2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之概率

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之概率一．選擇題（共10小題）1．若隨機(jī)變量ξ～N（3，σ2），且P（ξ＞4）＝0.2，則P（2＜ξ＜3）＝（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.52．已知隨機(jī)事件A，B發(fā)生的概率分別為P（A）＝0.5，P（B）＝0.4，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若P（AB）＝0.9，則A，B相互獨(dú)立 B．若A，B相互獨(dú)立，則P（A|B）＝0.6 C．若P（A|B）＝0.5，則P（AB）＝0.25 D．若B?A，則P（B|A）＝0.83．如圖，一個(gè)電路中有A，B，C三個(gè)電器元件，每個(gè)元件正常工作的概率均為12A．18 B．38 C．58 4．某大學(xué)一宿舍4名同學(xué)參加2024年研究生招生考試，其中兩人順利上初試線，還有兩人差幾分上線，這兩名學(xué)生準(zhǔn)備從A，B，C，D，E，F(xiàn)這6所大學(xué)中任選三所大學(xué)申請(qǐng)調(diào)劑，則這兩名學(xué)生在選擇了相同大學(xué)的條件下，恰好選擇了兩所相同大學(xué)的概率為（）A．1819 B．1019 C．919 5．有甲、乙兩臺(tái)車床加工同一種零件，且甲、乙兩臺(tái)車床的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的70%，30%，甲、乙兩臺(tái)車床的正品率分別為94%，92%．現(xiàn)從一批零件中任取一件，則取到正品的概率為（）A．0.93 B．0.934 C．0.94 D．0.9456．英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，隨機(jī)事件A，B存在如下關(guān)系：P(A|B)=P(A)P(BA．4951000 B．9951000 C．1011 7．長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某學(xué)校學(xué)生中，大約有15的學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)1h，這些人近視率約為12，其余學(xué)生的近視率約為A．15 B．716 C．25 8．某罐中裝有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)紅球和3個(gè)綠球，每次不放回地隨機(jī)摸出1個(gè)球．記R1＝“第一次摸球時(shí)摸到紅球”，G1＝“第一次摸球時(shí)摸到綠球”，R2＝“第二次摸球時(shí)摸到紅球”，G2＝“第二次摸球時(shí)摸到綠球”，R＝“兩次都摸到紅球”，G＝“兩次都摸到綠球”，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．P（R）＝P（R1）?P（R2） B．P（G）＝P（G1）+P（G2） C．P(R2|R1)=12 D．P（G2|G1）+9．質(zhì)數(shù)（primenumber）又稱素?cái)?shù)，一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，則這個(gè)數(shù)為質(zhì)數(shù)，數(shù)學(xué)上把相差為2的兩個(gè)素?cái)?shù)叫做“孿生素?cái)?shù)”．如：3和5，5和7……，在1900年的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)上，著名數(shù)學(xué)家希爾伯特提出了23個(gè)問(wèn)題，其中第8個(gè)就是大名鼎鼎的孿生素?cái)?shù)猜想：即存在無(wú)窮多對(duì)孿生素?cái)?shù)．我國(guó)著名數(shù)學(xué)家張益唐2013年在《數(shù)學(xué)年刊》上發(fā)表論文《素?cái)?shù)間的有界距離》，破解了困擾數(shù)學(xué)界長(zhǎng)達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的難題，證明了孿生素?cái)?shù)猜想的弱化形式．那么，如果我們?cè)诓怀^(guò)30的自然數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，記事件A，這兩個(gè)數(shù)都是素?cái)?shù)；事件B：這兩個(gè)數(shù)不是孿生素?cái)?shù)，則P（B|A）＝（）A．1115 B．3745 C．1315 10．有4個(gè)外包裝相同的盒子，其中2個(gè)盒子分別裝有1個(gè)白球，另外2個(gè)盒子分別裝有1個(gè)黑球，現(xiàn)準(zhǔn)備將每個(gè)盒子逐個(gè)拆開(kāi)，則恰好拆開(kāi)2個(gè)盒子就能確定2個(gè)白球在哪個(gè)盒子中的概率為（）A．12 B．13 C．14 二．填空題（共5小題）11．某企業(yè)鉗工、車工和焊工三個(gè)車間分別推薦了1名男員工和1名女員工，供該企業(yè)工會(huì)從中選出2名員工參加全國(guó)技能比賽．若這6名員工每人被選上的機(jī)會(huì)相等，則選出的2人恰好是1名男員工和1名女員工，且他們來(lái)自不同車間的概率為．12．一袋中有大小相同的4個(gè)球，其中3個(gè)紅球和1個(gè)黑球．從該袋中隨機(jī)取2個(gè)球，則取到2個(gè)紅球的概率是．13．設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且P(A)=23，P(B)=12，P(14．在統(tǒng)計(jì)調(diào)查中，對(duì)一些敏感性問(wèn)題，要精心設(shè)計(jì)問(wèn)卷，設(shè)法消除被調(diào)查者的顧慮，使他們能夠如實(shí)回答問(wèn)題．否則，被調(diào)查者往往會(huì)拒絕回答，或不提供真實(shí)情況．某中學(xué)為了調(diào)查本校中學(xué)生某不良習(xí)慣A的發(fā)生情況，對(duì)隨機(jī)抽出的200名中學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查．調(diào)查中設(shè)置了兩個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)栴}1：你的陽(yáng)歷生日日期是否偶數(shù)？問(wèn)題2：你是否有A習(xí)慣？調(diào)查者準(zhǔn)備了一個(gè)不透明袋子，里面裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的5個(gè)白球和5個(gè)紅球．每個(gè)被調(diào)查者隨機(jī)從袋中摸出1個(gè)球（摸出的球再放回袋中并攪拌均勻），摸到白球的學(xué)生如實(shí)回答第一個(gè)問(wèn)題，摸到紅球的學(xué)生如實(shí)回答第二個(gè)問(wèn)題，回答“是”的人往一個(gè)盒子中放一個(gè)小石子，回答“否”的人什么都不做．已知調(diào)查結(jié)束后，盒子里共有55個(gè)小石子．據(jù)此估計(jì)此中學(xué)學(xué)生中有習(xí)慣A的人數(shù)的百分比為．15．已知隨機(jī)變量X～B（2，p），其中0＜p＜1，隨機(jī)變量Y的分布列為Y012P2313q表中0＜q＜23，則D（Y）的最大值為．我們可以用M=k=02P(X=k)lnP(X=k)P三．解答題（共5小題）16．為了有針對(duì)性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素是否對(duì)本校學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此對(duì)學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉的情況進(jìn)行了抽樣調(diào)查，從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取男女各100名學(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，抽查數(shù)據(jù)如下表：性別鍛煉合計(jì)經(jīng)常不經(jīng)常男生8020100女生6040100合計(jì)14060200（1）依據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析性別與體育錘煉的經(jīng)常性是否有關(guān)？（2）為提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，學(xué)校決定在上述經(jīng)常參加體育鍛煉的學(xué)生中，按性別分層抽樣隨機(jī)抽取7名同學(xué)組成體育鍛煉宣傳小組，并從這7名同學(xué)中選出3人擔(dān)任宣傳組長(zhǎng)，記女生擔(dān)任宣傳組長(zhǎng)的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：χ2=n(ad-bc)2(aα0.10.050.010.0050.001xa2.7063.8416.6357.87910.82817．假定射手甲每次射擊命中目標(biāo)的概率為p，其中0＜p＜1．（1）當(dāng)p=23時(shí)，若甲射擊N①求E（X）；②若P（X＝10）＞P（X＝k），其中0≤k≤N，k≠10，求N的值．（2）射擊積分規(guī)則如下：?jiǎn)未挝疵心繕?biāo)得0分，單次命中目標(biāo)得1分，若連續(xù)命中目標(biāo)i（i≥2）次，則其中第一次命中目標(biāo)得1分，后一次命中目標(biāo)的得分為前一次得分的2倍．記射手甲射擊4次的總得分為Y，若對(duì)任意p有P（Y＝i）＝P（Y＝j(luò)）（i＜j）成立，求所有滿足上述條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)（i，j）．18．為促進(jìn)全面閱讀，建設(shè)書(shū)香校園，鼓勵(lì)學(xué)生參加閱讀活動(dòng)，某校隨機(jī)抽查了男、女生各200名，統(tǒng)計(jì)他們?cè)谑罴倨陂g每天閱讀時(shí)長(zhǎng)，并把每天閱讀時(shí)長(zhǎng)超過(guò)1小時(shí)的記為“閱讀達(dá)標(biāo)”，時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)1小時(shí)的記為“閱讀不達(dá)標(biāo)”，閱讀達(dá)標(biāo)與閱讀不達(dá)標(biāo)的人數(shù)比為1：1，閱讀達(dá)標(biāo)的女生與男生的人數(shù)比為3：2．（1）完成下面的2×2列聯(lián)表：性別閱讀達(dá)標(biāo)情況合計(jì)閱讀達(dá)標(biāo)閱讀不達(dá)標(biāo)男生女生合計(jì)（2）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“閱讀達(dá)標(biāo)情況”與“性別”有關(guān)聯(lián)？（3）從閱讀達(dá)標(biāo)的學(xué)生中按男、女生人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5人進(jìn)行座談，再?gòu)倪@5人中任選2人，記這2人中男生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：χ2=n(ad-bc)2(a+bα0.100.050.010.001xα2.7063.8416.63510.82819．2024年甲辰龍年春節(jié)來(lái)臨之際，赤峰市某食品加工企業(yè)為了檢查春節(jié)期間產(chǎn)品質(zhì)量，抽查了一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況．隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本并稱出它們的質(zhì)量（單位：克），質(zhì)量的分組區(qū)間為（495，505]，（505，515]，…，（535，545]，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過(guò)515克的產(chǎn)品數(shù)量和樣本平均值x；（2）由樣本估計(jì)總體，結(jié)合頻率分布直方圖，近似認(rèn)為該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值ξ服從正態(tài)分布N（μ，1.252），其中μ近似為（1）中的樣本平均值x，計(jì)算該批產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值ξ≥519.75的概率；（3）從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過(guò)515克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：若ξ～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜ξ≤u+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．20．一個(gè)車間有3臺(tái)機(jī)床，它們各自獨(dú)立工作，其中A型機(jī)床2臺(tái)，B型機(jī)床1臺(tái)．A型機(jī)床每天發(fā)生故障的概率為0.1，B型機(jī)床每天發(fā)生故障的概率為0.2．（1）記X為每天發(fā)生故障的機(jī)床數(shù)，求X的分布列及期望E（x）；（2）規(guī)定：若某一天有2臺(tái)或2臺(tái)以上的機(jī)床發(fā)生故障，則這一天車間停工進(jìn)行檢修．求某一天在車間停工的條件下，B型機(jī)床發(fā)生故障的概率．

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之概率參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．若隨機(jī)變量ξ～N（3，σ2），且P（ξ＞4）＝0.2，則P（2＜ξ＜3）＝（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】利用正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性求解．【解答】解：因?yàn)殡S機(jī)變量ξ～N（3，σ2），且P（ξ＞4）＝0.2，所以P（3＜ξ＜4）＝0.5﹣P（ξ＞4）＝0.3，所以P（2＜ξ＜3）＝P（3＜ξ＜4）＝0.3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．2．已知隨機(jī)事件A，B發(fā)生的概率分別為P（A）＝0.5，P（B）＝0.4，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若P（AB）＝0.9，則A，B相互獨(dú)立 B．若A，B相互獨(dú)立，則P（A|B）＝0.6 C．若P（A|B）＝0.5，則P（AB）＝0.25 D．若B?A，則P（B|A）＝0.8【考點(diǎn)】條件概率；相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義判斷A，根據(jù)條件概率公式判斷B、C、D．【解答】解：對(duì)于A：因?yàn)镻（AB）≠P（A）P（B），所以A與B不獨(dú)立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若A，B相互獨(dú)立，則P(A|對(duì)于C：因?yàn)镻(A|B)=P(AB)P(B)，所以P（AB）＝P（B）P對(duì)于D：若B?A，則P（AB）＝P（B）＝0.4，所以P(B|故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了獨(dú)立事件的定義，考查了條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題．3．如圖，一個(gè)電路中有A，B，C三個(gè)電器元件，每個(gè)元件正常工作的概率均為12A．18 B．38 C．58 【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】這個(gè)電路是通路，則原件A正常工作，且元件B，C至少有一個(gè)正常工作，由此能求出這個(gè)電路是通路的概率．【解答】解：∵這個(gè)電路是通路，∴原件A正常工作，且元件B，C至少有一個(gè)正常工作，∴這個(gè)電路是通路的概率是P=故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．4．某大學(xué)一宿舍4名同學(xué)參加2024年研究生招生考試，其中兩人順利上初試線，還有兩人差幾分上線，這兩名學(xué)生準(zhǔn)備從A，B，C，D，E，F(xiàn)這6所大學(xué)中任選三所大學(xué)申請(qǐng)調(diào)劑，則這兩名學(xué)生在選擇了相同大學(xué)的條件下，恰好選擇了兩所相同大學(xué)的概率為（）A．1819 B．1019 C．919 【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用；條件概率；古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】根據(jù)題意，設(shè)事件A＝“兩名學(xué)生在選擇了相同大學(xué)”，事件B＝“恰好選擇了兩所相同大學(xué)”，由古典概型公式求出P（A）和P（B），結(jié)合條件概率公式計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)事件A＝“兩名學(xué)生在選擇了相同大學(xué)”，事件B＝“恰好選擇了兩所相同大學(xué)”，兩名學(xué)生分別從A，B，C，D，E，F(xiàn)這6所大學(xué)中任選三所大學(xué)，有C63其中沒(méi)有選擇相同大學(xué)的選法有C63則兩名學(xué)生選擇了相同大學(xué)的選法有400﹣20＝380種，故P（A）=380若恰好選擇了兩所相同大學(xué)，其情況有C62A42=180種，則故P（B|A）=P故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率的計(jì)算，涉及排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．有甲、乙兩臺(tái)車床加工同一種零件，且甲、乙兩臺(tái)車床的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的70%，30%，甲、乙兩臺(tái)車床的正品率分別為94%，92%．現(xiàn)從一批零件中任取一件，則取到正品的概率為（）A．0.93 B．0.934 C．0.94 D．0.945【考點(diǎn)】全概率公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】結(jié)合全概率公式，即可求解．【解答】解：甲、乙兩臺(tái)車床的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的70%，30%，甲、乙兩臺(tái)車床的正品率分別為94%，92%，則取到正品的概率為：0.7×0.94+0.3×0.92＝0.934．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6．英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，隨機(jī)事件A，B存在如下關(guān)系：P(A|B)=P(A)P(BA．4951000 B．9951000 C．1011 【考點(diǎn)】條件概率．【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】利用條件概率，結(jié)合全概率公式與貝葉斯公式即可得解．【解答】解：依題意，設(shè)用該試劑檢測(cè)呈現(xiàn)陽(yáng)性為事件B，被檢測(cè)者患病為事件A，未患病為事件A，則P（B|A）＝0.95，P（A）＝0.05，P(B|故P（B）＝0.95×0.05+0.005×0.95＝0.05225，則所求概率為P(故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．7．長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某學(xué)校學(xué)生中，大約有15的學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)1h，這些人近視率約為12，其余學(xué)生的近視率約為A．15 B．716 C．25 【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；分析法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)據(jù)分析．【答案】C【分析】根據(jù)近視情況分為超過(guò)1h和低于1h兩種可能，利用古典概率模型計(jì)算可得．【解答】解：某學(xué)校學(xué)生中，大約有15的學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)1h，則有45的學(xué)生每天玩手機(jī)低于1超過(guò)1h近視率約為12，低于1h近視率約為3所以從該校任意調(diào)查一名學(xué)生，他近視的概率大約是15故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概率模型，屬于基礎(chǔ)題．8．某罐中裝有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)紅球和3個(gè)綠球，每次不放回地隨機(jī)摸出1個(gè)球．記R1＝“第一次摸球時(shí)摸到紅球”，G1＝“第一次摸球時(shí)摸到綠球”，R2＝“第二次摸球時(shí)摸到紅球”，G2＝“第二次摸球時(shí)摸到綠球”，R＝“兩次都摸到紅球”，G＝“兩次都摸到綠球”，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．P（R）＝P（R1）?P（R2） B．P（G）＝P（G1）+P（G2） C．P(R2|R1)=12 D．P（G2|G1）+【考點(diǎn)】條件概率．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】由獨(dú)立事件的定義可判斷A，由古典概型的概率公式可判斷B，由條件概率公式可判斷CD．【解答】解：對(duì)于A，因?yàn)镽＝R1∩R2，R1，R2不相互獨(dú)立，所以P（R）≠P（R1）P（R2），故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)镻(G1)=37，P(G2)=P(R1G2對(duì)于C，P(R2對(duì)于D，P(G2|G故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了獨(dú)立事件的定義，考查了條件概率公式的應(yīng)用，屬于中檔題．9．質(zhì)數(shù)（primenumber）又稱素?cái)?shù)，一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，則這個(gè)數(shù)為質(zhì)數(shù)，數(shù)學(xué)上把相差為2的兩個(gè)素?cái)?shù)叫做“孿生素?cái)?shù)”．如：3和5，5和7……，在1900年的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)上，著名數(shù)學(xué)家希爾伯特提出了23個(gè)問(wèn)題，其中第8個(gè)就是大名鼎鼎的孿生素?cái)?shù)猜想：即存在無(wú)窮多對(duì)孿生素?cái)?shù)．我國(guó)著名數(shù)學(xué)家張益唐2013年在《數(shù)學(xué)年刊》上發(fā)表論文《素?cái)?shù)間的有界距離》，破解了困擾數(shù)學(xué)界長(zhǎng)達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的難題，證明了孿生素?cái)?shù)猜想的弱化形式．那么，如果我們?cè)诓怀^(guò)30的自然數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，記事件A，這兩個(gè)數(shù)都是素?cái)?shù)；事件B：這兩個(gè)數(shù)不是孿生素?cái)?shù)，則P（B|A）＝（）A．1115 B．3745 C．1315 【考點(diǎn)】條件概率．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由古典概型公式求出P（A）和P（AB），再根據(jù)條件概率的計(jì)算方法求得正確答案．【解答】解：根據(jù)題意，不超過(guò)30的自然數(shù)有30個(gè)，其中素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10個(gè)，孿生素?cái)?shù)有3和5，5和7，11和13，17和19，共4組．所以P(A)=所以P(故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率的計(jì)算，涉及古典概型的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．10．有4個(gè)外包裝相同的盒子，其中2個(gè)盒子分別裝有1個(gè)白球，另外2個(gè)盒子分別裝有1個(gè)黑球，現(xiàn)準(zhǔn)備將每個(gè)盒子逐個(gè)拆開(kāi)，則恰好拆開(kāi)2個(gè)盒子就能確定2個(gè)白球在哪個(gè)盒子中的概率為（）A．12 B．13 C．14 【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】先將4個(gè)盒子進(jìn)行全排，若恰好拆開(kāi)2個(gè)盒子就能確定2個(gè)白球在哪個(gè)盒子中，則前兩個(gè)盒子都是白球或都是黑球，分別計(jì)算出排列數(shù)，即可得到答案．【解答】解：將4個(gè)盒子按順序拆開(kāi)有A4若恰好拆開(kāi)2個(gè)盒子就能確定2個(gè)白球在哪個(gè)盒子中，則前兩個(gè)盒子都是白球或都是黑球，有A2則恰好拆開(kāi)2個(gè)盒子就能確定2個(gè)白球在哪個(gè)盒子中的概率為P=故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了排列組合知識(shí)，考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．二．填空題（共5小題）11．某企業(yè)鉗工、車工和焊工三個(gè)車間分別推薦了1名男員工和1名女員工，供該企業(yè)工會(huì)從中選出2名員工參加全國(guó)技能比賽．若這6名員工每人被選上的機(jī)會(huì)相等，則選出的2人恰好是1名男員工和1名女員工，且他們來(lái)自不同車間的概率為25【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】25【分析】先列出從6名員工中選出2名員工的基本事件總數(shù)，再列出來(lái)自不同車間的一名男員工和一名女員工數(shù)量，二者比值即為結(jié)果．【解答】解：設(shè)3名男員工分別為A，B，C，3名女員工分別為X，Y，Z，其情況如下表：鉗工車工焊工男員工ABC女員工XYZ則從6人中選出2人的基本事件有（A，B），（A，C），（A，X），（A，Y），（A，Z），（B，C），（B，X），（B，Y）（B，Z），（C，X），（C，Y），（C，Z），（X，Y），（X，Z），（Y，Z），共15個(gè)，其中滿足條件的基本事件有（A，Y），（A，Z），（B，X），（B，Z），（C，X），（C，Y），共6個(gè)，所以選出的2人恰好是1名男員工和1名女員工，且他們來(lái)自不同車間的概率P=故答案為：25【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．12．一袋中有大小相同的4個(gè)球，其中3個(gè)紅球和1個(gè)黑球．從該袋中隨機(jī)取2個(gè)球，則取到2個(gè)紅球的概率是12【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】12【分析】根據(jù)古典概型求解即可．【解答】解：由題意，所求概率P=故答案為：12【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．13．設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且P(A)=23，P(B)=12，P(【考點(diǎn)】條件概率．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】由P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）求出P（AB【解答】解：因?yàn)镻(所以P(所以P(故答案為：12【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題．14．在統(tǒng)計(jì)調(diào)查中，對(duì)一些敏感性問(wèn)題，要精心設(shè)計(jì)問(wèn)卷，設(shè)法消除被調(diào)查者的顧慮，使他們能夠如實(shí)回答問(wèn)題．否則，被調(diào)查者往往會(huì)拒絕回答，或不提供真實(shí)情況．某中學(xué)為了調(diào)查本校中學(xué)生某不良習(xí)慣A的發(fā)生情況，對(duì)隨機(jī)抽出的200名中學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查．調(diào)查中設(shè)置了兩個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)栴}1：你的陽(yáng)歷生日日期是否偶數(shù)？問(wèn)題2：你是否有A習(xí)慣？調(diào)查者準(zhǔn)備了一個(gè)不透明袋子，里面裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的5個(gè)白球和5個(gè)紅球．每個(gè)被調(diào)查者隨機(jī)從袋中摸出1個(gè)球（摸出的球再放回袋中并攪拌均勻），摸到白球的學(xué)生如實(shí)回答第一個(gè)問(wèn)題，摸到紅球的學(xué)生如實(shí)回答第二個(gè)問(wèn)題，回答“是”的人往一個(gè)盒子中放一個(gè)小石子，回答“否”的人什么都不做．已知調(diào)查結(jié)束后，盒子里共有55個(gè)小石子．據(jù)此估計(jì)此中學(xué)學(xué)生中有習(xí)慣A的人數(shù)的百分比為5%．【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】被調(diào)查者回答第一個(gè)問(wèn)題的概率為P=510=12；其陽(yáng)歷生日日期是偶數(shù)的概率也是12，由此得到隨機(jī)抽出的200名學(xué)生中，回答兩個(gè)問(wèn)題的人數(shù)估計(jì)各有100人，200人中抽取到白球并回答第一個(gè)問(wèn)題為“是”的學(xué)生估計(jì)有50【解答】解：根據(jù)題意，由等可能事件概率得：被調(diào)查者回答第一個(gè)問(wèn)題的概率為P=其陽(yáng)歷生日日期是偶數(shù)的概率是12∴對(duì)隨機(jī)抽出的200名中學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，其中回答兩個(gè)問(wèn)題的人數(shù)估計(jì)各有200×∴200人中抽取到白球并回答第一個(gè)問(wèn)題為“是”的學(xué)生估計(jì)有200×∴抽到紅球并回答第二個(gè)問(wèn)題為“是”的人數(shù)估計(jì)為55﹣50＝5人，∴此中學(xué)學(xué)生有A習(xí)慣人數(shù)的百分比為5100故答案為：5%．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．15．已知隨機(jī)變量X～B（2，p），其中0＜p＜1，隨機(jī)變量Y的分布列為Y012P2313q表中0＜q＜23，則D（Y）的最大值為23．我們可以用M=k=02P(X=k)lnP(X=k)【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】23【分析】根據(jù)題意，求得E(Y)=12+2q和D(Y【解答】解：由題意，可得E(則D（Y）＝（13+2q）2（23-2q）+（1-13-2q）2×13＝﹣4q2+83＝﹣4（q-13）2因?yàn)?＜q＜23，所以當(dāng)q=1又由X～B（2，p），可得D（X）＝2p（1﹣p）=12，解得所以P（X＝0）=14，P（X＝1）=1又因?yàn)镸=所以M=所以M-故答案為：23【點(diǎn)評(píng)】本題考查了離散型隨機(jī)變量的期望和方差，屬于中檔題．三．解答題（共5小題）16．為了有針對(duì)性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素是否對(duì)本校學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此對(duì)學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉的情況進(jìn)行了抽樣調(diào)查，從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取男女各100名學(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，抽查數(shù)據(jù)如下表：性別鍛煉合計(jì)經(jīng)常不經(jīng)常男生8020100女生6040100合計(jì)14060200（1）依據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析性別與體育錘煉的經(jīng)常性是否有關(guān)？（2）為提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，學(xué)校決定在上述經(jīng)常參加體育鍛煉的學(xué)生中，按性別分層抽樣隨機(jī)抽取7名同學(xué)組成體育鍛煉宣傳小組，并從這7名同學(xué)中選出3人擔(dān)任宣傳組長(zhǎng)，記女生擔(dān)任宣傳組長(zhǎng)的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：χ2=n(ad-bc)2(aα0.10.050.010.0050.001xa2.7063.8416.6357.87910.828【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）．【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）認(rèn)為性別與鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005；（2）分布列見(jiàn)解答，E（X）=9【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算χ2，與臨界值比較即可得結(jié)論；（2）隨機(jī)變量X所有可能的取值分別為0，1，2，3，由古典概型概率公式求出對(duì)應(yīng)的概率，可得分布列及數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（1）零假設(shè)為H0：性別與鍛煉的經(jīng)常性無(wú)關(guān)聯(lián)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到χ2根據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為性別與鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005；（2）根據(jù)分層抽樣可知，隨機(jī)抽取的7名同學(xué)中男生4人，女生3人，隨機(jī)變量X所有可能的取值分別為0，1，2，3，根據(jù)古典概型的知識(shí)，可得P(X=0)=P(X=2)=所以X的分布列為：X0123P43518351235135所以E(【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．17．假定射手甲每次射擊命中目標(biāo)的概率為p，其中0＜p＜1．（1）當(dāng)p=23時(shí)，若甲射擊N①求E（X）；②若P（X＝10）＞P（X＝k），其中0≤k≤N，k≠10，求N的值．（2）射擊積分規(guī)則如下：?jiǎn)未挝疵心繕?biāo)得0分，單次命中目標(biāo)得1分，若連續(xù)命中目標(biāo)i（i≥2）次，則其中第一次命中目標(biāo)得1分，后一次命中目標(biāo)的得分為前一次得分的2倍．記射手甲射擊4次的總得分為Y，若對(duì)任意p有P（Y＝i）＝P（Y＝j(luò)）（i＜j）成立，求所有滿足上述條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)（i，j）．【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）①2N3；②（2）（2，3），（4，7）．【分析】（1）①根據(jù)二項(xiàng)分布求解即可；②先求出P(X=k（2）Y的可能取值為0，1，2，3，4，7，15，求出Y為各值時(shí)的概率即可求解．【解答】解：（1）①由題意知X～B(②P(X=k)=CNk(設(shè)P則c所以2N因?yàn)镻（X＝10）＞P（X＝k），其中0≤k≤N，k≠10，所以2N-13≤10≤2N+23當(dāng)N＝14時(shí)，9≤k≤10，舍去，當(dāng)N＝15時(shí)，k＝10，滿足題意，綜上所述，N＝15．（2）Y的可能取值為0，1，2，3，4，7，15，P（Y＝0）＝（1﹣p）4，P（Y＝1）＝4p（1﹣p）3，P（Y＝2）＝3p2（1﹣p）2，P（Y＝3）＝3p2（1﹣p）2，P（Y＝4）＝2p3（1﹣p），P（Y＝7）＝2p3（1﹣p），P（Y＝15）＝p4，對(duì)任意p，P（Y＝2）＝P（Y＝3），P（Y＝4）＝P（Y＝7），故所求的有序?qū)崝?shù)對(duì)為（2，3），（4，7）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和方差，屬于中檔題．18．為促進(jìn)全面閱讀，建設(shè)書(shū)香校園，鼓勵(lì)學(xué)生參加閱讀活動(dòng)，某校隨機(jī)抽查了男、女生各200名，統(tǒng)計(jì)他們?cè)谑罴倨陂g每天閱讀時(shí)長(zhǎng)，并把每天閱讀時(shí)長(zhǎng)超過(guò)1小時(shí)的記為“閱讀達(dá)標(biāo)”，時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)1小時(shí)的記為“閱讀不達(dá)標(biāo)”，閱讀達(dá)標(biāo)與閱讀不達(dá)標(biāo)的人數(shù)比為1：1，閱讀達(dá)標(biāo)的女生與男生的人數(shù)比為3：2．（1）完成下面的2×2列聯(lián)表：性別閱讀達(dá)標(biāo)情況合計(jì)閱讀達(dá)標(biāo)閱讀不達(dá)標(biāo)男生女生合計(jì)（2）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“閱讀達(dá)標(biāo)情況”與“性別”有關(guān)聯(lián)？（3）從閱讀達(dá)標(biāo)的學(xué)生中按男、女生人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5人進(jìn)行座談，再?gòu)倪@5人中任選2人，記這2人中男生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：χ2=n(ad-bc)2(a+bα0.100.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）2×2列聯(lián)表如下：性別閱讀達(dá)標(biāo)情況合計(jì)閱讀達(dá)標(biāo)閱讀不達(dá)標(biāo)男生80120200女生12080200合計(jì)200200400（2）認(rèn)為“閱讀達(dá)標(biāo)情況”與“性別”有關(guān)；（3）X的分布列為：X012P31035110E（X）=4【分析】（1）根據(jù)題意求出閱讀達(dá)標(biāo)的人數(shù)有200人，其中男生有80人，女生有120人，男生閱讀不達(dá)標(biāo)的有120人，女生有80人，進(jìn)而補(bǔ)全2×2列聯(lián)表即可；（2）計(jì)算χ2的值，與臨界值比較，即可得出結(jié)論；（3）由題意可得X的所有可能取值為0，1，2，利用古典概型的概率公式求出相應(yīng)的概率，得到X的分布列，再結(jié)合期望公式求解．【解答】解：（1）依題意閱讀達(dá)標(biāo)的人數(shù)有200人，其中男生有200×25則男生閱讀不達(dá)標(biāo)的有200﹣80＝120人，女生有200﹣120＝80人，所以2×2列聯(lián)表如下：性別閱讀達(dá)標(biāo)情況合計(jì)閱讀達(dá)標(biāo)閱讀不達(dá)標(biāo)男生80120200女生12080200合計(jì)200200400（2）零假設(shè)H0：“閱讀達(dá)標(biāo)情況”與“性別”無(wú)關(guān)，將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式，得χ2所以依據(jù)α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即認(rèn)為“閱讀達(dá)標(biāo)情況”與“性別”有關(guān)；（3）閱讀達(dá)標(biāo)的學(xué)生中男生有5×80200由題意可得X的所有可能取值為0，1，2，則P(X=0)=C3故X的分布列為：X012P31035110所以X的數(shù)學(xué)期望E(【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于中檔題．19．2024年甲辰龍年春節(jié)來(lái)臨之際，赤峰市某食品加工企業(yè)為了檢查春節(jié)期間產(chǎn)品質(zhì)量，抽查了一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況．隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本并稱出它們的質(zhì)量（單位：克），質(zhì)量的分組區(qū)間為（495，505]，（505，515]，…，（535，545]，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過(guò)515克的產(chǎn)品數(shù)量和樣本平均值x；（2）由樣本估計(jì)總體，結(jié)合頻率分布直方圖，近似認(rèn)為該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值ξ服從正態(tài)分布N（μ，1.252），其中μ近似為（1）中的樣本平均值x，計(jì)算該批產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值ξ≥519.75的概率；（3）從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過(guò)515克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：若ξ～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜ξ≤u+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）質(zhì)量超過(guò)515克的產(chǎn)品數(shù)量為26件，樣本平均值為518.5克；（2）0.15865；（3）Y的分布列為：Y012P4940091200169400E（Y）＝1.3．【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出質(zhì)量超過(guò)515克的產(chǎn)品的頻率，進(jìn)而得到質(zhì)量超過(guò)515克的產(chǎn)品數(shù)量，再利用平均數(shù)的定義求出樣本平均值x；（2）由題意可得μ=x=518.5（3）由題意可知，質(zhì)量超過(guò)515克的件數(shù)Y可能的取值為0，1，2，且Y～B(2，1320)【解答】解（1）質(zhì)量超過(guò)515克的產(chǎn)品的頻率為10×0.035+10×0.025+10×0.005＝0.65，而樣本總數(shù)為40件，所以質(zhì)量超過(guò)515克的產(chǎn)品數(shù)量為40×0.65＝26（件），樣本平均值x=10×（500×0.015+510×0.020+520×0.035+530×0.025+540×0.005）＝518.5（2）由題意可得μ=x=518.5則P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）＝P（517.25＜ξ≤519.75）≈0.6827，則該批產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值ξ≥519.75的概率為P（ξ≥519.75）=1-P（3）根據(jù)用樣本估計(jì)總體的思想，從該流水線上任取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品的質(zhì)量超過(guò)515克的概率為2640所以從流水線上任取2件產(chǎn)品互不影響，該問(wèn)題可看作二項(xiàng)分布，故質(zhì)量超過(guò)515克的件數(shù)Y可能的取值為0，1，2，且Y～則P(所以P(Y=0)=C2所以Y的分布列為：Y012P4940091200169400故Y的均值為E(【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于中檔題．20．一個(gè)車間有3臺(tái)機(jī)床，它們各自獨(dú)立工作，其中A型機(jī)床2臺(tái)，B型機(jī)床1臺(tái)．A型機(jī)床每天發(fā)生故障的概率為0.1，B型機(jī)床每天發(fā)生故障的概率為0.2．（1）記X為每天發(fā)生故障的機(jī)床數(shù)，求X的分布列及期望E（x）；（2）規(guī)定：若某一天有2臺(tái)或2臺(tái)以上的機(jī)床發(fā)生故障，則這一天車間停工進(jìn)行檢修．求某一天在車間停工的條件下，B型機(jī)床發(fā)生故障的概率．【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，E（X）＝0.4；（2）1923【分析】（1）由題，X的可能值為0，1，2，3，然后結(jié)合題意求出每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率即可得解；（2）記事件A為“車間停工”，事件B為B型機(jī)床發(fā)生故障”，由題可求得P（A）＝0.046，P（AB）＝0.038，然后由條件概率即可求解．【解答】解：（1）由題，X的可能值為0，1，2，3，因?yàn)锳型機(jī)床每天發(fā)生故障的概率為0.1，B型機(jī)床每天發(fā)生故障的概率為0.2，所以A型機(jī)床每天不發(fā)生故障的概率為0.9，B型機(jī)床每天不發(fā)生故障的概率為0.8，則P（x＝0）＝0.92×0.8＝0.648，P（x＝1）＝2×0.9×0.1×0.8+0.92×0.2＝0.306，P（x＝2）＝0.12×0.8+2×0.9×0.1×0.2＝0.044，P（X＝3）＝0.12×0.2＝0.002，故X分布列為：X0123P0.6480.3060.0440.002所以E（X）＝0×0.648+1×0.306+2×0.044+3×0.002＝0.4；（2）記事件A為“車間停工”，事件B為B型機(jī)床發(fā)生故障”，則P（A）＝P（X＝2）+P（X＝3）＝0.046，P（AB）＝0.1×（1﹣0.1）×0.2×2+0.12×0.2＝0.038，則所求概率為P(即某一天在車間停工的條件下，B型機(jī)床發(fā)生故障的概率為1923【點(diǎn)評(píng)】本題考查了條件概率的求解及離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．互斥事件的概率加法公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】互斥事件的概率加法公式：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，如果隨機(jī)事件A和B是互斥事件，則有：P（A+B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A與B互斥．推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件發(fā)生（即A1，A2，…，An中有一個(gè)發(fā)生）的概率等于這n個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）2．古典概型及其概率計(jì)算公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：如果一個(gè)試驗(yàn)具有下列特征：（1）有限性：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個(gè)；（2）等可能性：每次試驗(yàn)中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的．則稱這種隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個(gè)重要特征，所以求事件的概率就可以不通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，而只要通過(guò)對(duì)一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計(jì)算即可．2．古典概率的計(jì)算公式如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是1n如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率為P（A）=m【解題方法點(diǎn)撥】1．注意要點(diǎn)：解決古典概型的問(wèn)題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個(gè)方面：（1）本試驗(yàn)是否具有等可能性；（2）本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；（3）事件A是什么．2．解題實(shí)現(xiàn)步驟：（1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個(gè)數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解題方法技巧：（1）利用對(duì)立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．3．列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、等可能條件下概率的意義：一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）=m等可能條件下概率的特征：（1）對(duì)于每一次試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果都是有限的；（2）每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等．2、概率的計(jì)算方法：（1）列舉法（列表或畫(huà)樹(shù)狀圖），（2）公式法；列表法或樹(shù)狀圖這兩種舉例法，都可以幫助我們不重不漏的列出所以可能的結(jié)果．列表法（1）定義：用列出表格的方法來(lái)分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法．（2）列表法的應(yīng)用場(chǎng)合當(dāng)一次試驗(yàn)要設(shè)計(jì)兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法．樹(shù)狀圖法（1）定義：通過(guò)列樹(shù)狀圖列出某事件的所有可能的結(jié)果，求出其概率的方法叫做樹(shù)狀圖法．（2）運(yùn)用樹(shù)狀圖法求概率的條件當(dāng)一次試驗(yàn)要設(shè)計(jì)三個(gè)或更多的因素時(shí)，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹(shù)狀圖法求概率．【解題方法點(diǎn)撥】典例1：將一顆骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為a，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為b，設(shè)任意投擲兩次使兩條不重合直線l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的概率為P1，相交的概率為P2，若點(diǎn)（P1，P2）在圓（x﹣m）2+y2=137144的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)A．（-518，+∞）B．（﹣∞，718）C．（-718，518）解析：對(duì)于a與b各有6中情形，故總數(shù)為36種設(shè)兩條直線l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4，或a＝3，b＝6，故概率為P=設(shè)兩條直線l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2相交的情形除平行與重合即可，∵當(dāng)直線l1、l2相交時(shí)b≠2a，圖中滿足b＝2a的有（1，2）、（2，4）、（3，6）共三種，∴滿足b≠2a的有36﹣3＝33種，∴直線l1、l2相交的概率P=33∵點(diǎn)（P1，P2）在圓（x﹣m）2+y2=137∴（118-m）2+（1112）解得-518故選：D典例2：某種零件按質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分為1，2，3，4，5五個(gè)等級(jí)，現(xiàn)從一批該零件巾隨機(jī)抽取20個(gè)，對(duì)其等級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到頻率分布表如下等級(jí)12345頻率0.05m0.150.35n（1）在抽取的20個(gè)零件中，等級(jí)為5的恰有2個(gè)，求m，n；（2）在（1）的條件下，從等級(jí)為3和5的所有零件中，任意抽取2個(gè)，求抽取的2個(gè)零件等級(jí)恰好相同的概率．解析：（1）由頻率分布表得0.05+m+0.15+0.35+n＝1，即m+n＝0.45．…（2分）由抽取的20個(gè)零件中，等級(jí)為5的恰有2個(gè)，得n=220所以m＝0.45﹣0.1＝0.35．…（5分）（2）：由（1）得，等級(jí)為3的零件有3個(gè)，記作x1，x2，x3；等級(jí)為5的零件有2個(gè)，記作y1，y2．從x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2個(gè)零件，所有可能的結(jié)果為：（x1，x2），（x1，x3），（x1，y1），（x1，y2），（x2，x3），（x2，y1），（x2，y2），（x3，y1），（x3，y2），（y1，y2）共計(jì)10種．…（9分）記事件A為“從零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等級(jí)相等”．則A包含的基本事件為（x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2）共4個(gè)．…（11分）故所求概率為P(A)=4．概率的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】概率相關(guān)知識(shí)梳理：一、古典概型與互斥事件1．頻率與概率：頻率是事件發(fā)生的概率的估計(jì)值．2．古典概率計(jì)算公式：P（A）＝．集合的觀點(diǎn)：設(shè)試驗(yàn)的基本事件總數(shù)構(gòu)成集合I，事件A包含的事件數(shù)構(gòu)成集合A，則．3．古典概型的特征：（1）每次試驗(yàn)的結(jié)果只有一個(gè)基本事件出現(xiàn)；（2）試驗(yàn)結(jié)果具有有限性；（3）試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)等可能性．4．互斥事件概率（1）互斥事件：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，一次試驗(yàn)中不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件A，B稱為互斥事件．（2）互為事件概率計(jì)算公式：若事件A，B互斥，則P（A+B）＝P（A）+P（B）．（3）對(duì)立事件：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，一次試驗(yàn)中兩個(gè)事件A，B不會(huì)同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)事件發(fā)生，這樣的兩個(gè)事件稱為對(duì)立事件．記作：B=A，由對(duì)立事件定義知：P（A）＝1﹣P（A（4）互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系：對(duì)立必互斥，互斥未必對(duì)立．用集合的觀點(diǎn)分析對(duì)立事件與互斥事件：設(shè)兩個(gè)互斥事件A，B包含的所有結(jié)果構(gòu)成集合A，B，則A∩B＝?（如圖所示）設(shè)兩個(gè)對(duì)立事件A，A包含的所有結(jié)果構(gòu)成的集合為A，A，A∩A=?，A∪A=則注：若A1，A2，…，An任意兩個(gè)事件互斥，則：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）二、幾何概型幾何概型定義：向平面有限區(qū)域（集合）G內(nèi)投擲點(diǎn)M，若點(diǎn)M落在子區(qū)域G1?G的概率與G1的面積成正比，而與G的形狀、位置無(wú)關(guān)，我們就稱這種概型為幾何概型．幾何概型計(jì)算公式：幾何概型的特征：（1）試驗(yàn)的結(jié)果有無(wú)限個(gè)（無(wú)限性）；（2）試驗(yàn)的結(jié)果出現(xiàn)等可能性．注：幾何概型中的區(qū)域可以是長(zhǎng)度、面積、體積等．三、條件概率與獨(dú)立事件1．條件概率的定義：對(duì)于任何兩個(gè)事件A，B，在已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率稱為事件B發(fā)生時(shí)事件A發(fā)生的條件概率，記為P（A|B）．類似的還可定義為事件A發(fā)生時(shí)事件B發(fā)生的條件概率，記為P（B|A）．2．把事件A，B同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的事件D，稱為事件A，B的交（或積），記為：A∩B＝D或D＝AB．3．條件概率計(jì)算公式：P（A|B）=P(AB)P(B)（P（B）＞0），P（B|A）注：（1）事件A在“事件B發(fā)生的條件下”的概率與沒(méi)有事件B發(fā)生時(shí)的概率是不同的．（2）對(duì)于兩個(gè)事件A，B，如果P（A|B）＝P（A）則表明事件B的發(fā)生不影響事件A發(fā)生的概率．此時(shí)事件A，B是相互獨(dú)立的兩個(gè)事件，即有P（A|B）＝P（A）=P(AB)P(B)（P（B）＞0?P（AB）＝故當(dāng)兩個(gè)事件A，B，若P（AB）＝P（A）P（B），則事件A，B相互獨(dú)立，同時(shí)A與B，A與B，A與B也相互獨(dú)立．四、二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布1．二項(xiàng)分布：（1）n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念：在相同的條件下，重復(fù)做n次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立．n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特征：①每次試驗(yàn)的條件相同，某一事件發(fā)生的概率不變；②各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響，且每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果發(fā)生或不發(fā)生．（2）二項(xiàng)分步概率計(jì)算公式：一般地，在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率為P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率為，若隨機(jī)變量由此式確定，則X服從參數(shù)n，p的二項(xiàng)分布，記作：X～B（n，p）．2．超幾何分布超幾何分布定義：一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中含有M件次品（M≤N），從N件產(chǎn)品中任取n件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中含有的次品的個(gè)數(shù)，則，（k為非負(fù)整數(shù)），若隨機(jī)變量由此式確定，則X服從參數(shù)N，M，k的超幾何分布，記作X～H（N，M，n）注：超幾何分布是概率分布的另一種形式，要注意公式中N，M，k的含義．隨機(jī)變量X取某一個(gè)值的概率就是求這一事件發(fā)生的次數(shù)與總次數(shù)的商．3．正態(tài)分布：（1）正態(tài)曲線：函數(shù)f（x）=12πσe-(x（2）若隨機(jī)變量X～N（μ，σ2），則E（X）＝μ，D（X）＝σ2．五、離散型隨機(jī)變量的分布列，期望，方差．1、概念：（1）隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用希臘字母ξ、η等表示．（2）離散型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．若ξ是隨機(jī)變量，η＝aξ+b，其中a、b是常數(shù)，則η也是隨機(jī)變量．（3）連續(xù)型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量（4）離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出．2、離散型隨機(jī)變量（1）隨機(jī)變量：在隨機(jī)試驗(yàn)中，試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量X來(lái)表示，并且X是隨著試驗(yàn)結(jié)果的不同而變化的，這樣的變量X叫做一個(gè)隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用大寫(xiě)字母X，Y，…表示，也可以用希臘字母ξ，η，…表示．（2）離散型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來(lái)，則稱X為離散型隨機(jī)變量．3、離散型隨機(jī)變量的分布列．（1）定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能值為x1，x2，…，xn；X取每一個(gè)對(duì)應(yīng)值的概率分別為p1，p2，…，pn，則得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn該表為隨機(jī)變量X的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列．（2）性質(zhì)：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．4、離散型隨機(jī)變量的期望數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為x1x2…xn…Pp1p2…pn…則稱Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望．?dāng)?shù)學(xué)期望的意義：數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．平均數(shù)與均值：一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一個(gè)性質(zhì)：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．5、離散型隨機(jī)變量的方差；方差：對(duì)于離散型隨機(jī)變量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取這些值的概率分別是p1，p2，…，pn…，那么，稱為隨機(jī)變量ξ的均方差，簡(jiǎn)稱為方差，式中的EξDξ是隨機(jī)變量ξ的期望．標(biāo)準(zhǔn)差：Dξ的算術(shù)平方根Dξ叫做隨機(jī)變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差，記作．方差的性質(zhì)：．方差的意義：（1）隨機(jī)變量的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；（2）隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量的特征數(shù)，它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度；（3）標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用更廣泛．【解題方法點(diǎn)撥】概率和離散型隨機(jī)變量知識(shí)是新課標(biāo)高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，重點(diǎn)考查古典概率、幾何概率、離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)等內(nèi)容，對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)考查以選擇題、填空題為主．考查的內(nèi)容相對(duì)簡(jiǎn)單，即掌握住基礎(chǔ)知識(shí)就能解決此類問(wèn)題．對(duì)于綜合性知識(shí)的考查主要是把概率、隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)、離散型隨機(jī)變量的均值、方差等內(nèi)容綜合在一起解決實(shí)際問(wèn)題，多以大題的形式出現(xiàn)．題目的難度在中等以上水平，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是正確理解離散型隨機(jī)變量的取值及其特征（即是否符合特殊的一些分布，如二項(xiàng)分布、超幾何分布等），便于求出分布列，進(jìn)而求出均值與方差．利用均值、方差的含義去分析問(wèn)題，這也是新課標(biāo)高考命題的方向．【命題方向】題型一：概率的計(jì)算典例1：已知函數(shù)y=x（0≤x≤4）的值域?yàn)锳，不等式x2﹣x≤0的解集為B，若a是從集合A中任取的一個(gè)數(shù)，b是從集合B中任取一個(gè)數(shù)，則a＞bA．14B．13C．12解：由題意，A＝[0，2]，B＝[0，1]，以a為橫坐標(biāo)，b為縱坐標(biāo)，建立平面直角坐標(biāo)系，則圍成的區(qū)域面積為2，使得a＞b的區(qū)域面積為2-12=故選D題型二：離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差典例2：在汶川大地震后對(duì)唐家山堰塞湖的搶險(xiǎn)過(guò)程中，武警官兵準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從湖壩上游漂流而下的一個(gè)巨大的汽油罐．已知只有5發(fā)子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射擊是相互獨(dú)立的，且命中的概率都是23（Ⅰ）求油罐被引爆的概率；（Ⅱ）如果引爆或子彈打光則停止射擊，設(shè)射擊次數(shù)為ξ．求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E（ξ）．（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）解：（I）設(shè)命中油罐的次數(shù)為X，則當(dāng)X＝0或X＝1時(shí)，油罐不能被引爆．P(P(∴油罐被引爆的概率（II）射擊次數(shù)ξ的取值為2，3，4，5．P(P(P(P（ξ＝5）＝1﹣P（ξ＝2）﹣P（ξ＝3）﹣P（ξ＝4）=1-因此，ξ的分布列為：ξ2345P4982742719∴Eξ5．相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．相互獨(dú)立事件：事件A（或B）是否發(fā)生，對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概率沒(méi)有影響，這樣兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件．2．相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式：將事件A和事件B同時(shí)發(fā)生的事件即為A?B，若兩個(gè)相互獨(dú)立事件A、B同時(shí)發(fā)生，則事件A?B發(fā)生的概率為：P（A?B）＝P（A）?P（B）推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率之積，即：P（A1?A2…An）＝P（A1）?P（A2）…P（An）3．區(qū)分互斥事件和相互獨(dú)立事件是兩個(gè)不同的概念：（1）互斥事件：兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生；（2）相互獨(dú)立事件：一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響．6．條件概率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、條件概率的定義：對(duì)于任何兩個(gè)事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)P（B|A）來(lái)表示．（2）條件概率公式：稱為事件A與B的交（或積）．（3）條件概率的求法：①利用條件概率公式，分別求出P（A）和P（AB），得P（B|A）=P(AB)P(A②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件數(shù)n（A），再在事件A發(fā)生的條件下求出事件B包含的基本事件數(shù)，即n（A∩B），得P（B|A）=【解題方法點(diǎn)撥】典例1：利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1到6之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)a和b，在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2發(fā)生的概率是29解：由題意得，利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1到6之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)a和b，基本事件的總個(gè)數(shù)是6×6＝36，即（a，b）的情況有36種，事件“a+b為偶數(shù)”包含基本事件：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18個(gè)，“在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4個(gè)，故在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2發(fā)生的概率是P=故答案為：2典例2：甲乙兩班進(jìn)行消防安全知識(shí)競(jìng)賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊(duì)，首輪比賽每人一道必答題，答對(duì)則為本隊(duì)得1分，答錯(cuò)不答都得0分，已知甲隊(duì)3人每人答對(duì)的概率分別為34，23，12，乙隊(duì)每人答對(duì)的概率都是2（Ⅰ）求隨機(jī)變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4的條件下，甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高的概率．分析：（Ⅰ）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．（Ⅱ）設(shè)“甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4”為事件A，“甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高”為事件B，分別求出P（A），P（AB），再由P（B/A）=P解答：（Ⅰ）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，P（ξ＝0）＝（1-34）（1-23）（1P（ξ＝1）=34（1-23）（1-12）+（1-34）×23×（1-P（ξ＝2）=3P（ξ＝3）=3∴隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξ0123P12414112414數(shù)學(xué)期望E（ξ）＝0×124+1×14（Ⅱ）設(shè)“甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4”為事件A，“甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高”為事件B，則P（A）=1P（AB）=1P（B|A）=P7．全概率公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，有P（B）=i8．離散型隨機(jī)變量及其分布列【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、相關(guān)概念；（1）隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用希臘字母ξ、η等表示．（2）離散型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．若ξ是隨機(jī)變量，η＝aξ+b，其中a、b是常數(shù)，則η也是隨機(jī)變量．（3）連續(xù)型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量（4）離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出．2、離散型隨機(jī)變量（1）隨機(jī)變量：在隨機(jī)試驗(yàn)中，試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量X來(lái)表示，并且X是隨著試驗(yàn)結(jié)果的不同而變化的，這樣的變量X叫做一個(gè)隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用大寫(xiě)字母X，Y，…表示，也可以用希臘字母ξ，η，…表示．（2）離散型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來(lái)，則稱X為離散型隨機(jī)變量．3、離散型隨機(jī)變量的分布列．（1）定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能值為x1，x2，…，xn；X取每一個(gè)對(duì)應(yīng)值的概率分別為p1，p2，…，pn，則得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn該表為隨機(jī)變量X的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列．（2）性質(zhì)：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．9．離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、離散型隨機(jī)變量的期望數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為x1x2…xn…Pp1p2…pn…則稱Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望．?dāng)?shù)學(xué)期望的意義：數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．平均數(shù)與均值：一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一個(gè)性質(zhì)：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．2、離散型隨機(jī)變量的方差；方差：對(duì)于離散型隨機(jī)變量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取這些值的概率分別是p1，p2，…，pn…，那么，稱為隨機(jī)變量ξ的均方差，簡(jiǎn)稱為方差，式中的EξDξ是隨機(jī)變量ξ的期望．標(biāo)準(zhǔn)差：Dξ的算術(shù)平方根Dξ叫做隨機(jī)變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差，記作．方差的性質(zhì)：．方差的意義：（1）隨機(jī)變量的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；（2）隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量的特征數(shù)，它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度；（3）標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用更廣泛．10．正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．正態(tài)曲線及性質(zhì)（1）正態(tài)曲線的定義函數(shù)φμ，σ（x）=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈（﹣∞，+∞），其中實(shí)數(shù)（2）正態(tài)曲線的解析式①指數(shù)的自變量是x定義域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有兩個(gè)常數(shù)：π和e，這是兩個(gè)無(wú)理數(shù)．③解析式中含有兩個(gè)參數(shù)：μ和σ，其中μ可取任意實(shí)數(shù)，σ＞0這是正態(tài)分布的兩個(gè)特征數(shù)．④解析式前面有一個(gè)系數(shù)為12πσ，后面是一個(gè)以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的形式，冪2．正態(tài)分布（1）正態(tài)分布的定義及表示如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b（a＜b），隨機(jī)變量X滿足P（a＜X≤b）=abφμ，σ（x）dx，則稱X的分布為正態(tài)分布，記作N（μ，（2）正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線φμ，σ（x）=12πσe（1）曲線位于x軸上方，與x軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱；（3）曲線在x＝μ處達(dá)到峰值12（4）曲線與x軸圍成的圖形的面積為1；（5）當(dāng)σ一定時(shí)，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；（6）當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．4．三個(gè)鄰域會(huì)用正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值結(jié)合正態(tài)曲線求隨機(jī)變量的概率．落在三個(gè)鄰域之外是小概率事件，這也是對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)的理論依據(jù)．【解題方法點(diǎn)撥】正態(tài)分布是高中階段唯一連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，這個(gè)考點(diǎn)雖然不是高考的重點(diǎn)，但在近幾年新課標(biāo)高考中多次出現(xiàn)，其中數(shù)值計(jì)算是考查的一個(gè)熱點(diǎn)，考生往往不注意對(duì)這些數(shù)值的記憶而導(dǎo)致解題無(wú)從下手或計(jì)算錯(cuò)誤．對(duì)正態(tài)分布N（μ，σ2）中兩個(gè)參數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)值及其意義應(yīng)該理解透徹并記住，且注意第二個(gè)數(shù)值應(yīng)該為σ2而不是σ，同時(shí)，記住正態(tài)密度曲線的六條性質(zhì)．【命題方向】題型一：概率密度曲線基礎(chǔ)考察典例