2024-2025學(xué)年山東省濟(jì)寧市嘉祥縣高三第四次考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年山東省濟(jì)寧市嘉祥縣高三第四次考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則等于（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算計(jì)算可得，再由模長公式即可得出結(jié)果.依題意可得，所以.故選：C2.已知圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為直角，半徑為4的扇形，則此圓錐內(nèi)切球的表面積為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由扇形弧長的計(jì)算，可得圓錐底面半徑，畫組合圖形的軸截面，利用三角形內(nèi)切圓以及勾股定理，最后利用球表面積公式，可得答案.由題意可知，圓錐的母線，底面周長，所以圓錐的底面半徑，根據(jù)題意可作圓錐與其內(nèi)切球的軸截面如下：根據(jù)圓錐和球的對(duì)稱性可知，球的截面為圓，也即為等腰的內(nèi)切圓，即，，，，在中，，由，，則，在中，，即，可得，解得，所以內(nèi)切球的表面積.故選：A3.已知向量滿足，且在上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（）A B. C. D.【正確答案】C【分析】先利用投影向量求出數(shù)量積，利用夾角公式可得答案.依題意，在上的投影向量為，則，于是，而，則，所以向量與向量的夾角為.故選：C4.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)gx在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)可能的取值為（）A. B.3 C. D.2【正確答案】C【分析】首先可得，然后當(dāng)時(shí)，，然后建立不等式求解即可.因?yàn)閷⒑瘮?shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，所以當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)gx在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，所以解得故選：C5.已知，則（）A.-3 B.-2 C.3 D.2【正確答案】A【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式和兩角差的余弦公式對(duì)題目所給條件進(jìn)行化簡，再用兩角和的正切公式即可.因?yàn)?所以,所以,即,因?yàn)?所以所以.故選：A.6.，是直線上的兩點(diǎn)，若沿軸將坐標(biāo)平面折成的二面角，則折疊后、兩點(diǎn)間的距離是（）A.6 B. C. D.【正確答案】A【分析】作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，將用表示，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合向量的模的計(jì)算公式計(jì)算即可.因?yàn)?，是直線上的兩點(diǎn)，所以，，如圖為折疊后的圖形，作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，則異面直線，所成的角為，即、的夾角為，，，，，則，即折疊后、兩點(diǎn)間的距離為.故選：A.7.在三棱錐中，，，兩兩垂直，且.若為該三棱錐外接球上的一點(diǎn)，則的最大值為（）A.2 B.4 C. D.【正確答案】C【分析】首先將三棱錐放置在正方體中，并建立空間直角坐標(biāo)系，利用轉(zhuǎn)化向量的方法求數(shù)量積，再代入坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.如圖，將三棱錐放置在正方體中，三棱錐的外接球就是正方體的外接球，球心為正方體對(duì)角線的交點(diǎn)，，A2,0,0，，，，，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，，則，，，，，，，，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值.故選：C關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是三棱錐與外接球組合體的幾何關(guān)系，以正方體為橋梁，建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積問題.8.已知函數(shù)若關(guān)于的方程有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用換元法設(shè)，則方程等價(jià)為，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)求出，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．令，則．①當(dāng)時(shí)，若；若，由，得．所以由可得或．如圖所示，滿足的有無數(shù)個(gè)，方程只有一個(gè)解，不滿足題意；②當(dāng)時(shí)，若，則；若，由，得．所以由可得，當(dāng)時(shí)，由，可得，因?yàn)殛P(guān)于的方程有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則方程在]上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，若且，故；若且，不滿足題意．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：C．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.一個(gè)矩形的周長為，面積為S，則下列四組數(shù)對(duì)中，可作為數(shù)對(duì)的有（）A. B. C. D.【正確答案】AC【分析】利用基本不等式計(jì)算一一判定即可.不妨設(shè)矩形長寬分別為，則.對(duì)于A項(xiàng)，顯然成立，符合，對(duì)于C項(xiàng)，顯然成立，符合，即A、C正確；對(duì)于B項(xiàng)，顯然不成立，對(duì)于D項(xiàng)，顯然不成立，即B、D錯(cuò)誤.故選:AC10.如圖，在長方體中，，點(diǎn)為線段上動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，平面B.當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，直線與直線所成角的余弦值為C.當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積是定值D.點(diǎn)到直線距離的最小值為【正確答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷A；利用空間向量求出向量夾角余弦判斷B；利用三棱錐體積公式判斷C；利用空間向量求出點(diǎn)到直線的距離最小值判斷D.在長方體中，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，對(duì)于A，，，，，，即，而平面，因此平面，A正確；對(duì)于B，，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由選項(xiàng)A知，點(diǎn)到平面的距離為，而的面積，因此三棱錐的體積23是定值，C正確；對(duì)于D，，則點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：ACD11.已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（）A.B.C.D.【正確答案】BC【分析】對(duì)于AB，利用賦值法求得，,再根據(jù)中心對(duì)稱的定義判斷即可；對(duì)CD，利用賦值法后結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行相應(yīng)的累加及等差數(shù)列公式法求和即可得．對(duì)于A，令，則有，即，令，則有，所以，所以函數(shù)不關(guān)于中心對(duì)稱，故A錯(cuò)誤B正確；對(duì)于C，令，則有,即，則,，故C正確；對(duì)于D，令，則有,即，則，即，又，令,，則有，所以數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為1，所以，即，則，故D錯(cuò)誤．故選：BC．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.曲線在處的切線恰好是曲線的切線，則實(shí)數(shù)______.【正確答案】【分析】求出在處的切線方程，設(shè)出的切點(diǎn)聯(lián)立方程組可解得.對(duì)于，易知，切線斜率為，切點(diǎn)為0,1；則曲線在處的切線為，顯然，設(shè)切點(diǎn)，由，解得.故213.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知A為鈍角，．則的取值范圍是____________．【正確答案】【分析】由正弦定理得到，即，結(jié)合角的范圍可得，，令，化簡得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．由，根據(jù)正弦定理得：，由于，可知，即，因?yàn)闉殁g角，則為銳角，即，則，則．．因?yàn)闉殇J角，所以，即，則，設(shè)，則，．因?yàn)?，則，從而．故14.已知是各項(xiàng)均為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列.則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______；若定義在數(shù)列中，使為整數(shù)的叫做“調(diào)和數(shù)”，則在區(qū)間內(nèi)所有“調(diào)和數(shù)”之和為_________.【正確答案】①.②.1086【分析】空1，利用題意建立等式求解即可；空2，根據(jù)題意求出可能的的值，然后求和即可.因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，設(shè)其公差為，所以，所以，所以.設(shè)，所以，令，且b為整數(shù)，又由，，所以b可以取1，2，3，4，5，6，此時(shí)分別為，所以區(qū)間內(nèi)所有“調(diào)和數(shù)”之和故；1086四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知為函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)，使得，求的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）直接根據(jù)極值點(diǎn)求出的值；（2）先由（1）求出的最小值，由題意可得是求的最小值，小于等于的最小值，對(duì)求導(dǎo)，判斷由最小值時(shí)的的范圍，再求出最小值與最小值的關(guān)系式，進(jìn)而求出的范圍．【小問1詳解】，由，得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以為函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以．【小問2詳解】由（1）知．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)①若，對(duì)，使得，即，符合題意．②若，取，對(duì)，有，不符合題意．③若，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在1,+∞上單調(diào)遞增，所以，若對(duì)，使得，只需，即，解得．綜上所述，的取值范圍為．16.已知直線l過點(diǎn)，圓C：（C為圓心）．（1）若直線l與圓C相切，求直線l的方程．（2）若直線l與圓C交于M，N兩點(diǎn)，P為線段MN的中點(diǎn)，直線l與直線的交點(diǎn)為Q，判斷是否為定值？若是，求定值；若不是，請(qǐng)說明理由．【正確答案】（1）或．（2）為定值2．【分析】（1）考慮直線斜率不存在和存在兩種情況，設(shè)出直線方程，利用圓心到直線距離等于半徑得到方程，求出直線方程；（2）設(shè)直線l方程為，與直線聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)垂徑定理得到直線CP與直線l垂直，表達(dá)出直線CP的方程，與直線l聯(lián)立得到點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算出.【小問1詳解】若直線l的斜率不存在，即直l的方程為，符合題意；若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，即．因?yàn)橹本€l與圓C相切，所以，解得．故直線l的方程為或．【小問2詳解】因?yàn)橹本€l與圓C相交，所以直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為．聯(lián)立，解得，即．因?yàn)镻為線段MN的中點(diǎn)，所以直線CP與直線l垂直，故直線CP方程為，聯(lián)立，解得，即．則．故為定值2．17.某校為了提高教師身心健康號(hào)召教師利用空余時(shí)間參加陽光體育活動(dòng)．現(xiàn)有4名男教師，2名女教師報(bào)名，本周隨機(jī)選取2人參加．（1）求在有女教師參加活動(dòng)的條件下，恰有一名女教師參加活動(dòng)的概率；（2）記參加活動(dòng)的女教師人數(shù)為X，求X的分布列及期望；（3）若本次活動(dòng)有慢跑、游泳、瑜伽三個(gè)可選項(xiàng)目，每名女教師至多從中選擇參加2項(xiàng)活動(dòng)，且選擇參加1項(xiàng)或2項(xiàng)的可能性均為，每名男教師至少從中選擇參加2項(xiàng)活動(dòng)，且選擇參加2項(xiàng)或3項(xiàng)的可能性也均為，每人每參加1項(xiàng)活動(dòng)可獲得“體育明星”積分3分，選擇參加幾項(xiàng)活動(dòng)彼此互不影響，記隨機(jī)選取的兩人得分之和為Y，求Y的期望．【正確答案】（1）（2）分布列及期望見解析.（3）【分析】（1）由條件概率的計(jì)算公式即可求解；（2）參加活動(dòng)的女教師人數(shù)為，則服從超幾何分布，即可寫出的分布列及期望.（3）根據(jù)一名女教師和一名男教師參加活動(dòng)獲得分?jǐn)?shù)的期望，即可得，即可求得.【小問1詳解】設(shè)“有女教師參加活動(dòng)”為事件，“恰有一名女教師參加活動(dòng)”為事件，則，，所以.【小問2詳解】依題意知服從超幾何分布，且，，，所以的分布列為：012.【小問3詳解】設(shè)一名女教師參加活動(dòng)可獲得分?jǐn)?shù)為，一名男教師參加活動(dòng)可獲得分?jǐn)?shù)為，則的所有可能取值為3,6，的所有可能取值為6,9，，，，，有名女教師參加活動(dòng)，則男教師有名參加活動(dòng)，，所以.即兩個(gè)教師得分之和的期望為分.18.如圖，四棱錐中，平面，底面是邊長為2的菱形，，點(diǎn)E?F?G分別為線段CD??的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）設(shè)直線與平面的交點(diǎn)為，求長度.【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）先利用面面平行的判定定理得出平面，再利用面面平行的性質(zhì)定理即可得證（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面法向量，利用向量夾角公式可求解；（3）設(shè)，得到，根據(jù)向量與共面，結(jié)合向量共面定理求出，得到坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間距離公式結(jié)算即可.【小問1詳解】證明：取線段的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，因?yàn)橹?，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，又，且平面，平面，所以平面平面，又平面，所以平面．【小問2詳解】設(shè)平面與平面夾角為，連接和交于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線垂直于平面，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以向量為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求得關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，即平面與平面夾角的余弦值為.【小問3詳解】設(shè)，則，故，依題意可得向量與共面，所以存在實(shí)數(shù)，，使得，即，解得，則.且.則運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算得到.19.“曼哈頓幾何”也叫“出租車幾何”，是在19世紀(jì)由赫爾曼·閔可夫斯基提出來的．如圖是抽象的城市路網(wǎng)，其中線段是歐式空間中定義的兩點(diǎn)最短距離，但在城市路網(wǎng)中，我們只能走有路的地方，不能“穿墻”而過，所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點(diǎn)最短距離用表示，又稱“曼哈頓距離”，即，因此“曼哈頓兩點(diǎn)間距離公式”：若，，則（1）①點(diǎn)，，求的值．②求圓心在原點(diǎn)，半徑為1的“曼哈頓單位圓”方程．（2）已知點(diǎn)，直線，求B點(diǎn)到直線的“曼哈頓距離”最小值；（3）設(shè)三維空間4個(gè)點(diǎn)為，，且，，．設(shè)其中所有兩點(diǎn)“曼哈頓距離”的平均值即，求最大值，并列舉最值成立時(shí)的一組坐標(biāo)．【正確答案】（1）①7；②；（2）2；（3）2，，，，.【分析】（1）①②根據(jù)“曼哈頓距離”的定義求解即可；（2）設(shè)直線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為，然后表示，分類討論求的最小值；（3）