2024-2025學(xué)年四川省成都區(qū)高三上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年四川省成都區(qū)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．集合，集合，則集合（

）A． B． C． D．2．平面向量，，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B．9 C． D．73．已知二項(xiàng)式1+ax5的展開式中x3的系數(shù)是?80，則實(shí)數(shù)a的值為（A．?4 B．4 C．?2 D．24．為弘揚(yáng)我國優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，某市教育局對(duì)全市所有中小學(xué)生進(jìn)行了“成語”聽寫測(cè)試，經(jīng)過大數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)本次聽寫測(cè)試成績服從正態(tài)分布．試根據(jù)正態(tài)分布的相關(guān)知識(shí)估計(jì)測(cè)試成績不小于90的學(xué)生所占的百分比為（

）參考數(shù)據(jù)：若，則，，．A． B． C． D．5．已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足，，則（

）A． B．5 C． D．20246．高溫可以使病毒中的蛋白質(zhì)失去活性，從而達(dá)到殺死病毒的效果，某科研團(tuán)隊(duì)打算構(gòu)建病毒的成活率與溫度的某種數(shù)學(xué)模型，通過實(shí)驗(yàn)得到部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：溫度x（℃）6810病毒數(shù)量y（萬個(gè)）302220由上表中的數(shù)據(jù)求得回歸方程為，可以預(yù)測(cè)當(dāng)溫度為14℃時(shí)，病毒數(shù)量為（

）參考公式：，A．12 B．10 C．9 D．117．設(shè)，則關(guān)于的不等式有解的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B．或 C． D．8．體積為4的長方體中，則該長方體的最小外接球表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．的虛部為1 B．C．在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限 D．10．已知奇函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則（）A． B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C． D．的一個(gè)周期為11．下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的結(jié)論有（

）A．取得最大值時(shí)的值為B．若，則的最大值為C．函數(shù)的最小值為D．若，，且，那么的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知函數(shù)的零點(diǎn)為和1，則．13．口袋中裝有兩個(gè)紅球和三個(gè)白球，從中任取兩個(gè)球，用X表示取出的兩個(gè)球中白球的個(gè)數(shù)，則X的數(shù)學(xué)期望.14．，，都有，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，正方體中，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求與平面所成角的正弦值．16．已知等差數(shù)列an的公差，且滿足，.(1)求數(shù)列an(2)記，求數(shù)列的前2022項(xiàng)和.17．“十四五”時(shí)期，成都基于歷史文化底蘊(yùn)、獨(dú)特資源稟賦、生活城市特質(zhì)和市民美好生活需要，高水平推進(jìn)“三城三都”（世界文創(chuàng)名城、旅游名城、賽事名城和國際美食之都、音樂之都、會(huì)展之都）建設(shè).2023年，成都大運(yùn)會(huì)的成功舉辦讓賽事名城的形象深入人心，讓世界看到成都的專業(yè)、活力和對(duì)體育的熱愛；2024年，相約去鳳凰山體育場(chǎng)觀看成都蓉城隊(duì)的比賽已經(jīng)成為成都人最時(shí)尚的生活方式之一．已知足球比賽積分規(guī)則為：球隊(duì)勝一場(chǎng)積3分，平一場(chǎng)積1分，負(fù)一場(chǎng)積0分．成都蓉城隊(duì)2024年七月還將迎來主場(chǎng)與隊(duì)和客場(chǎng)與隊(duì)的兩場(chǎng)比賽．根據(jù)前期比賽成績，設(shè)成都蓉城隊(duì)主場(chǎng)與隊(duì)比賽：勝的概率為，平的概率為，負(fù)的概率為；客場(chǎng)與B隊(duì)比賽：勝的概率為，平的概率為，負(fù)的概率為，且兩場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求成都蓉城隊(duì)七月主場(chǎng)與隊(duì)比賽獲得積分超過客場(chǎng)與B隊(duì)比賽獲得積分的概率；(2)用表示成都蓉城隊(duì)七月與隊(duì)和B隊(duì)比賽獲得積分之和，求的分布列與期望．18．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意，都滿足，且.當(dāng)時(shí)，，且.(1)求，的值；(2)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明在上單調(diào)遞增；(3)若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.19．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求的取值范圍；(3)若數(shù)列滿足，記為數(shù)列的前項(xiàng)和．證明：．

答案1．【正確答案】D【詳解】集合，集合，則集合.故選：D.2．【正確答案】B【詳解】由，可知，，即，故選：B3．【正確答案】C【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式1+ax5的展開式中x3的系數(shù)是所以C53a故選：C.4．【正確答案】A【詳解】依題意，所以測(cè)試成績不小于90的學(xué)生所占的百分比為.故選：A.5．【正確答案】A【詳解】由得，，又因?yàn)闉樯掀婧瘮?shù)且，所以，故選：A．6．【正確答案】C【詳解】y關(guān)于x的線性回歸方程為，直線過樣本中心點(diǎn)由表格數(shù)據(jù)得，，，，故根據(jù)最小二乘原理知，所以，即線性回歸方程為；將代入方程，得，即可預(yù)測(cè)病毒數(shù)量為.故選：C7．【正確答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的判別式求解“關(guān)于的不等式有解”的充要條件，再分析必要不充分條件即可.【詳解】有解，即對(duì)于方程的，則；可知D選項(xiàng)為一個(gè)必要不充分條件.故選D.8．【正確答案】B【詳解】設(shè)又因?yàn)轶w積為4，得出,長方體的外接球直徑為則長方體的最小外接球表面積為.故選：B.9．【正確答案】AC【詳解】對(duì)于A，，它的虛部為1，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．【正確答案】ACD【詳解】對(duì)于A，由定義域?yàn)榍液瘮?shù)為奇函數(shù)，可得，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，由，可得，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，由以及奇函數(shù)性質(zhì)可知，可得，即可得，即C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，根據(jù)C中的結(jié)論可知，即可得，函數(shù)的一個(gè)周期為，D選項(xiàng)正確；故選：ACD.11．【正確答案】ABC【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，則函數(shù)的對(duì)稱軸為，所以取得最大值時(shí)的值為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，若，，，，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，則，則的最大值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)，令，當(dāng)時(shí)，解得，不滿足題意，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，且，所以，當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故D正確.故選：ABC.12．【正確答案】4【詳解】因?yàn)?所以.所以所以.故4.13．【正確答案】/【詳解】從袋中1次隨機(jī)摸出2個(gè)球，記白球的個(gè)數(shù)為X，則X的可能取值是0，1，2；則，，，隨機(jī)變量X的概率分布為；X012P所以數(shù)學(xué)期望.故答案為.14．【正確答案】【詳解】不妨，由題意分式轉(zhuǎn)化為，則，即，故函數(shù)單調(diào)遞增，又因?yàn)椋獾?，，單調(diào)遞增，所以.故.15．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接，設(shè)，連接，則為中點(diǎn)，在中，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體的棱長為2，則，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由，得，即，令得設(shè)與平面所成角大小為，則，所以與平面所成角的正弦值為．16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，所以；?），所以數(shù)列的前n項(xiàng)和，所以=.17．【正確答案】(1)(2)分布列見解析，期望為【詳解】（1）設(shè)事件“成都蓉城隊(duì)主場(chǎng)與隊(duì)比賽獲得積分為3分”，事件“成都蓉城隊(duì)主場(chǎng)與隊(duì)比賽獲得積分為1分”，事件“成都蓉城隊(duì)主場(chǎng)與隊(duì)比賽獲得積分為0分”，事件“成都蓉城隊(duì)客場(chǎng)與隊(duì)比賽獲得積分為3分”，事件“成都蓉城隊(duì)客場(chǎng)與隊(duì)比賽獲得積分為1分”，事件“成都蓉城隊(duì)客場(chǎng)與隊(duì)比賽獲得積分為0分”，事件“成都蓉城隊(duì)七月主場(chǎng)與隊(duì)比賽獲得積分超過客場(chǎng)與隊(duì)比賽獲得積分”．則．所以成都蓉城隊(duì)七月主場(chǎng)與隊(duì)比賽獲得積分超過客場(chǎng)與隊(duì)比賽獲得積分的概率為．（2）由題意可知的所有可能取值為，所以的分布列為：012346所以的期望18．【正確答案】(1)，(2)證明見解析(3)【詳解】（1）由，則，又當(dāng)時(shí)，，則，；（2）令，則，即，當(dāng)時(shí)，，且，即，即在上恒成立，由，可知，令，，且，即，則，所以，即在上單調(diào)遞增；（3）由已知，又由（1）得，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則恒成立，所以恒成立，又，即，解得.19．【正確答案】(1)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．(2)．(3)證明見解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增．綜上，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由題意，．①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，由，不合題意；②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增．由恒成立，得．即．令，恒成立，所以在單調(diào)遞減，且．故當(dāng)，符合題意，當(dāng)，不合題意．綜上，的取值范圍為．（3）由，得，且．由（2）可知，令，有可得，令可得即．由得即．兩邊取對(duì)數(shù)得，由上述不等式得于是，所以．當(dāng)時(shí)，，不等式成立；當(dāng)時(shí)，．即