2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一．選擇題（共9小題）1．下列命題正確的是（）A．（sinπ）′＝cosπ B．已知函數(shù)f（x）＝ln（2x+1），若f′（x0）＝1，則x0＝0 C．已知函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，若f′（1）＝2，則limxD．設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，則f2．曲線f(x)=3x3-1A．10x+y﹣8＝0 B．10x﹣y﹣8＝0 C．8x﹣y﹣6＝0 D．8x+y﹣6＝03．如果函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)y＝f′（x）的圖象如圖所示，則以下關(guān)于y＝f（x）判斷正確的是（）A．在區(qū)間（2，4）上是嚴(yán)格減函數(shù) B．在區(qū)間（1，3）上是嚴(yán)格增函數(shù) C．x＝﹣3是極小值點(diǎn) D．x＝4是極小值點(diǎn)4．已知f(x)=13x3-x在區(qū)間（A．（﹣∞，5） B．（﹣2，5） C．[﹣2，5） D．（-5，15．函數(shù)f(A．（﹣2，3） B．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞） C．（3，+∞） D．（0，3）6．已知f（x）＝x3+3ax2+bx+a2在x＝﹣1處有極值0，則a+b＝（）A．11或4 B．﹣4或﹣11 C．11 D．47．已知函數(shù)f（x）＝x4+ax，若limΔx→0fA．8 B．6 C．4 D．28．已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且f'（1）＝5，則limΔxA．2 B．52 C．5 D．9．下列說(shuō)法正確的是（）A．函數(shù)在某區(qū)間上的極大值不會(huì)小于它的極小值 B．函數(shù)在某區(qū)間上的最大值不會(huì)小于它的最小值 C．函數(shù)在某區(qū)間上的極大值就是它在該區(qū)間上的最大值 D．函數(shù)在某區(qū)間上的最大值就是它在該區(qū)間上的極大值二．填空題（共6小題）10．若曲線y＝ln（x+a）的一條切線為y＝ex﹣b（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），其中a，b為正實(shí)數(shù)，則1ea+1b的取值范圍是11．若函數(shù)f(x)=x33-a2x2+412．若直線y＝x+1和曲線y＝alnx+2相切，則實(shí)數(shù)a的值為．13．已知函數(shù)f（x）＝kex﹣2x，若?x0∈R，f（x0）≤0，則實(shí)數(shù)k的最大值是．14．若函數(shù)f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x，則使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范圍是．15．已知函數(shù)f（x）＝logax（a＞0且a≠1），若f′（1）＝1，則a＝．三．解答題（共5小題）16．已知函數(shù)f（x）＝aex+bx+1在x＝0處有極值2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）證明：f（x）＞ex﹣x．17．已知函數(shù)f(x)=1x（Ⅰ）求曲線y＝f（x）在（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（3，+∞）上單調(diào)遞減，求a的取值范圍：（Ⅲ）若a＞0，f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：f(18．若函數(shù)y＝f（x）存在零點(diǎn)a，函數(shù)y＝g（x）存在零點(diǎn)b，使得|a﹣b|≤1，則稱(chēng)f（x）與g（x）互為親密函數(shù)．（1）判斷函數(shù)f（x）＝2x+x﹣2與g(（2）若函數(shù)h（x）＝ex﹣2﹣x+1與k（x）＝x4+mx2+（2m+1）x+m+2互為親密函數(shù)，求m的取值范圍．附：ln3≈1.1．19．已知函數(shù)f（x）＝aex+sinx+1在區(qū)間(0，π2)內(nèi)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，其中a∈（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）證明：f（x）在區(qū)間(0，20．已知f(（1）當(dāng)a＞0時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若f（x）≤0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用參考答案與試題解析一．選擇題（共9小題）1．下列命題正確的是（）A．（sinπ）′＝cosπ B．已知函數(shù)f（x）＝ln（2x+1），若f′（x0）＝1，則x0＝0 C．已知函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，若f′（1）＝2，則limxD．設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，則f【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可判斷AB的正誤，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算可判斷D的正誤，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則可判斷C的正誤．【解答】解：對(duì)A：（sinπ）′＝0，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：f'(x)=12x+1(2x+1)'=22x對(duì)C：limx→0f(1+2△x)-f(1)△x對(duì)D：f'(x)=2x+3f故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．曲線f(x)=3x3-1A．10x+y﹣8＝0 B．10x﹣y﹣8＝0 C．8x﹣y﹣6＝0 D．8x+y﹣6＝0【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點(diǎn)上的切線方程．【專(zhuān)題】方程思想；數(shù)學(xué)模型法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程．【解答】解：由f(x)=3x3-1x，得f'(x)=9x則曲線f(x)=3x3-1x在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的方程為y﹣即10x﹣y﹣8＝0．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，是基礎(chǔ)題．3．如果函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)y＝f′（x）的圖象如圖所示，則以下關(guān)于y＝f（x）判斷正確的是（）A．在區(qū)間（2，4）上是嚴(yán)格減函數(shù) B．在區(qū)間（1，3）上是嚴(yán)格增函數(shù) C．x＝﹣3是極小值點(diǎn) D．x＝4是極小值點(diǎn)【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】根據(jù)圖象分析f′（x）在不同區(qū)間上取值的正負(fù)，然后判斷f（x）相應(yīng)的單調(diào)性，即可判斷每個(gè)選項(xiàng)．【解答】解：對(duì)于A，由圖象知f′（x）在（2，4）上取正值，所以f（x）在（2，4）上遞增，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由圖象知f′（x）在（1，3）上取正值，所以f（x）在（1，3）上遞增，B正確；對(duì)于C，由圖象知f′（x）在某個(gè)（﹣3﹣c，﹣2）上取負(fù)值，這里c＞0，所以f（x）在（﹣3﹣c，﹣2）上遞減，從而x＝﹣3不可能是f（x）的極值點(diǎn)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由圖象知f′（x）在（3，4）上取正值，在某個(gè)（4，4+d）上取負(fù)值，這里d＞0，所以f（x）在（3，4）上遞增，在（4，4+d）上遞減，從而x＝4是f（x）的極大值點(diǎn)，D錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．4．已知f(x)=13x3-x在區(qū)間（A．（﹣∞，5） B．（﹣2，5） C．[﹣2，5） D．（-5，1【考點(diǎn)】由函數(shù)的極值求解函數(shù)或參數(shù)．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值關(guān)系可求．【解答】解：f′（x）＝x2﹣1，易得，當(dāng)x＞1或x＜﹣1時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取得極小值，因?yàn)閒(x)=13x3-所以m＜1＜6﹣m2，解得-5＜m＜故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．函數(shù)f(A．（﹣2，3） B．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞） C．（3，+∞） D．（0，3）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】求導(dǎo)，令f'（x）＜0，并結(jié)合函數(shù)的定義域，得解．【解答】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），f'（x）=1-令f'（x）＜0，則﹣2＜x＜3，又x＞0，所以0＜x＜3，所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，3）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，理解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．已知f（x）＝x3+3ax2+bx+a2在x＝﹣1處有極值0，則a+b＝（）A．11或4 B．﹣4或﹣11 C．11 D．4【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【專(zhuān)題】計(jì)算題；函數(shù)思想；分析法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】先求解導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)極值的概念求解參數(shù)的值即可．【解答】解：根據(jù)題意，f（x）＝3x2+6ax+b，∵函數(shù)f（x）在x＝﹣1處有極值0，∴f′（﹣1）＝3﹣6a+b＝0且f（﹣1）＝﹣1+3a﹣b+a2＝0，∴a＝1，b＝3或a＝2，b＝9，a＝1，b＝3時(shí)f（x）＝3x2+6x+3≥0恒成立，此時(shí)函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)，∴a＝2，b＝9，∴a+b＝11．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的極值，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．7．已知函數(shù)f（x）＝x4+ax，若limΔx→0fA．8 B．6 C．4 D．2【考點(diǎn)】變化率的極限與導(dǎo)數(shù)的概念．【專(zhuān)題】整體思想；定義法；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】根據(jù)題意得limΔx【解答】解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義得：limΔx→0f(1+Δx)-f(1)因?yàn)閒'（x）＝4x3+a，所以f'（1）＝4+a＝8，解得a＝4．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的定義，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且f'（1）＝5，則limΔxA．2 B．52 C．5 D．【考點(diǎn)】含Δx表達(dá)式的極限計(jì)算與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由極限的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)的定義可得limΔx→0f(1+2Δx【解答】解：函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且f'（1）＝5，則limΔx→0f(1+2Δx)-f(1)Δx故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的定義，涉及極限的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．9．下列說(shuō)法正確的是（）A．函數(shù)在某區(qū)間上的極大值不會(huì)小于它的極小值 B．函數(shù)在某區(qū)間上的最大值不會(huì)小于它的最小值 C．函數(shù)在某區(qū)間上的極大值就是它在該區(qū)間上的最大值 D．函數(shù)在某區(qū)間上的最大值就是它在該區(qū)間上的極大值【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【專(zhuān)題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯推理．【答案】B【分析】根據(jù)極值和最值的聯(lián)系與區(qū)別即可判斷．【解答】解：如圖，為函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象：對(duì)于選項(xiàng)A：極大值f（x1）＜極小值f（x4），故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：根據(jù)最大值的概念可知，函數(shù)的最大值一定大于或等于它的最小值，故B正確；如圖所示，函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的極大值f（x3），而不是最大值，故C錯(cuò)誤；同時(shí)，最大值f（b）不是極大值，故D也錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的極值與最值的概念，考查數(shù)形結(jié)合思想與邏輯推理能力，屬于中檔題．二．填空題（共6小題）10．若曲線y＝ln（x+a）的一條切線為y＝ex﹣b（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），其中a，b為正實(shí)數(shù)，則1ea+1b的取值范圍是[2【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專(zhuān)題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】[2，+∞）．【分析】先令導(dǎo)數(shù)值等于切線斜率，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再將切點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程，得到a，b的關(guān)系式，最后結(jié)合函數(shù)思想求出1ea【解答】解：由已知令y'解得x=1e-a，故切點(diǎn)為（代入切線得2＝b+ea＞0，故0＜所以1ea+當(dāng)且僅當(dāng)b＝1，a=1故1ea+故答案為：[2，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．11．若函數(shù)f(x)=x33-a2x2+4x+1【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專(zhuān)題】函數(shù)思想；方程思想；構(gòu)造法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】由已知，得f′（x）＝x2﹣ax+4＝0在（1，4）上存在變號(hào)零點(diǎn)，參變分離后利用導(dǎo)數(shù)討論新函數(shù)的單調(diào)性后，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：∵函數(shù)f(x)=x33-a2x2若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，4）上不單調(diào)，則f′（x）＝x2﹣ax+4＝0在（1，4）上存在變號(hào)零點(diǎn)，由x2﹣ax+4＝0，得a=令g(x)=x+4x，x∈∴g（x）在（1，2）遞減，在（2，4）遞增，而g(2)=2+42=4，∴4＜a＜5，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（4，5）．故答案為：（4，5）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)思想與方程思想，屬中檔題．12．若直線y＝x+1和曲線y＝alnx+2相切，則實(shí)數(shù)a的值為1．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專(zhuān)題】方程思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】1．【分析】首先求導(dǎo)得y'=ax，再設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），根據(jù)斜率k＝1，得ax0=1，再將（x【解答】解：已知y＝alnx+2，得y'=ax，設(shè)切點(diǎn)為（x0已知直線斜率k＝1，得ax0=1，再將（x0，可得ax0=1故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及直線方程的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．13．已知函數(shù)f（x）＝kex﹣2x，若?x0∈R，f（x0）≤0，則實(shí)數(shù)k的最大值是2e【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】2e【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為k≤2xex，設(shè)g【解答】解：由f（x）≤0，可得kex﹣2x≤0，即k≤設(shè)g(x)=當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，所以，當(dāng)x＝1時(shí)，g（x）取得最大值，最大值為g(1)=因?yàn)?x0∈R，f（x0）≤0，所以k≤2e，所以實(shí)數(shù)k故答案為：2e【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及最值關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．14．若函數(shù)f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x，則使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范圍是{x|x＜1}．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】{x|x＜1}．【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，得出f（x）＞f（2x﹣1）等價(jià)于x＞2x﹣1，求解即可．【解答】解：由f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x可得：函數(shù)定義域?yàn)镽，f′（x）＝ex+e﹣x﹣2．因?yàn)閑x+e﹣x≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)等號(hào)成立，所以f′（x）≥0，則函數(shù)f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x為R上的增函數(shù)．所以f（x）＞f（2x﹣1）等價(jià)于x＞2x﹣1，解得：x＜1．故答案為：{x|x＜1}．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．15．已知函數(shù)f（x）＝logax（a＞0且a≠1），若f′（1）＝1，則a＝e．【考點(diǎn)】基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】e．【分析】根據(jù)已知條件，對(duì)f（x）求導(dǎo)，再結(jié)合f′（1）＝1，即可求解．【解答】解：函數(shù)f（x）＝logax（a＞0且a≠1），則f'（x）=1f′（1）＝1，則f'（1）=11×lna=1，解得故答案為：e．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．三．解答題（共5小題）16．已知函數(shù)f（x）＝aex+bx+1在x＝0處有極值2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）證明：f（x）＞ex﹣x．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值．【專(zhuān)題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（Ⅰ）a＝1，b＝﹣1．（Ⅱ）見(jiàn)證明過(guò)程．【分析】（Ⅰ）f′（x）＝aex+b，根據(jù)函數(shù)f（x）＝aex+bx+1在x＝0處有極值2，可得f′（0）＝0，f（0）＝2，解得a，b．即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）＝ex﹣x+1．要證f（x）＞ex﹣x．只需證：ex﹣x+1＞ex﹣x．即ex﹣ex+1＞0．令g（x）＝ex﹣ex+1，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值即可證明結(jié)論．【解答】（Ⅰ）解：f′（x）＝aex+b，∵函數(shù)f（x）＝aex+bx+1在x＝0處有極值2，∴f′（0）＝a+b＝0，f（0）＝a+1＝2，解得a＝1，b＝﹣1．經(jīng)檢驗(yàn)，a＝1，b＝﹣1符合題意．（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知，f（x）＝ex﹣x+1．要證f（x）＞ex﹣x．只需證：ex﹣x+1＞ex﹣x．即ex﹣ex+1＞0．令g（x）＝ex﹣ex+1，則g′（x）＝ex﹣e．令g′（x）＝0，解得x＝1．列表如下：x（﹣∞，1）1（1，+∞）g′（x）﹣0+g（x）單調(diào)遞減1單調(diào)遞增可得：x＝1時(shí)，g（x）有最小值g（1）＝e﹣e+1＝1＞0．故f（x）＞ex﹣x成立．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、方程與不等式的解法、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．17．已知函數(shù)f(x)=1x（Ⅰ）求曲線y＝f（x）在（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（3，+∞）上單調(diào)遞減，求a的取值范圍：（Ⅲ）若a＞0，f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：f(【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專(zhuān)題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（Ⅰ）y＝（a﹣2）（x﹣1）；（Ⅱ）(-∞，（Ⅲ）證明見(jiàn)解析．【分析】（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得切線方程；（Ⅱ）根據(jù)單調(diào)性可知x2﹣ax+1≥0在（3，+∞）上恒成立，利用分離變量法可得a≤x+（Ⅲ）設(shè)0＜x1＜x2，則x2＞1，將所證不等式轉(zhuǎn)化為1x2-x2+2lnx2【解答】解：（Ⅰ）由題意知：f'(x)=-∵f′（1）＝a﹣2，又f（1）＝0，∴曲線y＝f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y＝（a﹣2）（x﹣1）；（Ⅱ）∵f'(x)=-1x2-∴-x2-ax+1x2≤0在（3，+∞）上恒成立，即x2﹣ax+1≥∴a≤x+1x在（3設(shè)h(x)=當(dāng)x＞3時(shí)，h′（x）＞0，∴h（x）單調(diào)遞增，∴h(∴a≤103，即實(shí)數(shù)a證明：（Ⅲ）由（Ⅱ）知：x1，x2滿(mǎn)足x2﹣ax+1＝0，∴x1x2＝1，不妨設(shè)0＜x1＜x2，則x2＞1，∴f(則要證f(x1即證2lnx2設(shè)函數(shù)g(x)=∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，又g（1）＝0，∴當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）＜0，∴1x2-【點(diǎn)評(píng)】本題考査導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用問(wèn)題，涉及到已知單調(diào)性求解參數(shù)范圍、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等知識(shí)；證明不等式的關(guān)鍵是能夠?qū)㈦p變量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單一變量的問(wèn)題，從而將不等式證明轉(zhuǎn)化為關(guān)于單一變量的函數(shù)最值的求解問(wèn)題，屬于難題．18．若函數(shù)y＝f（x）存在零點(diǎn)a，函數(shù)y＝g（x）存在零點(diǎn)b，使得|a﹣b|≤1，則稱(chēng)f（x）與g（x）互為親密函數(shù)．（1）判斷函數(shù)f（x）＝2x+x﹣2與g(（2）若函數(shù)h（x）＝ex﹣2﹣x+1與k（x）＝x4+mx2+（2m+1）x+m+2互為親密函數(shù)，求m的取值范圍．附：ln3≈1.1．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間；利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值．【專(zhuān)題】函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）是，理由見(jiàn)解析；（2）[-【分析】（1）先判斷函數(shù)y＝f（x）和y＝g（x）的單調(diào)性；再根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理確定零點(diǎn)的存在區(qū)間；最后根據(jù)親密函數(shù)的定義即可判斷．（2）先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)h（x）的單調(diào)性，求出最值，得出函數(shù)h（x）的零點(diǎn)；再根據(jù)h（x）與k（x）互為親密函數(shù)得出函數(shù)k（x）零點(diǎn)b的取值范圍1≤b≤3，從而將題目條件轉(zhuǎn)化為方程-m=x4+x+2【解答】解：（1）記a是函數(shù)y＝f（x）的零點(diǎn)，b是函數(shù)y＝g（x）的零點(diǎn)．因?yàn)閒（x）＝2x+x﹣2在R上單調(diào)遞增，且f(12)=2+12-2＜所以由零點(diǎn)的存在性定理可得：a∈因?yàn)間(所以函數(shù)y＝g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），g′（x）＝ln（2x）．令g′（x）＞0，得x＞12；令g′（x）＜0所以g（x）在(0，12又因?yàn)間(1)=所以由零點(diǎn)的存在性定理可得：b∈所以|a﹣b|≤1，故f（x）與g（x）互為親密函數(shù)．（2）因?yàn)閔（x）＝ex﹣2﹣x+1，所以h′（x）＝ex﹣2﹣1，函數(shù)h（x）的定義域?yàn)镽．令h′（x）＞0得x＞2；令h′（x）＜0得x＜2，則h（x）在（﹣∞，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（x）min＝h（2）＝0，故h（x）有唯一的零點(diǎn)2．記b是函數(shù)y＝k（x）的零點(diǎn)．因?yàn)閔（x）與k（x）＝x4+mx2+（2m+1）x+m+2互為親密函數(shù)，由|2﹣b|≤1，得1≤b≤3，所以k（x）＝0在[1，3]上有解．由k（x）＝0，可得-m設(shè)F(x)=設(shè)G（x）＝2x4+4x3﹣x﹣3（1≤x≤3），則G′（x）＝8x3+12x2﹣1，G′（x）在[1，3]上單調(diào)遞增，則G′（x）≥G′（1）＝19＞0，所以G（x）在[1，3]上單調(diào)遞增，則G（x）≥G（1）＝2＞0，所以F′（x）＞0，從而F（x）為增函數(shù)，則F（1）≤F（x）≤F（3），即1≤所以1≤-m≤438，解得-【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，方程與函數(shù)的關(guān)系及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．19．已知函數(shù)f（x）＝aex+sinx+1在區(qū)間(0，π2)內(nèi)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，其中a∈（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）證明：f（x）在區(qū)間(0，【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值．【專(zhuān)題】函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）（﹣1，0）；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）求導(dǎo)得f′（x），分a≥0和a＜0討論f′（x）的單調(diào)性，并保證在(0，π2)（2）利用導(dǎo)數(shù)確定f（x）在區(qū)間(0，【解答】解：（1）由題意可得f′（x）＝aex+cosx，當(dāng)x∈(0，π2)時(shí)，cosx①當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在(0，②當(dāng)a＜0時(shí)，令g（x）＝f′（x），則在(0，π2)上g′（x）＝aex﹣sin所以f′（x）在(0，因?yàn)閒'(0)=a+1，所以f′（0）＝a+1＞0，解得a＞﹣1，由零點(diǎn)存在定理，此時(shí)f′（x）在(0，π2)所以當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈(x1，π2所以f（x）在(0，π2)綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣1，0）．（2）證明：由（1）知﹣1＜a＜0，當(dāng)x∈[π2，3π2)時(shí)，y＝aex＜所以在[π2，3π2)上f′（x）＝aex+cosx＜0所以當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(x1，又因?yàn)閒（x1）＞f（0）＝a+1＞0，所以在（0，x1）內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)x∈(x1，3π2)時(shí)，因?yàn)閒（x1所以由零點(diǎn)存在定理，f（x）在(x1，3π2)【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值以及函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．20．已知f(（1）當(dāng)a＞0時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若f（x）≤0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間；利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值．【專(zhuān)題】分類(lèi)討論；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）[ln2﹣1，0]．【分析】（1）根據(jù)題意，求得f′（x）＝（aex﹣1）（ex﹣2）．分0＜a＜12，a=1（2）分a≤0，a＞0兩種情況討論，結(jié)合函數(shù)f（x）的單調(diào)性與最值，即可求解．【解答】解：（1）f′（x）＝（aex﹣1）（ex﹣2），當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）＝0，ex=1a或ex＝2，即x=ln當(dāng)a=12時(shí)，x=ln1a=ln2，f′（當(dāng)0＜a＜當(dāng)x＜ln2或x＞ln1a時(shí)，f′（x）≥0，當(dāng)ln2＜x所以f（x）在（﹣∞，ln2）遞增，在(ln2，當(dāng)a＞12當(dāng)x＜ln1a或x＞ln2時(shí)，f′（x）≥0，當(dāng)ln1a＜所以f（x）在(-∞，ln1a)遞增，在(ln（2）當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＝（aex﹣1）（ex﹣2），f′（x）＝0，x＝ln2，當(dāng)x＜ln2時(shí)，f′（x）≥0，當(dāng)x＞ln2時(shí)，f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，ln2）遞增，在（ln2，+∞）遞減．∴ymax＝f（ln2）＝2a﹣2（2a+1）+2ln2＝﹣2a﹣2+2ln2，由f（x）≤0可得，﹣2a﹣2+2ln2≤0，解得：ln2﹣1≤a≤0．f(=1=1若a＞0，則取x＞(2a+1)24a，有f（x）＞0綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[ln2﹣1，0]．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．變化率的極限與導(dǎo)數(shù)的概念變化率的極限與導(dǎo)數(shù)的概念2．含Δx表達(dá)式的極限計(jì)算與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系含Δx表達(dá)式的極限計(jì)算與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系3．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、基本函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)①C′＝0（C為常數(shù)）②（xn）′＝nxn﹣1（n∈R）③（sinx）′＝cosx④（cosx）′＝﹣sinx⑤（ex）′＝ex⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′=1x*（logae）=1xlna（a＞0且a≠1）⑧[lnx2、和差積商的導(dǎo)數(shù)①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[f(x)g3、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)y＝u（t），t＝v（x），則y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解題方法點(diǎn)撥】1．由常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及正、余弦函數(shù)經(jīng)加、減、乘運(yùn)算得到的簡(jiǎn)單的函數(shù)均可利用求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，而不需要回到導(dǎo)數(shù)的定義去求此類(lèi)簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．2．對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡(jiǎn)，再求導(dǎo)的基本原則．求導(dǎo)時(shí)，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對(duì)求導(dǎo)的制約作用．在實(shí)施化簡(jiǎn)時(shí)，首先要注意化簡(jiǎn)的等價(jià)性，避免不必要的運(yùn)算失誤．【命題方向】題型一：和差積商的導(dǎo)數(shù)典例1：已知函數(shù)f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（）A．0B．2014C．2015D．8解：f′（x）＝acosx+3bx2，∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2∴f′（x）為偶函數(shù)；f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0∴f（2014）+f（﹣2014）＝asin（2014）+b?20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8故選D．題型二：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)典例2：下列式子不正確的是（）A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinxB．（lnx﹣2x）′=1xC．（2sin2x）′＝2cos2xD．（sinxx）′解：由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則對(duì)于選項(xiàng)A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，(lnx-2對(duì)于選項(xiàng)C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，(sinxx)'=故選C．4．簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、基本函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)①C′＝0（C為常數(shù)）②（xn）′＝nxn﹣1（n∈R）③（sinx）′＝cosx④（cosx）′＝﹣sinx⑤（ex）′＝ex⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′=1x*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′2、和差積商的導(dǎo)數(shù)①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[f(x)g3、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)y＝u（t），t＝v（x），則y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解題方法點(diǎn)撥】1．由常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及正、余弦函數(shù)經(jīng)加、減、乘運(yùn)算得到的簡(jiǎn)單的函數(shù)均可利用求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，而不需要回到導(dǎo)數(shù)的定義去求此類(lèi)簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．2．對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡(jiǎn)，再求導(dǎo)的基本原則．求導(dǎo)時(shí)，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對(duì)求導(dǎo)的制約作用．在實(shí)施化簡(jiǎn)時(shí)，首先要注意化簡(jiǎn)的等價(jià)性，避免不必要的運(yùn)算失誤．【命題方向】題型一：和差積商的導(dǎo)數(shù)典例1：已知函數(shù)f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（）A．0B．2014C．2015D．8解：f′（x）＝acosx+3bx2，∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2∴f′（x）為偶函數(shù)；f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0∴f（2014）+f（﹣2014）＝asin（2014）+b?20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8故選D．題型二：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)典例2：下列式子不正確的是（）A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinxB．（lnx﹣2x）′=1xC．（2sin2x）′＝2cos2xD．（sinxx）′解：由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則對(duì)于選項(xiàng)A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，(lnx-2對(duì)于選項(xiàng)C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，(sinxx)'=故選C．5．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數(shù)，f′（x）＞0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數(shù)，f′（x）＜0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．2、利用導(dǎo)數(shù)求解多項(xiàng)式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）確定f（x）的定義域；（2）計(jì)算導(dǎo)數(shù)f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根將f（x）的定義域分成若干個(gè)區(qū)間，列表考察這若干個(gè)區(qū)間內(nèi)f′（x）的符號(hào)，進(jìn)而確定f（x）的單調(diào)區(qū)間：f′（x）＞0，則f（x）在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；f′（x）＜0，則f（x）在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．【解題方法點(diǎn)撥】若在某區(qū)間上有有限個(gè)點(diǎn)使f′（x）＝0，在其余的點(diǎn)恒有f′（x）＞0，則f（x）仍為增函數(shù)（減函數(shù)的情形完全類(lèi)似）．即在區(qū)間內(nèi)f′（x）＞0是f（x）在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件．【命題方向】題型一：導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系典例1：已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（﹣1）＝2，對(duì)任意x∈R，f′（x）＞2，則f（x）＞2x+4的解集為（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，設(shè)g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，則g′（x）＝f′（x）﹣2，∵對(duì)任意x∈R，f′（x）＞2，∴對(duì)任意x∈R，g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，則由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集為（﹣1，+∞），故選：B題型二：導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用典例2：已知函數(shù)f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)y＝f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對(duì)于任意的t∈[1，2]，函數(shù)g(x)=x3+x（Ⅲ）求證：ln2解：（Ⅰ）f'(x當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1]，減區(qū)間為[1，+∞）；當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為（0，1]；當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）不是單調(diào)函數(shù)（4分）（Ⅱ）f'(2)=-a2=1得a＝﹣2，f（x）＝﹣∴g(∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′（0）＝﹣2∴g由題意知：對(duì)于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：g'(1)＜0g（Ⅲ）令a＝﹣1此時(shí)f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴l(xiāng)nx＜x﹣1對(duì)一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，則有0＜lnn＜n﹣1，∴0∴l(xiāng)n6．利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間7．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、極值的定義：（1）極大值：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f（x）＜f（x0），就說(shuō)f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值，記作y極大值＝f（x0），x0是極大值點(diǎn)；（2）極小值：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f（x）＞f（x0），就說(shuō)f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值，記作y極小值＝f（x0），x0是極小值點(diǎn)．2、極值的性質(zhì)：（1）極值是一個(gè)局部概念，由定義知道，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小；（2）函數(shù)的極值不是唯一的，即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè)；（3）極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系，即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值；（4）函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)，而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)．3、判別f（x0）是極大、極小值的方法：若x0滿(mǎn)足f′（x0）＝0，且在x0的兩側(cè)f（x）的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則x0是f（x）的極值點(diǎn)，f（x0）是極值，并且如果f′（x）在x0兩側(cè)滿(mǎn)足“左正右負(fù)”，則x0是f（x）的極大值點(diǎn)，f（x0）是極大值；如果f′（x）在x0兩側(cè)滿(mǎn)足“左負(fù)右正”，則x0是f（x）的極小值點(diǎn)，f（x0）是極小值．4、求函數(shù)f（x）的極值的步驟：（1）確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開(kāi)區(qū)間，并列成表格，檢查f′（x）在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f（x）在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f（x）在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)即都為正或都為負(fù)，則f（x）在這個(gè)根處無(wú)極值．【解題方法點(diǎn)撥】在理解極值概念時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：（1）按定義，極值點(diǎn)x0是區(qū)間[a，b]內(nèi)部的點(diǎn)，不會(huì)是端點(diǎn)a，b（因?yàn)樵诙它c(diǎn)不可導(dǎo)）．（2）極值是一個(gè)局部性概念，只要在一個(gè)小領(lǐng)域內(nèi)成立即可．要注意極值必須在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)取得．一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)可以有許多個(gè)極小值和極大值，在某一點(diǎn)的極小值也可能大于另一個(gè)點(diǎn)的極大值，也就是說(shuō)極大值與極小值沒(méi)有必然的大小關(guān)系，即極大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值?。?）若f（x）在（a，b）內(nèi)有極值，那么f（x）在（a，b）內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒(méi)有極值．（4）若函數(shù)f（x）在[a，b]上有極值且連續(xù)，則它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的，相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值點(diǎn)，同樣相鄰兩個(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn)，一