三角函數(shù)積化和差公式

三角函數(shù)積化和差公式一、前置知識在正弦函數(shù)和余弦函數(shù)中，我們常常會遇到和角和差角的問題。如果兩個角的正弦（或余弦）已知，我們怎么求它們和的正弦（或余弦）呢？這涉及到三角函數(shù)的積化和差公式。在此之前，我們需要先回顧一下三角函數(shù)的定義和性質(zhì)：1、正弦函數(shù)sinx的定義域為全體實數(shù)，值域為[-1,1]。2、余弦函數(shù)cosx的定義域為全體實數(shù)，值域為[-1,1]。3、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都具有周期性：sin(x+2π)=sinx,cos(x+2π)=cosx。（其中π≈3.14）4、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像如下所示（下面均用sinx與cosx代表正弦函數(shù)和余弦函數(shù)）：二、正弦函數(shù)積化和差公式1、正弦函數(shù)的積化和差公式在三角函數(shù)的積化和差公式中，首先考慮正弦函數(shù)的情況。設(shè)α、β∈R，則sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ證明：（1）sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ設(shè)A(x1,y1)為單位圓上的點，過點A作x軸的垂線交x軸于B(x2,0)，則x1=cosα，y1=sinα，x2=cosβ，AB的長度為sinβ。把點A作為圓心，以AB長為半徑作一條圓弧BC，并作AB的平行線DE交圓弧BC于點C、E。則ACEB是一個梯形，它的上下底分別為sin(α+β)和sinα，高為cosβ。因此，S[ACEB]=1/2(h1+h2)×a=1/2(cosa×sinβ+sinα×cosβ)×sin(α+β)又因為S[ACEB]=S[AED]+S[EDCB]其中，S[AED]=1/2DE?AE=sinαcosβ，S[EDCB]=1/2BC?ED=sinβcosα因此，若設(shè)sin(α+β)的直角三角形的底角為γ，則γ=α+β。然后可得到：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ（2）sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ對于正弦函數(shù)的差式，則有以下對應(yīng)的幾何證明：以點O(x,y)為圓心，以∠AOB（其角度為α）為弧度作圓弧AB，作以∠BOC（其角度為β）為弧度的圓弧BC，作OD⊥OB(D在OB上)，OE⊥OA(E在OA上)，則該圖形是一個梯形，根據(jù)梯形的面積公式和正弦函數(shù)定義可得：sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ三、余弦函數(shù)積化和差公式余弦函數(shù)的積化和差公式與正弦函數(shù)的公式類似。設(shè)α、β∈R，則cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ證明：（1）cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ以點O(x,y)為圓心，以∠AOB（其角度為α）為弧度作圓弧AB，作以∠BOC（其角度為β）為弧度的圓弧BC，作OD⊥OA(D在OA上)，OE⊥OB(E在OB上)，則該圖形是一個梯形，根據(jù)梯形的面積公式和余弦函數(shù)定義可得：cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ（2）cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ在正弦函數(shù)的簡易證明中，我們已經(jīng)得出了：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。將公式兩邊同時除以sinαcosβ（cosαsinβ不可能等于0）得到：tg(α+β)=tgα+tgβ/1-tgαtgβ因此當(dāng)α不等于180k±90(k∈Z)時，tg(α-β)=(tgα-tgβ)/1+tgαtgβ代入cosx的化和差公式，可得：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ總結(jié)：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都有積化和差公式，便