《導(dǎo)學(xué)案》2021版高中數(shù)學(xué)(人教A版-必修5)教師用書：3.8基本不等式-講義

第8課時(shí)基本不等式1.把握基本不等式,能借助幾何圖形說明基本不等式的意義.2.能夠利用基本不等式求最大(小)值.3.利用基本不等式求最值時(shí)要留意“一正二定三相等”.重點(diǎn):基本不等式的實(shí)質(zhì)由此加深同學(xué)對(duì)算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)的概念及相互關(guān)系的理解.難點(diǎn):用基本不等式求最值要留意等號(hào)成立的條件,當(dāng)?shù)忍?hào)不成立時(shí),考慮用函數(shù)的單調(diào)性解決最值問題.如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo),會(huì)標(biāo)是依據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的,顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車,代表中國人民熱忱好客.在正方形ABCD中有4個(gè)全等的直角三角形,設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,那么正方形的邊長為.問題1:上述情境中,正方形的面積為a2+b2,4個(gè)直角三角形的面積的和2ab,由于4個(gè)直角三角形的面積之和不大于正方形的面積,于是就可以得到一個(gè)不等式:a2+b2≥2ab,我們稱之為重要不等式,即對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,都有a2+b2≥2ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.

我們也可以通過作差法來證明:a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,

∴a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).

問題2:基本不等式若a,b∈(0,+∞),則≥

,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.

問題3:對(duì)于基本不等式,請(qǐng)嘗試從其他角度予以解釋.(1)基本不等式的幾何解釋:在直角三角形中,直角三角形斜邊上的中線不小于斜邊上的的高.在圓中,半徑不小于半弦長.

(2)假如把看作正數(shù)a、b的等差中項(xiàng),看作正數(shù)a、b的等比中項(xiàng),那么該定理可以敘述為:兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng).

(3)在數(shù)學(xué)中,我們稱為a、b的算術(shù)平均數(shù),稱為a、b的幾何平均數(shù).因此,兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

問題4:由基本不等式我們可以得出求最值的結(jié)論:(1)已知x,y∈(0,+∞),若積x·y=p(定值),則和x+y有最小值2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),取“=”.

(2)已知x,y∈(0,+∞),若和x+y=s(定值),則積x·y有最大值

,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),取“=”.

即“積為常數(shù),和有最小值;和為常數(shù),積有最大值”.

概括為:一正二定三相等四最值.調(diào)和平均數(shù)是總體各單位標(biāo)志值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù),也稱倒數(shù)平均數(shù),是平均數(shù)的一種.但統(tǒng)計(jì)調(diào)和平均數(shù),與數(shù)學(xué)調(diào)和平均數(shù)不同.在數(shù)學(xué)中調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)都是獨(dú)立的自成體系的,計(jì)算結(jié)果前者恒小于等于后者,因而數(shù)學(xué)調(diào)和平均數(shù)定義為:數(shù)值倒數(shù)的平均數(shù)的倒數(shù).但統(tǒng)計(jì)加權(quán)調(diào)和平均數(shù)則與之不同,它是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的變形,附屬于算術(shù)平均數(shù),不能單獨(dú)成立體系,且計(jì)算結(jié)果與加權(quán)算術(shù)平均數(shù)完全相等,主要是用來解決在無法把握總體單位數(shù)(頻數(shù))的狀況下,只有每組的變量值和相應(yīng)的標(biāo)志總量,而需要求得平均數(shù)的狀況下使用的一種數(shù)據(jù)方法.1.在下列不等式的證明過程中,正確的是().A.若a,b∈R,則+≥2=2B.若a,b∈R+,則lga+lgb≥2C.若x為負(fù)實(shí)數(shù),則x+≥-2=-2D.若x為負(fù)實(shí)數(shù),則3x+3-x≥2=2【解析】對(duì)于A,若+≥2,則須a,b同號(hào);對(duì)于B,應(yīng)有a>1,b>1;對(duì)于C,因x為負(fù)實(shí)數(shù),則x+=-[(-x)+]≤-2;只有D正確.【答案】D2.下列不等式確定成立的是().A.lg(x2+)>lgx(x>0)B.sinx+≥2(x≠kπ,k∈Z)C.>(b>a>0)D.>1(x∈R)【解析】對(duì)于A,x2+≥2=x,可以取“=”;對(duì)于B,當(dāng)sinx<0時(shí)不成立;對(duì)于C,∵(a+2)b-(b+2)a=2(b-a)>0,∴>,正確;對(duì)于D,當(dāng)x=0時(shí),=1,不成立.∴只有C正確.【答案】C3.已知x>0,y>0,4x+9y=1,則+的最小值為.

【解析】∵x>0,y>0,4x+9y=1,∴+=(+)(4x+9y)=++13≥12+13=25,當(dāng)且僅當(dāng)=且4x+9y=1時(shí)等號(hào)成立,得:x=,y=.故當(dāng)x=,y=時(shí),(+)min=25.【答案】254.已知a>0,b>0,c>0,d>0,求證:+≥4.【解析】+=+++=(+)+(+)≥2+2=4(當(dāng)且僅當(dāng)a=b且c=d時(shí),取“=”).基本不等式求最值(1)已知x>,求函數(shù)y=4x-2+的最小值.(2)已知正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3,求ab的取值范圍.【方法指導(dǎo)】對(duì)已知函數(shù)進(jìn)行變形,再運(yùn)用均值不等式與換元法,留意等號(hào)的取舍.【解析】(1)∵x>,∴4x-5>0,∴y=4x-5++3.∵4x-5+≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)4x-5=,即x=時(shí),等號(hào)成立.∴y≥2+3=5.故當(dāng)x=時(shí),函數(shù)y=4x-2+取得最小值5.(2)∵ab-3=a+b≥2,∴ab-2-3≥0且ab>0,即(-1)2≥4,∴≥3,即ab≥9(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)),∴ab的取值范圍是[9,+∞).【小結(jié)】使用基本不等式時(shí)要留意“一正二定三相等”.利用基本不等式證明不等式已知x、y都是正數(shù),求證:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.【方法指導(dǎo)】在運(yùn)用基本不等式≥時(shí),留意條件a、b均為正數(shù),結(jié)合不等式的性質(zhì)(把握好每條性質(zhì)成立的條件),進(jìn)行變形.【解析】∵x,y都是正數(shù),∴x2>0,y2>0,x3>0,y3>0.∵x+y≥2>0,x2+y2≥2>0,x3+y3≥2>0,∴(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥2·2·2=8x3y3,即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.當(dāng)且僅當(dāng)“x=y”時(shí)取“=”.【小結(jié)】多次利用基本不等式證明時(shí),確定要留意是否每次都能保證等號(hào)成立,并且取等號(hào)的條件應(yīng)當(dāng)全都.單調(diào)性與基本不等式設(shè)函數(shù)f(x)=x+,x∈[0,+∞).(1)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值;(2)當(dāng)0<a<1時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值.【方法指導(dǎo)】使用基本不等式時(shí)要留意參數(shù)的范圍與取等號(hào)的關(guān)系.【解析】(1)把a(bǔ)=2代入f(x)=x+中,得f(x)=x+=x+1+-1.由于x∈[0,+∞),所以x+1>0,>0,所以f(x)≥2-1,當(dāng)且僅當(dāng)x+1=,即x=-1時(shí),f(x)取得最小值2-1.(2)由于f(x)=x+=x+1+-1.當(dāng)且僅當(dāng)x+1=時(shí)等式成立,即x=-1<0,又x∈[0,+∞),所以基本不等式等號(hào)取不到.設(shè)x1>x2≥0,則f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)·[1-].由于x1>x2≥0,所以x1-x2>0,x1+1>1,x2+1≥1,所以(x1+1)(x2+1)>1,而0<a<1,所以<1,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增.所以f(x)min=f(0)=a.【小結(jié)】本題第(2)問要從函數(shù)的單調(diào)性或結(jié)合雙勾函數(shù)來考慮,由于基本不等式等號(hào)取不到,這是用基本不等式經(jīng)常遇到的問題.(1)設(shè)0<x<,求函數(shù)y=4x(3-2x)的最大值.(2)若-4<x<1,求的最值.【解析】(1)∵0<x<,∴3-2x>0,∴y=4x(3-2x)=2·2x(3-2x)≤2()2=,當(dāng)且僅當(dāng)2x=3-2x,即x=∈(0,)時(shí)等號(hào)成立,∴ymax=.(2)=·=[(x-1)+]=-[-(x-1)+],∵-4<x<1,∴0<-(x-1)<5.∴[-(x-1)+]≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=0∈(-4,1)時(shí)取等號(hào),∴-[-(x-1)+]≤-1,即()max=-1,無最小值.設(shè)a,b,c都是正數(shù),求證:++≥a+b+c.【解析】∵a,b,c都是正數(shù),∴,,都是正數(shù).∴+≥2c,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立+≥2a,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立+≥2b,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立.三式相加,得2(++)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立.求函數(shù)y=的值域.【解析】令=t(t≥2),則y==+=t+(t≥2).由于t>0,所以t+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)取等號(hào),明顯不在區(qū)間[2,+∞)內(nèi),即等號(hào)不成立,故考慮其單調(diào)性.易證y=t+在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞增,故y≥.所以,所求函數(shù)的值域?yàn)閇,+∞).1.下列不等式中恒成立的是().A.≥B.x+≥2C.≥3 D.2-3x-≥2【解析】A:=≥,恒成立.B:當(dāng)x=-1時(shí),x+=-2,不恒成立.C:=-,當(dāng)x=0時(shí)最小,最小值為,∴不恒成立.D:當(dāng)x>0時(shí),2-3x-=2-(3x+)≤2-2×=2-4,不恒成立,選A.【答案】A2.當(dāng)點(diǎn)(x,y)在直線x+3y-2=0上移動(dòng)時(shí),表達(dá)式3x+27y+1的最小值為().A.3B.5C.1D.7【解析】由x+3y-2=0得3y=-x+2,∴3x+27y+1=3x+33y+1=3x+3-x+2+1=3x++1≥2+1=7.當(dāng)且僅當(dāng)3x=,即x=1時(shí)取得等號(hào).【答案】D3.已知0<x<,則x(1-3x)取得最大值時(shí),x的值是.

【解析】由于0<x<,所以0<1-3x<1,所以x(1-3x)=[3x(1-3x)]≤·[]2=,當(dāng)且僅當(dāng)3x=1-3x,即x=時(shí),x(1-3x)取得最大值.【答案】4.已知a、b、c是不全相等的正數(shù),求證:(a+b)(b+c)(c+a)>8abc.【解析】∵a,b,c都是正數(shù),∴a+b≥2>0(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立),b+c≥2>0(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立),c+a≥2>0(當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立),∵a、b、