《離散數(shù)學(xué)半群與群》課件

離散數(shù)學(xué)半群與群課程概述介紹離散數(shù)學(xué)半群和群的定義、性質(zhì)、以及重要定理。通過(guò)理論講解和例題分析，幫助學(xué)生掌握半群和群的基本概念和運(yùn)算。培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，以及邏輯思維能力。集合相關(guān)概念復(fù)習(xí)集合的定義集合是指具有某種共同特征的事物的總體。例如：所有自然數(shù)的集合，所有偶數(shù)的集合。集合的表示方法集合的表示方法主要有列舉法和描述法。列舉法將集合中的元素一一列舉出來(lái)，描述法則用語(yǔ)言描述集合的特征。集合的運(yùn)算集合的運(yùn)算包括并集、交集、補(bǔ)集等，這些運(yùn)算用于描述集合之間的關(guān)系。二元運(yùn)算與運(yùn)算律二元運(yùn)算將集合中的兩個(gè)元素組合成一個(gè)新元素的運(yùn)算。交換律運(yùn)算順序不影響結(jié)果，例如a+b=b+a。結(jié)合律運(yùn)算順序不影響結(jié)果，例如(a+b)+c=a+(b+c)。單位元存在一個(gè)元素，與任何元素運(yùn)算后，結(jié)果不變。半群的定義和性質(zhì)1定義一個(gè)集合S和S上的二元運(yùn)算·，如果滿足結(jié)合律，則稱(S,·)為一個(gè)半群。2性質(zhì)半群中的結(jié)合律是半群的基本性質(zhì)，它保證了運(yùn)算的順序不影響結(jié)果。3例子自然數(shù)集N上的加法運(yùn)算就是一個(gè)半群，因?yàn)樗鼭M足結(jié)合律。半群的子半群定義設(shè)S是一個(gè)半群，T是S的一個(gè)非空子集，如果T對(duì)S中的二元運(yùn)算封閉，即對(duì)任意a,b∈T，都有a*b∈T，則稱T是S的子半群。性質(zhì)一個(gè)半群的子半群也是一個(gè)半群，因?yàn)樽影肴簼M足半群的定義，它擁有封閉性、結(jié)合律。例子例如，整數(shù)集Z在加法運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)半群，而正整數(shù)集Z+也是Z的一個(gè)子半群，因?yàn)檎麛?shù)集在加法運(yùn)算下封閉。半群的同構(gòu)與同余關(guān)系同構(gòu)是指兩個(gè)半群之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，且該對(duì)應(yīng)關(guān)系保持了半群的運(yùn)算結(jié)構(gòu)。同余關(guān)系是指半群上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，它滿足一定的性質(zhì)，使得等價(jià)類也構(gòu)成一個(gè)半群。同構(gòu)和同余關(guān)系是研究半群結(jié)構(gòu)的重要工具，它們可以幫助我們理解半群的性質(zhì)和之間的聯(lián)系。群的定義和性質(zhì)定義群是由集合和二元運(yùn)算構(gòu)成的代數(shù)結(jié)構(gòu)。它滿足以下性質(zhì)：封閉性：任意兩個(gè)元素的運(yùn)算結(jié)果也在集合中結(jié)合律：運(yùn)算滿足結(jié)合律單位元：存在一個(gè)單位元，使得任何元素與它運(yùn)算都得到本身逆元：每個(gè)元素都有一個(gè)逆元，使得它與逆元運(yùn)算得到單位元性質(zhì)群具有許多重要性質(zhì)，例如：?jiǎn)挝辉俏ㄒ坏拿總€(gè)元素的逆元是唯一的運(yùn)算滿足消去律群的子群定義一個(gè)群的子群是一個(gè)非空子集，在這個(gè)子集上群運(yùn)算封閉且滿足群的公理.例子整數(shù)集在加法運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)群，偶數(shù)集是它的一個(gè)子群.性質(zhì)子群的交集也是子群，但是并集不一定.群的生成元和循環(huán)群1生成元一個(gè)群中的生成元是指一個(gè)元素，通過(guò)它可以生成群中的所有元素。2循環(huán)群如果一個(gè)群的所有元素都可以由一個(gè)元素生成，那么這個(gè)群被稱為循環(huán)群。3性質(zhì)循環(huán)群具有許多獨(dú)特的性質(zhì)，例如，循環(huán)群一定是交換群。群的同構(gòu)與同余關(guān)系同構(gòu)兩個(gè)群的結(jié)構(gòu)相同，但元素不同。例如，循環(huán)群和加法群同構(gòu)。同余關(guān)系群中的元素之間存在等價(jià)關(guān)系，形成等價(jià)類。拉格朗日定理子群數(shù)量子群數(shù)量子群數(shù)量子群數(shù)量子群數(shù)量拉格朗日定理揭示了有限群的子群數(shù)量與群的階數(shù)之間的關(guān)系同態(tài)和等價(jià)1同態(tài)的概念同態(tài)是將一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)映射到另一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)，同時(shí)保持代數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)。2同態(tài)的類型同態(tài)可以是單射、滿射或雙射，分別對(duì)應(yīng)著同構(gòu)、滿同態(tài)和同構(gòu)。3等價(jià)關(guān)系等價(jià)關(guān)系是將一個(gè)集合中的元素劃分為等價(jià)類，滿足自反性、對(duì)稱性和傳遞性。正規(guī)子群定義若一個(gè)群G的子群N滿足：對(duì)于任意g∈G，有g(shù)N=Ng，則稱N為G的正規(guī)子群。重要性質(zhì)正規(guī)子群的陪集構(gòu)成一個(gè)群，稱為商群。正規(guī)子群是群的同態(tài)像。商群定義商群是指一個(gè)群除以它的一個(gè)正規(guī)子群所得的群.構(gòu)造通過(guò)定義一個(gè)等價(jià)關(guān)系，把群中的元素劃分成若干個(gè)等價(jià)類，這些等價(jià)類構(gòu)成商群的元素.應(yīng)用商群在群論、抽象代數(shù)和拓?fù)鋵W(xué)等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用.同構(gòu)定理第一同構(gòu)定理設(shè)G是一個(gè)群，N是G的一個(gè)正規(guī)子群，則G/N與G在N中的商群同構(gòu)。第二同構(gòu)定理設(shè)G是一個(gè)群，H和K是G的兩個(gè)子群，其中K是G的正規(guī)子群，則H/(H∩K)與(HK)/K同構(gòu)。第三同構(gòu)定理設(shè)G是一個(gè)群，N和M是G的兩個(gè)正規(guī)子群，且N包含于M，則(G/N)/(M/N)與G/M同構(gòu)。群的直積定義多個(gè)群的直積是將這些群的元素組合成新的元素形成的群。運(yùn)算直積群的運(yùn)算定義為對(duì)應(yīng)元素的運(yùn)算。性質(zhì)直積群具有結(jié)合律、單位元、逆元等性質(zhì)。群的同胚同胚關(guān)系是指兩個(gè)群之間存在一個(gè)雙射，這個(gè)雙射保持了群的運(yùn)算性質(zhì)。同胚是群論中一種重要的關(guān)系，它可以幫助我們理解不同群之間的聯(lián)系。通過(guò)研究同胚關(guān)系，我們可以將不同的群進(jìn)行分類和比較。群的表示矩陣表示通過(guò)矩陣運(yùn)算來(lái)表示群元素。置換表示通過(guò)置換操作來(lái)表示群元素。線性表示通過(guò)線性變換來(lái)表示群元素。對(duì)稱群定義對(duì)稱群是指一個(gè)集合上的所有置換構(gòu)成的群，它是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。性質(zhì)對(duì)稱群擁有許多獨(dú)特的性質(zhì)，比如它是非交換群，而且它的階數(shù)等于集合元素的階乘。應(yīng)用對(duì)稱群在密碼學(xué)、組合數(shù)學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。循環(huán)群定義由一個(gè)元素生成的群稱為循環(huán)群，該元素稱為群的生成元。性質(zhì)循環(huán)群是交換群，且其所有子群也是循環(huán)群。例子整數(shù)加法群、模n加法群都是循環(huán)群。平移群1定義平移群是指由所有平移變換組成的群。它是一個(gè)無(wú)限群，其元素是平移向量。2運(yùn)算平移群的運(yùn)算為向量加法，即兩個(gè)平移向量的合成。3性質(zhì)平移群是一個(gè)交換群，這意味著平移向量的加法滿足交換律。矩陣群定義由可逆矩陣組成的集合，在矩陣乘法運(yùn)算下構(gòu)成群。性質(zhì)矩陣群滿足群的公理，例如封閉性、結(jié)合律、單位元和逆元存在。應(yīng)用廣泛應(yīng)用于線性代數(shù)、幾何學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域，用于描述線性變換、旋轉(zhuǎn)、平移等。酉群定義酉群是指由所有酉矩陣構(gòu)成的群，酉矩陣是指其共軛轉(zhuǎn)置等于其逆矩陣的矩陣。性質(zhì)酉群具有許多重要的性質(zhì)，例如，其元素都是酉矩陣，其運(yùn)算滿足群的公理，并且酉群是緊致群。應(yīng)用酉群在量子力學(xué)、信號(hào)處理等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。正交群定義正交群是指由歐幾里得空間中所有保持向量長(zhǎng)度和角度的線性變換組成的群。性質(zhì)正交群的元素可以理解為旋轉(zhuǎn)、反射和它們的組合。李群李群是一個(gè)光滑流形，同時(shí)也是一個(gè)群。李群的元素可以表示為矩陣，并且群運(yùn)算可以用矩陣乘法表示。李群在物理學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，例如描述旋轉(zhuǎn)、平移、縮放等變換。特殊線性群1定義特殊線性群是指所有行列式為1的n階可逆矩陣構(gòu)成的群，記為SL(n,F)。2性質(zhì)特殊線性群是一個(gè)非交換