2025年高考數(shù)學一輪復習之立體幾何初步

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學一輪復習之立體幾何初步一．選擇題（共10小題）1．已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為4πA．6π B．8π C．10π D．12π2．已知圓柱O1O2中，AD，BC分別是上、下底面的兩條直徑，且AD∥BC，AB＝BC＝4，若M是弧BC的中點，N是線段AB的中點，則（）A．AM＝CN，A，C，M，N四點不共面 B．AM≠CN，A，C，M，N四點共面 C．AM⊥BD，△ACM為直角三角形 D．AM≠CN，△ACM為直角三角形3．某圓臺上底面圓半徑為1，下底面圓半徑為2，母線長為2，則該圓臺的體積為（）A．7π3 B．5π3 C．2π4．已知平面α、β，直線l?α，直線m不在平面α上，下列說法正確的是（）A．若α∥β，m∥β，則l∥m B．若α∥β，m⊥β，則l⊥m C．若l∥m，α∥β，則m∥β D．若l⊥m，m∥β，則α⊥β5．已知α，β是兩個平面，a，b是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）A．若a?α，b?β，α⊥β，則a⊥b B．若a?α，b?β，α∥β，則a∥b C．若a⊥α，b⊥β，a∥b，則α∥β D．若a∥α，a∥b，則b∥α6．已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下面四個命題中，正確的是（）A．若l∥m，m?α，則l∥α B．若l∥α，m∥β，α∥β，則l∥m C．若α⊥β，l?α，m?β，則l⊥m D．若m⊥β，l∥α，l∥m，則α⊥β7．已知三棱錐V﹣ABC的外接球的體積為403027π，VA⊥平面A．33 B．63 C．216 8．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分別是線段AB1與BC1的中點，現(xiàn)有如下結(jié)論：①直線PQ與直線BC所成的角為π3②PQ⊥BB1；③PQ=④PQ∥平面ABCD．則正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．49．如圖，將邊長為1的正△ABC以邊AB為軸逆時針翻轉(zhuǎn)θ弧度得到ΔABC'，其中θ∈(0，π2)，構(gòu)成一個三棱錐C'﹣A．(0，π6] B．(0，π4]10．在底面是邊長為4的正方形的四棱錐P﹣ABCD中，點P在底面的射影H為正方形ABCD的中心，異面直線PB與AD所成角的正切值為32，則四棱錐P﹣ABCDA．617 B．516 C．413 二．填空題（共5小題）11．如圖，四邊形ABCD是圓柱OE的軸截面，且AB＝BC＝4，F(xiàn)，G是圓O上異于A，B的兩點，當EG∥平面DAF時，直線EG與直線AF所成角的余弦值為．12．如圖，經(jīng)過棱長為1的正方體的三個頂點的平面截正方體得到一個正三角形，將這個截面上方部分去掉，得到一個七面體，則這個七面體內(nèi)部能容納的最大的球半徑是．13．已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，tan∠BAC14．如圖，在幾何體ABECDF中，EF∥AD∥BC，梯形ABCD和梯形AEFD為等腰梯形，AD＝2EF＝2BC＝2AE＝2AB＝2BE，若幾何體ABECDF的體積為823，則AB＝15．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，BA＝BC＝BB1＝1，P是矩形BCC1B1內(nèi)一動點，滿足PA2+PC2＝2，則三棱錐P﹣ABC外接球體積為．三．解答題（共5小題）16．如圖，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝4，AB＝2，E為棱DD1上一點（含端點），且DE＝λDD1．（1）證明：AC⊥B1E；（2）當λ=12時，證明：B1E（3）設(shè)幾何體B1ACE的體積為V，若V∈（3，5），求λ的取值范圍．17．如圖，在正三棱錐A﹣BCD中，BC＝CD＝BD＝4，點P滿足AP→=λAC→，λ∈（0，1），過點P作平面α分別與棱AB，BD，CD交于Q，S，T三點，且AD∥α（1）證明：?λ∈（0，1），四邊形PQST總是矩形；（2）若AC＝4，求四棱錐C﹣PQST體積的最大值．18．如圖是一個平面截底面邊長為2的正方形的長方體ABCD﹣A1B1C1D1所得的幾何體ABCDEFGH，AC與BD相交于點O，AE＝1，CG＝2，BF＝DH．（1）證明：OG⊥平面BDE；（2）求三棱錐G﹣BDE的體積．19．如圖，在四棱錐Q﹣ABCD中，四邊形ABCD為直角梯形，CD∥AB，BC⊥AB，平面QAD⊥平面ABCD，QA＝QD，點M是AD的中點．（Ⅰ）證明：QM⊥BD．（Ⅱ）點N是CQ的中點，AD＝AB＝2CD＝2，當直線MN與平面QBC所成角的正弦值為427時，求四棱錐Q﹣ABCD20．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1＝B1C1＝3，A1B1＝42，D為A1B1的中點．（1）證明：B1C∥平面AC1D．（2）若以AB1為直徑的球的表面積為48π，求三棱錐B1﹣AC1D的體積．

2025年高考數(shù)學一輪復習之立體幾何初步參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為4πA．6π B．8π C．10π D．12π【考點】圓錐的側(cè)面積和表面積．【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；數(shù)學運算．【答案】A【分析】根據(jù)半徑求出底面周長，由弧長公式可得母線長，再利用圓錐的側(cè)面積公式求解．【解答】解：因為底面半徑r＝2，所以底面周長為2πr＝4π，又因為側(cè)面展開圖是圓心角為4π所以圓錐的母線長l=4π所以該圓錐的側(cè)面積S＝πrl＝π×2×3＝6π．故選：A．【點評】本題主要考查了圓錐的側(cè)面積公式，屬于基礎(chǔ)題．2．已知圓柱O1O2中，AD，BC分別是上、下底面的兩條直徑，且AD∥BC，AB＝BC＝4，若M是弧BC的中點，N是線段AB的中點，則（）A．AM＝CN，A，C，M，N四點不共面 B．AM≠CN，A，C，M，N四點共面 C．AM⊥BD，△ACM為直角三角形 D．AM≠CN，△ACM為直角三角形【考點】平面的基本性質(zhì)及推論．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；邏輯推理．【答案】D【分析】根據(jù)圓柱中的直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，逐項判斷即可得結(jié)論．【解答】解：因為點M?BC，而BC?平面ACN，結(jié)合圓柱結(jié)構(gòu)，所以M?平面ACN，故A，C，M，N四點不共面；圓柱O1O2中，AD，BC分別是上、下底面的兩條直徑，且AD∥BC，AB＝BC＝4，若M是弧BC的中點，N是線段AB的中點，故BM=22BC=22，BN=CN=CB2+B連接AO2，則依題有AO2為AM在平面ABCD內(nèi)的射影，在平面ABCD內(nèi)顯然BD與AO2不垂直，故AM與BD不垂直；MC=MB=22，AC=42，AM2+MC2故選：D．【點評】本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、空間點線面的位置關(guān)系，考查數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象，屬于基礎(chǔ)題．3．某圓臺上底面圓半徑為1，下底面圓半徑為2，母線長為2，則該圓臺的體積為（）A．7π3 B．5π3 C．2π【考點】圓臺的體積．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學運算．【答案】A【分析】根據(jù)題意，由圓臺的結(jié)構(gòu)特征求出圓臺的高，進而由圓臺的體積公式計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)該圓臺的高為h，其軸截面如圖，有OA＝1，O1C＝2，AC=2則AB=AC2-(O故該圓臺的體積V=13（π+4π+π×4故選：A．【點評】本題考查圓臺的體積計算，涉及圓臺的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題．4．已知平面α、β，直線l?α，直線m不在平面α上，下列說法正確的是（）A．若α∥β，m∥β，則l∥m B．若α∥β，m⊥β，則l⊥m C．若l∥m，α∥β，則m∥β D．若l⊥m，m∥β，則α⊥β【考點】空間中直線與直線平行．【專題】運動思想；分析法；空間位置關(guān)系與距離；直觀想象．【答案】B【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系逐一分析四個選項得答案．【解答】解：對于A，若α∥β，m∥β，則l∥m或l與m異面，故A錯誤；對于B，若α∥β，m⊥β，則m⊥α，又l?α，則l⊥m，故B正確；對于C，若1∥m，α∥β，則m∥β或m?β，故C錯誤；對于D，若l⊥m，m∥β，則α∥β或α與β相交，故D錯誤．故選：B．【點評】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題．5．已知α，β是兩個平面，a，b是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）A．若a?α，b?β，α⊥β，則a⊥b B．若a?α，b?β，α∥β，則a∥b C．若a⊥α，b⊥β，a∥b，則α∥β D．若a∥α，a∥b，則b∥α【考點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；平面與平面之間的位置關(guān)系；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【專題】應(yīng)用題；對應(yīng)思想；綜合法；數(shù)學抽象．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由直線與平面的位置關(guān)系分析選項，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，若a?α，b?β，α⊥β，直線a、b平行、相交或異面，A錯誤；對于B，若a?α，b?β，α∥β，直線a、b平行或異面，B錯誤；對于C，若a⊥α，a∥b，則b⊥α，又由b⊥β，則α∥β，C正確；對于D，若a∥α，a∥b，則b∥α或b?α，D錯誤．故選：C．【點評】本題考查直線與平面的位置關(guān)系，涉及直線與平面垂直、平行的判斷，屬于基礎(chǔ)題．6．已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下面四個命題中，正確的是（）A．若l∥m，m?α，則l∥α B．若l∥α，m∥β，α∥β，則l∥m C．若α⊥β，l?α，m?β，則l⊥m D．若m⊥β，l∥α，l∥m，則α⊥β【考點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；平面與平面之間的位置關(guān)系；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【專題】整體思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；直觀想象．【答案】D【分析】由空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系逐一分析四個選項得答案．【解答】解：若l∥m，m?α，則l∥α或l?α，故A錯誤；若l∥α，m∥β，α∥β，則l∥m或l與m相交或l與m異面，故B錯誤；若α⊥β，l?α，m?β，則l與m可能平行，故C錯誤；∵m⊥β，l∥m，∴l(xiāng)⊥β，又l∥α，記l?γ，且γ∩α＝l'，則l∥l′，∴l(xiāng)'⊥β，得α⊥β，故D正確．故選：D．【點評】本題考查空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系的判定，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題．7．已知三棱錐V﹣ABC的外接球的體積為403027π，VA⊥平面A．33 B．63 C．216 【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學運算．【答案】A【分析】先根據(jù)球的體積公式求出球的半徑R，再根據(jù)余弦定理與正弦定理求出△ABC的外接圓的半徑r，從而可得三棱錐V﹣ABC的高為(2R【解答】解：∵三棱錐V﹣ABC的外接球的體積為43∴三棱錐V﹣ABC的外接球的半徑R=10又AB＝2AC＝2，∠BAC=2∴BC=1設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r，則根據(jù)正弦定理可得：2r∴r=73，又VA⊥平面∴三棱錐V﹣ABC的高為(2R)∴三棱錐V﹣ABC的體積為13故選：A．【點評】本題考查三棱錐的體積的求解，三棱錐的外接球問題，屬中檔題．8．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分別是線段AB1與BC1的中點，現(xiàn)有如下結(jié)論：①直線PQ與直線BC所成的角為π3②PQ⊥BB1；③PQ=④PQ∥平面ABCD．則正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；直線與平面平行．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理．【答案】C【分析】作PE⊥AB于點E，QF⊥BC于點F根據(jù)異面直線的角的定義求出平面角判斷①；由①得PQ∥EF，結(jié)合BB1⊥EF判斷②；設(shè)邊長為2，PQ＝EF，分別求出EF，AB1判斷③；利用線面平行判定定理，可判斷④．【解答】解：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分別是線段AB1與BC1的中點，對于①，如圖作PE⊥AB于點E，QF⊥BC于點F，連接EF，所以QF∥BB1，且QF=12BB1，PE∥BB所以PQ∥EF，所以∠EFB即為直線PQ與直線BC所成的角，又BE＝BF，所以∠EFB=π對于②，因為BB1⊥平面ABCD，EF?面ABCD，所以BB1⊥EF，由①知PQ∥EF，所以PQ⊥BB1，故②正確；對于③，設(shè)正方體的棱長為2，因為PQ＝EF，在Rt△EBF中，EF=又因為AB1=22+2對于④，由①得，PQ∥EF，因為PQ?平面ABCD，EF?平面ABCD，所以PQ∥平面ABCD，故④正確所以，②③④正確，①錯誤，故選：C．【點評】本題考查異面直線所成角、線面垂直、線面平行等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．9．如圖，將邊長為1的正△ABC以邊AB為軸逆時針翻轉(zhuǎn)θ弧度得到ΔABC'，其中θ∈(0，π2)，構(gòu)成一個三棱錐C'﹣A．(0，π6] B．(0，π4]【考點】球的體積和表面積；棱錐的結(jié)構(gòu)特征．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學運算．【答案】C【分析】由圖結(jié)合垂徑定理找到球的球心O，翻折的角θ即為∠CDC′的大小．設(shè)OC＝R，易知DC=DC'=32，DE=32cosθ2，【解答】解：如圖，由正△ABC知，取線段AB的中點D，取線段CD上靠近點D的三等分點G，則G為正△ABC的外心．取CC′的中點E，連接CD，C′D，DE，由CD＝C′D知，DE為線段CC′的中垂線．在平面C′CD內(nèi)過G作CD的垂線交ED于O，連接OC，則O即為三棱錐的外接球球心，由二面角的平面角的定義可得翻折的角θ即為∠CDC′的大小．設(shè)OC＝R，由邊長為1的正△ABC易知DC＝DC′=32，DE=32cosθ2，DG=13DC則32化簡可得R2=14+112cos2解得cos2θ可得cosθ2≥即0＜故選：C．【點評】本題考查了立體幾何綜合，考查了學生空間想象，邏輯推理，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題．10．在底面是邊長為4的正方形的四棱錐P﹣ABCD中，點P在底面的射影H為正方形ABCD的中心，異面直線PB與AD所成角的正切值為32，則四棱錐P﹣ABCDA．617 B．516 C．413 【考點】球的體積和表面積．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學運算．【答案】C【分析】依題意可得P﹣ABCD為正四棱錐，由AD∥BC可得異面直線PB與AD所成的角為∠PBC，取BC中點E，連接PE、HE，即可求出PE、HP，再求出四棱錐的表面積與體積，從而求出內(nèi)切球的半徑，再由勾股定理求出外接球的半徑，即可得解．【解答】解：由題可得四棱錐P﹣ABCD為正四棱錐，即有PA＝PB＝PC＝PD．因為AD∥BC，所以異面直線PB與AD所成的角為∠PBC，取BC中點E，連接PE、HE，則PE⊥BC，所以tan∠所以PE＝3，HP=從而可以求得四棱錐P﹣ABCD的表面積和體積分別為：S=12所以內(nèi)切球的半徑為r=設(shè)四棱錐P﹣ABCD外接球的球心為O，外接球的半徑為R，則OP＝OA，則(5-R)2故選：C．【點評】本題考查四棱錐的外接球與內(nèi)切球問題，化歸轉(zhuǎn)化思想，方程思想，屬中檔題．二．填空題（共5小題）11．如圖，四邊形ABCD是圓柱OE的軸截面，且AB＝BC＝4，F(xiàn)，G是圓O上異于A，B的兩點，當EG∥平面DAF時，直線EG與直線AF所成角的余弦值為55【考點】異面直線及其所成的角．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間角；數(shù)學運算．【答案】55【分析】連接EO，OG，利用面面平行的性質(zhì)定理可得OG∥AF，即有∠EGO為直線EG與直線AF所成角，再在Rt△EOG中運用三角函數(shù)關(guān)系即可求得答案．【解答】解：連接EO，OG，∵OE∥AD，AD?平面DAF，OE?平面DAF，∴OE∥平面DAF，而EG∥平面DAF，OE∩EG＝E，OE，EG?平面EOG，∴平面EOG∥平面DAF，又平面ABF∩平面EOG＝OG，平面ABF∩平面DAF＝AF，∴OG∥AF，則∠EGO為直線EG與直線AF所成角，又OG=12AB＝2，EO＝BC＝∴在Rt△EOG中，EG=EO2cos∠EGO=OG∴直線EG與直線AF所成角的余弦值為55故答案為：55【點評】本題考查了異面直線所成角的求法，是中檔題．12．如圖，經(jīng)過棱長為1的正方體的三個頂點的平面截正方體得到一個正三角形，將這個截面上方部分去掉，得到一個七面體，則這個七面體內(nèi)部能容納的最大的球半徑是3-33【考點】球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體．【專題】計算題；整體思想；綜合法；球；數(shù)學運算．【答案】3-3【分析】如圖，七面體為正方體ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱錐B1﹣BA1C1的圖形，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得這個七面體內(nèi)部能容納的球最大時，該球與三個正方形面和等邊三角形面相切，且球心在體對角線B1D上，以點D為原點建立空間直角坐標系，設(shè)球心O(a，a，a)(0＜【解答】解：如圖，七面體為正方體ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱錐B1﹣BA1C1的圖形，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得這個七面體內(nèi)部能容納的球最大時，該球與三個正方形面和等邊三角形面相切，且球心在體對角線B1D上，如圖，以點D為原點建立空間直角坐標系，則B（1，1，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1），設(shè)球心O(故BA設(shè)平面BA1C1的法向量為n→則有n→?B則球心O到平面BA1C1的距離為|OB因為球O與三個正方形面和等邊三角形面相切，所以2-3a3=所以這個七面體內(nèi)部能容納的最大的球半徑是3-3故答案為：3-3【點評】本題考查了七面體內(nèi)部能容納最大球的半徑計算，屬于中檔題．13．已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，tan∠BAC【考點】球的體積和表面積．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學運算．【答案】429【分析】設(shè)BC＝3a，結(jié)合條件AB⊥BC，tan∠【解答】解：設(shè)BC＝3a，因為AB⊥所以AB＝4a，AC＝5a，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，則由三角形的面積相等得：12即12(4a+3a因為三棱柱ABC﹣A1B1C1有內(nèi)切球，所以AA1＝2a，因為AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，所以直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球就是以BA，BC，BB1為棱的長方體的外接球，即直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的直徑就是以BA，BC，BB1為棱的長方體的對角線，且其長為BB所以三棱錐ABC﹣A1B1C1的內(nèi)切球的表面積為4πa2，三棱錐的外接球的表面積為29πa2，所以三棱柱ABC﹣A1B1C1的內(nèi)切球與外接球的表面積之比為429故答案為：429【點評】本題考查球表面積的求法，幾何體的內(nèi)切球問題，屬于中檔題．14．如圖，在幾何體ABECDF中，EF∥AD∥BC，梯形ABCD和梯形AEFD為等腰梯形，AD＝2EF＝2BC＝2AE＝2AB＝2BE，若幾何體ABECDF的體積為823，則AB＝2【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學運算．【答案】2．【分析】作出圖形，取AD的中點M，連接EM，BM，則易得幾何體ABECDF的體積為正四面體EABM與三棱柱BEM﹣CFD的體積之和，再根據(jù)體積建立方程，即可求解．【解答】解：如圖，取AD的中點M，連接EM，BM，由EF∥AD，AD＝2EF，可得四邊形EFDM為平行四邊形，可得EM＝FD，又由AE＝EF，可得EM＝AE＝AM，可得△AME為等邊三角形，同理可得三棱錐E＝ABM為正四面體，設(shè)AB＝a，如圖，過點E作OE⊥平面ABM于點O，連接OM，易得OM=32×所以VE又由AM＝MD，可得三棱柱BEM﹣CFD的體積是三棱錐E﹣ABM體積的3倍，所以幾何體ABECDF的體積為三棱錐E﹣ABM體積的4倍，可得212a3×4=8故答案為：2．【點評】本題考查多面體的體積問題，分割補形法的應(yīng)用，方程思想，屬中檔題．15．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，BA＝BC＝BB1＝1，P是矩形BCC1B1內(nèi)一動點，滿足PA2+PC2＝2，則三棱錐P﹣ABC外接球體積為2π3【考點】球的體積和表面積．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學運算．【答案】2π【分析】根據(jù)題意易得PA2+PC2＝AC2，從而可得P在以AC為直徑的球上，進而可得三棱錐P﹣ABC外接球即為以AC為直徑的球，再根據(jù)球的體積公式，即可求解．【解答】解：根據(jù)題意可得AC=2，PA2+PC2＝2∴PA2+PC2＝AC2，∴P在以AC為直徑的球上，又∠ABC＝90°，∴B也在該球上，∴三棱錐P﹣ABC外接球即為以AC為直徑的球，∴該球的半徑為AC2∴三棱錐P﹣ABC外接球體積為43故答案為：2π【點評】本題考查三棱錐的外接球問題，屬中檔題．三．解答題（共5小題）16．如圖，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝4，AB＝2，E為棱DD1上一點（含端點），且DE＝λDD1．（1）證明：AC⊥B1E；（2）當λ=12時，證明：B1E（3）設(shè)幾何體B1ACE的體積為V，若V∈（3，5），求λ的取值范圍．【考點】直線與平面垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；數(shù)學運算．【答案】（1）證明見解答；（2）證明見解答；（3）(1【分析】（1）先證明線面垂直，然后得到線線垂直；（2）證明線線垂直，結(jié)合第（1）問的線線垂直，由線面垂直的判定定理可得；（3）將幾何體B1ACE的體積為V轉(zhuǎn)化為幾個體積之和差，全部用λ表示出來，然后根據(jù)V∈（3，5），解不等式即可．【解答】證明：（1）如圖，連接BD，B1D1，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，且BB1⊥平面ABCD，所以AC⊥BD，又AC?平面ABCD，所以AC⊥BB1，因為BD，BB1?平面BDD1B1，BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BDD1B1，又B1E?平面BDD1B1，所以AC⊥B1E．（2）當λ=12時，E為所以D1E=DE=12DD所以AE=2又AB所以AE2+B1E2由（1）知，AC⊥B1E，因為AC，AE?平面ACE，AC∩AE＝A，所以B1E⊥平面ACE．（3）解：因為E為棱DD1上一點（含端點），且DE＝λDD1，所以λ∈[0，1]，又AC=22，則則V=因為V∈（3，5），所以3＜解得18即λ的取值范圍是(1【點評】本題考查直線與平面垂直的判定，考查了棱柱、棱錐體積的求法，屬于中檔題．17．如圖，在正三棱錐A﹣BCD中，BC＝CD＝BD＝4，點P滿足AP→=λAC→，λ∈（0，1），過點P作平面α分別與棱AB，BD，CD交于Q，S，T三點，且AD∥α（1）證明：?λ∈（0，1），四邊形PQST總是矩形；（2）若AC＝4，求四棱錐C﹣PQST體積的最大值．【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學運算．【答案】（1）證明見解答；（2）1282【分析】（1）取BC中點E，連接AE，DE，則根據(jù)題意易知BC⊥AE，BC⊥DE，從而可得BC⊥平面ADE，從而可得BC⊥AD，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，平行四邊形的判定定理，即可證明；（2）根據(jù)題意易得QP＝λBC＝4λ，PT＝（1﹣λ）AD＝4（1﹣λ），設(shè)AE∩QP＝F，DE∩ST＝G，連接FG，取AD中點I，連接EI，設(shè)EI∩FG＝H，則易知EH即為C到平面PQST的距離，再根據(jù)錐體的體積公式，構(gòu)建函數(shù)模型，最后通過基本不等式，即可求解．【解答】解：（1）證明：如圖，取BC中點E，連接AE，DE，則根據(jù)題意易知BC⊥AE，BC⊥DE，又AE∩DE＝E，∴BC⊥平面ADE，又AD?平面ADE，∴BC⊥AD，又AD∥α，BC∥α，∴根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得：PT∥AD∥QS，QP∥BC∥ST，∴四邊形PQST為平行四邊形，又BC⊥AD，∴QP⊥PT，∴四邊形PQST為矩形，故：?λ∈（0，1），四邊形PQST總是矩形；（2）∵在正三棱錐A﹣BCD中，BC＝CD＝BD＝4，又AC＝4，∴正三棱錐A﹣BCD是棱長為4的正四面體，∵AP→=λAC→，λ∈∴QPBC=AP∴QP＝λBC＝4λ，PT＝（1﹣λ）AD＝4（1﹣λ），設(shè)AE∩QP＝F，DE∩ST＝G，連接FG，取AD中點I，連接EI，設(shè)EI∩FG＝H，則由（1）知BC⊥平面ADE，QP∥BC，∴QP⊥平面ADE，又QP?平面PQST，∴平面ADE⊥平面PQST，又易知AE＝DE，I為AD中點，∴EI⊥AD，易知AD∥EG，∴EI⊥FG，平面ADE∩平面PQST＝FG，EI?平面ADE，∴EI⊥平面PQST，∴EH即為E到平面PQST的距離，又EHEI∴EH＝（1﹣λ）EI＝（1﹣λ）ED2-ID2=（1﹣λ又易知BC∥平面PQST，∴C到平面PQST的距離等于E到平面PQST的距離，∴四棱錐C﹣PQST體積為1=16當且僅當2λ＝1﹣λ，即λ=1∴四棱錐C﹣PQST體積的最大值為1282【點評】本題考查線線垂直的證明，四棱錐的體積的最值的求解，函數(shù)建模，基本不等式的應(yīng)用，屬難題．18．如圖是一個平面截底面邊長為2的正方形的長方體ABCD﹣A1B1C1D1所得的幾何體ABCDEFGH，AC與BD相交于點O，AE＝1，CG＝2，BF＝DH．（1）證明：OG⊥平面BDE；（2）求三棱錐G﹣BDE的體積．【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學運算．【答案】（1）證明見解答；（2）2．【分析】（1）根據(jù)題意證明BD⊥OG，又EO⊥GO，再根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明；（2）根據(jù)三棱錐的體積公式，即可求解．【解答】解：（1）證明：如圖，連接EO，根據(jù)題意可得：OA=∵AE⊥平面ABCD，CG⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AE⊥AC，CG⊥AC，∵AEAO=1∵AEAO∴△EAO∽△OCG，∴∠AEO＝∠COG，∴∠EOA∴∠EOG∴EO⊥GO，又BD⊥AC，BD⊥AE，AC∩AE＝A，AC，AE?平面ACGE，∴BD⊥平面ACGE，OG?平面ACGE，∴BD⊥OG，又EO⊥GO，OE∩BD＝O，OE，BD?平面BDE，∴OG⊥平面BDE；（2）由BF＝DH，易得四邊形BFHD為矩形，又O為BD的中點，M為HF的中點，∴HD＝BF＝OM，∵AE＝1，CG＝2，O為AC的中點，M為EG的中點，∴MO=AE+CG2=32，又BE＝DE=∴S△BDE=∴三棱錐G﹣BDE的體積為13【點評】本題考查線面垂直的證明，三棱錐的體積的求解，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．19．如圖，在四棱錐Q﹣ABCD中，四邊形ABCD為直角梯形，CD∥AB，BC⊥AB，平面QAD⊥平面ABCD，QA＝QD，點M是AD的中點．（Ⅰ）證明：QM⊥BD．（Ⅱ）點N是CQ的中點，AD＝AB＝2CD＝2，當直線MN與平面QBC所成角的正弦值為427時，求四棱錐Q﹣ABCD【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；邏輯推理；數(shù)學運算．【答案】（Ⅰ）證明過程見解答．（Ⅱ）343或【分析】（Ⅰ）由QA＝QD，QM⊥AD，由平面QAD⊥平面ABCD，QM⊥面ABCD，QM⊥BD．（Ⅱ）取BC中點F，連MF，F(xiàn)Q，QM⊥BC，MF⊥BC，BC⊥面QMF，作MG⊥QF于G，連GN，BC⊥MG，MG⊥面QBC，∠MNG是MN與面QBC所成的角，由此能求出結(jié)果．【解答】解：（Ⅰ）證明：由QA＝QD，∴QM⊥AD，由平面QAD⊥平面ABCD，平面QAD∩平面ABCD＝AD，∴QM⊥面ABCD，∵BD?平面ABCD，∴QM⊥BD．（Ⅱ）取BC中點F，連MF，F(xiàn)Q，∴QM⊥BC，MF⊥BC，∴BC⊥面QMF作MG⊥QF于G，連GN，∴BC⊥MG，∴MG⊥面QBC，∴∠MNG是MN與面QBC所成的角，設(shè)QM＝a＞0，MF=32∴MN=12a2∴QM=a=3或32∴四棱錐Q﹣ABCD的體積為343或【點評】本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)、四棱錐的體積公式、線面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化的思想，落實直觀想象、數(shù)學運算核心素養(yǎng)，是中檔題．20．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1＝B1C1＝3，A1B1＝42，D為A1B1的中點．（1）證明：B1C∥平面AC1D．（2）若以AB1為直徑的球的表面積為48π，求三棱錐B1﹣AC1D的體積．【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；等體積法；綜合法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學運算．【答案】（1）證明見解析；（2）42【分析】（1）連接A1C交AC1于點E，連接DE，證明DE∥B1C，即可證明B1C∥平面AC1D．（2）由以AB1為直徑的球的表面積求出A1B，再求AA1，計算△B1C1D的面積，從而求出三棱錐B1﹣AC1D的體積．【解答】解：（1）證明：連接A1C交AC1于點E，則E為A1C的中點，連接DE，∵D是A1B1的中點，∴DE∥B1C，∵DE?平面AC1D，B1C?在平面AC1D，∴B1C∥平面AC1D．（2）∵A1C1＝B1C1，D是A1B1的中點，∴C1D⊥A1B1，計算C1D=C1∵以AB1為直徑的球的表面積為48π，∴4π?(AB12)2=48π，解得A∴AA1=AB1∴△B1C1D的面積為S=∴三棱錐B1﹣AC1D的體積為VB【點評】本題考查了空間中的平行關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了幾何體體積計算問題，是中檔題．

考點卡片1．棱錐的結(jié)構(gòu)特征【知識點的認識】1．棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面圍成的幾何體叫做棱錐．用頂點和底面各頂點的字母表示，例：S﹣ABCD．2．認識棱錐棱錐的側(cè)面：棱錐中除底面外的各個面都叫做棱錐的側(cè)面．棱錐的側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱．棱錐的頂點；棱錐中各個側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點．棱錐的高：棱錐的頂點到底面的距離叫做棱錐的高．棱錐的對角面；棱錐中過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面叫做對角面．3．棱錐的結(jié)構(gòu)特征棱錐1根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征，可知棱錐具有以下性質(zhì)：平行于底面的截面和底面相似，且它們的面積比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的比．4．棱錐的分類棱錐的底面可以是三角形、四邊形、五邊形…我們把這樣的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐…正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點在底面內(nèi)的射影是底面中心，這樣的棱錐叫做正棱錐．正棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形．5．棱錐的體積公式設(shè)棱錐的底面積為S，高為h，V棱錐=132．球內(nèi)接多面體【知識點的認識】1、球內(nèi)接多面體的定義：多面體的頂點都在球面上，且球心到各頂點的距離都是半徑．球內(nèi)接多面體也叫做多面體外接球．球外切多面體的定義：球面和多面體的各個面都相切，球心到各面的距離都是球的半徑．球外切多面體也叫做多面體內(nèi)切球2、研究球與多面體的接、切問題主要考慮以下幾個方面的問題：（1）球心與多面體中心的位置關(guān)系；（2）球的半徑與多面體的棱長的關(guān)系；（3）球自身的對稱性與多面體的對稱性；（4）能否做出軸截面．3、球與多面體的接、切中有關(guān)量的分析：（1）球內(nèi)接正方體：球和正方體都是中心對稱和軸對稱圖形，設(shè)球的半徑為r，正方體的棱長為a，則：①球心就是正方體的中心，球心在正方體的體對角線的中點處；②正方體的四個頂點都在球面上；③軸截面就是正方體的對角面；④在軸截面上，含有一個球的大圓和正方體的棱、面對角線、體對角線，且構(gòu)造一個直角三角形；⑤球半徑和正方體棱長的關(guān)系：r=323．棱柱、棱錐、棱臺的體積【知識點的認識】柱體、錐體、臺體的體積公式：V柱＝sh，V錐=134．圓錐的側(cè)面積和表面積圓錐的側(cè)面積和表面積5．圓臺的體積圓臺的體積6．球的體積和表面積【知識點的認識】1．球體：在空間中，到定點的距離等于或小于定長的點的集合稱為球體，簡稱球．其中到定點距離等于定長的點的集合為球面．2．球體的體積公式設(shè)球體的半徑為R，V球體=3．球體的表面積公式設(shè)球體的半徑為R，S球體＝4πR2．【命題方向】考查球體的體積和表面積公式的運用，常見結(jié)合其他空間幾何體進行考查，以增加試題難度，根據(jù)題目所給條件得出球體半徑是解題關(guān)鍵．7．平面的基本性質(zhì)及推論【知識點的認識】平面的基本性質(zhì)及推論：1．公理1：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，則這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)．2．公理2：經(jīng)過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面．①推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點