教學(xué)多元函數(shù)的基本概念教學(xué)案例

推廣第八章一元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)注意:善于類比,區(qū)別異同多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第八章第一節(jié)一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的基本概念（1）鄰域一、多元函數(shù)的概念（2）區(qū)域例如，即為開集．連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域．例如，例如，有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域．例如，（3）聚點

內(nèi)點一定是聚點；說明：

邊界點可能是聚點；例(0,0)既是邊界點也是聚點．

點集E的聚點可以屬于E，也可以不屬于E．例如,(0,0)是聚點但不屬于集合．例如,邊界上的點都是聚點也都屬于集合．（3）n維空間n維空間的記號為說明：

n維空間中兩點間距離公式特殊地當(dāng)時，便為數(shù)軸、平面、空間兩點間的距離．設(shè)兩點為

n維空間中鄰域、區(qū)域等概念內(nèi)點、邊界點、區(qū)域等概念也可定義．鄰域：二、多元函數(shù)的概念

引例:

圓柱體的體積

定量理想氣體的壓強(qiáng)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束（1）二元函數(shù)的定義類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．稱為該函數(shù)的定義域，稱為自變量，稱為因變量數(shù)集稱為函數(shù)的值域在點的值記為例1求的定義域．解所求定義域為是有界閉區(qū)域例如的定義域是無界開區(qū)域的定義域不是區(qū)域（2）二元函數(shù)的圖形二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.圖形如右圖.例如,例如,左圖球面.單值分支:定義1設(shè)函數(shù)的定義域為是的內(nèi)點或邊界點，如果

以任何方式無限趨近于時，函數(shù)的對應(yīng)值總是無限趨近于某一個確定的常數(shù)則稱A為函數(shù)當(dāng)記為或這里三、多元函數(shù)的極限時的極限說明：（1）定義中的方式是任意的；（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似．例2求證

證當(dāng)時，原結(jié)論成立．例3求極限

解其中值或有的極限不存在，則可以斷定函數(shù)極限不存在.例4.討論函數(shù)函數(shù)趨于不同

若當(dāng)點以不同方式趨于解:設(shè)

沿直線

趨于點,則有在點的極限.值不同極限不同!在

點極限不存在.例4證明不存在．證取其值隨k的不同而變化，故極限不存在．不存在.觀察播放確定極限不存在的方法：利用點函數(shù)的形式有四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3對二元函數(shù)，如果則稱函數(shù)在點處連續(xù).例如,函數(shù)又如,函數(shù)上間斷.在圓周在點

極限不存在,

故

為其間斷點.注（1）（2）二元連續(xù)函數(shù)是一個無孔無縫的曲面如果函數(shù)在上各點處都連續(xù),則稱此函數(shù)在

上連續(xù)例5討論函數(shù)在(0,0)處的連續(xù)性．解取故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).當(dāng)時例6討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（1）最大值和最小值定理在有界閉區(qū)域上的多元連續(xù)函數(shù)，在上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次．（2）介值定理多元初等函數(shù)：由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)例如等都是二元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域．例７解多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意趨近方式的任意性）五、小結(jié)多元函數(shù)的定義思考題思考題解答不能.例取但是不存在.原因為若取練習(xí)題3、若,則________.,則_________.的定義域是__________.4、若函數(shù)練