2025年北師大版高二數(shù)學下冊階段測試試卷含答案

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年北師大版高二數(shù)學下冊階段測試試卷含答案考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五總分得分評卷人得分一、選擇題(共9題，共18分)1、正方體ABCD-A1B1C1D1中，與A1B成45°角的棱有（）

A.2條。

B.4條。

C.6條。

D.8條。

2、已知且則等于()A.－1B.－9C.9D.13、【題文】某種細菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘分裂一次（一個分裂二個）經(jīng)過3小時，這種細菌由1個可以繁殖成（）A.511個B.512個C.1023個D.1024個4、已知曲線在點(-1,a+2)處切線的斜率為8，a=（）A.9B.6C.-9D.-6____5、在等比數(shù)列{an}（n∈N*）中，若a1=1，a4=則該數(shù)列的前10項和為（）A.B.C.D.6、在統(tǒng)計中，樣本的標準差可以近似地反映總體數(shù)據(jù)的（）A.平均狀態(tài)B.分布規(guī)律C.離散程度D.最大值和最小值7、用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60度”時，反設(shè)正確的是（）A.假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度B.假設(shè)三內(nèi)角都大于60度C.假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于60度D.假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60度8、不等式x2-2x+3＜0的解集是（）A.{x|-1＜x＜3}B.{x|-3＜x＜1}C.{x|x＜-3或x＞1}D.?9、盒子中分別有紅球3個、白球2個、黑球1個，共6個球，從中任意取出兩個球，則與事件“至少有一個白球”互斥而不對立的事件是（）A.都是白球B.至少有一個紅球C.至少有一個黑球D.紅、黑球各一個評卷人得分二、填空題(共9題，共18分)10、如圖所示，在山腰測得山頂仰角∠CAB=45°沿傾斜角為30°的斜坡走1000米至S點，又測得山頂仰角∠DSB=75°，則山頂高BC為____米．

11、已知變量x，y滿足約束條件則2x+y的最小值為____．12、拋物線的焦點坐標為．13、已知，如圖所示的正方體的棱長為4，E、F分別為A1D1、AA1的中點，過C1、E、F的截面的周長為___________________.14、【題文】某班有學生48人，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個容量為4的樣本，知座位號分別為6，30，42的同學都在樣本中，那么樣本中另一位同學的座位號應(yīng)該是____．15、【題文】在等差數(shù)列｛an｝中，前n項和為Sn，若S19=31，S31=19，則S50的值是______16、【題文】．函數(shù)的最小正周期為____；遞減區(qū)間為____。17、設(shè)n∈N*，f（n）=5n+2×3n﹣1+1，通過計算n=1，2，3，4時，f（n）的值，可以猜想f（n）能被最大整數(shù)____整除．18、設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（3，σ2），若P（ξ＜2a-3）=P（ξ＞a+3），則實數(shù)a的值為______．評卷人得分三、作圖題(共7題，共14分)19、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

20、A是銳角MON內(nèi)部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小．（如圖所示）21、已知，A，B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點，使得PA+PB最?。ㄈ鐖D所示）22、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

23、A是銳角MON內(nèi)部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最?。ㄈ鐖D所示）24、已知，A，B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點，使得PA+PB最小．（如圖所示）25、分別畫一個三棱錐和一個四棱臺．評卷人得分四、解答題(共4題，共32分)26、【題文】已知向量設(shè)函數(shù)

（Ⅰ）求函數(shù)的解析式，并求在區(qū)間上的最小值；

（Ⅱ）在中，分別是角的對邊，為銳角，若的面積為求27、當n∈N*時，Tn=++++．（Ⅰ）求S1，S2，T1，T2；

（Ⅱ）猜想Sn與Tn的關(guān)系，并用數(shù)學歸納法證明．28、已知直線l1的參數(shù)方程為：t為參數(shù)．

（1）將直線l1的參數(shù)方程化成直線的普通方程（寫成一般式）；

（2）已知直線l2：x+y-2=0，判斷l(xiāng)1與l2是否相交，如果相交，請求出交點坐標．29、已知函數(shù)f(x)=ax+lnx

其中a隆脢R

．

(

Ⅰ)

若f(x)

在區(qū)間[1,2]

上為增函數(shù)；求a

的取值范圍；

(

Ⅱ)

當a=鈭?e

時；證明：f(x)+2鈮?0

(

Ⅲ)

當a=鈭?e

時，試判斷方程|f(x)|=lnxx+32

是否有實數(shù)解，并說明理由．評卷人得分五、計算題(共2題，共10分)30、已知等式在實數(shù)范圍內(nèi)成立，那么x的值為____．31、在（1+x）6（1+y）4的展開式中，記xmyn項的系數(shù)為f（m，n），求f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）的值．參考答案一、選擇題(共9題，共18分)1、D【分析】

如圖所示：

在正方形ABB1A1中，AA1、AB、BB1、A1B1與A1B均成45°角；

根據(jù)線線角的定義知，DD1、CC1、DC、D1C1都與A1B成45°角；

所以滿足條件的棱有8條；

故選D．

【解析】【答案】根據(jù)線線角的定義在正方體中逐一尋找判斷即可．

2、C【分析】試題分析：由得，得考點：平面向量的坐標運算、平面向量平行的充要條件【解析】【答案】C3、B【分析】【解析】

考點：有理數(shù)的乘方．

分析：先算出經(jīng)過3小時細胞分裂的次數(shù)；列出關(guān)系式求解即可．

解：∵3小時=180分鐘；

∴經(jīng)過3小時細胞分裂的次數(shù)==9（次）；

∴經(jīng)過3小時，這種細菌由1個可繁殖成29=512個．

故選B．【解析】【答案】B4、D【分析】解答：由題意可知，解得a=-6分析：函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)值是該點切線的斜率，這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義。屬于基礎(chǔ)題。5、B【分析】【解答】解：由

所以．

故選B．

【分析】先由等比數(shù)列的通項公式求出公比q，再根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式求前10項和即可．6、C【分析】【分析】由樣本的標準差的數(shù)學意義，其可以近似地反映總體數(shù)據(jù)的離散程度．故選C．7、B【分析】【解答】反證法首先假設(shè)所要證明的結(jié)論的反面成立；本題中內(nèi)角中至少有一個不大于60度的反面是三內(nèi)角都大于60度，因此應(yīng)反設(shè)三內(nèi)角都大于60度。

故選B。

【分析】反證法解證明題的步驟：1，假設(shè)要證明的結(jié)論的反面成立，2，由假設(shè)出發(fā)推出與已知或定理發(fā)生矛盾的結(jié)果，3，否定假設(shè)即說明原結(jié)論成立8、D【分析】解：根據(jù)題意，x2-2x+3=（x-1）2+2；

分析易得方程x2-2x+3=0無解；

則不等式x2-2x+3＜0的解集?；

故選：D．

根據(jù)題意，對x2-2x+3變形分析可得方程x2-2x+3=0無解；由一元二次不等式的解法分析可得答案．

本題考查了求一元二次不等式的解集的問題，解題時應(yīng)先判定對應(yīng)方程解的情況，是容易題．【解析】【答案】D9、D【分析】解：由于事件“至少有一個白球”與沒有白球是互斥的；沒有白球包含2個全是紅球，或1個紅球和一個黑球；

故則與事件“至少有一個白球”互斥而不對立的事件是紅；黑球各一個；

故選：D

由于至少有一個白球與紅；黑球各一個；故它們是互斥事件．再根據(jù)它們的并事件不是必然事件，可得它們是么互斥而不對立的兩個事件．

本題主要考查互斥事件、對立事件的定義，屬于基礎(chǔ)題．【解析】【答案】D二、填空題(共9題，共18分)10、略

【分析】

依題意；過S點作SE⊥AC于E，SH⊥AB于H；

∵∠SAE=30°；AS=1000米；

∴CD=SE=AS?sin30°=500米；

依題意；在Rt△HAS中，∠HAS=45°-30°=15°；

∴HS=AS?sin15°；

在Rt△BHS中；∠HBS=30°；

∴BS=2HS=2000sin15°；

在Rt△BSD中；BD=BS?sin75°

=2000sin15°?sin75°

=2000sin15°?cos15°

=1000×sin30°

=500米．

∴BC=BD+CD=1000米．

故答案為：1000．

【解析】【答案】作出圖形；過點S作SE⊥AC于E，SH⊥AB于H，依題意可求得SE在△BDS中利用正弦定理可求BD的長，從而可得山頂高BC．

11、略

【分析】

畫出可行域；

由圖得當把2x+y=z平移到過直線x-y=0與直線x=1的交點C（1；1）處；

目標函數(shù)z有最小值為：z=2x+y=2×1+1=3．

故答案為：3．

【解析】【答案】由線性約束條件畫出可行域；結(jié)合圖象平移目標函數(shù)即可求出目標函數(shù)的最小值．

12、略

【分析】試題分析：由拋物線的焦點坐標為得：（1，0）考點：拋物線的焦點【解析】【答案】（1，0）13、略

【分析】【解析】試題分析：由∥平面可知平面與平面的交線為平面與平面的交線為所以截面周長為考點：利用線面平行的判定和性質(zhì)做兩面交線【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】

試題分析：按系統(tǒng)抽樣的方法；抽取一個容量為4的樣本，應(yīng)分4組，每組12個樣本，因為，6號在第一組中，所以，第二組中應(yīng)抽到12+6=18，即樣本中另一位同學的座位號應(yīng)該是18.

考點：本題主要考查系統(tǒng)抽樣方法。

點評：簡單題，按系統(tǒng)抽樣的方法，在第1段用簡單隨機抽樣確定起始的個體編號通常是將加上間隔得到第2個編號再將加上得到第3個編號這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個樣本?！窘馕觥俊敬鸢浮?815、略

【分析】【解析】解：設(shè)等差數(shù)列公差為d，依題意可知S19=19a1+9×19d=31

S31=31a1+15×31d=19∴S31-S19="12"a1+12×492d

又S19=31，S31=19；

故a1+492=-1

∴S50=50×a1+50×492d=-50

故答案為-50【解析】【答案】-5016、略

【分析】【解析】此題考查三角函數(shù)周期的求法、單調(diào)區(qū)間的求法；函數(shù)的周期是函數(shù)的周期是所以的最小正周期為因為所以函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性相反；因為。

所以函數(shù)的遞減區(qū)間是[],k∈Z【解析】【答案】[],k∈Z17、8【分析】【解答】解：由題意；f（1）=8，f（2）=32，f（3）=144，f（4）=680；

∴f（n）能被最大整數(shù)8整除．

故答案為：8

【分析】通過計算n=1，2，3，4時，f（n）的值，可以猜想結(jié)論．18、略

【分析】解：∵隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（3，σ2）；

∵P（ξ＜2a-3）=P（ξ＞a+3）；

∴2a-3與a+3關(guān)于x=3對稱；

∴2a-3+a+3=6；

∴3a=6；

∴a=2；

故答案為：2．

根據(jù)隨機變量符合正態(tài)分布；又知正態(tài)曲線關(guān)于x=3對稱，得到兩個概率相等的區(qū)間關(guān)于x=3對稱，得到關(guān)于a的方程，解方程即可．

本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，本題主要考查曲線關(guān)于x=3對稱，考查關(guān)于直線對稱的點的特點，本題是一個基礎(chǔ)題．【解析】2三、作圖題(共7題，共14分)19、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出B點與河面的對稱點B′，連接AB′，AB′與河面的交點C即為所求．【解析】【解答】解：作B點與河面的對稱點B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質(zhì)可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點之間線段最短的性質(zhì)可知；C點即為所求．

20、略

【分析】【分析】作出A關(guān)于OM的對稱點A'，關(guān)于ON的A對稱點A''，連接A'A''，根據(jù)兩點之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關(guān)于OM的對稱點A'；關(guān)于ON的A對稱點A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關(guān)于OM對稱；A與A″關(guān)于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．21、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點之間，線段最短，連接兩點與直線的交點即為所求作的點．【解析】【解答】解：連接兩點與直線的交點即為所求作的點P；

這樣PA+PB最?。?/p>

理由是兩點之間，線段最短．22、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出B點與河面的對稱點B′，連接AB′，AB′與河面的交點C即為所求．【解析】【解答】解：作B點與河面的對稱點B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質(zhì)可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點之間線段最短的性質(zhì)可知；C點即為所求．

23、略

【分析】【分析】作出A關(guān)于OM的對稱點A'，關(guān)于ON的A對稱點A''，連接A'A''，根據(jù)兩點之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關(guān)于OM的對稱點A'；關(guān)于ON的A對稱點A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關(guān)于OM對稱；A與A″關(guān)于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．24、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點之間，線段最短，連接兩點與直線的交點即為所求作的點．【解析】【解答】解：連接兩點與直線的交點即為所求作的點P；

這樣PA+PB最?。?/p>

理由是兩點之間，線段最短．25、解：畫三棱錐可分三步完成。

第一步：畫底面﹣﹣畫一個三角形；

第二步：確定頂點﹣﹣在底面外任一點；

第三步：畫側(cè)棱﹣﹣連接頂點與底面三角形各頂點．

畫四棱可分三步完成。

第一步：畫一個四棱錐；

第二步：在四棱錐一條側(cè)棱上取一點；從這點開始，順次在各個面內(nèi)畫與底面對應(yīng)線段平行的線段；

第三步：將多余線段擦去．

【分析】【分析】畫三棱錐和畫四棱臺都是需要先畫底面，再確定平面外一點連接這點與底面上的頂點，得到錐體，在畫四棱臺時，在四棱錐一條側(cè)棱上取一點，從這點開始，順次在各個面內(nèi)畫與底面對應(yīng)線段平行的線段，將多余線段擦去，得到圖形．四、解答題(共4題，共32分)26、略

【分析】【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）3分。

因為所以

所以當時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為6分。

（Ⅱ）由得：

化簡得：又因為解得：9分。

由題意知：解得又

12分。

考點：解三角形。

點評：主要是考查了三角函數(shù)中二倍角公式以及正弦定理和余弦定理的運用，屬于中檔題?！窘馕觥俊敬鸢浮浚?）=（2）27、解：（Ⅰ）∵當n∈N*時，Tn=++++．∴S1=1﹣=S2=1﹣+﹣=T1==T2=+=

（Ⅱ）猜想：Sn=Tn（n∈N*）；即：

1﹣+﹣++﹣=++++

（n∈N*）

下面用數(shù)學歸納法證明：

①當n=1時，已證S1=T1

②假設(shè)n=k時，Sk=Tk（k≥1，k∈N*）；

即：1﹣+﹣++﹣=++

則：Sk+1=Sk+﹣=Tk+﹣

=+++﹣

=++++（﹣）

=++++=Tk+1；

由①，②可知，對任意n∈N*，Sn=Tn都成立．【分析】【分析】（Ⅰ）由已知直接利用n=1，2，求出S1，S2，T1，T2的值；（Ⅱ）利用（1）的結(jié)果，直接猜想Sn=Tn，然后利用數(shù)學歸納法證明，①驗證n=1時猜想成立；②假設(shè)n=k時，Sk=Tk，通過假設(shè)證明n=k+1時猜想也成立即可．28、略

【分析】

（1）將參數(shù)方程消去參數(shù)t；化為普通方程．

（2）兩直線斜率不相同，因此它們相交，再把這兩條直線的方程聯(lián)立方程求得它們的交點的坐標．

本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，求兩條曲線的交點坐標，屬于基礎(chǔ)題．【解析】解：（1）將參數(shù)方程化為普通方程：x+2y-7=0．

（2）兩直線斜率不相同；因此它們相交，下面求它們的求點坐標：

聯(lián)立方程解得：

可得交點的坐標為（-3，5）．29、略

【分析】

(

Ⅰ)

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；分離出a

結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a

的范圍即可；

(

Ⅱ)

解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式；求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出f(x)

的最大值，證出結(jié)論；

(

Ⅲ)

求出|f(x)|鈮?2

令g(x)=lnxx+32

求出g(x)

的最大值小于|f(x)|

的最小值，從而判斷無解．

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題．【解析】解：函數(shù)f(x)

定義域x隆脢(0,+隆脼)f隆盲(x)=a+1x

(

Ⅰ)

因為f(x)

在區(qū)間[1,2]

上為增函數(shù)；

所以f隆盲(x)鈮?0

在x隆脢[1,2]

上恒成立；

即f隆盲(x)=a+1x鈮?0a鈮?鈭?1x

在x隆脢[1,2]

上恒成立，則a鈮?鈭?12

．

(

Ⅱ)

當a=鈭?e

時，f(x)=鈭?ex+lnxf隆盲(x)=鈭?ex+1x

．

令f隆盲(x)=0

得x=1e

令f隆盲(x)>0

得x隆脢(0,1e)