可得，從而可得，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】由函數(shù)為奇函數(shù)，其定義域為R，所以，即，解得，此時，滿足，即為奇函數(shù)，故的值為.【小問2詳解】在R上單調(diào)遞減，證明如下：由（1）知，，且，則，因為，所以，，，所以，即函數(shù)在R上單調(diào)遞減.【小問3詳解】由，則，又因為為奇函數(shù)，所以，又由（2）知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，所以，因為存在實數(shù)，使得成立，所以，解得.所以的取值范圍為.21.記y=f'x，分別為函數(shù)y=fx，y=gx的導(dǎo)函數(shù).若存在，滿足且，則稱為函數(shù)y=fx與y=gx的一個“S（1）證明：函數(shù)與不存在“S點”；（2）若函數(shù)與存在“S點”，求實數(shù)的值；（3）已知，.若存在實數(shù)，使函數(shù)y=fx與y=gx在區(qū)間內(nèi)存在“S點”，求實數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）求導(dǎo)，假設(shè)存在“S點”，解方程組可得結(jié)論；（2）求導(dǎo)，設(shè)“S點”為，解方程組得結(jié)論．（3）設(shè)“S點”為，由，用表示出，由求得的范圍，利用導(dǎo)數(shù)求得的范圍.【小問1詳解】因為，，則，，假設(shè)存