第二章-隨機(jī)過程

確定信號：隨時間做有規(guī)律的、已知的變化?？梢杂么_定的時間函數(shù)來描述。如：方波、鋸齒波。人們可以準(zhǔn)確地預(yù)測它未來的變化，即：這次測出的是這種波形，下次測出的還是這種波形。確定信號隨機(jī)信號：隨時間做無規(guī)律的、未知的、“隨機(jī)”的變化。無法用確定的時間函數(shù)來描述，無法準(zhǔn)確地預(yù)測它未來的變化。這次測出的是這種波形，下次測出的會是另一種波形。隨機(jī)信號2.根據(jù)隨機(jī)過程的具體形式，求它的概率分布及各種數(shù)字特征；1.隨機(jī)過程的定義、分類；第2章隨機(jī)信號概論本章要求：第2章隨機(jī)信號概論§2.2隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性§2.3隨機(jī)序列及其統(tǒng)計特性§2.1隨機(jī)過程的概念及分類§2.1隨機(jī)過程的概念及分類隨機(jī)信號：隨時間做無規(guī)律的、未知的、“隨機(jī)”的變化。無法用確定的時間函數(shù)來描述，無法準(zhǔn)確地預(yù)測它未來的變化。這次測出的是這種波形，下次測出的會是另一種波形。接收機(jī)噪聲

！隨機(jī)信號的統(tǒng)計特性是確定的。因此，用統(tǒng)計學(xué)方法建立了隨機(jī)信號的數(shù)學(xué)模型→隨機(jī)過程。例：在相同條件下，對同一雷達(dá)接收機(jī)的內(nèi)部噪聲電壓（或電流）經(jīng)過大量的重復(fù)測試后，設(shè)觀測到的所有的可能結(jié)果有m種，記錄下m個不相同的波形。特定實(shí)驗(yàn)結(jié)果一個確知的時間函數(shù)一.隨機(jī)過程的定義定義1：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間S＝{ζ},若對每個元素ζ∈S，總有確知的時間函數(shù)X(t,ζ),t∈T與它相對應(yīng)；這樣，對于所有的ζ∈S，就可以得到一族時間t的函數(shù)，將其稱為隨機(jī)過程。族中的每一個函數(shù)稱為該過程的樣本函數(shù)。適用于對隨機(jī)過程的實(shí)際觀測用實(shí)驗(yàn)方法觀測到各個樣本樣本數(shù)目越多，越能掌握隨機(jī)過程的統(tǒng)計規(guī)律性常用于理論分析可以看成隨機(jī)變量的推廣（n維）隨機(jī)變量的維數(shù)越大，越能掌握隨機(jī)過程的統(tǒng)計規(guī)律性一個特定時間一個取決于ζ的隨機(jī)變量定義2：若對于每個特定的時間都是隨機(jī)變量，則稱為隨機(jī)過程。1一個時間函數(shù)族（t和ζ都是變量）2一個確知的時間函數(shù)（t是變量，而ζ固定）4一個確定值（t和ζ都固定）3一個隨機(jī)變量（t固定，而ζ是變量）隨機(jī)過程X(t)在四種不同情況下的含義二.隨機(jī)過程的分類·

按隨機(jī)過程X(t)的時間和狀態(tài)是離散還是連續(xù)進(jìn)行分類1連續(xù)型隨機(jī)過程——任意的都是連續(xù)型隨機(jī)變量；2離散型隨機(jī)過程——任意的都是離散型隨機(jī)變量；3連續(xù)隨機(jī)序列——任意離散時刻的狀態(tài)是連續(xù)型隨機(jī)變量；4離散隨機(jī)序列——隨機(jī)過程的時間和狀態(tài)都是離散的。狀態(tài)時刻連續(xù)型隨機(jī)過程連續(xù)連續(xù)連續(xù)隨機(jī)序列連續(xù)離散離散型隨機(jī)過程離散連續(xù)離散隨機(jī)序列離散離散按隨機(jī)過程的樣本函數(shù)的形式不同進(jìn)行分類不確定性隨機(jī)過程——樣本函數(shù)的未來值不能由過去的觀測值準(zhǔn)確預(yù)測；確定性隨機(jī)過程——樣本函數(shù)的未來值可以由過去的觀測值預(yù)測。隨機(jī)相位信號:Asin(

t+Φ)U(0,2

)

按隨機(jī)過程X(t)的的分布函數(shù)或概率密度的不同特性分類正態(tài)過程、馬爾可夫過程、獨(dú)立增量過程平穩(wěn)性過程、遍歷性寬帶過程、窄帶過程、白噪聲、有色噪聲EXIT§2.2隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性隨機(jī)過程是一族依賴于時間t的隨機(jī)變量。因此，可以借用對隨機(jī)變量的分析來“替代”或“近似”對隨機(jī)過程的分析研究。而隨機(jī)過程作為一族時間函數(shù)，在具體某次試驗(yàn)中出現(xiàn)哪個時間函數(shù)是服從某種概率分布的，這就要求分析隨機(jī)過程必須采用統(tǒng)計的方法來描述。統(tǒng)計特性的描述方法有兩種：一是通過分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述；另一種是利用數(shù)字特征來描述。一.隨機(jī)過程的概率分布

時刻采樣，得到一族隨機(jī)變量1.一維概率分布隨機(jī)過程在任一特定時刻取樣得到隨機(jī)變量，其概率分布為稱作隨機(jī)過程X(t)的一維分布函數(shù)。求偏導(dǎo)數(shù)數(shù)可得稱作隨機(jī)過程X(t)的一維概率密度。隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)和一維概率密度具有一維隨機(jī)變量的一維分布函數(shù)和一維概率密度的各種性質(zhì)；隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)和一維概率密度還是時間t的函數(shù)；隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)和一維概率密度描述該隨機(jī)過程在任一孤立時刻取值的統(tǒng)計特性。X(t)tt1X(t1)t2X(t2)二維概率分布2.二維概率分布隨機(jī)過程X(t)的二維分布函數(shù)為隨機(jī)過程X(t)的二維概率密度為！X(t1)及X(t2)為同一隨機(jī)過程上的隨機(jī)變量。X(t)tt1X(t1)t2X(t2)tnX(tn)隨機(jī)過程X(t)的n維分布函數(shù)為

隨機(jī)過程X(t)的n維概率密度為3.n維概率分布

隨機(jī)過程X(t)的n維分布函數(shù)的主要性質(zhì)：1、2、3、4、5、6、如果統(tǒng)計獨(dú)立，則有例設(shè)隨機(jī)振幅信號，其中是常數(shù)，Y是均值為零，方差為1的正態(tài)隨機(jī)變量，求時的概率密度。解由X(0)=Y可知可得：不論Y值的大小，當(dāng)時，X(t)=0，即P{X(t)=0}=1，這就是說X(t)的分布函數(shù)，因此其概率密度函數(shù)為沖激函數(shù)。***雖然隨機(jī)過程的概率分布族能夠完整地描述其統(tǒng)計特性，但在實(shí)際應(yīng)用中確定這些分布特性非常困難，甚至不可行***二.隨機(jī)過程的數(shù)字特征區(qū)別：隨機(jī)變量的數(shù)字特征通常是確定值；隨機(jī)過程的數(shù)字特征通常是確定性函數(shù)。

計算方法：先把時間t固定，然后用隨機(jī)變量的分析方法來計算。

如果將過程X(t)中的t看成是固定的，則X(t)就是一個隨機(jī)變量。設(shè)它隨機(jī)的取值x，則其在t時刻取x值的概率密度為。因此，期望的定義：

mx(t)描述了X(t)所有樣本函數(shù)在各個時刻擺動的中心——X(t)在各個時刻的狀態(tài)(隨機(jī)變量)的數(shù)學(xué)期望。1、數(shù)學(xué)期望

物理意義：如果隨機(jī)過程表示接收機(jī)的輸出電壓，那么它的數(shù)學(xué)期望就是輸出電壓的瞬時統(tǒng)計平均值。

2、均方值與方差

隨機(jī)過程在任一時刻t的取值是一個隨機(jī)變量。稱其二階原點(diǎn)矩為隨機(jī)過程的均方值，把二階中心矩記作隨機(jī)過程的方差。即：

隨機(jī)過程

的均方差：物理意義：如果表示噪聲電壓，則均方值和方差分別表示消耗在單位電阻上的瞬時功率統(tǒng)計平均值和瞬時交流功率統(tǒng)計平均值。

X(t)Y(t)Z(t)X’(t)Y’(t)Z’(t)***identicalmeanbutdifferentvariance***例設(shè)隨機(jī)振幅信號為X(t)=Qsin(

0t)，其中

0

為常數(shù)，Q

為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，求該隨機(jī)信號的均值和方差？解：均值方差3、自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)用來描述隨機(jī)過程任意兩個時刻狀態(tài)間的統(tǒng)計關(guān)聯(lián)程度，通常用描述。

若t1=t2=t，則有例如果隨機(jī)過程X(t)為：X(t)=Vcos4t，式中V是隨機(jī)變量，數(shù)學(xué)期望為5、方差為6，求隨機(jī)過程的均值和自相關(guān)函數(shù).解：

4、自協(xié)方差函數(shù)若用隨機(jī)過程的兩個不同時刻之間的二階混合中心矩來定義相關(guān)函數(shù)，我們稱之為自協(xié)方差。用表示，它反映了任意兩個時刻的起伏值之間相關(guān)程度。

自協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系自協(xié)方差和方差的關(guān)系:若t1=t2=t，則有5、互相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)是描述一個隨機(jī)過程本身內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)字特征，而互相關(guān)函數(shù)則是描述兩個隨機(jī)過程間統(tǒng)計關(guān)聯(lián)特性的數(shù)字特征。中心化互相關(guān)函數(shù)，也稱互協(xié)方差函數(shù)為兩個隨機(jī)過程的互相關(guān)函數(shù)定義為6、統(tǒng)計獨(dú)立、不相關(guān)和正交1)、隨機(jī)過程X(t)和Y(t)互相統(tǒng)計獨(dú)立若對任意的則稱X(t)和Y(t)之間是互相統(tǒng)計獨(dú)立。對二維概率密度則有：互協(xié)方差函數(shù)互相關(guān)函數(shù)2).若兩個隨機(jī)過程X(t)和Y(t)的互協(xié)方差函數(shù)為零,即

,則稱X(t)和Y(t)之間互不相關(guān)。!兩個過程互相獨(dú)立，則必不相關(guān)，反之則不一定成立；兩過程正交不一定不相關(guān)，除非它們至少有一個零均值。3).若兩個隨機(jī)過程X(t)和Y(t)之間的互相關(guān)函數(shù)等于零，即對任意t1，t2有：則兩過程正交。例設(shè)隨機(jī)過程X(t)=U·t，U在(0,1)上均勻分布，求E[X(t)]，D[X(t)]，Rx(t1,t2)，Cx(t1,t2)。解：例2.3若一隨機(jī)過程由下圖所示的四條樣本函數(shù)組成，而且每條樣本函數(shù)出現(xiàn)的概率相等，求RX(t1,t2)。解：由題意可知，隨機(jī)過程X(t)在t1,t2兩個時刻為兩個離散隨機(jī)變量。所以可列出聯(lián)合分布率如下：X(t1)X(t2)P

i

1

151/4

2

241/4

3621/4

4311/4三.隨機(jī)過程的特征函數(shù)對某一固定t時刻的狀態(tài),則隨機(jī)變量X(t)的一維特征函數(shù)：將t看成變量，就是隨機(jī)過程X(t)的特征函數(shù)。其逆變換：n階原點(diǎn)矩：1.一維特征函數(shù)2.二維特征函數(shù)隨機(jī)過程X(t)在任意兩個時刻t1,t2的狀態(tài)構(gòu)成二維隨機(jī)變量[X(t1),X(t2)]，它們的聯(lián)合特征函數(shù)為：稱作隨機(jī)過程X(t)的二維特征函數(shù)。其逆變換：因此，隨機(jī)過程X(t)的相關(guān)函數(shù)為：上式兩邊對變量u1，u2各求一次偏導(dǎo)數(shù)，3.n維特征函數(shù)其逆變換：EXIT§2.3隨機(jī)序列及其統(tǒng)計特性連續(xù)隨機(jī)過程X(t)以ts為間隔進(jìn)行等間隔抽樣,得隨機(jī)序列。表示為：一個N點(diǎn)隨機(jī)序列可看成是一個