【全程復(fù)習(xí)方略】2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)(人教A版選修2-2)課時作業(yè)-2.1.1-合情推理

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時提升作業(yè)(十四)合情推理一、選擇題(每小題3分，共18分)1.某同學(xué)在電腦上打下了一串黑白圓，如圖所示，，按這種規(guī)律往下排，那么第36個圓的顏色應(yīng)是()A.白色B.黑色C.白色可能性大D.黑色可能性大【解析】選A.由題干圖知，圖形是三白二黑的圓周而復(fù)始相繼排列，是一個周期為5的三白二黑的圓列，由于36÷5=7余1，所以第36個圓應(yīng)與第1個圓顏色相同，即白色.2.已知數(shù)列{an}滿足a0=1，an=a0+a1+a2+…+an-1(n≥1)，則當n≥1時，an等于()A.2n B.12C.2n-1 D.2n-1【解析】選C.a0=1，a1=a0=1，a2=a0+a1=2a1=2，a3=a0+a1+a2=2a2=4，a4=a0+a1+a2+a3=2a3=8，…，猜想n≥1時，an=2n-1.3.給出下列三個類比結(jié)論：①類比ax·ay=ax+y，則有ax÷ay=ax-y；②類比loga(xy)=logax+logay，則有sin(α+β)=sinαsinβ；③類比(a+b)2=a2+2ab+b2，則有(a+b)2=a2+2a·b+b2其中結(jié)論正確的個數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選C.依據(jù)指數(shù)的運算法則知ax÷ay=ax-y，故①正確；依據(jù)三角函數(shù)的運算法則知：sin(α+β)≠sinαsinβ，②不正確；依據(jù)向量的運算法則知：(a+b)2=a2+2a·b+b2，③4.設(shè)n棱柱有f(n)個對角面，則(n+1)棱柱的對角面的個數(shù)f(n+1)等于()A.f(n)+n+1 B.f(n)+nC.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2【解題指南】由于過不相鄰兩條側(cè)棱的截面為對角面，過每一條側(cè)棱與它不相鄰的一條側(cè)棱都能作對角面，可作(n-3)個對角面，n條側(cè)棱可作n(n-3)個對角面，由于這些對角面是相互之間重復(fù)計算了，所以共有n(n-3)÷2個對角面，從而得出f(n+1)與f(n)的關(guān)系.【解析】選C.由于過不相鄰兩條側(cè)棱的截面為對角面，過每一條側(cè)棱與它不相鄰的一條側(cè)棱都能作對角面，可作(n-3)個對角面，n條側(cè)棱可作n(n-3)個對角面，由于這些對角面是相互之間重復(fù)計算了，所以共有n(n-3)÷2個對角面，所以可得f(n+1)-f(n)=(n+1)(n+1-3)÷2-n(n-3)÷2=n-1，故f(n+1)=f(n)+n-1.5.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種外形來爭辯數(shù).比如：他們爭辯過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1，4，9，16，…，這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()A.289 B.1024 C.1225 D.1378【解析】選C.觀看三角形數(shù)：1，3，6，10，…，記該數(shù)列為{an}，則a1=1，a2=a1+2，a3=a2+3，…an=an-1+n.所以a1+a2+…+an=(a1+a2+…+an-1)+(1+2+3+…+n)?an=1+2+3+…+n=n(n+1)觀看正方形數(shù)：1，4，9，16，…，記該數(shù)列為{bn}，則bn=n2.把四個選項的數(shù)字，分別代入上述兩個通項公式，可知使得n都為正整數(shù)的只有1225.6.(2022·棗莊高二檢測)將正奇數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，則第21行從左向右的第5個數(shù)為()135791113151719212325272931…A.809 B.853 C.785 【解析】選A.前20行共有正奇數(shù)1+3+5+…+39=202=400個，則第21行從左向右的第5個數(shù)是第405個正奇數(shù)，所以這個數(shù)是2×405-1=809.二、填空題(每小題4分，共12分)7.在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4.類似地，在空間中，若兩個正四周體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為________.【解析】V1V2=13=14×12=答案：18.(2022·石家莊高二檢測)設(shè)n為正整數(shù)，f(n)=1+12+13+…+1n，計算得f(2)=32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，【解析】由前四個式子可得，第n個不等式的左邊應(yīng)當為f(2n)，右邊應(yīng)當為n+22，即可得一般的結(jié)論為f(2n)≥答案：f(2n)≥n9.(2022·杭州高二檢測)對于命題“假如O是線段AB上一點，則|OB→|·OA→+|OA→|·OB→=0”將它類比到平面的情形是：若O是△ABC內(nèi)一點，有S△OBC·OA→+S△OCA·OB→+S△【解析】依據(jù)類比的特點和規(guī)律，所得結(jié)論形式上全都，又線段類比平面，平面類比到空間，又線段長類比為三角形面積，再類比成四周體的體積，故可以類比為VO-BCD·OA→+VO-ACD·OB→+VO-ABD·OC→+V答案：VO-BCD·OA→+VO-ACD·OB→+VO-ABD·OC→三、解答題(每小題10分，共20分)10.平面中的三角形和空間中的四周體有很多相類似的性質(zhì)，例如在三角形中：(1)三角形兩邊之和大于第三邊.(2)三角形的面積S=12×底×(3)三角形的中位線平行于第三邊且第于第三邊的12…請類比上述性質(zhì)，寫出空間中四周體的相關(guān)結(jié)論.【解析】由三角形的性質(zhì)，可類比得空間四周體的相關(guān)性質(zhì)為：(1)四周體的任意三個面的面積之和大于第四個面的面積.(2)四周體的體積V=13×底面積×(3)四周體的中位面平行于第四個面且面積等于第四個面的面積的1411.在平面幾何中爭辯正三角形內(nèi)任意一點與三邊的關(guān)系時，我們有真命題：邊長為a的正三角形內(nèi)任意一點到各邊的距離之和是定值32a，類比上述命題，請你寫出關(guān)于正四周體內(nèi)任意一點與四個面的關(guān)系的一個真命題，【解題指南】利用類比推理時，正三角形可類比成正四周體，歸納出結(jié)論再賜予證明.【解析】類比所得的真命題是：棱長為a的正四周體內(nèi)任意一點到四個面的距離之和是定值63證明：設(shè)M是正四周體P-ABC內(nèi)任一點，M到面ABC，面PAB，面PAC，面PBC的距離分別為d1，d2，d3，d4.由于正四周體四個面的面積相等，故有：VP-ABC=VM-ABC+VM-PAB+VM-PAC+VM-PBC=13·S△ABC·(d1+d2+d3+d4而S△ABC=34a2，VP-ABC=212a故d1+d2+d3+d4=63【變式訓(xùn)練】設(shè)f(x)=13x+3，先分別求f(0)+f(1)，f(-1)+f(2)，f(-2)+f(3)【解析】f(0)+f(1)=130=11+3=3-12+3-同理f(-1)+f(2)=33f(-2)+f(3)=33由此猜想：當x1+x2=1時，f(x1)+f(x2)=33證明：設(shè)x1+x2=1，則f(x1)+f(x2)=13x=3=3=3=33故猜想成立.一、選擇題(每小題4分，共16分)1.(2022·廈門高二檢測)定義A*B，B*C，C*D，D*A的運算分別對應(yīng)下圖中的(1)，(2)，(3)，(4)，那么下圖中的(A)，(B)所對應(yīng)的運算結(jié)果可能是()A.B*D，A*D B.B*D，A*CC.B*C，A*D D.C*D，A*D【解析】選B.由(1)(2)(3)(4)圖得A表示|，B表示□，C表示—，D表示○，故圖(A)(B)表示B*D和A*C.2.(2022·西安高二檢測)已知“整數(shù)對”按如下規(guī)律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，則第60個數(shù)對是()A.(7，5) B.(5，7)C.(2，10) D.(10，1)【解析】選B.依題意，由和相同的“整數(shù)對”分為一組不難得知，第n組“整數(shù)對”的和為n+1，且有n個“整數(shù)對”.這樣前n組一共有n(n+1)2個“整數(shù)對”.留意到10(10+1)2<60<11(11+1)3.(2022·汕頭高二檢測)觀看下列各式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，可以得出的一般結(jié)論是()A.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=n2B.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2C.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=n2D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)2【解析】選B.可以發(fā)覺：第一個式子的第一個數(shù)是1，其次個式子的第一個數(shù)是2，…故第n個式子的第一個數(shù)是n；第一個式子中有1個數(shù)相加，其次個式子中有3個數(shù)相加，…故第n個式子中有2n-1個數(shù)相加；第一個式子的結(jié)果是1的平方，其次個式子的結(jié)果是3的平方，…故第n個式子應(yīng)當是2n-1的平方，故可以得到n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.4.(2022·臨沂高二檢測)已知x>0，由不等式x+1x≥2x·1x=2，x+4x2=x2+x2+4x2≥33x2·x2·A.2n B.n2 C.3n D.n【解析】選D.再續(xù)寫一個不等式：x+33x3=x3+x344x由此可得a=nn.二、填空題(每小題5分，共10分)5.已知經(jīng)過計算和驗證有下列正確的不等式：3+17<210，7.5+12.5<210，8+2+12-2<210，依據(jù)以上不等式的規(guī)律【解析】觀看所給不等式可以發(fā)覺：不等式左邊兩個根式的被開方數(shù)的和等于20，不等式的右邊都是210，因此對正實數(shù)m，n都成立的條件不等式是：若m>0，n>0，則當m+n=20時，有m+n<210.答案：若m>0，n>0，則當m+n=20時，有m+n<2106.在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，則△ABC外接圓半徑r=a2+b22.運用類比方法，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直且長度分別為a，b，【解題指南】解題時題設(shè)條件若是三條線兩兩相互垂直，就要考慮到構(gòu)造正方體或長方體.【解析】(構(gòu)造法)通過類比可得R=a2證明：作一個在同一個頂點處棱長分別為a，b，c的長方體，則這個長方體的體對角線的長度是a2+b答案：a【變式訓(xùn)練】在平面幾何里，有“若△ABC的三邊長分別為a，b，c，內(nèi)切圓半徑為r，則三角形面積為S△ABC=12(a+b+c)r”，拓展到空間，類比上述結(jié)論，“若四周體ABCD的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球的半徑為R，則四周體的體積為________”【解題指南】留意發(fā)覺其中的規(guī)律總結(jié)出共性加以推廣，或?qū)⒔Y(jié)論類比到其他方面，得出結(jié)論.【解析】三角形的面積類比為四周體的體積，三角形的邊長類比為四周體四個面的面積，內(nèi)切圓半徑類比為內(nèi)切球的半徑.二維圖形中12類比為三維圖形中的13，得V四周體ABCD=13(S1+S2+S3答案：V四周體ABCD=13(S1+S2+S3+S4三、解答題(每小題12分，共24分)7.觀看下列等式：①sin210°+cos240°+sin10°cos40°=34②sin26°+cos236°+sin6°cos36°=34由上面兩題的結(jié)構(gòu)規(guī)律，你能否提出一個猜想?并證明你的猜想.【解析】由①②可看出，兩角差為30°，則它們的相關(guān)形式的函數(shù)運算式的值均為34猜想：若β-α=30°，則β=30°+α，sin2α+cos2β+sinαcosβ=34也可直接寫成sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=34下面進行證明：左邊=1-cos2α2+1+cos(2α+60°)2+sinαcos(=1-cos2α2+sinα·(cosα·cos30°-sinαsin30°)=12-12cos2α+12+14cos2α-34sin2α+34sin2故sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=348.某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖(1)，(2)，(3)，(4)為最簡潔的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越秀麗.現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個圖形包含f(n)個小正方形.(1)求出f(5)的值.(2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n+1)與f(n)之間的關(guān)系式，并依據(jù)你得到的關(guān)系式求出f(n)的表達式.(3)求1f(1)+1f(2)-1+1f(3)-1+…【解析】(1)f(5)=41.(2)由于f(2)-f(1)=4=4×1，f(3)-f(2)=8=4×