【2022屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(北師大版)基礎(chǔ)鞏固：第2章-第3節(jié)-函數(shù)的奇偶性與周期性

其次章第三節(jié)一、選擇題1．(文)(2022·湖南高考)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增的是()A．f(x)＝eq\f(1,x2) B．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2－x[答案]A[解析]∵f(x)＝x3為奇函數(shù)，f(x)＝2－x為非奇非偶函數(shù)，∴排解C、D；又f(x)＝x2＋1在(－∞，0)上單調(diào)遞減，排解B，選A．(理)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為()A．y＝x＋1 B．y＝－x3C．y＝eq\f(1,x) D．y＝x|x|[答案]D[解析]本題考查了函數(shù)的性質(zhì)．由于y＝x|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2x≥0,－x2x<0))，是奇函數(shù)且在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，故選D．解答本題可用排解法，選項(xiàng)A不具備奇偶性，選項(xiàng)B在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，選項(xiàng)C在(－∞，＋∞)上不具備單調(diào)性．2．下面四個(gè)結(jié)論中，正確命題的個(gè)數(shù)是()①偶函數(shù)的圖像確定與y軸相交；②函數(shù)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是f(0)＝0；③偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；④既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)確定是f(x)＝0(x∈R)．A．1 B．2C．3 D．4[答案]A[解析]①錯(cuò)誤，如函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x2)是偶函數(shù)，但其圖像與y軸沒有交點(diǎn)；②錯(cuò)誤，由于奇函數(shù)的定義域可能不包含x＝0；③正確；④錯(cuò)誤，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)可以為f(x)＝0，x∈(－a，a)．3．設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，則y＝f(x)的圖像可能是()[答案]B[解析]本小題考查函數(shù)的圖像，奇偶性與周期性．y＝f(x)為偶函數(shù)，周期T＝2.4．已知y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，假如x1<0，x2>0，且|x1|<|x2|，則有()A．f(－x1)＋f(－x2)>0 B．f(x1)＋f(x2)<0C．f(－x1)－f(－x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0[答案]D[解析]∵x1<0，x2>0，|x1|<|x2|，∴0<－x1<x2，又f(x)是(0，＋∞)上的增函數(shù)，∴f(－x1)<f(x2)，又f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，∴f(x1)<f(x2)．∴f(x1)－f(x2)<0.選D．5．(文)設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x＋2x＋b(b為常數(shù))，則f(－1)＝()A．3 B．1C．－1 D．－3[答案]D[解析]∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(0)＝0，即0＝20＋b，∴b＝－1，故f(1)＝2＋2－1＝3，∴f(－1)＝－f(1)＝－3.(理)若函數(shù)f(x)、g(x)分別為R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足f(x)－g(x)＝ex，則有()A．f(2)<f(3)<g(0) B．g(0)<f(3)<f(2)C．f(2)<g(0)<f(3) D．g(0)<f(2)<f(3)[答案]D[解析]由題意得f(x)－g(x)＝ex，f(－x)－g(－x)＝e－x，即－f(x)－g(x)＝e－x，由此解得f(x)＝eq\f(ex－e－x,2)，g(x)＝－eq\f(ex＋e－x,2)，g(0)＝－1，函數(shù)f(x)＝eq\f(ex－e－x,2)在R上是增函數(shù)，且f(3)>f(2)＝eq\f(e2－e－2,2)>0，因此g(0)<f(2)<f(3)，選D．6．(2022·福建高考)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x>0，,cosx，x≤0，))則下列結(jié)論正確的是()A．f(x)是偶函數(shù) B．f(x)是增函數(shù)C．f(x)是周期函數(shù) D．f(x)的值域?yàn)閇－1，＋∞)[答案]D[解析]本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)，由x>0得，x2＋1>1，當(dāng)x≤0時(shí)，cosx∈[－1,1]，故f(x)∈[－1，＋∞)選D．二、填空題7．(文)若f(x)＝eq\f(1,2x－1)＋a是奇函數(shù)，則a＝______.[答案]eq\f(1,2)[解析]考查函數(shù)的奇偶性．∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－1)＝－f(1)，即eq\f(1,2－1－1)＋a＝－eq\f(1,2－1)－a，∴a＝eq\f(1,2).(理)若函數(shù)f(x)＝eq\f(k－2x,1＋k·2x)在定義域上為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)k＝________.[答案]±1[解析]解法1若定義域中包含0，則f(0)＝0，解得k＝1；若定義域中不包含0，則k＝－1，驗(yàn)證得此時(shí)f(x)也是奇函數(shù)．解法2由f(－x)＋f(x)＝0恒成立，解得k＝±1.[點(diǎn)評(píng)]解此題時(shí)，簡(jiǎn)潔受習(xí)慣影響漏掉k＝－1.生疏的地方也有盲點(diǎn)，學(xué)問不全面、平常練習(xí)偷懶、保量不保質(zhì)、解題后不留意反思，是面對(duì)“意外”題型無法應(yīng)對(duì)的真正緣由．8．(文)(2022·新課標(biāo)Ⅱ)偶函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，f(3)＝3，則f(－1)＝________.[答案]3[解析]本題考查函數(shù)奇偶性、對(duì)稱性及周期性的綜合應(yīng)用．∵f(x)＝f(x＋4)，∴周期為4，∴f(－1)＝f(3)＝3，找出周期是關(guān)鍵．(理)(2022·新課標(biāo)Ⅱ)已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)單調(diào)遞減，f(2)＝0.若f(x－1)>0，則x的取值范圍是________．[答案](－1,3)[解析]本題考查抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，確定值不等式的解法．∵偶函數(shù)y＝f(x)在[0，＋∞)上單減，且f(2)＝0∴f(x)>0的解集為|x|<2∴f(x－1)>0的解集為|x－1|<2，解得－1<x<3.故x∈(－1,3)．9．已知函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝eq\f(1＋fx,1－fx)，若f(1)＝2015，則f(103)＝________.[答案]－eq\f(1,2015)[解析]∵f(x＋1)＝eq\f(1＋fx,1－fx)，∴f(x＋2)＝eq\f(1＋fx＋1,1－fx＋1)＝eq\f(1＋\f(1＋fx,1－fx),1－\f(1＋fx,1－fx))＝－eq\f(1,fx).∴f(x＋4)＝f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為4.∵f(1)＝2015.∴f(103)＝f(25×4＋3)＝f(3)＝－eq\f(1,f1)＝－eq\f(1,2015).三、解答題10．(文)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ax2＋1,bx＋c)(a，b，c∈Z)是奇函數(shù)，又f(1)＝2，f(2)<3，求a，b，c的值．[解析]由f(－x)＝－f(x)，得－bx＋c＝－(bx＋c)，∴c＝0.又f(1)＝2，得a＋1＝2b，而f(2)<3，得eq\f(4a＋1,a＋1)<3，解得－1<a<2，又a∈Z，∴a＝0或a＝1.若a＝0，則b＝eq\f(1,2)?Z，應(yīng)舍去；若a＝1，則b＝1∈Z，∴a＝1，b＝1，c＝0.(理)已知f(x)＝eq\f(x－a,x2＋bx＋1)是奇函數(shù)．(1)求a，b的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間，并加以證明；(3)求f(x)(x>0)的最值．[分析]利用f(－x)＝－f(x)求a，b的值．[解析](1)∵f(x)＋f(－x)＝0恒成立，即eq\f(x－a,x2＋bx＋1)－eq\f(x＋a,x2－bx＋1)＝0恒成立，則2(a＋b)x2＋2a＝0對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立∴a＝b＝0.(2)∵f(x)＝eq\f(x,x2＋1)(x∈R)是奇函數(shù)，∴只需爭(zhēng)辯(0，＋∞)上f(x)的單調(diào)區(qū)間即可．任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,x\o\al(2,1)＋1)－eq\f(x2,x\o\al(2,2)＋1)＝eq\f(x2－x1x1x2－1,x\o\al(2,1)＋1x\o\al(2,2)＋1).∵xeq\o\al(2,1)＋1>0，xeq\o\al(2,2)＋1>0，x2－x1>0，而x1，x2∈[0,1]時(shí)，x1x2－1<0，∴當(dāng)x1，x2∈[0,1]時(shí)，f(x1)－f(x2)<0，函數(shù)y＝f(x)是增加的；當(dāng)x1，x2∈[1，＋∞)時(shí)，f(x1)－f(x2)>0，函數(shù)y＝f(x)是削減的．又f(x)是奇函數(shù)，∴f(x)在[－1,0]上是增加的，在(－∞，－1]上是削減的．又x∈[0,1]，u∈[－1,0]時(shí)，恒有f(x)≥f(u)，等號(hào)只在x＝u＝0時(shí)取到，故f(x)在[－1,1]上是增加的．(3)由(2)知函數(shù)f(x)在(0,1)上遞增，在[1，＋∞)上遞減，則f(x)在x＝1處可取得最大值.∴f(1)＝eq\f(1,2)，∴函數(shù)的最大值為eq\f(1,2)，無最小值．[點(diǎn)評(píng)](1)求一個(gè)函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)首先考慮函數(shù)的定義域．(2)函數(shù)的最值是函數(shù)值域中的一個(gè)取值，是自變量x取了某個(gè)值時(shí)的對(duì)應(yīng)值，故函數(shù)取得最值時(shí)，確定有相應(yīng)的x的值.一、選擇題1．(2022·山東高考)對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在常數(shù)a≠0，使得x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值，都有f(x)＝f(2a－x)，則稱f(x)為準(zhǔn)偶函數(shù)，下列函數(shù)中是準(zhǔn)偶函數(shù)的是A．f(x)＝eq\r(x) B．f(x)＝x2C．f(x)＝tanx D．f(x)＝cos(x＋1)[答案]D[解析]本題屬于賜予新定義題目，關(guān)鍵理解實(shí)質(zhì)．∵f(x)＝f(2a－x)，∴f(x)的對(duì)稱軸為x＝a≠0即選項(xiàng)為有非零的對(duì)稱軸的函數(shù)．A、B、C不具有軸對(duì)稱性．故選D．D選項(xiàng)對(duì)稱軸為x＝kπ－1，k∈Z2．(文)函數(shù)f(x)＝eq\f(4x＋1,2x)的圖像()A．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．關(guān)于直線y＝x對(duì)稱C．關(guān)于x軸對(duì)稱 D．關(guān)于y軸對(duì)稱[答案]D[解析]∵f(－x)＝2－x＋eq\f(1,2－x)＝2x＋eq\f(1,2x)＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱．(理)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)是一個(gè)減函數(shù)，且x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，x3＋x1＜0，則f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值()A．大于0 B．小于0C．等于0 D．以上都有可能[答案]A[解析]由x1＋x2＜0，得x1＜－x2.又f(x)為減函數(shù)，∴f(x1)＞f(－x2)，又f(x)為R上的奇函數(shù)，∴f(x1)＞－f(x2)．∴f(x1)＋f(x2)＞0.同理f(x2)＋f(x3)＞0，f(x1)＋f(x3)＞0，∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＞0.二、填空題3．設(shè)f(x)是以2為周期的函數(shù)，且當(dāng)x∈[1,3)時(shí)，f(x)＝x－2，則f(－1)＝________.[答案]－1[解析]本題考查函數(shù)的周期性，轉(zhuǎn)化與化歸思想．f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝1－2＝－1.4．定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增加的，下列關(guān)于f(x)的推斷：①f(x)是周期函數(shù)；②f(x)的圖像關(guān)于直線x＝2對(duì)稱；③f(x)在[0,1]上是增加的；④f(x)在[1,2]上是削減的；⑤f(4)＝f(0)．其中推斷正確的序號(hào)是________．[答案]①②⑤[解析]f(x＋1)＝－f(x)?f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期函數(shù)．又f(x)＝f(－x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，故f(x)關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，同理，f(x＋4)＝f(x)＝f(－x)，∴f(x)關(guān)于直線x＝2對(duì)稱．由此可得①②⑤正確．三、解答題5．設(shè)定義在[－2,2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,0]上單調(diào)遞減，若f(1－m)<f(m)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解析]由偶函數(shù)性質(zhì)知f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增，且f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)，因此f(1－m)<f(m)等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2，,|1－m|<|m|.))解得：eq\f(1,2)<m≤2.因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是(eq\f(1,2)，2]．6．(文)已知函數(shù)f(x)，當(dāng)x、y∈R時(shí)，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0恒成立．(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；(2)求證：f(x)在R上是遞減的；(3)若f(1)＝－eq\f(1,2)，試求f(x)在區(qū)間[－2,6]上的最值．[解析](1)∵函數(shù)定義域?yàn)镽，∴在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中令y＝－x得，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x＝0，∴f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．(2)設(shè)x1<x2，且x1、x2∈R.則f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)．∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0.∴f(x2)－f(x1)<0.即f(x)在R上單調(diào)遞減．(3)由(2)知f(x)在[－2,6]上為減函數(shù)．∴f(－2)為最大值，f(6)為最小值．∵f(1)＝－eq\f(1,2)，∴f(2)＝f(1)＋f(1)＝－1，∴f(－2)＝－f(2)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f∴所以f(x)在區(qū)間[－2,6]上的最大值為